1. Agrandissement et réduction 2. Homothéties

1. Agrandissement et réduction
Définitions :
Soit une figure .
On obtient un agrandissement de la figure
strictement supérieur à 1.
On obtient une réduction de la figure
compris strictement entre 0 et 1.
Le nombre
en multipliant toutes les longueurs de la figure
en multipliant toutes les longueurs de la figure
par un nombre
par un nombre
est appelé facteur d’agrandissement ou de réduction.
Propriétés (Admises) :
Lors d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport ,
• les mesures des angles sont conservées,
• la perpendicularité et le parallélisme sont conservés,
• les longueurs sont toutes multipliées par ,
• le périmètre d’une figure est multiplié par ,
• l’aire d’une surface est multipliée par
• le volume d’un solide est multiplié par
,
.
2. Homothéties
Définition :
Soit un point du plan et soit
L’homothétie de centre


,
et

et de rapport transforme un point
′sont alignés.
et
et
un nombre non nul.
∉
∈
si
si
0.
en un point
tel que :
0.
Exemples :
Homothétie de centre
et de rapport
0
Homothétie de centre
et de rapport
0
Remarque : Le centre de l’homothétie est dit invariant.
Propriété :
Une homothétie transforme une figure en une figure semblable. Autrement dit, l’image d’une figure par une
homothétie est un agrandissement ou une réduction de la figure initiale.
Exemples : Dans chacun des cas suivants, le triangle
centre et de rapport .
′ ′ est l’image du triangle
par l’homothétie de
0,5
1,5
0,5
1,5
Remarques :  Si 1
0 ou 0
1, alors la figure image est une réduction de la figure initiale.
 Si
1 ou
1, alors la figure image est un agrandissement de la figure initiale.
3. Triangles semblables
Définition :
Des triangles semblables sont des triangles dont les angles sont deux à deux de même mesure.
Vocabulaire : Des triangles semblables sont aussi appelés « triangles de même forme ».
Propriété (preuve en exercice) :
Si deux triangles ont deux angles respectivement de même mesure, alors ils sont semblables.
Propriété (admise) :
Si deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles de même mesure sont proportionnels.
Exemple : Si
alors
et ′ ′ ′ sont deux triangles semblables tels que
,
et
,
.
Remarque : Si deux triangles sont semblables, l’un est un agrandissement (ou une réduction) de l’autre.
Réciproque :
Si deux triangles ont leurs côtés deux à deux proportionnels, alors ces triangles sont semblables.
Exemple : Si
et ′ ′ ′ sont deux triangles tels que
, alors ils sont semblables.
Propriété :
Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement proportionnels, alors
ils sont semblables.
Exemple : Si
et ′ ′ ′ sont deux triangles tels que
et
, alors ils sont semblables.
Vocabulaire : Lorsque deux triangles sont semblables, deux angles superposables sont dits angles homologues,
les sommets correspondants sont dits sommets homologues et les côtés opposés sont dits côtés homologues.