CORRECTION DES EXERCICES POUR LE MARDI 12 JANVIER

Lycée J.P Vernant - spéTS
Mathématiques
Année scolaire 2009-2010
CORRECTION DES EXERCICES POUR LE MARDI 12 JANVIER
Exercice 39 p.31 :
1. • Montrons que a + b et ab sont premiers entre eux
On commence par justier que P GCD(a + b ; a) = 1. Soit d un diviseur positif commun à (a + b) et
à a. Alors d divise a + b − a = b. Ainsi, d est un diviseur commun à a et à b. Or, a et bsont premiers
entre eux d'où d = 1 et P GCD(a + b ; a) = 1. De même P GCD(a + b ; b) = 1. On en déduit que
P GCD(a + b ; ab) = 1 d'après une propriété du cours (conséquence du théorème de Bézout).
• Montrons que a + b et a2 − ab + b2 sont soit premiers entre eux, soit divisibles par 3
a2 − ab + b2 = a2 + 2ab + b2 − 3ab = (a + b)2 − 3ab.
D'après le lemme d'Euclide, P GCD(a2 − ab + b2 ; a + b) = P GCD(a + b ; −3ab). On note d le nombre
P GCD(a2 − ab + b2 ; a + b). Comme a + b et ab sont premiers entre eux, d'après la propriété de
Bézout, il existe deux nombres entiers u et v tels que (a + b)u + (ab)v = 1 et −3(a + b)u − 3abv = −3.
Comme d = P GCD(a+b ; −3ab) alors d divise a+b et d divise −3ab d'où d divise −3(a+b)u−3abv ,
c'est-à-dire que d divise −3 donc d vaut 1 ou 3. Si d = 1, alors a + b et a2 − ab + b2 sont premiers
entre eux. Si d = 3, a + b et a2 − ab + b2 sont divisibles par 3.
2. On a montré que P GCD(a + b ; a2 − ab + b2 ) vaut 1 ou 3.
Si P GCD(a + b ; a2 − ab + b2 ) = 3, alors 3 divise a + b et donc P GCD(a + b , 3) = 3. Dans ce cas,
on obtient que P GCD(a + b ; a2 − ab + b2 ) = P GCD(a + b, 3).
On suppose que P GCD(a + b , a2 − ab + b2 ) = 1. On sait que P GCD(a + b , 3) divise 3 donc il vaut
1 ou 3. Supposons que ce P GCD soit égal à 3. Dans ce cas, 3 divise a + b. Comme 3 divise 3ab alors
3 divise (a + b)2 − 3ab soit 3 divise a2 − ab + b2 . Cela contredit P GCD(a + b , a2 − ab + b2 ) = 1. Par
conséquent, P GCD(a + b , 3) = 1 et donc P GCD(a + b ; a2 − ab + b2 ) = P GCD(a + b, 3).
Finalement, dans tous les cas, P GCD(a + b ; a2 − ab + b2 ) = P GCD(a + b, 3).
½
xy = 5292
. Si (x ; y) ∈ N2 est solution de ce système, alors x
P GCD(x , y) = 6
x
y
et y sont divisibles par 6 et on peut alors poser x0 = ∈ N et y 0 = ∈ N.
6
6
Exercice 31 p.31 : On résout
xy = 5292 ⇔ 36x0 y 0 = 5292 ⇔ x0 y 0 = 147 et P GCD(x , y) = 6 ⇔ P GCD(6x0 , 6y 0 ) = 6 ⇔ P GCD(x0 , y 0 ) = 1
½ 0 0
x y = 147
Le système à résoudre devient alors
P GCD(x0 , y 0 ) = 1
Comme 147 = 2 × 72 , 147 admet (1 + 1) × (2 + 1) = 6 diviseurs positifs qui sont : 1, 3, 7, 21, 49, 147. Il y a
donc 6 couples (x0 ; y 0 ) possibles tels que x0 y 0 = 147 : (1 , 147) ; (3 , 49) ; (7 , 21) ; (21 , 7) ; (49 , 3) ; (147 , 1).
Parmi ces 6 couples, deux sont à éliminer car ils ne sont pas constitués de nombres premiers entre eux :
(7, 21) et (21 , 7).
