TD semaine 1. Groupes, Anneaux, Z/nZ , Groupes cycliques

TD semaine 1.
Groupes, Anneaux, Z=nZ , Groupes cycliques , Arithmétique.
Exercice 1 Fraction rationnelles irréductibles dans Q
1. Soient (a; b; q; r) 2 Z2 tels que a = bq + r: Démontrer que p gcd(a; b) = p gcd(b; r)
2. Soit A =
a
b
2 Q une fraction rationnelle . Démontrer que A 2 Z ,p gcd(a; b) = jbj
3. Soit n 2 Z: Démontrer que p gcd(3n + 2; 2n + 3) = p gcd(2n + 3; n 1) = p gcd(n
valeurs de n 2 Z la fraction 3n+2
2n+3 est elle irréductible? Appartient elle à Z?
1; 5): Pour quelles
2
+21n+13
4. Démontrer que pour tout entier naturel n 2 Z la fraction A = 30n
15n2 +8n+6 a un sens et est irréductible. On
appliquera l’algorithme d’Euclide dans R[X] pour obtenir le PGCD des deux polynômes 30X 2 + 21X + 13 et
15X 2 + 8X + 6: Existe t’il un entier n 2 Z pour lequel on ait A 2 Z?
5. On se propose de déterminer tous les entiers n tels que B =
30n2 +21n 10
15n2 +8n+15
2 Z:
(a) Appliquer l’algorithme d’Euclide aux deux polynômes 30X 2 + 21X 10 et 15X 2 + 8X + 15: On constate que l’on obtient des coefficients rationnels : en se débarassant des dénominateurs , montrer que le
p gcd(30n2 + 21n 10; 15n2 + 8n + 15) est un diviseur de 5195:
(b) En déduire à l’aide de la calculatrice les valeurs de n 2 Z telles que B 2 Z..
Exercice 2 Soit p un nombre entier naturel impair.
1. On considère un entier naturel k tel que 16k6p 1: Montrer en utilisant la formule
Ppdu1binôme de Newton que
k p + (p k)p est divisible par p2 ( indication: que vaut p1 ): En déduire que A = k=1 k p est divisible par p2 .
Pp 1
( simplifier A + k=1 (p k)p )
2. On suppose maintenant que p est un nombre premier supérieur ou égal à 3. Soit k 2 [[1; p 1]]: Montrer que p
p
p
p
divise k!:
: En déduire que
est congru à 0 modulo p. En déduire que
(k p + (p k)p ) est
k
k
k
Pp 1 p
divisible par p3 ; puis que B = k=1
k p est divisible par p3 .
k
Exercice 3 Equations de congruences, équations diophantiennes
1.
(a) justifier que l’équation 3n + 5
4(21) n’admet aucune solution dans Z
(b) Déterminer tous les entiers naturels n tels que 3n + 5
4(20) à l’aide d’une équation diophantienne
(c) Reprendre le b en utilisant l’inverse de 3 dans l’anneau Z=20Z
2. Soit x un entier naturel donné.
(a) Résoudre l’équation 17p + 5q = x; avec comme inconnues p 2 Z et q 2 Z entiers relatifs.
(b) En remarquant qu’un intervalle de réels dont la longueur est supérieure ou égale à 1 contient au moins un
entier relatif, démontrer que cette équation admet au moins un couple solution p 2 N; q 2 N d’entiers
naturels lorsque x>85. Préciser une formule exacte donnant le nombre de solutions (p; q) 2 N2 en
fonction de x ,à l’aide de la fonction partie entière E(a) = bac :
(c) A l’aide d’un petit programme python, en déduire le plus grand entier pour lequel cette équation n’admet
aucune solution dans N2
Exercice 4 Systèmes d’équations de congruences
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1. Soit a et b deux entiers naturels premiers entre eux. Soit c 2 N:Prouver que :[ (a j c) et (b j c)] ) ab j c.
2. Résoudre le système de congruences
x
x
3(20)
7(9)
Exercice 5 Test de primalité
p
Voici le test de primalité le plus simple: soit p 2 N tel que tout entier naturel q qui vérifie 26q6 p ne
divise pas p alors p est un nombre premier. Pourriez vous démontrer ce résultat. On rappelle que si un entier p n’est
pas premier, il peut s’écrire sous la forme p = qq 0 avec q>2; et q 0 >2: Ecrire ce test sous forme d’une procédure en
langage python .
Exercice 6 Soient (a; b; c) trois entiers relatifs quelconques. Montrer l’implication:
abc 0(7) .On commencera par dresser la liste des cubes modulo 7.
a3 + b3 + c3
0(7) )
Exercice 7 Puissances modulo
1. Déterminer tous les entiers naturels n tels que 22n + 2n + 1
0(21) (on déterminera la suite 2n modulo 21).
(a) Calculer modulo 11 la puissance 2016n , lorsque n 2 N:
2016
(b) Quel est le reste dans la division de 2016(2017
Exercice 8
)
par 11 ?
1. Montrer que tout nombre entier est congru modulo 9 à la somme de ses chiffres en base 10 .
2. Soit A = 44444444 ; B est la somme des chiffres de A; C est la somme des chiffres de B, D est la somme des
chiffres de C:
(a) Quel est le nombre de chiffres de A
(b) Quelle est la classe de congruence de D modulo 9
(c) Donner un majorant de B; de C de D: En déduire la valeur de D:
Exercice 9 Montrer que pour tout n 2 N, 32n+1 + 2n+2 est divisible par 7.
Exercice 10 Equations du second degré modulo p où p est un nombre premier
1. Résoudre l’équation x2 + 2x
3
0 mod p ou p est un nombre premier et x 2 Z
2. On se place dans l’anneau Z=37Z : l’inconnue x 2 Z=37Z .
(a) Résoudre x2 + 1 = 0: En déduire qu’il existe une classe a modulo 37 telle que 9 =
a2
(b) Résoudre en utilisant la "forme canonique" l’équation modulo 37 : x2 + 6x + 18 = 0
Exercice 11 Systèmes d’equations dans Z=37Z
2x + 3y = 1
Résoudre dans Z=37Z:
((x; y) désignent des inconnues de Z=37Z)
3x 5y = 0
Exercice 12 Ordre d’un produit dans un groupe commutatif
On considère un groupe commutatif fini G et deux éléments a; b de G d’ordres respectifs p et q;avec p gcd(p; q) = 1:
On note r l’ordre de ab: Montrer que r j pq: Calculer (ab)rp ainsi que (ab)rq et en déduire que q j pr et p j qr: En
conclure que ab est d’ordre pq:
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