Résumé de cours - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Table des matières
1
Quelques notions de base sur les intégrales généralisées
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Méthodes de calcul des intégrales généralisées . . . . . . . . . . .
1.2.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Critères de convergence pour les intégrales de fonctions positives
1.4.1 Théorème de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Critères de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Utilisation des équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Intégrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Transformation de Laplace
2.1 Un calcul “symbolique” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Transformation de Laplace : définition et premières propriétés . . . .
2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Table des principales transformées de Laplace . . . . . . . . .
2.3 Opérations sur les transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Opérations algébriques (somme, produit) . . . . . . . . . . .
2.3.2 Opérations analytiques (dérivation, intégration, convolution)
2.4 Inversion de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Application à la résolution d’équations différentielles . . . . . . . . .
3 Transformée de Fourier et applications
3.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Des exemples de calculs de transformées de Fourier
1
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6
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17
Chapitre 1
Quelques notions de base sur les
intégrales généralisées
1.1
Définitions
Définition 1 : Soit I un intervalle de R et f : I → R une fonction. On dira que f est localement
intégrable sur I si et seulement si f est intégrable sur tout intervalle de compact de I, c’est à dire sur
tout intervalle [α, β] tel que [α, β] ⊂ I.
Remarque : en pratique, les fonctions localement intégrables sont les fonctions continues ou continues
par morceaux.
Définition 2 : Soient a et b tels que −∞ < a < b 6 +∞.
Z x On considère la fonction f : [a, b[→ R
localement intégrable, et on pose : ∀x ∈ [a, b[, F (x) =
f (t)dt. On dit que l’intégrale généralisée
a
(ou impropre) de f converge sur [a, b[ si la limite lim F (x) existe et est finie. Dans ce cas on note :
x→b
b
Z
x
Z
f (t)dt = lim
f (t)dt = lim F (x).
x→b a
a
x→b
Remarque : si l’intégrale ne converge pas on dit qu’elle diverge. Elle peut diverger pour deux raisons :
Z b
Rx
f (t)dt est
soit la limite limx→b a f (t)dt existe mais est infinie (dans ce cas on dit que l’intégrale
a
Z b
infinie), soit cette limite n’existe pas (et dans ce cas on dit que l’intégrale
f (t)dt n’existe pas).
a
Z +∞
R +∞ dt
R +∞ dt
R 1 dt
dt
Exemples : Étude de
(converge), 1
t (existe mais diverge : 1
t = +∞), 0 1−t
2
1R + t
0
R1
+∞
(idem), 0 √dt
(converge),
cos t dt (diverge : la limite n’existe pas).
0
1−t
Z b
Remarque : Définition analogue pour f : ]a, b] → R avec F (x) =
f (t)dt (−∞ 6 a < b < +∞)
x
Définition 3 : Soient a et b tels que −∞ 6 a < b 6 +∞. On considère la fonction f : ]a, b[ → R
localement intégrable. On dit que l’intégrale généralisée de f converge sur ]a, b[ s’il existe c ∈ ]a, b[ tel
Z c
Z b
que
f (t)dt et
f (t)dt convergent. Dans ce cas, c’est vrai pour tout c ∈ ]a, b[ ; on note alors
a
c
Z
b
Z
f (t)dt =
a
c
Z
f (t)dt +
a
f (t)dt
c
2
b
(indépendant de c).
+∞
Z
Exemple : Étude de
−∞
dt
.
1 + t2
Critère de Cauchy : soit f : [a, b[ → R une fonction localement intégrable ; on a l’équivalence entre
les deux assertions :
Rb
i) l’intégrale généralisée a f (x)dx converge,
RY
ii) on a la limite
lim
X f (x)dx = 0, ce qui se traduit rigoureusement par
min(X,Y )→b
Z
∀X, Y ∈ ]c, b[ ∀ε > 0 ∃c ∈ ]a, b[
Y
X
Exercice : formuler le critère analogue pour
R +∞ cos t
dt.
Exemple : convergence de 1
t2
Rb
a
f (x)dx 6 ε.
f (t)dt avec f : ]a, b] → R localement intégrable.
Application : si −∞ < a < b < +∞ et f localement intégrable et bornée sur ]a, b[, alors
converge.
R1
Exemple : convergence de 0 sin x1 dx.
Rb
a
f (t)dt
Remarques :
R +∞
– 0 f (t)dt converge 6⇒ f (t) −→ 0. (Considérer par exemple f valant 2n sur [n − 4−n , n + 4−n ]
t→+∞
pour n > 1 et nulle
R +∞en dehors de ces intervalles.)R +∞
– f (t) −→ 0 6⇒ 0 f (t)dt converge. (Penser à 0
t→+∞
dt
1+t .)
