Calcul numérique et PGCD

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1 PGCD de deux nombres entiers positifs
Soient aet bdeux entiers positifs.
Diviseurs et multiples
Définition. Un nombre bnon nul est un diviseur d’un nombre alorsqu’il existe un entier
k > 0tel que a=b×k.
On dit que aest un multiple de b.
Exemples.
•6est un diviseur de 42 car 42 = 6 ×7;
•36 est un multiple de 2, de 6, . . ..
Diviseur commun
Définition. Les diviseurs communs aux nombres aet bsont les nombres qui divisent à la
fois aet b.
Le “plus grand commun diviseur” de deux nombres aet best appelé PGCD de aet b.
On le note gcd(a;b)ou PGCD(a;b).
Exemples.
•7est le PGCD de 14 et 21, noté 7 = gcd(14; 21) ;
•2est un diviseur commun de 12 et 20, mais 26= gcd(12; 20) car 4divise aussi 12 et 20. On
a4 = gcd(12; 20).
Remarque. La somme et la différence de deux multiples d’un nombre entier sont des mul-
tiples de ce nombre. Par exemple, 14 + 21 = 35 et 35 est aussi un multiple de 7.
Démonstration. Soit aet bdeux multiples de n, avec a=xn et b=yn.
•a+b=xn +yn =n(x+y):a+best donc un multiple de n;
•a−b=xn −yn =n(x−y):a−best donc un multiple de n.
Remarque. Il y a toujours un diviseur commun à deux nombres entiers, car 1divise tous
les nombres.
Vocabulaire. On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal
à1(le seul diviseur commun est donc 1).
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2 Méthode de détermination du PGCD de deux nombres
Utilisation de la liste des diviseurs
Déterminons le PGCD de 21 et 30.
21 3
7 7
1
30 2
15 3
5 5
1
On a donc gcd(21; 30) = 3.
Plus généralement, le PGCD de deux nombres est le produit de leurs diviseurs communs.
Utilisation de l’algorithme d’Euclide
Propriété. Si aet bsont deux nombres entiers tel que a6= 0 et b6= 0 et tel que a>balors
gcd(a;b) = gcd(b;r)où rest le reste de la division euclidienne de apar b.
Exemple. La division euclidienne de 1053 par 325 a pour quotient 3et pour reste 78. Ainsi,
gcd(1053; 325) = gcd(325; 78).
Pratique. Dans l’algorithme d’Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul.
Exemple. Déterminons le PGCD de 1053 et 325.
1053 = 325 ×3 + 78
325 = 78 ×4 + 13
78 = 13 ×6+0
Comme dans l’algorithme d’Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul, gcd(1053; 325) =
13.
3 Fractions irréductibles
Définition. Une fraction a
best irréductible si et seulement si gcd(a;b)=1, donc quand aet
bsont premiers entre eux.
Propriété. Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur
par leur PGCD.
Exemple. gcd(924; 630) = 42 donc 630
924 =630 ÷42 924 ÷42 =15 22.
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