Arithmétique. Principaux résultats

Arithmétique. Principaux résultats
P Fontanier Ph Depresle
Arithmétique. Principaux résultats
• Divisibilité c|a
Si
alors c divise toute combinaison linéaire de a et b à coefficients entiers.
c|b
• Division euclidienne de a par b
a = bq + r avec 0 6 r < b (ROC)
• Congruences
a ≡ b[n] si et seulement si a et b admettent le même reste dans la division Euclidienne par n
si et seulement si a − b est divisible par n
a ≡ b et b ≡ c[n] =⇒
a ≡ c[n]
a ≡ b et a′ ≡ b′ [n] =⇒ a + a′ ≡ b + b′ [n], aa′ ≡ bb′ [n] (ROC)
a − a′ ≡ b − b′ [n], ap ≡ bp [n] p ∈ N
• Nombres premiers
– Tout entier supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier.
Un entier supérieur ou égal à 2 est premier s’il n’est divisible par aucun nombre
–
premier inférieur à sa racine carrée.
• Théorème d’Euclide
L’ensemble des nombres premiers est infini (ROC par l’absurde)
• Théorème fondamental de l’arithmétique
Tout entier naturel n supérieur à 2 se décompose de manière unique en produit de nombres
premiers.
n = pα1 1 pα2 2 . . . pαnn
n a alors (α1 + 1)(α2 + 1) . . . (αn + 1) diviseurs.
• PGCD-PPCM
Avec les décompositions en facteurs premiers :
a = pα1 1 pα2 2 . . . pαnn
b = pβ1 1 pβ2 2 . . . pβnn
P GCD = pγ11 pγ22 . . . pγnn où γi = min(αi , βi )
P P CM = pδ11 pδ22 . . . pδnn où δi = max(αi , βi )
Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de leur PGCD.
Les multiples communs à a et b sont les multiples de leur PPCM.
P GCD(ac, bc) = |c|P GCD(a, b)
P GCD(a, b) × P P CM (a, b) = |ab|
P P CM (ac, bc) = |c|P P CM (a, b)
• Algorithme d’Euclide
P GCD(a, b) = P GCD(a − kb, b) k ∈ Z (ROC)
• Entiers premiers entre eux
Deux entiers sont premiers entre eux si leur P GCD vaut 1.
Tout nombre premier est premier avec tout entier qu’il ne divise pas.
d = P GCD(a, b) si et seulement s’il existe a′ et b′ entiers tels que
a = da′
et P GCD(a′ , b′ ) = 1 (ROC)
b = db′
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• Identité de Bezout
a, b ∈ N∗
Si d = P GCD(a, b) alors il existe u et v éléments de Z tel que au + bv = d
On trouve u et v grâce à l’algorithme d’Euclide.
• Théorème de Bezout
a, b ∈ N∗
a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe u et v éléments
de Z tel que au + bv = 1 (ROC)
• Théorème de Gauss
a, b, c ∈ N∗
a|bc
=⇒ a|c (ROC)
P GCD(a, b) = 1
• Application du théorème de Gauss
Si b|a et c|a et P GCD(b, c) = 1 alors bc|a
• Théorème de Fermat
Si p est un nombre premier alors np ≡ n[p]
Si p est un nombre premier et p ∤ n alors np−1 ≡ 1[p]
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