Deux erreurs fréquentes (et dont il faut absolument se garder) consistent à affirmer que ces “implications” sont vraies !
Plus généralement, il ne faut pas confondre la question de l’existence d’une limite de la fonction f
aux bornes de l’intervalle d’intégration et celle de la convergence de l’intégrale de f . L’intégrale peut
converger même quand f n’a pas de limite ou a une limite infinie ; si f a une limite finie non nulle en
une borne infinie l’intégrale diverge toujours, et si f a une limite nulle en une borne infinie l’intégrale
peut diverger. Le tableau suivant, représentatif des situations en une borne finie, étudie l’intégrale
d’une fonction f : ]0, b] → R (avec b < ∞)
lim f ∈ R
Rb
0
f (x)dx
Rb
0
converge
f (x)dx
diverge
toujours
(critère de Cauchy)
jamais
lim f ∈ {±∞}
ex :
ex :
lim f n’existe pas
ex : sin x1
√1
x
1
x
1
n
−
n
ex : f qui
vaut 2 sur
1
+ 2n (n > 6) et 0 ailleurs
1 1
2n , n
Le tableau suivant, représentatif des situations en une borne infinie, étudie l’intégrale d’une fonction
f : [a, +∞[→ R (avec −∞ < a)
R +∞
a
f (x)dx
R +∞
a
converge
lim f = 0
lim f 6= 0
ex : f = 0
jamais
lim f n’existe pas
[n −
f (x)dx
diverge
ex :
1
x−a+1
toujours
3
ex : f valant 2n sur
+ 4−n ] (n > 1) et 0 ailleurs
ex : sin(x)
4−n , n
1.2
1.2.1
Méthodes de calcul des intégrales généralisées
Primitive
La première méthode de calcul d’une intégrale généralisée consiste à prendre une primitive lorsque
c’est possible, puis de prendre la limite. On a vu des exemples ci-dessus. En voici un autre :
R +∞
1
dx
Exemple : c
(x−a)(x−b) (c > a > b). On décompose la fraction (x−a)(x−b) en éléments simples, c’est1
B
A
(x−a)(x−b) = x−a + x−b . On
1
B
A
peut les deviner, sinon on utilise la méthode suivante : multipliant (x−a)(x−b)
+ x−b
par x − a on
= x−a
1
1
1
obtient x−b
= A+ B(x−a)
d’où (en prenant x = a) A = a−b
, et on trouve de même que B = − a−b
; donc
x−b
R
X
1
1
dx
X−a
c−a
1
1
1
−→
(x−a)(x−b) = a−b x−a − x−b . D’où (en primitivant) c (x−a)(x−b) = a−b ln X−b − ln c−b
X→+∞
1
c−b
a−b ln c−a .
à-dire qu’on cherche des constantes A et B telles que pour tout x on ait
1.2.2
Changement de variable
Théorème 1 : Changement de variable
Soient a et b tels que −∞ 6 a < b 6 +∞ et f : ]a, b[→ R une fonction continue. Soit φ : ]α, β[→]a, b[
une bijection de classe C 1 dont la fonction réciproque est aussi de classe C 1 , alors :
Z b
Z β
f (t)dt et
f (φ(u))φ0 (u)du
a
α
ont même nature, et dans le cas où elles convergent, elles sont égales.
Z b
dt
p
Exemple : Étude de
(a < b). [Poser t = a + (b − a)u puis u = v 2 .]
(t − a)(b − t)
a
1.2.3
Intégration par parties
Théorème 2 : Intégration par parties
Soient a et b tels que −∞ 6 a < b 6 +∞ et f et g deux fonctions de ]a, b[ → R de classe C 1 .
On suppose que lim f (x)g(x) existe et vaut lb ∈ R et que lim f (x)g(x) existe et vaut la ∈ R, alors
x→a
x→b
Z b
Z b
f 0 (t)g(t)dt et
f (t)g 0 (t)dt ont même nature, et dans le cas où elles convergent, on a :
a
a
b
Z
Z
0
f (t)g(t)dt = (lb − la ) −
a
Exemple : convergence de
1.3
R +∞
1
sin t
t
b
f (t)g 0 (t)dt
a
dt (en se ramenant à celle de
R +∞
1
cos t
t2
dt prouvée plus haut).
Convergence absolue
Z
Définition 4 : On dit qu’une intégrale généralisée
b
Z
a
converge.
b
|f (t)|dt
f (t)dt est absolument convergente si
a
Théorème 3 : Toute intégrale absolument convergente est convergente.
Preuve : par le critère de Cauchy.
Autre preuve ou exercice (sans le critère de Cauchy) : On suppose Rpar exemple I = [a, b[. On a
x
l’inégalité : 0 6 f (t) + |f (t)| 6 2|f (t)|. On intègre : la fonction x 7→ a |f (t)|dt a une limite finie en
4
Rx
b, est croissante (car |f | positive), donc majorée par sa limite, donc x 7→ a (f (t) + |f (t)|)dt est une
fonction majorée et croissante
R x sur [a, b[ (par positivité de f + |f |), donc elle admet une limite finie.
Alors par différence, x 7→ a f (t)dt a une limite finie en b.
N.B. Attention la réciproque du théorème ci-dessus est fausse : toute intégrale convergente n’est pas absolument convergente :
Z b
Définition 5 : On dit qu’une intégrale généralisée
f (t)dt est semi-convergente si elle est convergente
a
mais pas absolument convergente.R
+∞ sin t
Exercice : Montrer que l’intégrale 1
t dt est semi-convergente. (On pourra montrer la divergence
R +∞ | sin t|
de 1
dt en minorant | sin t| par sin2 t = (1 − cos(2t))/2.)
t
1.4
Critères de convergence pour les intégrales de fonctions positives
Les critères qui suivent sont commodes
R b pour déterminer si une intégrale généralisée d’une fonction
positive converge. En les appliquant à a |f (t)|dt on peut voir si une intégrale généralisée d’une fonction
non positive converge absolument.
1.4.1
Théorème de convergence
Théorème 4 : Soient a et b tels que −∞ < a < b 6 +∞ et f : [a, b[→ R+ localement intégrable. On
Z
pose ∀x ∈ [a, b[, F (x) =
x
b
Z
f (t)dt. Alors l’intégrale
a
f (t)dt est convergente si et seulement si F est
a
majorée sur [a, b[.
Z b
f (t)dt est divergente, c’est-à-dire si F (x) → +∞ quand x → +∞, on note
Si l’intégrale
a
Rb
a f (t)dt = +∞.
Rb
Noter que pour une fonction localement intégrable positive, l’intégrale généralisée a f (t)dt existe
toujours (quitte à être infinie, donc divergente) ; tandis que pour une fonction dont le signe varie (par
Rb
exemple f (t) = sin t), l’intégrale a f (t)dt peut ne pas exister du tout.
1.4.2
Critères de comparaison
Théorème 5 : Soient a et b tels que −∞ 6 a < b 6 +∞ et f, g : ]a, b[ → R+ localement intégrables
telles que ∀t ∈]a, b[ on ait
0 6 f (t) 6 g(t).
On a alors :
Z
06
b
Z
f (t)dt 6
a
b
g(t)dt.
a
En particulier :
Z b
Z b
1. Si
g(t)dt est convergente, alors
f (t)dt est convergente.
Za b
Z ba
2. Si
f (t)dt est divergente, alors
g(t)dt est divergente.
a
a
R +∞ cos t
R1
sin x1 dx (déjà vue comme
Exemples : on retrouve la convergence (absolue) de 1
2 dt et de
0
t
R +∞
R +∞ 1
t
application directe du critère de Cauchy) : car 1 | cos
| t2 | dt = [− 1t ]+∞
= 1 < +∞ et
2 | dt 6
1
1
t
R1
R
1
1
0 | sin x |dx 6 | 0 dx| = 1 < +∞.
5
1.4.3
Utilisation des équivalents
Rappel : on dit que deux fonctions f , g sont équivalentes en un point t0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}, et on
note f (t) ∼ g(t) quand t → t0 (ou f ∼ g), si f (t)/g(t) → 1 quand t → t0 . (Exemples : sin t ∼ t quand
t0
∼ 1t quand t → ±∞.)
Théorème 6 : Soient a et b tels que −∞ < a < b 6 +∞ et f et g définies de [a, b[→ R+ localement
Z b
Z b
g(t)dt ont même nature.
f (t)dt et
intégrables telles que f (t) ∼ g(t) quand t → b alors
t → 0,
t
1+t2
a
1.4.4
a
Exemples de base
Théorème 7 : Intégrale de Riemann
Z
1
dt
α converge si et seulement si α < 1. (Preuve en exercice.)
0 t
Z +∞
dt
2.
converge si et seulement si α > 1. (Preuve en exercice.)
tα
1
Application : Critère de RiemannRen 0. Soit f une fonction positive et localement intégrable sur ]0, 1] ;
1
on suppose que f (t) ∼ t1α : alors 0 f (t)dt converge ssi α < 1.
0
R1
2 )+t7
√
Exemple (exercice) : nature de l’intégrale 0 ln(1+5t
dt.
sin t(tan t)2
1.
Critère de Riemann en +∞. Soit
f une fonction positive et localement intégrable sur [1, +∞[ ; on
R +∞
1
suppose que f (t) ∼ tα : alors 1 f (t)dt converge ssi α > 1.
+∞
R +∞ 15t5 +5t4 +12t3 +217t2 +54t+8877
Exemple : nature de l’intégrale 1
dt.
21t7 +876t5 +258t+34532
Théorème 8 : Intégrales de Bertrand
Z +∞
dt
Soient a un réel strictement supérieur à 1 et α et β deux réels quelconques. Alors
α
t (ln t)β
a
converge si et seulement si α > 1 et β quelconque, ou bien
Z a α = 1 et β > 1.
dt
converge si et seulement si α < 1
Soient a ∈ ]0, 1[ et α et β deux réels quelconques. Alors
α
β
0 t | ln t|
et β quelconque, ou bien α = 1 et β > 1.
Critère de Bertrand en +∞. Soit f une Rfonction positive et localement intégrable sur [A, +∞[, A ∈ R ;
+∞
on suppose que f (t) ∼ tα (ln1 t)β : alors A f (t)dt converge ssi α > 1 et β quelconque, ou bien α = 1
+∞
et β > 1.
Critère de Bertrand en 0. Soit f une fonction positive et localement intégrable sur ]0, A], A > 0 ; on
RA
1
suppose que f (t) ∼ tα | ln
: alors 0 f (t)dt converge ssi α < 1 et β quelconque, ou bien α = 1 et
t|β
0
β > 1.
1.5
Intégrales à paramètre
On admet :
Théorème de continuité : Soient I, J des intervalles de R. Soit f : I × J → C, (x, t) 7→ f (x, t), une
fonction telle que
1. Pour tout x ∈ I, t 7→ f (x, t) est localement intégrable sur J.
2. Pour tout t ∈ J, x 7→ f (x, t) est continue sur I.
3. Il existe une fonction g :R J → R+ localement intégrable, telle que |f (x, t)| 6 g(t) pour tous
x ∈ I, t ∈ J, et telle que J g(t)dt converge.
6
Alors, pour tout x ∈ I, l’intégrale
continue dans I.
R
J f (x, t)dt converge absolument et la fonction x 7→
Théorème de dérivation sous le signe
R
R
J
f (x, t)dt est
: Soient I, J des intervalles de R. Soit f : I × J → C,
(x, t) 7→ f (x, t), une fonction telle que
1. Pour tout t ∈ J, x 7→ f (x, t) est dérivable sur I.
2. Pour tout x ∈ I, t 7→ f (x, t) et t 7→
∂
∂x f (x, t)
sont localement intégrables sur J.
R
3. Il existe au moins un point x0 ∈ I tel que l’intégrale généralisée J f (x0 , t)dt converge.
∂
4. Il existe une fonction h : RJ → R+ localement intégrable, telle que | ∂x
f (x, t)| 6 h(t) pour tous
x ∈ I, t ∈ J, et telle que J h(t)dt converge.
R
R
Alors, pour tout x ∈ I, l’intégrale J f (x, t)dt converge ; la fonction x 7→ J f (x, t)dt est dérivable dans
R
R ∂
d
I et dx
J f (x, t)dt = J ∂x f (x, t)dt, où l’intégrale du second membre converge absolument.
R
∂
N.B. Si, de plus, x 7→ ∂x
f (x, t) est continue pour tout t ∈ J, alors la fonction x 7→ J f (x, t)dt est
continûment dérivable dans I (d’après le théorème de continuité).
R
Remarque : sous les hypothèses du théorème ci-dessus, prouvons seulement la convergence de J f (x, t)dt
∂
f (xt , t) (x − x0 ) où
pour tout x ∈ I. D’après la formule des accroissements finis, f (x, t) − f (x0 , t) = ∂x
xt est entre x0 Ret x (et dépend a priori de t) ; donc |f (x, t) − f (x0 , t)| 6R h(t) |x − x0 |, ce qui prouve
que l’intégrale
J (f (x, t) − f (x0 , t)) dt converge absolument. Et comme J f (x0 , t)dt converge, on en
R
déduit que J f (x, t)dt converge.
Z +∞
cos(tx)
Exemple : l’intégrale
dt est définie et continue (comme fonction de x) sur R ; elle est
t3 Z
1
+∞
sin(tx)
aussi dérivable et sa dérivée est −
dt (exercice).
t2
1
7
Chapitre 2
Transformation de Laplace
2.1
Un calcul “symbolique”
On peut résoudre (pas toujours !) les équations différentielles grâce aux mathématiques (changement de variables, résolution de l’équation homogène, équation caractéristique ...), on peut aussi les
résoudre numériquement grâce à l’ordinateur : On calcule dans une boucle, à la fin de chaque pas de
temps dt, une nouvelle valeur de la fonction inconnue.
Enfin dans le cas des systèmes linéaires, et seulement dans ce cas, au lieu de résoudre les équations
différentielles avec les méthodes traditionnelles on peut faire appel au calcul symbolique, essentiellement la transformée de Laplace développée par Heaviside pour le calcul de circuits électriques. Un
gros avantage est la prise en compte des discontinuités, le “saut de Heaviside”, qui en mathématiques
traditionnelles sont difficiles à gérer.
Définissons symboliquement l’opérateur de dérivation p := d de telle sorte que si la fonction x : R →
dt
R est dérivable, on ait :
dx(t)
px(t) =
= x0 (t)
dt
1 f (t).
Pour résoudre l’équation px(t) = f (t) où x(t) est l’inconnue, on écrira symboliquement x(t) = p
1!
Encore faut-il donner un sens à l’opérateur p
Z t
1 =
f (s)ds (primitive de f qui s’annule en t = 0). Avec cette définition
Disons par exemple que p
0
1 , l’opérateur 1 sera défini par 1 f (t) est la fonction nulle pour t = 0, aisi que ses
de l’opérateur p
pn
pn
(n − 1) premières dérivées, admettant f (t) pour dérivée n-ième (n > 1).
Par conséquent, en utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, on a :
n−1
X 1
1
1
F (t) = n f (t) =
F (k) (0)tk +
p
k!
(n − 1)!
k=0
d’où
1
1
F (t) = n f (t) =
p
(n − 1)!
Z
(t − s)n−1 f (s)ds
0
(t − s)n−1 f (s)ds(∗)
0
dx
+ Rx = E(t) (∗∗)
dt
8
t
t
Exemple : Considérons l’équation différentielle suivante :
L
Z
C’est l’intensité x à l’instant t d’un courant électrique dans un circuit de résistance R et d’inductance
L, aux bornes duquel est appliquée une différence de potentiel E(t). On peut “symboliquement” écrire
(∗∗) de la manière suivante :
Z t
R
1
(Lp + Rx) = E(t) d’où x(t) = Lp 1+ R E(t) ce qui donne en utilisant (∗), x(t) = − L
E(s).e L (t−s) ds.
0
La transformation de Laplace a pour but de justifier et de rendre automatique le calcul algébrique
précédent.
2.2
2.2.1
Transformation de Laplace : définition et premières propriétés
Définitions
Définition 1 : On appelle transformée de Laplace de la fonction f la fonction Lf définie par :
Z
+∞
Lf (p) =
e−pt f (t)dt pour p ∈ C
0
Z
+∞
Remarque : On remarque que
e−pt f (t)dt ne prend en compte que les valeurs de f (t) pour t > 0.
0
La transformée de Laplace est donc concernée par des phénomènes transitoires : avant une certaine
date, il n’y a rien, après, il y a quelque chose ... En prenant cet instant comme origine des temps, on
peut supposer que f est une fonction définie de −∞ à +∞ telle que f (t) = 0 quand t < 0. On dit
alors que f est une fonction “causale”.
Exemple : La fonction de Heaviside (fonction échelon-unité).
0 quand t < 0
H(t) =
1 quand t > 0
si f est définie sur R, la fonction f = F H est causale et f (t) = F (t) quand t > 0.
On se pose les questions suivantes :
1. Quelles fonctions ont une transformée de Laplace ?
2. A quoi reconnaı̂tre une transformée de Laplace ?
3. Comment retrouver f à partir de Lf ?
4. Comment se correspondent les propriétés de f et de Lf ?
On ne répondra pas de façon générale à ces questions ...
Définition 2 : On dit que f est à croissance exponentielle quand il existe des nombres réels C, M, a
tels que :
|f (t)| 6 CeM t quel que soit t > a
2.2.2
Premières propriétés
Théorème 1 : Si f est une fonction continue par morceaux et à croissance exponentielle, l’intégrale
de Laplace de f est absolument convergente quand Re(p) > M . En particulier, si lim f (t) existe et
t→+∞
est finie, l’intégrale Lf (p) converge absolument pour tout p > 0.
9
Lemme : Soit f une fonction continue par morceaux sur (0, +∞[. Si Lf (p) converge absolument quand
p = p1 , alors elle converge absolument quel que soit p tel que Re(p) > Re(p1 ).
Théorème 2 : Il existe a ∈ [−∞, +∞], unique tel que :
1. si Re p > a, l’intégrale Lf (p) converge absolument.
2. si Re p < a, l’intégrale Lf (p) ne converge pas absolument.
N.B. : on ne peut rien dire de général pour le cas où Re p = a. Par exemple, pour les fonctions
1
f (t) = 1+t
2 et f (t) = 1 (sur ]0, +∞[), a = 0 ; mais l’intégrale converge absolument quand Re p = a
dans le premier cas et pas dans le second.
Définition 3 : le nombre (fini ou infini) a du théorème 2 est appelé l’abscisse de convergence absolue
de Lf (p).
Remarque : Si l’intégrale Lf (p) converge absolument quel que soit p, l’abscisse de convergence absolue
est égale à −∞ ; si elle ne converge jamais absolument, l’abscisse de convergence absolue vaut +∞.
Ce dernier cas ne se présente pas pour une fonction à croissance exponentielle, vu le théorème 1.
Dans ce qui suit, on se limitera aux fonctions à croissance exponentielle et on ne considérera Lf (p)
que dans le demi-plan de convergence absolue : Re p > a.
Théorème 3 : Théorème de la valeur initiale
lim f (t) = lim pLf (p).
t→0+
p→+∞
Théorème 4 : Théorème de la valeur finale
lim f (t) = lim pLf (p).
t→+∞
2.2.3
p→0+
Table des principales transformées de Laplace
10
11
↔
↔
↔
↔
e−at sin(ωt)
e−at cos(ωt)
t sin(ωt)
t cos(ωt)
0 si t ∈ [0, a] et 1 si t > a ↔
↔
cos(ωt)
↔
e−at avec a ∈ R
↔
↔
tn avec n ∈ N
sin(ωt)
↔
t
↔
↔
1
te−at avec a ∈ R
↔
f (t)
pn+1
1
p+a
1
(p + a)2
ω
2
p + ω2
p
p2 + ω 2
ω
(p + a)2 + ω 2
p+a
(p + a)2 + ω 2
2ωp
(p2 + ω 2 )2
p2 − ω 2
(p2 + ω 2 )2
e−ap
p
1
p
1
p2
n!
L(f )(p)
0
+∞
L(f )p
e−pt f (t)dt
1
avec (a, n) ∈ R × N?
(p + a)n
1
avec ω 6= 0
2
p + ω2
1
(p + a)2 + ω 2
1
avec a 6= 0
2
p − a2
p
avec a 6= 0
p 2 − a2
1
avec a 6= b
(p + a)(p + b)
p
avec a 6= b
(p + a)(p + b)
1
2
(p + ω 2 )2
p
2
(p + ω 2 )2
p2
(p2 + ω 2 )2
1
2
p(p + ω 2 )
1
2
2
p (p + ω 2 )
p
avec ω 2 6= β 2
2
2
(p + ω )(p2 + β 2 )
1
avec ω 2 6= β 2
2
2
(p + ω )(p2 + β 2 )
L(f )p =
Z
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
1 −at
e
sin(ωt)
ω
1 at
e − e−at
2a
1 at
e + e−at
2
1 −at
e
− e−bt
b−a
1 −at
be
− ae−bt
b−a
1
(sin(ωt) − ωt cos(ωt))
2ω 3
1
t sin(ωt)
2ω
1
(sin(ωt) + ωt cos(ωt))
2ω
1
(1 − cos(ωt))
ω2
1
(ωt − sin(ωt))
ω3
1
(cos(ωt) − cos(βt))
2
β − ω2
1
(β sin(ωt) − ω sin(βt))
2
βω(β − ω 2 )
tn−1 e−at
(n − 1)!
1
sin(ωt)
ω
f (t)
TABLE DE CORRESPONDANCE POUR LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
2.3
2.3.1
Opérations sur les transformées de Laplace
Opérations algébriques (somme, produit)
Théorème 5 : Linéarité
La transformée de Laplace est linéaire, c’est à dire :
L(a1 f1 + a2 f2 + ... + an fn ) = a1 Lf1 + a2 Lf2 + ... + an Lfn
Théorème 6 : On a
1. Pour a > 0, si g(t) = f (at), alors :
Lg(p) =
1
p
Lf ( )
a
a
2. Pour a > 0, si g(t) = f (t − a), alors :
Lg(p) = e−ap Lf (p)
3. Pour a ∈ R, si g(t) = e−at f (t), alors :
Lg(p) = Lf (p + a)
Exemple (exercice) : calculer la transformée de Laplace de f (2t − 6) + e−t f (2t) en fonction de celle
de f .
2.3.2
Opérations analytiques (dérivation, intégration, convolution)
Théorème 7 : Dérivation à la source
1. Soit f une fonction dérivable on a :
Lf 0 (p) = pLf (p) − f (0)
2. Généralisation : Soit f une fonction n fois dérivable, on a :
Lf (n) = pn Lf − pn−1 f (0) − pn−2 f 0 (0) − ... − pf (n−2) (0) − f (n−1) (0)
ThéorèmeZ8 : Intégration
t
Si F (t) =
f (s)ds, on a alors :
0
1
LF (p) = Lf (p)
p
Remarque : On peut dire schématiquement, qu’à la dérivation correspond par la transformation de
Laplace, la multiplication par p et à l’intégration, correspond la division par p. (cf 1)
Théorème 7 bis : Dérivation au but
1. Soit f une fonction à croissance exponentielle : la transformée de Laplace de tf (t) est −(Lf )0 .
d
2. Généralisation : chaque multiplication par t à la source donne − dp
(l’opposé d’une dérivation)
n
n
(n)
au but. Donc la transformée de Laplace de t f (t) est (−1) (Lf ) .
12
Théorème 9 : Périodicité
Soit T > 0 et f : R → R telle que pour t < 0 et t > T , f (t) = 0. Soit g1 : R → R la fonction
périodique de période T égale à f (t) pour 0 6 t 6 T . Et enfin, soit g : R → R tel que ∀t < 0 g(t) = 0
et ∀t > 0 g(t) = g1 (t). On a le résultat suivant :
Lg(p) =
Lf (p)
pour p > 0
1 − e−pT
Théorème 10 : Convolution
Soient f et g deux fonctions définies sur R telles que ∀t < 0 f (t) = g(t) = 0. On définit alors :
Z
t
f (s)g(t − s)ds
f ∗ g(t) =
0
Dans ce cas, on a :
Lf ∗ g(p) = Lf (p).Lg(p)
2.4
Inversion de la transformée de Laplace
Z
Objet : Connaissant Lf (p) =
+∞
e−pt f (t)dt peut-on retrouver f (t) ?
0
Pour inverser la transformée de Laplace, on utilise en général les tables et les régles précédentes, en
lisant de droite à gauche. Par exemple, pour le calcul de l’inverse de la transformée de Laplace d’une
fraction rationnelle, on décompose, et on cherche dans les tables.
On dispose aussi du théorème suivant pour inverser la transformée de Laplace.
Théorème 11 : Formule d’inversion de Bromvitch
Soit F (z) = F (x + iy), analytique pour x > x0 , une fonction sommable en y, pour tout x > x0 . Alors
F est une transformée de Laplace, dont l’original est donné par :
Z +∞
1
f (t) =
F (x + iy)e(x+iy)t dy
2π −∞
2.5
Application à la résolution d’équations différentielles
On va regarder comment procéder sur l’exemple de l’équation différentielle de Laplace.
On considère l’équation différentielle suivante, linéaire du second ordre, à coefficients non constants,
sans second membre :
(a1 t + a0 )x00 + (b1 t + b0 )x0 + (c1 t + c0 )x = 0
On utilise la transformée de Laplace sur l’équation précédente ce qui donne en utilisant les propriétés établies :
− a1 p2 ((Lx)0 (p) − 2a1 pLx(p) + a1 (x(0)) + a0 p2 Lx(p) − a0 px(0) − a0 x0 (0)
− b1 p(Lx)00 (p) − b1 Lx(p) + b0 Lx(p) − b0 x(0) − c1 (Lx)0 (p) + c0 Lx(p) = 0
Posons Lx = y, on obtient l’équation suivante à résoudre :
13
(2.1)
−(a1 p2 + b1 p + c1 )y 0 + (a0 p2 + (b0 − 2a1 )p + (c0 − b1 )y + (a1 − b0 − a0 p)x(0) − a0 x0 (0) = 0

 A(p) = −(a1 p2 + b1 p + c1 )
B(p) = a0 p2 + (b0 − 2a1 )p + (c0 − b1 )
En posant

C(p) = a0 x(0)p − a1 x(0) + b0 x(0) + a0 x0 (0)
l’équation devient
A(p)y 0 (p) + B(p)y(p) = C(p)
C’est maintenant une équation différentielle linéaire du premier ordre, avec second membre, dont les
coefficients sont polynomiaux en p, et on sait résoudre une telle équation qui nous donnera Lx(p). Il
ne restera plus qu’à inverser pour avoir la solution de l’équation de départ.
