Corrigé

application 2π-p´eriodique
ENS Lyon M’1 90 : Th´eor`emes de Lie et d’Engel
———
PARTIE I
1. N´ecessit´e de vecteur propre commun : Le premier vecteur d’une base com-
mune de trigonalisation est effectivement un vecteur propre commun `a tous
les ´el´ements de F: la condition est donc bien n´ecessaire.
—————
2. stabilit´e de Vu(λ) par F: usuel.
—————
3. Existence d’un vecteur propre commun : proc´edons par r´ecurrence sur la
dimension nde V:
Si n=1 , le r´esultat est imm´ediat car tout vecteur non nul est propre pour
tout endomorphisme.
Si n>1 et si tous les ´el´ements de Fsont des homoth´eties, le r´esultat est
encore ´evident.
Sinon, on choisit u∈Fnon homoth´etie et λl’une de ses valeurs propres
(elle existe car nous sommes sur C) . Le sous-espace Vu(λ) est strictement
inclus dans V, donc de dimension <n, et il est stable par F. On peut
alors appliquer l’hypoth`ese de r´ecurrence aux endomorphismes induits sur
Vu(λ) par les ´el´ements de F(qui commutent bien) : ils poss`edent un
vecteur propre commun, ce qui donne le r´esultat voulu :
Les ´el´ements de Fposs`edent un vecteur propre commun .
—————
4. Ftrigonalisable : On proc`ede par r´ecurrence sur n, matriciellement, ou
bien en utilisant les transpos´ees :
Pour n=1 , le r´esultat est ´evident.
Si n>1 , consid´erons le sous-ensemble tFde L(V∗) compos´e des trans-
pos´ees des ´el´ements de F. On peut appliquer la question pr´ec´edente aux
´el´ements de tFcar ils commutent entre eux : ils poss`edent donc un vecteur
propre commun, qui est un ´el´ement ϕ"= 0 de V∗.
Pour chaque u∈F, on peut donc ´ecrire tu(ϕ)=λϕ ,c`adϕ◦u=λϕ ,
et il est alors clair que l’hyperplan H=Ker ϕest stable par tout u∈Fcar
ϕ(x)=0=⇒ϕ(u(x)) = 0 .
L’hypoth`ese de r´ecurrence s’applique alors aux endomorphismes induits
sur Hpar les ´el´ements de F(qui commutent bien) : ils se trigonalisent,
simultan´ement, dans une base (e1,... ,e
n−1) de H. En compl´etant cette
base de Hpar un vecteur en, on obtient une base de Vdans laquelle
la matrice de chaque u∈Fest triangulaire sup´erieure, ce qui ach`eve la
r´ecurrence :
Fest trigonalisable .
—————
1

5. et 6. Diagonalisation simultan´ee : On raisonne ici encore par r´ecurrence
sur n; le r´esultat est encore ´evident pour n= 1 et aussi lorsque tous les
´el´ements de Fsont des homoth´eties.
Sinon, on choisit encore u∈F, non homoth´etie. u´etant diagonalisable,
Vest la somme directe des sous-espaces propres Vu(λ) de u. Tous ces
sous-espaces propres sont stables par Fet de dimension <n. L’hypoth`ese
de r´ecurrence s’applique alors aux endomorphismes induits sur Vu(λ) par
les ´el´ements de F(qui commutent bien, et qui sont diagonalisables en tant
que restrictions d’endomorphismes diagonalisables) : ils se diagonalisent,
simultan´ement, dans une base B(λ) de Vu(λ) . La juxtaposition de ces
bases B(λ) fournit alors une base de Vdans laquelle tous les ´el´ements de
Font une matrice diagonale :
Les ´el´ements de Fsont simultan´ement diagonalisables .
PARTIE II
1. Alg`ebre de dimension 2 : Notons d’abord que (u0,v
0) est libre, sinon le
crochet serait nul. (u0,v
0) est donc une base de F. En prenant dans F#un
couple (u#
0,v
#
0) analogue, on d´efinit un isomorphisme d’espaces vectoriels
ϕde Fsur F#par ϕ(u0)=u#
0et ϕ(v0)=v# 0.
