Les nombres complexes (forme algébrique)

Les nombres complexes (forme algébrique)
I.
L'ensemble C
I des nombres complexes.
1)
def :
Notion de nombre complexe.
Soit i le nombre "imaginaire" tel que i ² = – 1 .
L'ensemble CI des nombres complexes est l'ensemble des nombres de la forme a + ib où a∈IR et b∈IR.
L'écriture z = a + ib (avec a et b réels) s'appelle la forme algébrique de z.
a désigne la partie réelle de z : a = Re(z).
b désigne la partie imaginaire de z : b = Im(z). Attention, Im(z) est un réel.
ex :
1 ) z = 3 – 5i
3
2) z=i 2 +
2
3) z=4+ 3
Re(z) = ...............
Im(z) = ........................
Re(z) = ...............
Im(z) = ........................
Re(z) = ...............
Im(z) = ........................
rmq : L'ensemble CI contient l'ensemble IR, car tout réel x peut s’écrire x + 0i.
IN ⊂ ZZ ⊂ ID ⊂ Q
I ⊂ IR ⊂ CI
def :
Lorsque b = 0, on dit que z est un réel.
Lorsque a = 0, on dit que z est un imaginaire pur et on note i IR l’ensemble des imaginaires purs.
0 est à la fois réel et imaginaire pur. ( 0 ∈ IR et 0 ∈ iIR )
prop : Deux complexes sont égaux ssi ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
a=0
 a = a'
Pour résoudre une équation : ⃝
1 a + ib = 0 ⇔  b = 0
2 a + ib = a' + ib' ⇔  b = b'
⃝


2)
Opérations dans C.
I
prop : L'addition et la multiplication dans l'ensemble CI obéissent aux mêmes règles de calcul que dans
l'ensemble IR. Les identités remarquables restent valables dans C.
I
ex : Soient z = -1 + 2i et z ' = 7 – 3i , calculer :
a ) z + z ' = (-1 + 2i) + (7 – 3i)
b ) z × z ' = (-1 + 2i) × (7 – 3i)
ex : Donner la forme algébrique de : -2i × (-3 + i 2)
ex : a ) Calculer (1 + 2i)(1 - 2i).
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b ) En déduire que
1
1
2
= –i
1+2i 5
5
1
ex : Mettre sous forme algébrique : (dans une forme algébrique il n'y a pas de i au dénominateur)
1
1 + 4i
=
=
3 – 2i
2 + 3i
rmq : Re(z + z') = Re(z) + Re(z')
Re(-z) = – Re(z)
Im(z + z') = Im(z) + Im(z')
Im(-z) = – Im(z)
ex : Re[(2 – i) + (-5 + 2i)] = ......................
Im[(2 – i) + (-5 + 2i)] = ......................
1
z
rmq : – z est dit l’opposé de z.
3)
def :
est dit l’inverse de z (pour z ≠ 0).
Conjugué d'un nombre complexe.
Soit z = a + ib (a et b réels), on appelle conjugué de z le nombre complexe −z = a – ib .
ex : -1 + 2i = ..............
i + 2 = .....................
-24 = .....................
méthode :
Pour trouver la forme algébrique d'un quotient, on multiplie le numérateur et dénominateur par le
conjugué du dénominateur.
z + −z
prop :
z + −z = 2 Re(z) = 2 a
donc
Re(z) =
2
z – −z
z – −z = i 2 Im(z) = i 2 b
donc
Im(z) =
2i
z . −z = a² + b²
thm : 1 ) z est un nombre réel (z ∈IR) ssi
−z = z.
2 ) z est un nombre imaginaire pur (z ∈ i IR) ssi −z = – z.
z – −z
z + −z
dt : Rappelons que Im(z) =
et Re(z) =
2i
2
1 z est réel ⇔ Im(z) = 0 ⇔ z – −z = 0
2 z est imaginaire pur ⇔ Re(z) = 0 ⇔ z + −z = 0
⃝
⃝
prop : Pour tous nombres complexes z et z' , pour tout entier n :
1 ) −z = z
2 ) z + z' = −z + −z'
3 ) z × z' = −z × −z'
−z
n
1
1
z
4 ) si z ≠ 0,   = −
5 ) si z'≠0,   = −
6 ) z n = −z
z
z'
z 
z'
dt : z = a + ib et z' = a' + i b' avec a, b, a’, b’ réels [ROC au bac juin 2014 (prop 3° et 6°) ]
1 ) −z = a - ib = a + ib = z
2 ) z + z' = (a+ib)+(a'+ib') = (a+a') + i(b+ b') = (a+a') – i(b+b') = (a–ib)+(a'–ib') = −z+−z'
3 ) Pour montrer l’égalité, on calcule séparément les formes algébriques de z × z' et −z × −z'
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z × z' = (a + ib) × (a' + ib')
= aa'-bb' + i(ab'+a'b)
= aa'-bb' – i(ab'+a'b)
−z × −z' = (a – ib ) × (a' – i b')
= aa' – i ab' – ia'b – bb'
= aa'-bb' – i(ab'+a'b)
Conclusion :
z × z' = −z × −z'
1
1
1
donc d'après 3° −z ×   = 1
d'où   = −
z 
z  z
−z
1
1
z
1
5 ) si z'≠0,   = z × = −z ×   = −z × − = − (d'après 3° et 4° )
z'
z'
z'
z'
z'
6)
4 ) (z ≠0) on a
z×
1
= 1 =1
z
4 – 3i 
ex : a ) 
 = ............
 2+i 
5z² – i + 4iz
b)Z= −
5 z + 2i + 4
Z = .................
c ) Montrer que Z1 et Z2 sont réels ou imaginaires purs.
2z² + 2−z ²
Z1 = 4i (z3 – −z 3) + 6
Z2 =
3 i z −z + i
4)
Résolution d'une équation du second degré dans C.
I
Introduction : comme l'équation x²= – 1 (qui n'a pas de solution réelle) a des solutions dans CI alors les équations
du type a x 2 + b x + c = 0 ayant ∆ < 0 (qui n'ont pas de solution réelle) ont peut-être des solutions dans C.
I
Activité découverte : Soit l'équation (z + 3)² + 25 = 0 ; factoriser dans CI et résoudre.
Généralisation : Soit (E) l’équation a z 2 + b z + c = 0 avec a, b, c des coefficients réels et a ≠ 0.
On notera : ∆ = b 2 – 4ac
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b
c
(E) ⇔ z 2 + z + = 0
a
a
⇔
z + b 2 – b² + c = 0 ⇔

