Corrigé

application 2π-périodique
ENS Lyon M’1 90 : Théorèmes de Lie et d’Engel
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PARTIE I
1. Nécessité de vecteur propre commun : Le premier vecteur d’une base commune de trigonalisation est effectivement un vecteur propre commun à tous
les éléments de F : la condition est donc bien nécessaire.
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2. stabilité de Vu (λ) par F : usuel.
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3. Existence d’un vecteur propre commun : procédons par récurrence sur la
dimension n de V :
Si n=1 , le résultat est immédiat car tout vecteur non nul est propre pour
tout endomorphisme.
Si n > 1 et si tous les éléments de F sont des homothéties, le résultat est
encore évident.
Sinon, on choisit u ∈ F non homothétie et λ l’une de ses valeurs propres
(elle existe car nous sommes sur C ) . Le sous-espace Vu (λ) est strictement
inclus dans V , donc de dimension < n , et il est stable par F . On peut
alors appliquer l’hypothèse de récurrence aux endomorphismes induits sur
Vu (λ) par les éléments de F (qui commutent bien) : ils possèdent un
vecteur propre commun, ce qui donne le résultat voulu :
Les éléments de F possèdent un vecteur propre commun .
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4. F trigonalisable : On procède par récurrence sur n , matriciellement, ou
bien en utilisant les transposées :
Pour n=1 , le résultat est évident.
Si n > 1 , considérons le sous-ensemble t F de L(V ∗ ) composé des transposées des éléments de F . On peut appliquer la question précédente aux
éléments de t F car ils commutent entre eux : ils possèdent donc un vecteur
propre commun, qui est un élément ϕ "= 0 de V ∗ .
Pour chaque u ∈ F , on peut donc écrire t u(ϕ) = λϕ , càd ϕ ◦ u = λϕ ,
et il est alors clair que l’hyperplan H=Ker ϕ est stable par tout u ∈ F car
ϕ(x) = 0 =⇒ ϕ(u(x)) = 0 .
L’hypothèse de récurrence s’applique alors aux endomorphismes induits
sur H par les éléments de F (qui commutent bien) : ils se trigonalisent,
simultanément, dans une base (e1 , . . . , en−1 ) de H . En complétant cette
base de H par un vecteur en , on obtient une base de V dans laquelle
la matrice de chaque u ∈ F est triangulaire supérieure, ce qui achève la
récurrence :
F est trigonalisable .
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1
5. et 6. Diagonalisation simultanée : On raisonne ici encore par récurrence
sur n ; le résultat est encore évident pour n = 1 et aussi lorsque tous les
éléments de F sont des homothéties.
Sinon, on choisit encore u ∈ F , non homothétie. u étant diagonalisable,
V est la somme directe des sous-espaces propres Vu(λ) de u . Tous ces
sous-espaces propres sont stables par F et de dimension < n. L’hypothèse
de récurrence s’applique alors aux endomorphismes induits sur Vu (λ) par
les éléments de F (qui commutent bien, et qui sont diagonalisables en tant
que restrictions d’endomorphismes diagonalisables) : ils se diagonalisent,
simultanément, dans une base B(λ) de Vu (λ) . La juxtaposition de ces
bases B(λ) fournit alors une base de V dans laquelle tous les éléments de
F ont une matrice diagonale :
Les éléments de F sont simultanément diagonalisables .
PARTIE II
1. Algèbre de dimension 2 : Notons d’abord que (u0 , v0 ) est libre, sinon le
crochet serait nul. (u0 , v0 ) est donc une base de F. En prenant dans F # un
couple (u#0, v0# ) analogue, on définit un isomorphisme d’espaces vectoriels
ϕ de F sur F # par ϕ(u0 ) = u#0 et ϕ(v0 ) = v0# .
En général, cet isomorphisme ne vérifie pas la propriété complémentaire
demandée (càd : ϕ n’est pas un isomorphisme d’algèbres de Lie) : si, en
effet, u = au0 + bv0 et v = cu0 + dv0 sont deux éléments de F , alors :
[u, v] = [au0 + bv0 , cu0 + dv0 ] = (ad − bc)[u0 , v0 ] , donc ϕ([u, v]) =
(ad − bc)ϕ([u0 , v0 ]) ,
alors que :
[ϕ(u), ϕ(v)] = (ad − bc)[ϕ(u0 ), ϕ(v0 )] = (ad − bc)[u#0 , v0# ] .