En g´en´eral, cet isomorphisme ne v´erifie pas la propri´et´e compl´ementaire
demand´ee (c`ad : ϕn’est pas un isomorphisme d’alg`ebres de Lie) : si, en
effet, u=au0+bv0et v=cu0+dv0sont deux ´el´ements de F, alors :
[u, v]=[au0+bv0, cu0+dv0]=(ad −bc)[u0,v
0] , donc ϕ([u, v]) =
(ad −bc)ϕ([u0,v
0]) ,
alors que :
[ϕ(u),ϕ(v)] = (ad −bc)[ϕ(u0),ϕ(v0)] = (ad −bc)[u#
0,v
#
0].
Il apparaˆıt donc que ϕconvient si et seulement si ϕ([u0,v
0]) = [u#
0,v# 0] . Il
nous faut donc commencer par “normaliser” les couples (u0,v
0) et (u#
0,v# 0)
.
Puisque Fest une alg`ebre de Lie, le crochet (u0,v
0) appartient `a F:
[u0,v
0]=αu0+βv0. Nommons w0ce crochet (non nul par hypoth`ese) ;
quitte `a ´echanger u0et v0, on peut supposer β"=0.
On a alors [u0,w
0]=[u0,αu0+βv0)] = β[u0,v 0]=βw0et en consid´erant
maintenant t0=u0/β, on a : [t0,w
0]=w0.
Cela montre que, quitte `a remplacer (u0,v
0) par (t0,w 0) , on peut sup-
poser : [u0,v
0]=v0. De mˆeme, on peut supposer [u#
0,v# 0]=v# 0. Alors,
puisque ϕ(v0)=v#
0, l’isomorphisme ϕv´erifie bien la condition suppl´ementaire
impos´ee :
Il existe un isomorphisme d’alg`ebres de Lie de Fsur F#.
—————
2. Suite xk: Proc´edons par r´ecurrence sur k:
pour k=0,v(x0)−l(v)x0est nul par hypoth`ese et appartient donc au
sous-espace (r´eduit `a 0) engendr´e par la famille vide ...
supposons le r´esultat au rang k; on peut ´ecrire :
v(xk+1)−l(v)xk+1 =vu(xk)−l(v)u(xk)=[v, u](xk)+u(v(xk)−l(v)xk)
2

= ([v, u](xk)−l([u, v])xk)+l([u, v])xk+u(v(xk)−l(v)xk)
.
Si on examine cette expression :
•Le crochet [v, u] est dans Jpuisque v∈J, donc l’hypoth`ese de
r´ecurrence assure :
[v, u](xk)−l([u, v])xk∈V ect (x0,... ,x
k−1);
•l([u, v])xkest bien sˆur dans V ect (x0,... ,x
k);
•enfin, l’hypoth`ese de r´ecurrence assure que v(xk)−l(v)xk∈V ect (x0,... ,x
k−1)
, donc :
u(v(xk)−l(v)xk)∈V ect (x0,... ,x
k).
Finalement, on peut conclure : v(xk+1)−l(v)xk+1 ∈V ect (x0,... ,x
k),
et le r´esultat est donc ´etabli par r´ecurrence :
∀k∈N∀v∈Jv(xk)−l(v)xk∈V ect (x0,... ,x
k−1).
—————
3. stabilit´e de Upar J∪{u}: La stabilit´e par ud´ecoule de la d´efinition
mˆeme des xk.
La stabilit´e par v∈Jd´ecoule de la question 2. puisqu’on y a ´etabli
v(xk)∈V ect (x0,... ,x
k).
