Calcul numérique et PGCD Page 1
1 PGCD de deux nombres entiers positifs
Soient aet bdeux entiers positifs.
Diviseurs et multiples
Définition. Un nombre bnon nul est un diviseur d’un nombre alorsqu’il existe un entier
k > 0tel que a=b×k.
On dit que aest un multiple de b.
Exemples.
•6est un diviseur de 42 car 42 = 6 ×7;
•36 est un multiple de 2, de 6, . . ..
Diviseur commun
Définition. Les diviseurs communs aux nombres aet bsont les nombres qui divisent à la
fois aet b.
Le “plus grand commun diviseur” de deux nombres aet best appelé PGCD de aet b.
On le note gcd(a;b)ou PGCD(a;b).
Exemples.
•7est le PGCD de 14 et 21, noté 7 = gcd(14; 21) ;
•2est un diviseur commun de 12 et 20, mais 26= gcd(12; 20) car 4divise aussi 12 et 20. On
a4 = gcd(12; 20).
Remarque. La somme et la différence de deux multiples d’un nombre entier sont des mul-
tiples de ce nombre. Par exemple, 14 + 21 = 35 et 35 est aussi un multiple de 7.
Démonstration. Soit aet bdeux multiples de n, avec a=xn et b=yn.
•a+b=xn +yn =n(x+y):a+best donc un multiple de n;
•a−b=xn −yn =n(x−y):a−best donc un multiple de n.
Remarque. Il y a toujours un diviseur commun à deux nombres entiers, car 1divise tous
les nombres.
Vocabulaire. On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal
à1(le seul diviseur commun est donc 1).
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