Les couples (x , y) correspondants aux valeurs de x0 et de y 0 envisageables sont (6 , 882) , (18 , 294) , (294 , 18)
et (882 , 6). On vérie enn que ces couples obtenus vérient bien les conditions du système, c'est-à-dire
xy = 5292 (c'est le cas car on a choisi des nombres x0 et y 0 tels que x0 y 0 = 147) et P GCD(x , y) = 6 (c'est
le cas car on a choisi des nombres x0 et y 0 tels que P GCD(x0 , y 0 ) = 1 ; en eet P GCD(1 , 147) = 1 et
P GCD(3 , 49) = 1 car 3 ne divise pas 49). Finalement, S = {(6 , 882) ; (18 , 294) ; (294 , 18) ; (882 , 6)}.
Exercice 69 p.34
1. On commence par déterminer une équation de (AB). Comme xA 6= xB , alors la droite (AB) n'est pas
yB − yA
−7 − 9
−16
−8
verticale et a une équation du type y = mx + p où m =
=
=
=
. Ainsi,
xB − xA
7+7
14
7
8
8
8
(AB) a pour équation y = − x + p. Comme A ∈ (AB), alors yA = − xA + p d'où 9 = − × (−7) + p
7
7
7
8
d'où p = 9 − 8 = 1. Ainsi, (AB) : y = − x + 1. L'ensemble (AB) ∩ E est l'ensemble des couples
7
8
8
(x ; y) entiers vériant y = − x + 1. Or, y = − x + 1 ⇔ 8x + 7y = 7 donc il s'agit de l'équation
7
7
diophantienne 8x + 7y = 7 où les inconnus sont x et y entiers. Comme P GCD(8 ; 7) = 1 et que 1 divise
7, on sait que cette équation admet des solutions et donc que (AB) ∩ (E) = ∅
2. On commence par résoudre l'équation diophantienne 8x + 7y = 7. Le couple (x0 ; y0 ) = (0 , 1) est
solution évidente de 8x + 7y = 7.
(x , y) est solution de 8x+7y = 7 si et seulement si 8x+7y = 8x0 +7y0 , c'est-à-dire 8x−8x0 = 7y0 −7y ce
qui s'écrit encore 8(x−x0 ) = 7(y0 −y). Comme y0 −y ∈ Z alors 7 divise 8(x−x0 ). Or P GCD(7 , 8) = 1
donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise x − x0 . On en déduit qu'il existe k ∈ Z tel que x − x0 = 7k
et donc x = 7k . De plus, en remplaçant dans une précédente équation, 8 × 7k = 7(y0 − y) donc
8k = y0 − y soit y = 1 − 8k . On a prouvé que si (x , y) est solution de 8x + 7y = 7 alors il existe k ∈ Z
tel que (x , y) = (7k , 1 − 8k). On vérie enn que les couples ainsi obtenus sont eectivement solution
de 8x + 7y = 7. Pour tout k ∈ Z, 8x + 7y = 8(7k) + 7(1 − 8k) = 56k + 7 − 56 = 7 donc l'ensemble des
solutions de (E) est l'ensemble des couples (7k , 1 − 8k) avec k ∈ Z.
On cherche les éléments de (AB) ∩ (F ) donc on doit restreindre l'ensemble des solutions (x , y) de
(AB) ∪ (E) aux couples vériant −7 6 x 6 7 et −7 6 y 6 9. On résout −7 6 7k 6 7 avec
k ∈ Z. Cet encadrement équivaut à −1 6 k 6 1 donc k = 0 ou k = 1 ou k = −1. De même,
−7 6 1 − 8k 6 9 ⇔ −8 6 −8k 6 8 ⇔ 1 > k > −1 donc on retrouve k ∈ {−1 , 0 , 1}. Pour k = −1,
(x , y) = (−7 , 9), pour k = 0, (x , y) = (0 , 1) et pour k = 1, (x , y) = (7 ; −7).
Finalement, (AB) ∩ F = {(−7 , 9) ; (0 ; 1) ; (7 ; −7)}.
Exercice 10 p.30
1. On cherche P GCD(165 ; 98) en appliquant l'algorithme d'Euclide. 165 = 98 + 67, puis 98 = 67 + 31,
67 = 31 × 2 + 5, 31 = 5 × 6 + 1, 5 = 5 × 1 + 0. Le dernier reste non nul est 1 d'où P GCD(165 , 98) = 1.
Comme P GCD(165 ; 98) = 1 divise 1, on peut armer que l'équation (E) : 165x + 98y = 1 admet
des solutions.
