DEVOIR A LA MAISON N°4. TS1. f( )

DEVOIR A LA MAISON N°4.
TS1.
Pour le mercredi 5 octobre 2016
3x² 10x 6 , C est la courbe de f dans un repère et
f
x 3
est la droite d équation y 3x 2 dans ce repère.
1.
Etudier les positions relatives de Cf et .
2.
Construire le tableau de variations de la fonction f.
3.
Soit x un réel. Démontrer que si x 4, alors f(x) 4.
u0 5
4.
Soit ( un ) la suite définie pour tout n de par 
.
un 1 f ( un )
a.
Montrer par récurrence sur n que, pour tout n de , un 4.
b.
Montrer par récurrence sur n que la suite ( un ) est croissante.
I.
f est la fonction définie sur \{3} par f(x)
II. Une usine fabrique des téléphones qu elle vend à des détaillants. Un contrôle de qualité a montré que
la probabilité qu'un téléphone fabriqué par l'entreprise soit défectueux est égale à 0,08. L entreprise
conditionne ses lampes par cartons de 20. On choisit un carton au hasard et on note X le nombre de
téléphones défectueux dans ce carton.
Si nécessaire, les résultats seront donnés à 10 3 près.
1.
a.
Quelle est la loi de X ? Justifier en rédigeant soigneusement.
b.
Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter par une phrase.
c.
Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 5 téléphones défectueux dans un
carton ? Détailler la formule du calcul.
d.
Quelle est la probabilité d obtenir au plus 6 téléphones défectueux dans un carton ?
e.
Quelle est la probabilité d obtenir au moins 8 téléphones défectueux dans un carton ?
2.
Un carton est refusé par les commerçants s il contient au moins trois téléphones défectueux.
Déterminer la probabilité qu un carton soit refusé.
3.
Un commerçant commande 8 cartons. Quelle est la probabilité qu il en refuse exactement 3 ?
CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°4.
TS1
I.
1.
Soit x un réel de \{3}. f(x) (3x 2)
(3x²10x 6) (3x 2)(x 3)
x 3
x
.
x 3
On peut alors construire le tableau suivant :
x
0
3
+
+
x
+
x 3
+
+
f(x) (3x 2)
Positions
Cf au dessus de
Cf en dessous de
Cf au dessus de
Cf est au dessus de sur ]
0] et sur ]3
[ et Cf est en dessous de sur [0 3[.
2.
f est dérivable sur -{3} comme quotients de fonctions dérivables.
10x 6)1 3x² 18x 24 .
f (x) (6x 10)(x 3) (3x²
2
2
(x 3)
(x 3)
Signe de 3x² 18x 24 :
36 donc le trinôme a deux racines qui sont 2 et 4 et il est positif (du signe
de a 3) sauf entre ces racines. On peut donc dresser le tableau de variations :
x
2
3
4
+
+
+
3x² 18x 24
2
+
+
+
+
(x 3)
+
+
f (x)
2
f(x)
14
3.
Soit x un réel. Si x 4, alors f(x) f(4) car f est croissante sur [4
[.
alors f(x) 14 car f(4) 14
alors f(x) 4 car 14 4
u0 5
4.
Soit ( un ) la suite définie pour tout n de par 
.
un 1 f ( un )
a.
Initialisation : pour n0 0 : u0 5 et 5 4 donc u0 4. La propriété est vraie pour n0 0.
Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que up 4. Montrons que up 1 4.
up 4 donc f ( up ) f(4) car f est croissante sur [4
[
donc up 1 14 car f(4) 14 et f ( up ) up 1
donc up 1 4 car 14 4.
Conclusion : pour tout n de , un 4.
b.
Montrons par récurrence que, pour tout n de , un 1 un .
Initialisation : pour n0 0 : u0 5 et u1 f(5) 15,5donc u1 u0 . La propriété est vraie pour
n0 0.
Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que up 1 up . Montrons que up 2 up 1.
up 1 up 4 d après le a
donc f (up 1) f ( up ) car f est croissante sur [4
[
donc up 2 up 1 car up 2 f ( up 1 ) et up 1 f ( up )
Conclusion : pour tout n de , un 1 un . La suite ( un ) est donc croissante.
II.
1.
a.
On répète 20 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli consistant à choisir un
téléphone et à noter s il est défectueux. La probabilité que le téléphone soi défectueux est 0,08.
Alors la variable aléatoire X qui compte le nombre de téléphones défectueux suit la loi
binomiale de paramètres n 20 et p 0,08.
b.
E(X) np 20 0,08 1,6. Si on choisit un grand nombre de cartons, on aura en
moyenne 1,6 téléphone défectueux par carton.
 20 
  0,085 (1 0,08)20 5 0,015.
 5 
La probabilité d'obtenir exactement 5 téléphones défectueux dans un carton est environ
0,015.
d.
D après la calculatrice, P(X 6) 0,999. La probabilité d obtenir au plus 6 téléphones
défectueux dans un carton est environ 0,999.
e.
P(X 8) 1 P(X 7) 8,76 10 5 0
La probabilité d obtenir au moins 8 téléphones défectueux dans un carton est environ 0.
2.
P(X 3) 1 P(X 2) 0,212. La probabilité qu un carton soit refusé est environ 0,212.
3.
On note Y la variable aléatoire correspondant au nombre de cartons refusés.
On répète 8 fois de façon indépendante l épreuve de Bernoulli consistant à choisir un carton et à noter
s il est refusé. La probabilité qu il soit refusé est environ 0,212. Alors Y suit la loi binomiale de
paramètres n 8 et p 0,212.
P(Y 3) 0,162. La probabilité que le commerçant refuse exactement 3 cartons est environ
0,162.
c.
P(X
5)