2a
4a ²
a

z + b 2 –

2a

 b² – c ×4a  = 0
4a ² a ×4a 


z + b 2 – ∆ = 0 (la forme canonique)

2a 4a ²




b
b
si ∆ > 0 : alors (E) est équivalente à z +
– ∆  z +
+ ∆ = 0 ;
2a
2a  
2a
2a 

–b+ ∆
–b– ∆
donc z =
ou z =
(deux solutions réelles).
2a
2a
⇔
b 2
b
si ∆ = 0 : alors (E) est équivalente à z +  = 0 ; donc z = –
(une solution réelle).
2a
2a

2
- ∆ existe et on va utiliser (i - ∆ ) = …………………………
i -∆ 2

b 2
b i -∆  
b i -∆
(E) ⇔ z +  – 
 = 0 ⇔ z + –
 z + +
=0
2a
2a
2a  
2a
2a 

 2a 

– b + i -∆
– b – i -∆
donc z =
ou z =
(deux solutions complexes conjuguées).
2a
2a
thm – synthèse : Soit l'équation a z 2 + b z + c = 0. Avec z ∈ CI et a, b, c réels
si ∆ < 0 : alors
Notons ∆ le discriminant : ∆ = b 2 – 4ac (∆ est un réel)
si ∆ > 0 : deux solutions réelles :
x1 =
si ∆ = 0 : une solution réelle double :
–b– ∆
et
2a
x0 = –
x2 =
–b+ ∆
2a
b
2a
si ∆ < 0 : 2 solutions complexes conjuguées (non-réelles) : z 1 =
– b – i -∆
2a
ex : Résoudre – z 2 + 2 z – 5 = 0.
b ) dans CI
a ) dans IR
et
z2 =
– b + i -∆
2a
NB : Il n'y a pas de relation d'ordre dans C,
I c'est à dire qu'un complexe (non réel) ne peut être ni supérieur ou
inférieur à un autre, ni positif ou négatif. Donc il n'y a pas d'inéquation dans C.
I
5)
Factorisation d’un polynôme.
thm : Soit P(z) un polynôme quelconque de CI (les coefficients peuvent être complexes).
Si α est une racine (α ∈ C)
I du polynôme P(z) alors P(z) se factorise par (z – α).
thm : En notant P(z) = a z 2 + b z + c (avec a, b, c réels et a ≠ 0) et en utilisant les notations précédentes ; il est
toujours possible de factoriser P(z) dans CI :
si ∆ > 0 : P(z) = a (z – x1)(z – x2) .
si ∆ = 0 : P(z) = a (z – x0)² .
si ∆ < 0 : P(z) = a (z – z1)(z – z2) .
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II.
Représentation géométrique d'un nombre complexe.

→

→
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O,e1,e2).
1)
Affixe d'un point. Affixe d'un vecteur.
def : L'affixe du point M de coordonnées (a ; b) est le complexe z = a + ib.
L'image du complexe z = a + ib est le point M(a ; b)
On note : M(a + ib) ou zM = a + ib

→
def : L'affixe du vecteur u de coordonnées (a ; b) est le complexe z = a + ib.

→
On note : u (a + ib) ou z u = a + ib.
→

ex : 1° ) Lire les affixes des points ci-contre.
→
→
→
→
2° ) Lire les affixes des vecteurs BC ; CF ; DB et AE .
rmq : L'axe des abscisses est appelé axe des réels.
L'axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.
2)
Propriétés.
prop : Le point N d'affixe −z est le symétrique par rapport à ……………….. du point M(z).
Le point P d'affixe -z est le symétrique par rapport à ……………….. du point M(z).
Le point Q d'affixe ...... est le symétrique par rapport à .................................. de M(z).
→
→
thm : Soient les vecteurs u(z)
et v(z’).
Soit k un réel.
Soient les points A(zA) et B(zB).
1 ) - u→ (-z) [ l’affixe de - u→ est -z ]
2 ) k u→ (kz) [ l'affixe de k u→ est kz ]
→

3 ) u+
v→ ( z + z')
4 ) u→ = v→ ⇔ z = z’ [ Deux vecteurs sont égaux ⇔ ils ont la même affixe ]
5) z
→
AB
= zB – zA
6 ) L'affixe du milieu I du segment [AB] est
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zI =
zA + zB
2
5