DEVOIR A LA MAISON N°4. TS1. f( )

DEVOIR A LA MAISON N°4. TS1.
Pour le mercredi 5 octobre 2016
I. f est la fonction définie sur \{3} par f(x) 3x² 10x6
x3 , Cf est la courbe de f dans un repère et
est la droite d équation y3x2 dans ce repère.
1. Etudier les positions relatives de Cf et .
2. Construire le tableau de variations de la fonction f.
3. Soit x un réel. Démontrer que si x4, alors f(x) 4.
4. Soit ( ) un la suite définie pour tout n de par 
u05
un1f( ) un.
a. Montrer par récurrence sur n que, pour tout n de , un4.
b. Montrer par récurrence sur n que la suite ( ) un est croissante.
II. Une usine fabrique des téléphones qu elle vend à des détaillants. Un contrôle de qualité a montré que
la probabilité qu'un téléphone fabriqué par l'entreprise soit défectueux est égale à 0,08. L entreprise
conditionne ses lampes par cartons de 20. On choisit un carton au hasard et on note X le nombre de
téléphones défectueux dans ce carton.
Si nécessaire, les résultats seront donnés à 10 3 près.
1.
a. Quelle est la loi de X ? Justifier en rédigeant soigneusement.
b. Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter par une phrase.
c. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 5 téléphones défectueux dans un
carton ? Détailler la formule du calcul.
d. Quelle est la probabilité d obtenir au plus 6 téléphones défectueux dans un carton ?
e. Quelle est la probabilité d obtenir au moins 8 téléphones défectueux dans un carton ?
2. Un carton est refusé par les commerçants s il contient au moins trois téléphones défectueux.
Déterminer la probabilité qu un carton soit refusé.
3. Un commerçant commande 8 cartons. Quelle est la probabilité qu il en refuse exactement 3 ?

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°4. TS1
I.
1. Soit x un réel de \{3}. f(x) (3x2) (3x²10x6) (3x2)(x3)
x3 x x3 .
On peut alors construire le tableau suivant :
x
0 3 +
x
+
x3
+
f(x) (3x 2)
+
+
Positions
Cf au dessus de
Cf en dessous de
Cf au dessus de
Cf est au dessus de sur ] 0] et sur ]3 [ et Cf est en dessous de sur [0 3[.
2. f est dérivable sur -{3} comme quotients de fonctions dérivables.
f (x) (6x10)(x3) (3x² 10x6)1
(x3)2 3x² 18x24 (x3)2 .
Signe de 3x² 18x24 : 36 donc le trinôme a deux racines qui sont 2 et 4 et il est positif (du signe
de a3) sauf entre ces racines. On peut donc dresser le tableau de variations :
x
2 3 4 +
3x² 18x24
+
+
(x3)2
+
+
+
+
f (x)
+
+
f(x)
2
14
3. Soit x un réel. Si x4, alors f(x)f(4) car f est croissante sur [4 [.
alors f(x) 14 car f(4) 14
alors f(x) 4 car 14 4
4. Soit ( ) un la suite définie pour tout n de par 
u05
un1f( ) un.
a. Initialisation : pour n00 : u05 et 5 4 donc u04. La propriété est vraie pour n00.
Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que up4. Montrons que up14.
up4 donc f( ) upf(4) car f est croissante sur [4 [
donc up114 car f(4) 14 et f( ) upup1
donc up14 car 14 4.
Conclusion : pour tout n de , un4.
b. Montrons par récurrence que, pour tout n de , un1un.
Initialisation : pour n00 : u05 et u1f(5) 15,5donc u1u0. La propriété est vraie pour
n00.
Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que up1up. Montrons que up2up1.
up1up4 d après le a
donc f( ) up1f( ) up car f est croissante sur [4 [
donc up2up1 car up2f( ) up1 et up1f( ) up
Conclusion : pour tout n de , un1un. La suite ( ) un est donc croissante.
II.
1. a. On répète 20 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli consistant à choisir un
téléphone et à noter s il est défectueux. La probabilité que le téléphone soi défectueux est 0,08.
Alors la variable aléatoire X qui compte le nombre de téléphones défectueux suit la loi
binomiale de paramètres n20 et p0,08.
b. E(X)np 20 0,08 1,6. Si on choisit un grand nombre de cartons, on aura en
moyenne 1,6 téléphone défectueux par carton.

c. P(X5) 
20
50,085(1 0,08)20 5 0,015.
La probabilité d'obtenir exactement 5 téléphones défectueux dans un carton est environ
0,015.
d. D après la calculatrice, P(X6) 0,999. La probabilité d obtenir au plus 6 téléphones
défectueux dans un carton est environ 0,999.
e. P(X8) 1 P(X7) 8,76 10 50
La probabilité d obtenir au moins 8 téléphones défectueux dans un carton est environ 0.
2. P(X3) 1 P(X2) 0,212. La probabilité qu un carton soit refusé est environ 0,212.
3. On note Y la variable aléatoire correspondant au nombre de cartons refusés.
On répète 8 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli consistant à choisir un carton et à noter
s il est refusé. La probabilité qu il soit refusé est environ 0,212. Alors Y suit la loi binomiale de
paramètres n8 et p0,212.
P(Y3) 0,162. La probabilité que le commerçant refuse exactement 3 cartons est environ
0,162.