Estimation par intervalle de confiance

Statistiques L2 Psychologie
Estimation par intervalle de confiance
On présente ici un rappel concernant le TD5 et le TD6.
Pour une étude plus détaillée il faut se reporter aux notes du cours magistral.
1 Introduction
L’estimation par intervalle de confiance consiste à proposer un intervalle dans lequel le
paramètre à estimer se trouvera avec une certaine probabilité.
Autrement dit, en notant Xun estimateur de θ, un intervalle de confiance de θau niveau
de confiance 1−αest un intervalle [X−d;X+d]tel que :
P(X−d≤θ≤X+d) = 1 −α
Si on prend α= 5%, l’intervalle de confiance de θa un niveau de confiance de 95%.
Cela veut dire qu’en utilisant Xcomme estimateur du paramètre θ, en moyenne, sur 100
échantillons, 95 fois l’intervalle de confiance contiendra la vraie valeur du paramètre et 5
fois il ne la comprendra pas.
Nous rappelons dans la suite comment trouver un intervalle de confiance quand le pa-
ramètre à estimer est une moyenne ou une proportion. Cette intervalle dépendra de la
forme de la loi de distribution de l’estimateur X, de la taille de l’échantillon et de la
connaissance ou de l’ignorance de la variance de la population.
2 Intervalle de confiance pour une moyenne
On utilisera les notations suivantes :
Pour i= 1,...,n, les Xisont des variables aléatoires indépendantes et toutes de même
loi.
µet σ2représentent la moyenne et la variance des variables Xi.
¯xnest la moyenne empirique des xi:¯xn=x1+···+xn
n.
s2
nest la variance corrigée des xi:s2 n=(x1−¯xn)2+···+ (xn−¯xn)2
n−1
u1−α
2est le fractile de 1−α
2qui sera lu dans la table des fractiles de la loi normale centrée
réduite.
t1−α
2est le fractile de 1−α
2qui sera lu dans la table des fractiles de la loi de Student à
n−1degrés de liberté.
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2.1 Intervalle de confiance pour la moyenne d’une distribution
normale
Dans ce paragraphe on suppose que Xi∼ N(µ;σ2).
1⋄Si on connaît la variance σ2:
¯xn−u1−α
2.σ
√n≤µ≤¯xn+u1−α
2.σ
√n
2⋄Si on ne connait pas la variance σ2:
¯xn−t1−α
2.sn
√n≤µ≤¯xn+t1−α
2.sn
√n
Si nest suffisemment grand (n≥30) le résultat ci–dessus peut–être approximé par :
¯xn−u1−α
2.sn
√n≤µ≤¯xn+u1−α
2.sn
√n
⋄Exemple : Douze adultes francophones ont fait l’objet d’une expérience de mémoire. Le
temps (en minutes) pour apprendre une liste de 5 verbes allemands est donné ci–dessous :
5,1 4,8 6,3 5,0 5,5 5,0 5,2 4,9 4,5 5,8 5,3 5,2
On suppose que le temps d’apprentissage de ces 5 verbes suit une distribution normale et
on cherche un intervalle de confiance pour le temps moyen d’apprentissage à un niveau
de confiance de 95%.
On est donc dans le cas où la distribution est normale, la variance est inconnue et nest
petit (n= 12).
En utilisant les mêmes notations que précédemment on a : 1−α= 0,95 et donc α= 0,05,
¯xn=5,1 + 4,8 + ···+ 5,3 + 5,2
12 ≃5,22
s2
n=(5,1−5,22)2+ (4,8−5,22)2+···+ (5,2−5,22)2
12 −1≃0,23 et donc sn≃0,48.
t1−α
2=t0,975 = 2,201 (on a n−1 = 12 −1 = 11 degrés de liberté).
On a :
5,22 −2,201.0,48
√12 ≤µ≤5,22 + 2,201.0,48 √12
et donc :
4,92 ≤µ≤5,52
Le temps d’apprentissage moyen des 5 verbes est donc compris entre 4,92 minutes et 5,52
minutes avec une probabilité de 95%.
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2.2 Intervalle de confiance pour la moyenne d’une distribution
quelconque
Dans ce paragraphe la distribution des Xin’est pas forcemment normale.
1⋄Si nest grand (n≥30) :
(a) Si la variance σ2est connue :
¯xn−u1−α
2.σ
√n≤µ≤¯xn+u1−α
2.σ
√n
(b) Si la variance σ2n’est pas connue :
¯xn−u1−α
2.sn
√n≤µ≤¯xn+u1−α
2.sn
√n
2⋄Si nn’est pas grand (n < 30) : il est difficile de construire un intervalle de confiance.
⋄Exemple : Un fabricant de voitures teste la consommation d’essence sur 80 véhicules
d’un même type. Il trouve que la consommation moyenne est ¯x= 6 litres au cent. De
plus, il sait que l’écart–type de la consommation pour ce type de voiture est σ= 0,2litre
au cent.
On cherche l’intervalle de confiance de l’estimation de la consommation moyenne µdes
voitures à un niveau de confiance de 95%.
On est ici dans le cas où l’on ne connaît pas la loi des Xi, la variance est connue et nest
grand (n= 80).
On a α= 0,05 ;¯x= 6 et σ= 0,2. De plus, u1−α
2=u0,975 = 1,96. Donc,
6−1,96.0,2
√80 ≤µ≤6 + 1,96.0,2 √80
On trouve :
5,95 ≤µ≤6,04
La consommation moyenne µest donc comprise entre 5,95 et 6,04 litres au cent avec une
probabilité de 95%.
3 Intervalle de confiance pour une proportion
On utilisera les notations suivantes :
pest la proportion d’individus d’une population possédant un certain caractère A(pest
la proportion à estimer).
fest une estimation ponctuelle de p.
1⋄Si nest grand (n≥30) :
f−u1−α
2.rf×(1 −f)
n≤π≤f+u1−α
2.rf×(1 −f)
n
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2⋄Si nn’est pas grand (n < 30) : il est plus difficile de construire un intervalle de
confiance.
⋄Exemple : Un échantillon aléatoire de 100 gravures, pris au hasard dans un grand lot,
en contient 15 ayant certaines imperfections.
On veut déterminer un intervalle de confiance de la proportion des gravures défectueuses
de ce lot à un niveau de 95%.
En utilisant les notations précédentes, on a : n= 100 ;f=15
100 = 0,15 ;1−α= 0,95
donc α= 0,05 et u1−α
2=u0,975 = 1,96. Donc :
0,15 −1,96.r0,15 ×(1 −0,15)
100 ≤p≤0,15 + 1,96.r0,15 ×(1 −0,15) 100
Donc :
0,08 ≤p≤0,22
Il y a donc 95% de chance qu’il y ait entre 8% et 22% de gravures avec des imperfections
dans le grand lot.
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