Il apparaı̂t donc que ϕ convient si et seulement si ϕ([u0 , v0 ]) = [u#0 , v0# ] . Il
nous faut donc commencer par “normaliser” les couples (u0, v0 ) et (u#0 , v0# )
.
Puisque F est une algèbre de Lie, le crochet (u0 , v0) appartient à F :
[u0 , v0] = αu0 + βv0 . Nommons w0 ce crochet (non nul par hypothèse) ;
quitte à échanger u0 et v0 , on peut supposer β "= 0 .
On a alors [u0 , w0 ] = [u0 , αu0 + βv0 )] = β[u0 , v0 ] = βw0 et en considérant
maintenant t0 = u0 /β, on a : [t0, w0 ] = w0 .
Cela montre que, quitte à remplacer (u0 , v0 ) par (t0 , w0 ) , on peut supposer : [u0 , v0 ] = v0 . De même, on peut supposer [u#0 , v0# ] = v0# . Alors,
puisque ϕ(v0) = v0# , l’isomorphisme ϕ vérifie bien la condition supplémentaire
imposée :
Il existe un isomorphisme d’algèbres de Lie de F sur F # .
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2. Suite xk : Procédons par récurrence sur k :
pour k = 0 , v(x0 ) − l(v)x0 est nul par hypothèse et appartient donc au
sous-espace (réduit à 0) engendré par la famille vide . . .
supposons le résultat au rang k ; on peut écrire :
v(xk+1 ) − l(v)xk+1 = vu(xk ) − l(v)u(xk ) = [v, u](xk ) + u(v(xk ) − l(v)xk )
2
= ([v, u](xk )−l([u, v])xk )+l([u, v])xk +u(v(xk )−l(v)xk )
.
Si on examine cette expression :
• Le crochet [v, u] est dans J puisque v ∈ J , donc l’hypothèse de
récurrence assure :
[v, u](xk ) − l([u, v])xk ∈ V ect (x0 , . . . , xk−1 ) ;
• l([u, v])xk est bien sûr dans V ect (x0, . . . , xk ) ;
• enfin, l’hypothèse de récurrence assure que v(xk )−l(v)xk ∈ V ect (x0 , . . . , xk−1)
, donc :
u(v(xk ) − l(v)xk ) ∈ V ect (x0 , . . . , xk ) .
Finalement, on peut conclure : v(xk+1 ) − l(v)xk+1 ∈ V ect (x0 , . . . , xk ) ,
et le résultat est donc établi par récurrence :
∀k ∈ N
∀v ∈ J
v(xk ) − l(v)xk ∈ V ect (x0 , . . . , xk−1 ) .
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3. stabilité de U par J ∪ {u} : La stabilité par u découle de la définition
même des xk .
La stabilité par v ∈ J découle de la question 2. puisqu’on y a établi
v(xk ) ∈ V ect (x0 , . . . , xk ).
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4. expression de l([u, v]) : • D’abord, U possède une base de la forme (x0 , . . . , xq−1 ) :
soit, en effet, q est le plus grand entier tel que (x0 , . . . , xq−1 ) est libre
(cet entier existe car V est de dimension finie) ; alors xq est combinaison
linéaire de (x0 , . . . , xq−1) , de sorte que V ect (x0, . . . , xq−1 ) = U # est
stable par u (il contient l’image par u des vecteurs qui l’engendrent). Dès
lors, cette stabilité assure que U # contient tous les xk , donc contient U .
Finalement U = U # , et la famille envisagée, libre et génératrice, est une
base de U . Notons aussi que dimU=q .
• La question 2. signifie que dans cette base la matrice de la restriction
à U de chaque v ∈ J est triangulaire supérieure, avec tous les éléments
diagonaux égaux à l(v) . Par conséquent, T r(v|U = ql(v) . Comme [u, v]
est aussi dans J , on peut lui appliquer cette égalité :
T r([u, v]|U ) = q l([u, v]) .
