Cours Triangles semblables, Agrandissement et réduction, homthéties

TRIANGLES SEMBLABLES, AGRANDISSEMENT ET REDUCTION
HOMOTHETIE
I) Triangles semblables :
1) Définition :
Deux triangles sont semblables (ou de même forme) si les mesures des
angles de l’un sont égales aux mesures des angles de l’autre.
Si ACB MNP, CBA NPM et BAC
et MNP sont semblables.
PMN alors les triangles ABC
Exemples :
a) Les triangles KLM et DEF sont semblables. Déterminer la mesure de
l’angleDEF.
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b) Les triangles ABC et SRT sont-ils semblables ? Justifier.
c) Les triangles MNP et FGH sont-ils semblables ? Justifier.
2) Propriété :
Si deux triangles sont semblables alors les longueurs de leurs côtés sont
proportionnelles.
Exemple :
Les triangles LMN et IJK sont semblables. Calculer les distances IJ
et MN.
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3) Réciproque :
Si deux triangles ont les longueurs de leurs côtés proportionnelles alors ils
sont semblables.
Contraposée :
Si deux triangles n’ont pas les longueurs de leurs côtés proportionnelles
alors ils ne sont pas semblables.
Exemple :
a) Les triangles ABC et FGH sont-ils semblables ? Justifier.
b) Les triangles RST et MNO sont-ils semblables ? Justifier.
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II) Agrandissement et réduction :
1) Activité :
2) Définition :
Deux figures sont semblables si les mesures des angles de l’un sont égales
aux mesures des angles de l’autre et si les longueurs de leurs côtés sont
proportionnelles.
Les deux figures ci-dessus sont semblables.
Cas particulier des triangles :
Pour montrer que des triangles sont semblables, une seule des deux
conditions est suffisante.
3) Propriété :
Un agrandissement ou une réduction transforme une figure en une figure
semblable.
F1
F2
F1
F2
F2 est un agrandissement de F1
F2 est une réduction de F1
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4) Conséquences :
Dans un agrandissement ou une réduction, les mesures des angles sont
conservées tandis que les longueurs sont proportionnelles.
C
AC′B′ = ACB , C′AB′ = CAB
AB′C′ = ABC
AB′ = k × AB, AC′ = k × AC
B C′ = k × BC
k étant le rapport de réduction
ou d’agrandissement.
F1
B'
A
F2
B
C'
Remarques :
Le coefficient de proportionnalité k entre les longueurs est le rapport
d’agrandissement ou de réduction.
Si c’est un agrandissement alors k > 1.
Si c’est une réduction alors 0 < k < 1.
Calcul de k :
longueur d' un côté de la figure d' arrivée
k=
longueur du côté correspondant de la figure de départ
Si F’ est un agrandissement de F de rapport k, alors F est une réduction
1
de F’ rapport .
k
Une configuration de Thalès est un cas particulier d’agrandissement ou de
réduction.
Exemple:
La pyramide SIJKL est une
réduction de la pyramide SABCD.
On donne AB = 6 cm, SA = 15 cm et
SI = 5 cm.
S
L
K
I
Calculer la distance IJ.
J
D
C
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A
B
III) Les homothéties :
1) Définition :
Soit un point O et k un nombre relatif.
L’image du point A par l’homothétie de centre O et de rapport k est le
point A’ tel que :
- Si k est positif, le point A’ appartient à la demi-droite [OA)
et OA′ k OA .
- Si k est négatif, le point A’ appartient à la demi-droite [AO)
et OA′ k OA .
Exemple :
a) Soit deux points A et O tels que la distance OA = 4 cm . Construire
le point A’, image du point A par l’homothétie de centre O et de
rapport 1,5.
b) Soit deux points B et O tels que la distance OB = 8 cm . Construire
le point B’, image du point B par l’homothétie de centre O et de
rapport − 0,6.
c) Soit deux points C et O tels que la distance OC = 5 cm . Construire
le point C’, image du point C par l’homothétie de centre O et de
rapport −1.
Que constatez-vous ?
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2) Propriété :
a) Activité :
b) Propriété :
Une homothétie est un cas particulier des agrandissements et des
réductions.
Par une homothétie, les mesures des angles sont conservées tandis que
les longueurs sont proportionnelles.
c) Exemple :
Le trapèze MNOP est l’image du trapèze ABCD par l’homothétie de
centre I.
1) Déterminer la mesure de l’angle MNO. Justifier.
2) Calculer la distance OP. Justifier.
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