—————
4. expression de l([u, v]) : •D’abord, Uposs`ede une base de la forme (x0,... ,x
q−1):
soit, en effet, qest le plus grand entier tel que (x0,... ,x
q−1) est libre
(cet entier existe car Vest de dimension finie) ; alors xqest combinaison
lin´eaire de (x0,... ,x
q−1) , de sorte que V ect (x0,... ,x q−1)=U#est
stable par u(il contient l’image par udes vecteurs qui l’engendrent). D`es
lors, cette stabilit´e assure que U#contient tous les xk, donc contient U.
Finalement U=U#, et la famille envisag´ee, libre et g´en´eratrice, est une
base de U. Notons aussi que dimU=q.
•La question 2. signifie que dans cette base la matrice de la restriction
`a Ude chaque v∈Jest triangulaire sup´erieure, avec tous les ´el´ements
diagonaux ´egaux `a l(v) . Par cons´equent, Tr(v|U=ql(v) . Comme [u, v]
est aussi dans J, on peut lui appliquer cette ´egalit´e :
Tr([u, v]|U)=ql([u, v]) .
—————
5. Stabilit´e de Wpar F: En fait, U´etant stable par uet v, la restriction
[u, v]|Uest aussi le crochet [u|U,v
|U] . De l’´egalit´e habituelle Tr(ab)=
Tr(ba) , on d´eduit que la trace d’un crochet est toujours nulle, donc
Tr([u, v]|U) = 0 . La question pr´ec´edente donne alors l([u, v]=0(q>0
car x"=0).
Ceci ´etant acquis, l’appartenance de x`a Wet de [u, v]`aJnous donne,
par d´efinition mˆeme de W:[u, v](x)=0,c`advu(x)=uv(x) , ou encore,
puisque v(x)=l(v)x:vu(x)=l(v)u(x). Cette ´egalit´e, valant pour tout
v∈J, exprime que u(x)∈W, et ´etablit donc :
West stable par tout u∈F
—————
3

6. R´esolubilit´e quand dim F≤2 : •Si [u, v] = 0 pout tout uet vdans F,
c`ad si Fest commutative, alors la suite {0}⊂Fconvient (notons que
c’est toujours le cas si dim F≤1 ).
•Sinon, on a constat´e au II1. que si u0et v0dans Fv´erifient [u0,v
0]"=0
, alors pour tout uet vdans F,[u, v] est colin´eaire `a w0=[u0,v
0] . La
suite {0}⊂Cw0⊂Fconvient donc.
Toute alg`ebre de Lie de dimension ≤2est r´esoluble.
—————
7. existence d’un id´eal de dimension d−1 : Dans la suite des Fi, on peut
supposer Fp−1"=F. Soit alors Jun hyperplan de Fcontenant Fp−1.
C’est un sous-espace de dimension d−1 et il v´erifie bien la propri´et´e qui
en fait un id´eal, puisque, contenant Fp−1, il contient tous les crochets
d’´el´ements de F.
Pour la mˆeme raison, Jest une alg`ebre de Lie, et la suite {0}⊂F1⊂
...⊂Fp−1⊂Jmontre que Jest r´esoluble.
Un id´eal J, de dimension d−1, lui-mˆeme alg`ebre de Lie r´esoluble, existe.
—————
8. existence d’un vecteur propre commun : Proc´edons par r´ecurrence sur d.
•Pour d=0,F=0 et le r´esultat est ´evident.
•Si le r´esultat est acquis pour la dimension d−1 , il s’applique `a l’id´eal
Jde la question pr´ec´edente : il existe un vecteur a"= 0 propre pour tous
les ´el´ements de J. Pour tout v∈J, il existe donc un complexe l(v) tel
que v(a)=l(v)a.
L’application l:J−→ Cainsi d´efinie est une forme lin´eaire car compos´ee
de v+−→ v(a) et de λa+−→ λ, lin´eaires toutes les deux.
Si on introduit le sous-espace Wassoci´e `a lcomme au d´ebut de ce II , le
II5. indique que West stable par F. On peut alors chercher dans Wun
vecteur propre commun `a tous les ´el´ements de Fcar W"= 0 (il contient
a) et ses vecteurs sont d´ej`a propres pour tous les ´el´ements de J.
