Calcul numérique et PGCD Page 1
1 PGCD de deux nombres entiers positifs
Soient aet bdeux entiers positifs.
Diviseurs et multiples
Définition. Un nombre bnon nul est un diviseur d’un nombre alorsqu’il existe un entier
k > 0tel que a=b×k.
On dit que aest un multiple de b.
Exemples.
6est un diviseur de 42 car 42 = 6 ×7;
36 est un multiple de 2, de 6, . . ..
Diviseur commun
Définition. Les diviseurs communs aux nombres aet bsont les nombres qui divisent à la
fois aet b.
Le “plus grand commun diviseur” de deux nombres aet best appelé PGCD de aet b.
On le note gcd(a;b)ou PGCD(a;b).
Exemples.
7est le PGCD de 14 et 21, noté 7 = gcd(14; 21) ;
2est un diviseur commun de 12 et 20, mais 26= gcd(12; 20) car 4divise aussi 12 et 20. On
a4 = gcd(12; 20).
Remarque. La somme et la différence de deux multiples d’un nombre entier sont des mul-
tiples de ce nombre. Par exemple, 14 + 21 = 35 et 35 est aussi un multiple de 7.
Démonstration. Soit aet bdeux multiples de n, avec a=xn et b=yn.
a+b=xn +yn =n(x+y):a+best donc un multiple de n;
ab=xn yn =n(xy):abest donc un multiple de n.
Remarque. Il y a toujours un diviseur commun à deux nombres entiers, car 1divise tous
les nombres.
Vocabulaire. On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal
à1(le seul diviseur commun est donc 1).
Mathématiques http://www.devoirdemaths.com Cours 3˚
Calcul numérique et PGCD Page 2
2 Méthode de détermination du PGCD de deux nombres
Utilisation de la liste des diviseurs
Déterminons le PGCD de 21 et 30.
21 3
7 7
1
30 2
15 3
5 5
1
On a donc gcd(21; 30) = 3.
Plus généralement, le PGCD de deux nombres est le produit de leurs diviseurs communs.
Utilisation de l’algorithme d’Euclide
Propriété. Si aet bsont deux nombres entiers tel que a6= 0 et b6= 0 et tel que a>balors
gcd(a;b) = gcd(b;r)rest le reste de la division euclidienne de apar b.
Exemple. La division euclidienne de 1053 par 325 a pour quotient 3et pour reste 78. Ainsi,
gcd(1053; 325) = gcd(325; 78).
Pratique. Dans l’algorithme d’Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul.
Exemple. Déterminons le PGCD de 1053 et 325.
1053 = 325 ×3 + 78
325 = 78 ×4 + 13
78 = 13 ×6+0
Comme dans l’algorithme d’Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul, gcd(1053; 325) =
13.
3 Fractions irréductibles
Définition. Une fraction a
best irréductible si et seulement si gcd(a;b)=1, donc quand aet
bsont premiers entre eux.
Propriété. Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur
par leur PGCD.
Exemple. gcd(924; 630) = 42 donc 630
924 =630 ÷42
924 ÷42 =15
22.
Mathématiques http://www.devoirdemaths.com Cours 3˚
1 / 2 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !