Feuille de TD 6

PCSI A Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2015-2016
F e u i l l e d e T D 6
R ´e c u r r e n c e , s o m m e s , a r i t h m ´e t i q u e
Raisonnement par r´ ecurrence
Exercice 1. Soit f:N→Nune application strictement croissante. ´ Etablir que pour tout n∈N,
f(n)≥n.
Exercice 2. Soit (Fn)n∈Nla suite de Fibonacci d´efinie par
F0= 0, F1= 1,∀n∈N, Fn+2 =Fn+1 +Fn.
(a) Montrer que pour tout n∈N
Fn+1 ≥n.
En d´eduire la limite de la suite (Fn)n∈N.
(b) Montrer que pour tout n∈N
Fn≤2n
(c) Montrer que pour tout n∈N∗
F2
n−Fn−1Fn+1 = (−1)n−1.
(d) Montrer que pour tout n∈N∗
n
X
k=1
F2k−1=F2n−1.
(e) Montrer que pour tout n∈N
n
X
k=1
Fk=Fn+2 −1.
Exercice 3. Soit n∈N∗.On consid`ere ndroites du plan qui se coupent deux `a deux mais telles que trois d’entre
elles ne se coupent jamais en un mˆeme point.
D´eterminer le nombre de r´egions que la famille de droites d´elimite.
Sommes simples et produits
Exercice 4. Compl´eter les ´egalit´es suivantes :
n
X
k=0
ak+1 =
?
X
j=?
aj;
n
X
k=0
an−k=
?
X
j=?
aj.
Exercice 5. Soient Sn=3+5+7+· · · + 2 n−1et Tn=2+4+8+· · · + 2n.
(a) Ecrire Snet Tn`a l’aide du symbole P;
(b) Que valent Snet Tn?
Exercice 6. Soit (ak)k∈Nune suite. Simplifier au maximum
n
X
k=1
(2 ak+1 −3ak+ak−1).
Exercice 7. Soit n∈N.L’objet de cet exercice est de calculer Sn=
n
X
k=0
k2.
1

(a) Calculer
n
X
k=0
(k+ 1)3−k3.
(b) En ´ecrivant (k+ 1)3−k3diff´eremment, en d´eduire Sn.
(c) Comment proc´eder pour calculer
n
X
k=0
k3?
Exercice 8. Soit n∈N.Montrer que n
X
k=0
k
(k+ 1)! = 1 −1 (n+ 1)!.
Indication. T´elescopage ou r´ecurrence.
Exercice 9. Soient n∈Net r6= 1 un nombre complexe.
(a) Calculer les sommes suivantes :
n
X
k=0
k rk;
n
X
k=0
k2rk.
(b) Retrouver
n
X
k=0
k2.
Exercice 10. Etablir l’in´egalit´e suivante :
∀n∈N∗,
2n−1
X
k=n
1
k≥1 2.
Exercice 11. On veut calculer
n
X
k=1
arctan( 1
2n2).
On pose un= 2 n+ 1 pour tout n∈N∗.
(a) Montrer que pour tout n∈N∗,
1
2n2=un−un−1 1 + unun−1
.
(b) Montrer que pour tout n∈N,il existe un unique αn∈]−π
2,π 2[tel que un= tan αn.
(c) Que peut-on dire de la suite (αn)n∈Nainsi d´efinie ?
(d) D´eduire des questions pr´ec´edentes que
n
X
k=1
arctan( 1
2n2)est une somme t´elescopique. Conclure.
(e) Quelle est la limite de la suite (vn)n∈Nd´efinie par vn=
n
X
k=1
arctan( 1
2n2)?
Exercice 12. Soit n∈N.Calculer le produit suivant :
n
Y
k=0
2k.
Exercice 13. Soit n≥2.
(a) Montrer que
n
Y
k=2
(k2−k+ 1) = 3
n−1
Y
k=2
(k2+k+ 1).
(b) En d´eduire une expression simplifi´ee de
n
Y
k=2
k3−1
k3+ 1.
Un peu de nombres complexes
Exercice 14. Manipulation d’expressions trigonom´etriques
(a) Lin´eariser cos6(θ)et sin6(θ).
2

