TD semaine 1. Groupes, Anneaux, Z/nZ , Groupes cycliques

TD semaine 1. Groupes, Anneaux, Z=nZ,Groupes cycliques , Arithmétique.
Exercice 1 Fraction rationnelles irréductibles dans Q
1. Soient (a; b; q; r)2Z2tels que a=bq +r: Démontrer que pgcd(a; b) = pgcd(b; r)
2. Soit A=a
b2Qune fraction rationnelle . Démontrer que A2Z,pgcd(a; b) = jbj
3. Soit n2Z:Démontrer que pgcd(3n+ 2;2n+ 3) = pgcd(2n+ 3; n 1) = pgcd(n1;5):Pour quelles
valeurs de n2Zla fraction 3n+2
2n+3 est elle irréductible? Appartient elle à Z?
4. Démontrer que pour tout entier naturel n2Zla fraction A=30n2+21n+13
15n2+8n+6 a un sens et est irréductible. On
appliquera l’algorithme d’Euclide dans R[X]pour obtenir le PGCD des deux polynômes 30X2+ 21X+ 13 et
15X2+ 8X+ 6:Existe t’il un entier n2Zpour lequel on ait A2Z?
5. On se propose de déterminer tous les entiers ntels que B=30n2+21n10
15n2+8n+15 2Z:
(a) Appliquer l’algorithme d’Euclide aux deux polynômes 30X2+ 21X10 et 15X2+ 8X+ 15:On con-
state que l’on obtient des coefficients rationnels : en se débarassant des dénominateurs , montrer que le
pgcd(30n2+ 21n10;15n2+ 8n+ 15) est un diviseur de 5195:
(b) En déduire à l’aide de la calculatrice les valeurs de n2Ztelles que B2Z..
Exercice 2 Soit pun nombre entier naturel impair.
1. On considère un entier naturel ktel que 16k6p1:Montrer en utilisant la formule du binôme de Newton que
kp+ (pk)pest divisible par p2( indication: que vaut p
1):En déduire que A=Pp1
k=1 kpest divisible par p2.
( simplifier A+Pp1
k=1(pk)p)
2. On suppose maintenant que pest un nombre premier supérieur ou égal à 3. Soit k2[[1; p 1]]:Montrer que p
divise k!:p
k:En déduire que p kest congru à 0modulo p. En déduire que p k(kp+ (pk)p)est
divisible par p3;puis que B=Pp1
k=1 p
kkpest divisible par p3.
Exercice 3 Equations de congruences, équations diophantiennes
1. (a) justifier que l’équation 3n+ 5 4(21) n’admet aucune solution dans Z
(b) Déterminer tous les entiers naturels ntels que 3n+ 5 4(20) à l’aide d’une équation diophantienne
(c) Reprendre le ben utilisant l’inverse de 3dans l’anneau Z=20Z
2. Soit xun entier naturel donné.
(a) Résoudre l’équation 17p+ 5q=x; avec comme inconnues p2Zet q2Zentiers relatifs.
(b) En remarquant qu’un intervalle de réels dont la longueur est supérieure ou égale à 1contient au moins un
entier relatif, démontrer que cette équation admet au moins un couple solution p2N; q 2Nd’entiers
naturels lorsque x>85. Préciser une formule exacte donnant le nombre de solutions (p; q)2N2en
fonction de x,à l’aide de la fonction partie entière E(a) = bac:
(c) A l’aide d’un petit programme python, en déduire le plus grand entier pour lequel cette équation n’admet
aucune solution dans N2
Exercice 4 Systèmes d’équations de congruences page 1 MP Dessaignes 2015

1. Soit aet bdeux entiers naturels premiers entre eux. Soit c2N:Prouver que :[(ajc)et (bjc)] )ab jc.
2. Résoudre le système de congruences x3(20)
x7(9)
Exercice 5 Test de primalité
Voici le test de primalité le plus simple: soit p2Ntel que tout entier naturel qqui vérifie 26q6ppne
divise pas palors pest un nombre premier. Pourriez vous démontrer ce résultat. On rappelle que si un entier pn’est
pas premier, il peut s’écrire sous la forme p=qq0avec q>2;et q0>2:Ecrire ce test sous forme d’une procédure en
langage python .
Exercice 6 Soient (a; b; c)trois entiers relatifs quelconques. Montrer l’implication: a3+b3+c30(7) )
abc 0(7) .On commencera par dresser la liste des cubes modulo 7.
Exercice 7 Puissances modulo
1. Déterminer tous les entiers naturels ntels que 22n+ 2n+ 1 0(21) (on déterminera la suite 2nmodulo 21).
(a) Calculer modulo 11 la puissance 2016n, lorsque n2N:
(b) Quel est le reste dans la division de 2016(20172016 )par 11 ?
Exercice 8 1. Montrer que tout nombre entier est congru modulo 9à la somme de ses chiffres en base 10 .
2. Soit A= 44444444; B est la somme des chiffres de A; C est la somme des chiffres de B,Dest la somme des
chiffres de C:
(a) Quel est le nombre de chiffres de A
(b) Quelle est la classe de congruence de Dmodulo 9
(c) Donner un majorant de B; de Cde D: En déduire la valeur de D:
Exercice 9 Montrer que pour tout n2N,32n+1 + 2n+2 est divisible par 7.
Exercice 10 Equations du second degré modulo poù pest un nombre premier
1. Résoudre l’équation x2+ 2x30 mod pou pest un nombre premier et x2Z
2. On se place dans l’anneau Z=37Z: l’inconnue x2Z=37Z.
(a) Résoudre x2+ 1 = 0:En déduire qu’il existe une classe amodulo 37 telle que 9 = a2
(b) Résoudre en utilisant la "forme canonique" l’équation modulo 37 :x2+ 6x+ 18 = 0
Exercice 11 Systèmes d’equations dans Z=37Z
Résoudre dans Z=37Z:2x+ 3y= 1
3x5y= 0 ((x; y)désignent des inconnues de Z=37Z)
Exercice 12 Ordre d’un produit dans un groupe commutatif
On considère un groupe commutatif fini Get deux éléments a; b de Gd’ordres respectifs pet q;avec pgcd(p; q) = 1:
On note rl’ordre de ab: Montrer que rjpq: Calculer (ab)rp ainsi que (ab)rq et en déduire que qjpr et pjqr: En
conclure que ab est d’ordre pq:
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