diviseur "2 on"

Chapitre 2. Arithm´ etique.
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Table des mati` eres
1Division euclidienne
2Th´
eor` emes de Gauss et de B´ ezout.
3Nombres premiers
4Congruences
5Equations diophantiennes
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1. Division euclidienne
D´ efinition
Soit a,b∈Z. On dit que adivise bou best divisible par aou encore
aest un diviseur de bs’il existe m∈Ztel que b=am. On dit aussi
que best un multiple de a. On note a|bou b.
.
.a.
Exemple
2|4,100 .
.
.10,−15 .
.
.3,n|0∀n∈Z.
Proposition
1) Si a|b,a6=0,b6=0alors − | b|6a6|b|
si en plus b>0, alors −b6a6b.
2) Si a|bet b|calors a|c.
3) Si a|bet a|calors a|(b+c).
4) Si a|bet a|calors a|(kb +rc)quelques soient k,r∈Z.
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D´ emonstration.
1) b=ma alors |b|=|m|| a|. Puisque m6=0, on a |m|>1et
|b|>|a|, donc − | b|6a6|b|.Si b>0on obtient −b6a6b.
2) Si b=ma,c=nb alors c=nma.
3) Si b=ma,c=na alors b+c= (m+n)a.
4) Si b=ma,c=na alors kb +rc =kma +nra = (km +nr)a.
Th´ eor` eme
(Division euclidienne).
Soit a,b∈Z, et b>0. Alors il existe m,n∈Zuniques, tels que
a=bm +n,et 06n6b−1.
aest divisible par bsi et seulement si n=0.
mest appel´ e le quotient et nest appel´ e le reste de la division
euclidienne de apar b.
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D´ emonstration.
D´ emontrons d’abord que les nombres n,mexistent. On va supposer
qu a>0, et on va proc´ eder par r´ ecurrence sur a.
Initialisation. Si a=0alors a=0·b+0.
H´ er´ edit´ e. Supposons que l’on a d´ emontr´ e le th´ eor` eme pour aet
d´ emontrons le pour a+1. On a
a=bm +no`u 06n6b−1.
Supposons d’abord que n<b−1. Alors a+1=bm + (n+1)o`u
n+1<b, et on a obtenu la division euclidienne de a+1par b.
Dans le cas n=b−1nous avons a+1=bm +n+1=b(m+1)
et la division euclidienne est faite (le reste est ´ egal ` a0).
Exercice
Faites le cas a<0.
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