Les nombres complexes (forme algébrique)

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Les nombres complexes (forme algébrique)
I. L'ensemble IC des nombres complexes.
1 ) Notion de nombre complexe.
def : Soit i le nombre "imaginaire" tel que i ² = – 1 .
L'ensemble IC des nombres complexes est l'ensemble des nombres de la forme a + ib où a∈IR et b∈IR.
L'écriture z = a + ib (avec a et b réels) s'appelle la forme algébrique de z.
 a désigne la partie réelle de z : a = Re(z).
 b désigne la partie imaginaire de z : b = Im(z). Attention, Im(z) est un réel.
rmq : L'ensemble IC contient l'ensemble IR, car tout réel x peut s’écrire x + 0i.
IN ⊂ ZZ ⊂ ID ⊂ IQ ⊂ IR ⊂ IC
def : Lorsque b = 0, on dit que z est un réel.
Lorsque a = 0, on dit que z est un imaginaire pur et on note i IR l’ensemble des imaginaires purs.
0 est à la fois réel et imaginaire pur. ( 0 ∈ IR et 0 ∈ iIR )
prop : Deux complexes sont égaux ssi ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
Pour résoudre une équation :
⃝
1 a + ib = 0 ⇔ a = 0
b = 0
⃝
2 a + ib = a' + ib' ⇔ a = a'
b = b'
2 ) Opérations dans IC.
prop : L'addition et la multiplication dans l'ensemble IC obéissent aux mêmes règles de calcul que dans
l'ensemble IR. Les identités remarquables restent valables dans IC.
ex : a ) Calculer (1 + 2i)(1 - 2i).
b ) En déduire que 1
1+2i = 1 5 – i 2 5
ex : Donner la forme algébrique de : -2i × (-3 + i 2)
ex : Soient z = -1 + 2i et z ' = 7 – 3i , calculer :
a ) z + z ' = (-1 + 2i) + (7 – 3i) b ) z
×
z ' = (-1 + 2i)
×
(7 – 3i)
ex : 1 ) z = 3 – 5i Re(z) = ............... Im(z) = ........................
2 ) z = i 2 + 3
2 Re(z) = ............... Im(z) = ........................
3 ) z = 4
+
3
Re(z) = ............... Im(z) = ........................

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rmq : Re(z + z') = Re(z) + Re(z')
Re(-z) = – Re(z)
Im(z + z') = Im(z) + Im(z')
Im(-z) = – Im(z)
rmq : – z est dit l’opposé de z. 1
z est dit l’inverse de z (pour z ≠ 0).
3 ) Conjugué d'un nombre complexe.
def : Soit z = a + ib (a et b réels), on appelle conjugué de z le nombre complexe − z = a – ib .
méthode : Pour trouver la forme algébrique d'un quotient, on multiplie le numérateur et dénominateur par le
conjugué du dénominateur.
prop :  z + − z = 2 Re(z) = 2 a donc Re(z) = z + −
z
2
 z – − z = i 2 Im(z) = i 2 b donc Im(z) = z – −
z
2 i
 z . − z = a² + b²
thm : 1 ) z est un nombre réel (z ∈IR) ssi − z = z.
2 ) z est un nombre imaginaire pur (z ∈ i IR) ssi − z = – z.
dt : Rappelons que Im(z) = z – −
z
2i et Re(z) = z + −
z
2
⃝
1 z est réel ⇔ Im(z) = 0 ⇔ z – − z = 0
⃝
2 z est imaginaire pur ⇔ Re(z) = 0 ⇔ z + − z = 0
prop : Pour tous nombres complexes z et z' , pour tout entier n :
1 ) − z = z 2 ) z + z' = − z + − z' 3 ) z × z' = − z × − z'
4 ) si z ≠ 0, 
1
z = 1 − z 5 ) si z'≠0, 
z
z' =
−
z
− z' 6 ) z
n
= − z
n
dt : z = a + ib et z' = a' + i b' avec a, b, a’, b’ réels [ROC au bac juin 2014 (prop 3° et 6°) ]
1 ) − z = a - ib = a + ib = z
2 ) z + z' = (a+ib)+(a'+ib') = (a+a') + i(b+ b') = (a+a') – i(b+b') = (a–ib)+(a'–ib') = − z+− z'
3 ) Pour montrer l’égalité, on calcule séparément les formes algébriques de z × z' et − z × − z'
ex : -1 + 2i = .............. i + 2 = ..................... -24 = .....................
ex : Re[(2 – i) + (-5 + 2i)] = ......................
Im[(2 – i) + (-5 + 2i)] = ......................
ex : Mettre sous forme algébrique : (dans une forme algébrique il n'y a pas de i au dénominateur)
1
2 + 3i = 1 + 4i 3 – 2i =