Soit u∈F,u/∈J. L’endomorphisme induit par usur Wposs`ede un
vecteur propre b(le corps de base est Cet W"= 0 ). On peut obtenir une
base de Fen adjoignant `a uune base de J.best alors propre pour tous
les ´el´ements de cette base de F, donc, par combinaison lin´eaire, pour tous
les ´el´ements de F:
Les ´el´ements de Font un vecteur propre commun.
—————
9. Ftrigonalisable : On proc`ede par r´ecurrence sur n=dim V. Il suffit en
r´ealit´e de reprendre le raisonnement du I4. :
tFest une alg`ebre de Lie (car [tu, tv]=t[v,u] ), r´esoluble (car les tFi
fournissent une suite croissante ad´equate) ; on lui applique le r´esultat de
la question 8. ci-dessus, ce qui fournit un vecteur propre pour tFet donc
un hyperplan Hstable par F.
On applique alors l’hypoth`ese de r´ecurrence `a l’ensemble des endomor-
phismes induits sur Hpar les ´el´ements de F(qui est bien une alg`ebre
4

de Lie r´esoluble, car toutes les propri´et´es requises se transmettent, par
stabilit´e de H, aux endomorphismes induits).
D`es lors, on conclut comme au I4. :
Une alg`ebre de Lie r´esoluble est trigonalisable.
—————
10. R´eciproque : Soit B=(e1,... ,e
n) une base de trigonalisation commune
pour les ´el´ements de l’alg`ebre de Lie trigonalisable F, et posons Er=
V ect (e1,... ,e
r) . Pour tout u∈F, on a alors u(Er)⊂Er.
Introduisons les sous-espaces Fk,k=0,1,... ,n , de F:
Fk={u∈F,∀r=k, .. . , n u(Er)⊂Er−k}.
(matriciellement, Fkest form´e des ´el´ements de Fdont la matrice dans la
base Best triangulaire sup´erieure lorsque k= 0 , avec, de plus, lorsque
k>0 , la diagonale principale nulle ainsi que les k−1 diagonales qui lui
sont imm´ediatement sup´erieures.)
Il est imm´ediat que ce sont des sous-espaces vectoriels de F, que Fn={0}
,F0=Fet aussi que Fk+1 ⊂Fk. On note ´egalement que le produit d’un
´el´ement de Fkpar un ´el´ement de Flest dans Fk+l(lorsque k+l≤n,
sinon il est nul).
Enfin, soit uet vdans Fk. V´erifions que [u, v]∈Fk+1 :
•si k= 0 , les matrices de uv et vu sont triangulaires sup´erieures, avec la
mˆeme diagonale, form´ee des produits des ´el´ements diagonaux de uet de
v. Ainsi la matrice de uv −vu est triangulaire sup´erieure et `a diagonale
nulle : [u, v]∈F1.
•si k>0,uv et vu sont, comme on l’a dit plus haut, dans F2kou nuls,
donc dans Fk+1 , et on a bien encore [u, v]∈Fk+1 .
La suite {0}⊂Fn⊂Fn−1⊂...⊂F0=F´etablit donc :
Toute alg`ebre de Lie trigonalisable est r´esoluble.
—————
11. Application `a I4. : Dans l’hypoth`ese du I , Fest une partie commutative
de L(V). Soit Gle sous-espace vectoriel de L(V) engendr´e par F.
Gest commutatif car ses ´el´ements sont des combinaisons lin´eaires de ceux
de F. Ceci assure que Gest en fait une alg`ebre de Lie (tous les crochets
sont nuls, donc sont dans G) et qu’elle est r´esoluble (en prenant la suite
{0}⊂G).
Le th´eor`eme de Lie assure que Gest trigonalisable, donc Faussi :
I4. est un corollaire du th´eor`eme de Lie.
PARTIE III
1. ad[u,v]=[adu, adv] : Il s’agit d’une simple v´erification du fait que pour
tout w∈L(V):
![u, v],w"=!u, [v,w]"−!v,[u, w]".
—————
5