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5. Stabilité de W par F : En fait, U étant stable par u et v , la restriction
[u, v]|U est aussi le crochet [u|U , v|U ] . De l’égalité habituelle T r(ab) =
T r(ba) , on déduit que la trace d’un crochet est toujours nulle, donc
T r([u, v]|U ) = 0 . La question précédente donne alors l([u, v] = 0 (q > 0
car x "= 0 ) .
Ceci étant acquis, l’appartenance de x à W et de [u, v] à J nous donne,
par définition même de W : [u, v](x) = 0 , càd vu(x) = uv(x) , ou encore,
puisque v(x) = l(v)x : vu(x) = l(v)u(x). Cette égalité, valant pour tout
v ∈ J , exprime que u(x) ∈ W , et établit donc :
W est stable par tout u ∈ F
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3
6. Résolubilité quand dim F ≤ 2 : • Si [u, v] = 0 pout tout u et v dans F ,
càd si F est commutative, alors la suite {0} ⊂ F convient (notons que
c’est toujours le cas si dim F ≤ 1 ).
• Sinon, on a constaté au II1. que si u0 et v0 dans F vérifient [u0 , v0 ] "= 0
, alors pour tout u et v dans F , [u, v] est colinéaire à w0 = [u0 , v0 ] . La
suite {0} ⊂ Cw0 ⊂ F convient donc.
Toute algèbre de Lie de dimension ≤ 2 est résoluble.
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7. existence d’un idéal de dimension d − 1 : Dans la suite des F i , on peut
supposer F p−1 "= F . Soit alors J un hyperplan de F contenant F p−1 .
C’est un sous-espace de dimension d − 1 et il vérifie bien la propriété qui
en fait un idéal, puisque, contenant F p−1 , il contient tous les crochets
d’éléments de F .
Pour la même raison, J est une algèbre de Lie, et la suite {0} ⊂F 1 ⊂
. . . ⊂F p−1 ⊂ J montre que J est résoluble.
Un idéal J , de dimension d − 1 , lui-même algèbre de Lie résoluble, existe.
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8. existence d’un vecteur propre commun : Procédons par récurrence sur d .
• Pour d = 0 , F =0 et le résultat est évident.
• Si le résultat est acquis pour la dimension d − 1 , il s’applique à l’idéal
J de la question précédente : il existe un vecteur a "= 0 propre pour tous
les éléments de J . Pour tout v ∈ J , il existe donc un complexe l(v) tel
que v(a) = l(v)a .
L’application l : J −→ C ainsi définie est une forme linéaire car composée
de v +−→ v(a) et de λa +−→ λ , linéaires toutes les deux.
Si on introduit le sous-espace W associé à l comme au début de ce II , le
II5. indique que W est stable par F . On peut alors chercher dans W un
vecteur propre commun à tous les éléments de F car W "= 0 (il contient
a) et ses vecteurs sont déjà propres pour tous les éléments de J .
Soit u ∈ F , u ∈
/ J . L’endomorphisme induit par u sur W possède un
vecteur propre b (le corps de base est C et W "= 0 ). On peut obtenir une
base de F en adjoignant à u une base de J . b est alors propre pour tous
les éléments de cette base de F , donc, par combinaison linéaire, pour tous
les éléments de F :
Les éléments de F ont un vecteur propre commun.
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9. F trigonalisable : On procède par récurrence sur n =dim V . Il suffit en
réalité de reprendre le raisonnement du I4. :
t
F est une algèbre de Lie (car [t u, t v] = t [v, u] ), résoluble (car les t F i
fournissent une suite croissante adéquate) ; on lui applique le résultat de
la question 8. ci-dessus, ce qui fournit un vecteur propre pour t F et donc
un hyperplan H stable par F.
On applique alors l’hypothèse de récurrence à l’ensemble des endomorphismes induits sur H par les éléments de F (qui est bien une algèbre
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de Lie résoluble, car toutes les propriétés requises se transmettent, par
stabilité de H , aux endomorphismes induits).
Dès lors, on conclut comme au I4. :
Une algèbre de Lie résoluble est trigonalisable.