(b) Exprimer cos(6θ)et sin(6θ)`a l’aide de cos(θ)et sin(θ).
Exercice 15. Soit n≥2un entier. On pose ω=e2iπ
n.
(a) (i) Montrer que
n−1
X
k=0
cos(2kπ
n)=0.
(ii) Soit k∈Z.Montrer que |ωk−1|2= 2 −2 cos( 2kπ
n).
(iii) En d´eduire la valeur de Rn=
n−1
X
k=0
|ωk−1|.
(b) (i) Montrer que
n−1
X
k=0
sin( kπ
n) = cos( π
2n)
sin( π
2n).
(ii) Soit k∈Z.Calculer |ωk−1|en fonction de sin(kπ
n).
(iii) En d´eduire la valeur de Sn=
n−1
X
k=0
|ωk−1|.
(c) Sur les pas d’Archim`ede
(i) Calculer Tn=
n−1
X
k=0
|ωk+1 −ωk|.
(ii) D´eterminer lim
n→+∞Wn.Interpr´etez g´eom´etriquement ce r´esultat.
Sommes doubles
Exercice 16. Compl´eter l’´egalit´e suivante :
n
X
k=1
n
X
j=1
2k+j=
?
X
j=?
?
X
k=?
2k+j.
Que vaut la somme en question ?
Exercice 17. Compl´eter l’´egalit´e suivante :
n
X
k=1
k
X
j=1
2k+j=
?
X
j=?
?
X
k=?
2k+j.
Que vaut la somme en question ?
Exercice 18. Calculer la somme suivante n
X
j=0
j
X
k=0
k.
Exercice 19. Calculer les sommes suivantes.
X
1≤i,j≤n
i+j;X
1≤i,j≤n
min(i, j)
X
1≤i,j≤n
max(i, j) ; X
1≤i,j≤n
i j
Exercice 20. Calculer X
1≤i<j≤n
(j−i)2.
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Coefficients binomiaux et formule du binˆ ome de Newton
Exercice 21. Soit n∈N.
(a) Calculer les sommes suivantes
n
X
k=0 n
k;
n
X
k=0
(−1)kn
k.
(b) En d´eduire la valeur des sommes suivantes :
2n
X
k=0 2n
2k;
2n
X
k=0 2n
2k+ 1.
Exercice 22. Soient n∈Net θ∈R.Simplifier :
1 + n
1cos(θ) + · · · +n 2cos(θ) + n ncos(nθ).
Exercice 23. Soient n∈Net p∈[0; 1].On pose q= 1 −p.
(a) Calculer les sommes suivantes :
n
X
k=0
kn
k;
n
X
k=0
k(k−1)n
k.
En d´eduire la valeur de la somme suivante : n
X
k=0
k2n
k.
(b) Calculer les sommes suivantes :
n
X
k=0
kn
kpkqn−k;
n
X
k=0
k2n
kpkqn−k.
N.B. L’avant-derni`ere somme obtenue est l’esp´erance d’une loi binomiale de param`etre p.
Exercice 24. Soient pet ndes entiers naturels v´erifiant p≤n.
(a) Montrer que
n−p
X
j=0 p+j
p=n+ 1 p+ 1.
Indication. T´elescopage ou r´ecurrence.
(b) En d´eduire
n
X
k=pk
p.
Exercice 25. Soient k, p et ndes entiers naturels v´erifiant p≤k≤n.
(a) ´ Etablir que n−p
k−pn p=n kk p.
(b) En d´eduire la valeur des sommes suivantes :
k
X
p=0 n−p
k−pn pet
n
X
k=p
(−1)kn
kk p.
Exercice 26. Soit n∈N.Calculer la somme suivante :
n
X
j=0
n
X
k=jk
j.
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Arithm´ etique dans N
Exercice 27. D´ecomposer en facteurs premiers les entiers a= 175 et b= 255.En d´eduire le pgcd et le ppcm de a
et b.
Exercice 28. D´eterminer le nombre de diviseurs de 41160.
Indication. Dans un premier temps, d´ecomposer 41160 en facteurs premiers.
Exercice 29. Calculer le pgcd de 6765 et 987.En d´eduire leur ppcm.
Exercice 30. Montrer que pour tout n∈N,le reste de la division euclidienne de 10npar 9est ´egal `a 1.
En d´eduire qu’un entier est divisible par 9si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exercice 31. Montrer que 7divise 32n−2npour tout entier n∈N.
Exercice 32. Soit n∈N∗.Le n-i`eme nombre de Mersenne, not´e Mnest l’entier
Mn= 2n−1.
(a) Montrer que si Mnest premier (on dit alors que Mnest un nombre premier de Mersenne) alors nest premier 1.
Indication. Etablir la contrapos´ee : si nn’est pas premier, alors Mnne l’est pas.
(b) Soient net mdes entiers strictement positifs. Montrer que Mndivise Mmsi et seulement si ndivise m.
Exercice 33. Soit m∈N∗.Montrer que si 2m+ 1 est premier 2alors m= 2n+ 1 avec n∈N.
Exercice 34. Soit (Fn)n∈Nla suite d’entiers de l’exercice 2. Montrer que pour tout n∈N,le pgcd de Fnet Fn+1
est ´egal `a 1(on dit dans ce cas que les entiers Fnet Fn+1 sont premiers entre eux.
1. Si nest premier, Mnpeut ne pas ˆetre premier. Par exemple, M11 = 2047 = 23 ×89.On conjecture qu’il existe une infinit´e de
nombres premiers de Mersenne
2. Les entiers de la forme Fn= 22n+ 1 sont les entiers de Fermat. Les entiers de Fermat F0= 3,;F1= 5, F2= 17, F3= 257 et
F4= 65537 sont des nombres premiers. On conjecture que ce sont les seuls parmi les entiers de Fermat. Si cela est vrai, ceci impliquerait
que les seuls polygones r´eguliers qu’on peut construire `a la r`egle et au compas dont le nombre de cˆot´es est premier sont les polygones
r´eguliers `a 3cˆot´es ; 5cˆot´es ; 17 cˆot´es ; 257 cˆot´es et 65537 cˆot´es.
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