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z × z' = (a + ib) × (a' + ib')
= aa'-bb' + i(ab'+a'b)
= aa'-bb' – i(ab'+a'b)
−
z × − z' = (a – ib ) × (a' – i b')
= aa' – i ab' – ia'b – bb'
= aa'-bb' – i(ab'+a'b)
Conclusion :
z × z' = − z × − z'
4 ) (z ≠0) on a z × 1
z = 1 = 1 donc d'après 3° −
z × 
1
z = 1 d'où 
1
z = 1
−
z
5 ) si z'≠0, 
z
z' = z × 1 z' = −
z × 
1
z' = −
z × 1
− z' =
−
z
− z' (d'après 3° et 4° )
6 )
4 ) Résolution d'une équation du second degré dans IC.
Introduction : comme l'équation x²= – 1 (qui n'a pas de solution réelle) a des solutions dans IC alors les équations
du type a x
2
+ b x + c = 0 ayant ∆ < 0 (qui n'ont pas de solution réelle) ont peut-être des solutions dans IC.
Activité découverte : Soit l'équation (z + 3)² + 25 = 0 ; factoriser dans IC et résoudre.
Généralisation : Soit (E) l’équation a z
2
+ b z + c = 0 avec a, b, c des coefficients réels et a ≠ 0.
On notera : ∆ = b
2
– 4ac
ex : a ) 
4 – 3i
2 + i = ............ b ) Z = 5z²
– i + 4iz
5− z + 2i + 4 Z = .................
c ) Montrer que Z
1
et Z
2
sont réels ou imaginaires purs.
Z
1
= 4i (z
3
– − z
3
) + 6 Z
2
= 2z² + 2−
z ²
3 i z
−
z + i

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(E) ⇔ z
2
+ b
a z + c a = 0 ⇔ 
z + b
2a
2
– b²
4a ² + c a = 0 ⇔ 
z + b
2a
2
– 
b²
4a ² – c ×4a a ×4a = 0
⇔  z + b
2a
2
– ∆
4a ² = 0
(la forme canonique)
 si ∆
∆∆
∆ > 0 : alors (E) est équivalente à  z + b
2a – ∆ 2a 
z + b
2a + ∆ 2a = 0 ;
donc z = – b + ∆
2a ou z = – b – ∆ 2a (deux solutions réelles).
 si ∆
∆∆
∆ = 0 : alors (E) est équivalente à  z + b
2a
2
= 0 ; donc z = – b
2a (une solution réelle).
 si ∆
∆∆
∆ < 0 : alors - ∆ existe et on va utiliser ( )i - ∆
2
= …………………………
(E) ⇔  z + b
2a
2
– 
i -∆
2a
2
= 0 ⇔  z + b
2a – i -∆ 2a 
z + b
2a + i -∆ 2a = 0
donc z = – b + i -∆
2a ou z = – b – i -∆ 2a (deux solutions complexes conjuguées).
thm – synthèse : Soit l'équation a z
2
+ b z + c = 0. Avec z ∈ IC et a, b, c réels
Notons ∆ le discriminant : ∆ = b
2
– 4ac (∆ est un réel)
 si ∆
∆∆
∆ > 0 : deux solutions réelles : x
1
= – b – ∆
2a et x
2
= – b + ∆
2a
 si ∆
∆∆
∆ = 0 : une solution réelle double : x
0
= – b
2a
 si ∆
∆∆
∆ < 0 : 2 solutions complexes conjuguées (non-réelles) : z
1
= – b – i -∆
2a et z
2
= – b + i -∆
2a
NB : Il n'y a pas de relation d'ordre dans IC, c'est à dire qu'un complexe (non réel) ne peut être ni supérieur ou
inférieur à un autre, ni positif ou négatif. Donc il n'y a pas d'inéquation dans IC.
5 ) Factorisation d’un polynôme.
thm : Soit P(z) un polynôme quelconque de IC (les coefficients peuvent être complexes).
Si α est une racine (α ∈ IC) du polynôme P(z) alors P(z) se factorise par (z – α).
thm : En notant P(z) = a z
2
+ b z + c (avec a, b, c réels et a ≠ 0) et en utilisant les notations précédentes ; il est
toujours possible de factoriser P(z) dans IC :
si ∆ > 0 : P(z) = a (z – x
1
)(z – x
2
) .
si ∆ = 0 : P(z) = a (z – x
0
)² .
si ∆ < 0 : P(z) = a (z – z
1
)(z – z
2
) .
ex : Résoudre – z
2
+ 2 z – 5 = 0. a ) dans IR b ) dans IC

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II. Représentation géométrique d'un nombre complexe.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O,
→
e
1
,
→
e
2
).
1 ) Affixe d'un point. Affixe d'un vecteur.
def : L'affixe du point M de coordonnées (a ; b) est le complexe z = a + ib.
L'image du complexe z = a + ib est le point M(a ; b)
On note : M(a + ib) ou z
M
= a + ib
def : L'affixe du vecteur
→
u de coordonnées (a ; b) est le complexe z = a + ib.
On note :
→
u (a + ib) ou z
→
u
= a + ib.
rmq : L'axe des abscisses est appelé axe des réels.
L'axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.
2 ) Propriétés.
prop : Le point N d'affixe − z est le symétrique par rapport à ……………….. du point M(z).
Le point P d'affixe -z est le symétrique par rapport à ……………….. du point M(z).
Le point Q d'affixe ...... est le symétrique par rapport à .................................. de M(z).
thm : Soient les vecteurs
→
u(z) et
→
v(z’). Soit k un réel. Soient les points A(z
A
) et B(z
B
).
1 ) -
→
u (-z) [ l’affixe de -
→
u est -z ]
2 ) k
→
u (kz) [ l'affixe de k
→
u est kz ]
3 )
→
u+
→
v ( z + z')
4 )
→
u =
→
v ⇔ z = z’ [ Deux vecteurs sont égaux ⇔ ils ont la même affixe ]
5 ) z
→
AB
= z
B
– z
A
6 ) L'affixe du milieu I du segment [AB] est z
I
= z
A
+ z
B
2
ex : 1° ) Lire les affixes des points ci-contre.
2° ) Lire les affixes des vecteurs
→
BC ;
→
CF ;
→
DB et
→
AE .