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10. Réciproque : Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de trigonalisation commune
pour les éléments de l’algèbre de Lie trigonalisable F , et posons Er =
V ect (e1 , . . . , er ) . Pour tout u ∈ F, on a alors u(Er ) ⊂ Er .
Introduisons les sous-espaces F k , k = 0, 1, . . . , n , de F :
F k ={ u ∈ F ,
∀r = k, . . . , n u(Er ) ⊂ Er−k } .
(matriciellement, F k est formé des éléments de F dont la matrice dans la
base B est triangulaire supérieure lorsque k = 0 , avec, de plus, lorsque
k > 0 , la diagonale principale nulle ainsi que les k − 1 diagonales qui lui
sont immédiatement supérieures.)
Il est immédiat que ce sont des sous-espaces vectoriels de F , que F n = {0}
, F 0 =F et aussi que F k+1 ⊂ F k . On note également que le produit d’un
élément de F k par un élément de F l est dans F k+l (lorsque k + l ≤ n ,
sinon il est nul).
Enfin, soit u et v dans F k . Vérifions que [u, v] ∈F k+1 :
• si k = 0 , les matrices de uv et vu sont triangulaires supérieures, avec la
même diagonale, formée des produits des éléments diagonaux de u et de
v . Ainsi la matrice de uv − vu est triangulaire supérieure et à diagonale
nulle : [u, v] ∈ F 1 .
• si k > 0 , uv et vu sont, comme on l’a dit plus haut, dans F 2k ou nuls,
donc dans F k+1 , et on a bien encore [u, v] ∈ F k+1 .
La suite {0} ⊂ F n ⊂ F n−1 ⊂ . . . ⊂ F 0 = F établit donc :
Toute algèbre de Lie trigonalisable est résoluble.
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11. Application à I4. : Dans l’hypothèse du I , F est une partie commutative
de L(V ). Soit G le sous-espace vectoriel de L(V ) engendré par F .
G est commutatif car ses éléments sont des combinaisons linéaires de ceux
de F . Ceci assure que G est en fait une algèbre de Lie (tous les crochets
sont nuls, donc sont dans G ) et qu’elle est résoluble (en prenant la suite
{0} ⊂ G ).
Le théorème de Lie assure que G est trigonalisable, donc F aussi :
I4. est un corollaire du théorème de Lie.
PARTIE III
1. ad[u,v] = [adu , adv ] : Il s’agit d’une simple vérification du fait que pour
tout w ∈ L(V ) :
!
" !
" !
"
[u, v], w = u, [v, w] − v, [u, w] .
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2. u nilpotent =⇒ adu nilpotent : adu est la différence ϕ − ψ des deux endomorphismes de L(V ) : ϕ : v +−→ uv et ψ : v +−→ vu .
ϕ et ψ sont nilpotents avec u puisque si up = 0 , ϕp (v) = up v = 0 par
exemple.
De plus, ϕ et ψ commutent : ϕψ(v) = ψϕ(v) = uvu .
Il est alors usuel que ϕ − ψ est nilpotent car en calculant par exemple
(ϕ − ψ)2p par la formule du binôme, tous les termes du développement
sont nuls :
Si u nilpotent, adu également.
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3. Application π : La condition imposée définit en fait parfaitement π ,car
pour tout g ∈ G et h ∈ H , on a nécessairement, puisque q(h) = h :
π(g) : h +−→ q([g, h]) , autrement dit : π(g) = q ◦ adg|H .
Ceci prouve l’unicité, et nous définit une application π de G dans L(H)
dont la linéarité est facile à vérifier.
Il reste à voir qu’elle vérifie bien la propriété requise pour tout u ∈ F :
u se décompose en u = u1 + u2 suivant G + H , d’où : π(g)(q(u)) =
π(g)(u2 ) = q([g, u2 ]) .
Or, [g, u] = [g, u1 ] + [g, u2 ] avec [g, u1 ] ∈ G puisque G est une algèbre de
Lie.
Donc q([g, u]) = q([g, u2]) et on a bien :
∀g ∈ G
∀u ∈ F
π(g)(q(u)) = q([g, u])
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4. Propriétés de F # :
• F # est une algèbre de Lie : c’est déjà un sev de L(H) car c’est l’image
de l’application linéaire π .
Il faut d’autre part s’assurer que le crochet [π(g), π(g # )] de deux éléments
π(g) et π(g# ) de F # est dans F # .
Remarquons qu’en remplaçant u par q(u) dans le résultat de la question
précédente, on obtient, puisque q(q(u)) = q(u) : π(g)(q(u)) = q([g, q(u)])
, donc q([g, q(u)]) = q([g, u]) .
On en déduit, pour h ∈ H , le calcul :
π(g)π(g# )(h) = q([g, π(g# )(h)]) = q([g, q([g # , h])] = q([g, [g # , h]])
qui montre : π(g)π(g# ) = q ◦ adg ◦ adg! |H
Par suite, pour le crochet [π(g), π(g# )] : [π(g), π(g# )] = q ◦ [adg , adg! ]|H .
D’après le III1. ce second membre est aussi q ◦ ad[g,g! ]|H , càd π([g, g# ]) et
on peut donc conclure : [π(g), π(g# )] = π([g, g # ]) ∈ F # , ce qui établit que
F # est une algèbre de Lie.
• dim F # <dim F puisque l’on a déjà dim G < dim F .
• En itérant le calcul de π(g)π(g # ) effectué ci-dessus, on obtient : (π(g))k =
q ◦ (adg )k|H . Comme g est nilpotent, adg aussi (III2.), donc π(g)) aussi :
Tout élément de F # est nilpotent.
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5. Existence de G1 et de F1 : On organise donc un raisonnement par récurrence.
L’hypothèse de récurrence s’applique à l’algèbre F # de la question précédente :
il existe un élément non nul u de V # = H tel que π(g)(u) = 0 pour tout
g ∈ G . Par définition de π , cela signifie q([g, u]) = 0 , càd [g, u] ∈ G .
#
Posons alors G1 = G Ku : c’est un sev de F , de dimension 1+dim G .
G1 est stable par le crochet d’après le choix de u , car on a même, pour
v = g+λu et v # = g# +λ# u dans G1 : [v, v # ] = [g, g # ]+λ# [g, u]−λ[g# , u] ∈ G :
G1 est donc une algèbre de Lie, et G en est un idéal.
Partant de G = {0} , on peut donc obtenir par application répétée du
procédé, une suite :
G ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gd−1 ⊂ Gd =F où dim Gk = k et Gk idéal de Gk+1 . En
particulier :
F 1 = Gd−1 est un idéal de F de dimension d − 1 .
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6. Théorème d’Engel : • Pour d = 1 , le résultat est vrai, puisque F= Ku ,
avec u nilpotent : il suffit de choisir x "= 0 dans le noyau de u .
• Pour d > 1 , on peut déjà appliquer l’hypothèse de récurrence à F 1 :
il existe$x "= 0 tel que u(x) = 0 pour tout u ∈ F 1 , autrement dit le sev
W =
Ker u n’est pas réduit à {0} .
u∈F1
Montrons que W est stable par F :
soit x ∈ W et v ∈ F ; pour tout u ∈ F 1 : u(v(x)) = [u, v](x) + vu(x) = 0
puisque [u, v] ∈ F 1 , et v(x) est donc bien dans W .
Si alors on choisit v ∈ F , avec v ∈
/ F 1 , l’endomorphisme induit sur W par
v est nilpotent comme v , et on peut donc choisir x "= 0 dans son noyau.
x est alors annulé par v et par tous les éléments de F 1 . Comme v ∈
/ F1
, tout élément de F s’écrit u + λv avec u ∈ F 1 et λ ∈ K , de sorte que x
se trouve dans le noyau de tout élément de F :
Le théorème d’Engel est ainsi établi par récurrence.
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7. F est trigonalisable : Le théorème d’Engel nous donne notamment un
vecteur propre commun à tous les éléments de F . En conduisant un
raisonnement par récurrence sur dim V analogue à ceux de I4. et II9. , on
établit :
Toute algèbre de Lie d’endomorphismes nilpotents est trigonalisable.
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