14
Chapitre 3
Transformée de Fourier et applications
3.1
Définitions et propriétés
3.1.1
Définitions
Définition 1 Z: On note L1 (R) l’ensemble des fonctions f définies de R dans R , continues par morceaux
+∞
|f (t)|dt converge.
et telles que
−∞
Définition 2 : Soit f ∈ L1 (R). On appelle transformée de Fourier de f , la fonction :
Z
+∞
Ff (x) =
f (t)e−itx dt pour x ∈ R
−∞
Remarquons que sous ces hypothèses Ff existe puisque :
Z +∞
−itx
|f (t)e
| = |f (t)| et
|f (t)|dt converge
−∞
l’intégrale est donc absolument convergente.
3.1.2
Propriétés
Théorème 1 : Sous les hypothèses de la définition 2, on a :
1. Ff est bornée sur R
2.
lim Ff (x) = 0
|x|→∞
3. Ff est continue sur R
Théorème 2 : Linéarité
Z
+∞
F est un opérateur linéaire de l’espace vectoriel des fonctions f : R → C tel que
|f (t)|dt converge
−∞
dans l’espace vectoriel des fonctions bornées, continues, tendant vers 0 à l’infini.
Proposition 1 : Translation. Soit f ∈ L1 (R) on a ∀a ∈ R :
F(f (x + a))(t) = Ff (t)eiat
Proposition 2 : Transformée de Fourier de la dérivée
Supposons f ∈ L1 (R) et f dérivable de telle sorte que f 0 ∈ L1 (R). On a alors :
Ff 0 (x) = ixFf (x) ∀x ∈ R
15
Corollaire : Si f, f 0 , ..., f (n) ∈ L1 (R), alors :
Ff (n) (x) = (ix)n Ff (x) ∀x ∈ R
Proposition 3 : Dérivée de la transformée de Fourier
Supposons que la fonction qui à t ∈ R associe tf (t) est dans L1 (R), on a alors :
(Ff )0 (x) = −iF(xf (x))
Définition 3 : Convolution dans L1 (R). Pour f et g dans L1 (R), on définit
Z
+∞
f (s)g(t − s)ds
f ∗ g(t) =
−∞
lorsque l’intégrale du second membre converge.
Remarque : f ∗ g(t) = g ∗ f (t).
Proposition 4 :
Soit f et g ∈ L1 (R). Si f ∗ g(t) est définie pour tout t ∈ R, alors f ∗ g ∈ L1 (R) et on a :
F(f ∗ g) = F(f ) F(g)
Définition 4 : Soit f une fonction de L1 (R). On appelle transformée de Fourier inverse de f la fonction :
F −1 (f ) : t →
1
2π
Z
+∞
f (t)eitx dt
−∞
Définition 5 : On dit qu’une fonction f est continûment dérivable par morceaux si elle est continûment
dérivable sauf en des points isolés, et si en chacun de ces points f et f 0 admettent une limite à gauche
et une limite à droite.
On note f (x− ) la limite à gauche de f en x et f (x+ ) sa limite à droite.
Théorème 3 : Formule de réciprocité (ou d’inversion) de Fourier
Soit f ∈ L1 (R), continûment dérivable par morceaux. Alors on a :
Z +λ
1
1
lim
Ff (t)eixt dt = (f (x+ ) + f (x− )).
λ→+∞ 2π −λ
2
En particulier, si Ff ∈ L1 (R) :
1
F −1 (Ff )(x) = (f (x+ ) + f (x− )).
2
Et donc, si f est continue au point x :
F −1 (Ff )(x) = f (x).
Ainsi : si on connaı̂t Ff , on connaı̂t f .
Théorème 4 : Plancherel
soit f une fonction telle que f ∈ L1 (R) et f 2 ∈ L1 (R). On suppose que Ff ∈ L1 (R) et (Ff )2 ∈ L1 (R).
Alors :
Z +∞
Z +∞
1
2
|f (x)| dx =
|Ff (x)|2 dx
2π −∞
−∞
16
3.2
Des exemples de calculs de transformées de Fourier
À faire par exemple sur :
1. f (t) = e−|t|
2 /2
2. f (t) = e−t
(on admettra que
−(t−ib)2 /2 dt
Re
R
=
−t2 /2 dt
Re
R
=
Dans les deux cas, regarder ce que donne la formule de réciprocité.
17
√
2π pour tout b ∈ R).