Statistiques sur le PGCD de nombres au hasard

Niveau : 2 Orange
Statistiques sur le PGCD de nombres au hasard
1 Présentation du problème, Notations
On tire au sort deux nombres entiers naturels aet bayant au plus 1024 bits. On suppose que chaque
entier ntel que :
0≤n≤21024 −1
a la même chance que les autres d’être tiré. On se fixe un entier h.
Le problème posé est le suivant : quelle est la probabilité P(h)pour que gcd(a, b)≥h?
Soit Nun entier naturel. On pose :
I={1,2,··· , N}.
On définit alors les ensembles suivants :
E={(a, b)∈I2|a∧b= 1},
A={(a, b)∈I2|b < a et a∧b= 1},
B={(a, b)∈I2|a < b et a∧b= 1}.
On remarque que le couple (1,1) est le seul couple de I2, de nombres premiers entre eux qui ne soit
ni dans Ani dans B. Avec les notations précédentes, on dispose des relations suivantes :
A∩B=∅,
E=A∪B∪ {(1,1},
#A= #B,
et donc :
#E= 2#A+ 1.
Il convient de calculer le nombre d’éléments de A. Pour cela on introduit pour tout afixé :
Aa={b∈I|b < a et a∧b= 1}.
Alors :
A=[
a∈I
Aa× {a}
De plus les ensembles Aa× {a}sont disjoints. Pour tout a≥2, on a :
#Aa× {a}= #Aa=φ(a),
ou φest la fonction indicatrice d’Euler, et clairement A1=∅. Donc :
#A=X
1≤a≤N
φ(a)−1.
On conclut que :
#E= 2 X
1≤a≤N
φ(a)−1.
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2 Nombres premiers entre eux
Mettons sur l’intervalle Ila probabilité équirépartie. On effectue l’expérience suivante : on tire au
sort un nombre a∈Iet on tire au sort un nombre b∈, ces deux tirages étant faits indépendamment.
On cherche la probabilité ppour que aet bsoient premiers entre eux. On a bien entendu :
p=#E
N2,
ce qui donne :
p=2P1≤a≤Nφ(a)−1
N2.
On sait que P1≤a≤Nφ(a)
N2
est à peu près égal à 3/π2.
On pourra voir sur des essais que par exemple pour N≥10 la probabilité ppeut être prise raisonna-
blement pour :
p≃6
π2.
3 PGCD de deux nombres au hasard
Nous en venons ici au problème posé, c’est-à-dire que nous étudions le gcd de deux nombres de
l’intervalle Ipris au hasard.
Posons :
Gk={(a, b)∈I2|gcd(a, b) = k}.
Il est clair que :
Gk={(a, b)∈I2|a=k1k, b =k2k, gcd(k1, k2) = 1}.
Notons aussi :
Hk={(k1, k2)∈I2|1≤k1, k2≤N
k, k1∧k2= 1}.
Alors d’après les définitions on voit que :
#Gk= #Hk.
Mais on a approximativement :
#Hk≃6
π2
N2
k2.
Si on introduit maintenant :
G={(a, b)∈I2|gcd(a, b)≥h},
alors :
#G=X
h≤k≤N
#Gk≃6
π2N2X
h≤k≤N
1
k2.
Et la probabilité P(h)vaut approximativement :
P(h)≃6
π2X
h≤k≤N
1
k2,
2

ce qui, compte tenu de l’évaluation asymptotique du reste de la série de terme général 1/k2, est encore
approximativement égal à :
P(h)≃6
π2
1
h
Auteur : Ainigmatias Cruptos
Diffusé par l’Association ACrypTA
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