Arithmétique. Principaux résultats

Arithmétique. Principaux résultats P Fontanier Ph Depresle
Arithmétique. Principaux résultats
•Divisibilité
Si c|a
c|balors cdivise toute combinaison linéaire de aet bà coefficients entiers.
•Division euclidienne de apar b
a=bq +ravec 06r < b (ROC)
•Congruences
a≡b[n]si et seulement si aet badmettent le même reste dans la division Euclidienne par n
si et seulement si a−best divisible par n
a≡bet b≡c[n] =⇒a≡c[n]
a≡bet a′≡b′[n] =⇒a+a′≡b+b′[n], aa′≡bb′[n](ROC)
a−a′≡b−b′[n], ap≡bp[n]p∈N
•Nombres premiers
– Tout entier supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier.
–Un entier supérieur ou égal à 2 est premier s’il n’est divisible par aucun nombre
premier inférieur à sa racine carrée.
•Théorème d’Euclide
L’ensemble des nombres premiers est infini (ROC par l’absurde)
•Théorème fondamental de l’arithmétique
Tout entier naturel nsupérieur à 2 se décompose de manière unique en produit de nombres
premiers.
n=pα1
1pα2 2. . . pαn
n
na alors (α1+ 1)(α2+ 1) ...(αn+ 1) diviseurs.
•PGCD-PPCM
Avec les décompositions en facteurs premiers :
a=pα1
1pα2 2. . . pαn
n
b=pβ1
1pβ2 2. . . pβn
nP GCD =pγ1
1pγ2 2. . . pγn
noù γi=min(αi, βi)
P P CM =pδ1
1pδ2 2. . . pδn
noù δi=max(αi, βi)
Les diviseurs communs à aet bsont les diviseurs de leur PGCD.
Les multiples communs à aet bsont les multiples de leur PPCM.
P GCD(ac, bc) = |c|P GCD(a, b)
P GCD(a, b)×P P CM(a, b) = |ab|
P P CM(ac, bc) = |c|P P CM(a, b)
•Algorithme d’Euclide
P GCD(a, b) = P GCD(a−kb, b)k∈Z(ROC)
•Entiers premiers entre eux
Deux entiers sont premiers entre eux si leur P GCD vaut 1.
Tout nombre premier est premier avec tout entier qu’il ne divise pas.
d=P GCD(a, b)si et seulement s’il existe a′et b′entiers tels que
a=da′
b=db′et P GCD(a′, b′) = 1 (ROC)
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•Identité de Bezout
a, b ∈N∗
Si d=P GCD(a, b)alors il existe uet véléments de Ztel que au +bv =d
On trouve uet vgrâce à l’algorithme d’Euclide.
•Théorème de Bezout
a, b ∈N∗
aet bsont premiers entre eux si et seulement s’il existe uet véléments
de Ztel que au +bv = 1 (ROC)
•Théorème de Gauss
a, b, c ∈N∗
a|bc
P GCD(a, b) = 1 =⇒a|c(ROC)
•Application du théorème de Gauss
Si b|aet c|aet P GCD(b, c) = 1 alors bc|a
•Théorème de Fermat
Si pest un nombre premier alors np≡n[p]
Si pest un nombre premier et p∤nalors np−1≡1[p]
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