2. On cherche une solution particulière de (E) en reprenant les calculs de l'algorithme d'Euclide précédemment eectués.
1 = 31 − 5 × 6 = 31 − (67 − 31 × 2) × 6 = 31 × 13 − 6 × 67 = (98 − 67) × 13 − 6 × 67
= 98 × 13 − 19 × 67 = 98 × 13 − (165 − 98) × 19 = 98 × 32 − 19 × 165
Le couple (x0 ; y0 ) = (−19 ; 32) est une solution particulière de (E).
3. (x , y) est solution de (E) si et seulement si 165x + 98y = 165x0 + 98y0 , ce qui s'écrit encore
165x − 165x0 = 98y0 − 98y c'est-à-dire 165(x − x0 ) = 98(y0 − y). Comme y0 − y ∈ Z alors 98 divise
165(x − x0 ). Or P GCD(165 , 98) = 1 donc, d'après le théorème de Gauss, 98 divise x − x0 . On en
déduit qu'il existe k ∈ Z tel que x − x0 = 98k et donc x = −19 + 98k . De plus, en remplaçant dans une
précédente équation, 165 × 98k = 98(y0 − y) donc 165k = y0 − y soit y = 32 − 165k . On a prouvé que
si (x , y) est solution de 165x + 98y = 1 alors il existe k ∈ Z tel que (x , y) = (−19 + 98k , 32 − 165k).
On vérie enn que les couples ainsi obtenus sont eectivement solution de (E). Pour tout k ∈ Z,
165x + 98y = 165(−19 + 98k) + 98(32 − 165k) = 165x0 + 98y0 = 1 donc l'ensemble des solutions de
(E) est S = {(−19 + 98k , 32 − 165k) ; k ∈ Z}.
Exercice 98 p.37 : Soit N le nombre de petits-enfants et M le nombre d'arrière-petits-enfants de Mémé
et soit x la somme d'argent dont elle dispose à la n de chaque mois.
Mémé donne à chaque petit-enfants 17 euros et il lui en reste 4 donc x = 17N + 4. Elle donne à chaque
arrière petit enfant 11 euros et il lui en reste 9 d'où x = 11M + 9. On en déduit que 17N + 4 = 11M + 9 d'où
17N −11M = 5. On résout donc l' équation diophantienne (E) : 17N −11M = 5 où (N ; M ) sont des entiers.
On cherche une solution particulière. 17 = 11+6 puis 11 = 6+5 donc 5 = 11−6 = 11−(17−11) = 11×2−17.
Le couple (N0 ; M0 ) = (−1 ; −2) est donc solution de (E).
Le couple (N ; M ) est solution de (E) si et seulement si 17N − 11M = 17N0 − 11M0 ce qui s'écrit encore
17(N − N0 ) = 11(M − M0 ). Comme M − M0 ∈ Z, alors 11 divise 17(N − N0 ). Or, P GCD(11 ; 17) = 1
(ce sont deux nombres premiers) donc 11 divise N − N0 d'après le théorème de Gauss. Ainsi, il existe
k ∈ Z tel que N − N0 = 11k soit N = −1 + 11k . En remplaçant dans 17(N − N0 ) = 11(M − M0 ), on
obtient 17 × 11k = 11(M − M0 ) donc 17k = M − M0 soit M = −2 + 17k . Comme x = 17N + 4, alors
x = 17(−1 + 11k) + 4 = −13 + 187k avec k ∈ Z. On sait que 0 6 x 6 200 d'où 0 6 −13 + 187k 6 200
13
213
donc 13 6 187k 6 213 soit 0 <
6k6
< 2. Le seul nombre k entier qui convient est k = 1 d'où
187
187
x = 187 − 13 = 174.
Vérions que cette solution convient. Pour k = 1, alors N = −1 + 11 = 10 et M = −2 + 17 = 15. Il y aurait
donc 10 petits-enfants et 15 arrière-petit-enfants. Si Mémé donne 17 euros à chacun de ses 10 petits-enfants,
elle aura donné 170 euros à ses petits-enfants. Sur les 174 euros qu'elle dispose, il lui restera eectivement 4
euros. Si Mémé donne 11 euros à chacun de ses 15 arrière-petits enfants, elle aura donné 15 × 11 = 165 euros
à ses arrière-petits-enfants. Sur les 174 euros qu'elle dispose, il lui restera eectivement 9 euros. La somme
dont dispose Mémé est eectivement 174 euros.