1 Manipulation d`égalités entre nombres 2 Manipulations d

1
Manipulation d’égalités entre nombres
1.1
Opérations sur les égalités
On peut ajouter ou multiplier un même nombreà chaque membre d’une égalité :
a+x = b+x
si a = b, alors
a×x = b×x
Soustraire, c’est ajouter l’opposé, donc on peut soustraire un même nombre à chaque membre de
l’égalité. Mais diviser par x, c’est multiplier par l’inverse de x, qui n’existe que si x est non nul.
Donc on ne peut diviser chaque membre de l’égalité que par un nombre non nul.
On déduit de tout cela qu’on peut additionner, soustraire, multiplier membre à membre des égalités
sans contraintes, mais qu’on ne divise membre à membre
 des égalités que si les diviseurs sont non nuls :
 a+b = c+d
a−b = c−d
si a = c et b = d, alors

a×b = c×d
a
c
si de plus, b 6= 0, alors =
b
d
1.2
Simplification d’égalités
Simplifier n’existe pas ! On ne simplifie pas, on applique l’une des régles précédentes.
— si a + x = b + x, alors a = b (on ajoute −x à chaque membre)
— si a × x = b × x, alors a = b si on est sûr que x 6= 0 (on multiplie chaque membre par
si on n’est pas sûr, on traite deux cas (cas où x = 0 et cas où x 6= 0).
2
2.1
1
) ; et
x
Manipulations d’inégalités entre réels
Opérations sur les inégalités
On peut ajouter un même objet à chaque membre d’une inégalité :
si a 6 b, alors a + x 6 b + x
On peut multiplier chaque membre de l’inégalité par un même nombre positif :
si a 6 b et x > 0, alors a × x 6 b × x
On peut multiplier chaque membre de l’inégalité par un même nombre négatif, à condition de retourner
l’inégalité :
si a 6 b et x 6 0, alors a × x > b × x
On peut inverser chaque membre de l’inégalité, à condition qu’ils aient le même signe et de retourner
l’inégalité :
1
1
si 0 < a 6 b , alors > > 0
a
b
Pour les mêmes raisons que les égalités, soustraire ne pose pas de problème, mais comme diviser, c’est
multiplier par l’inverse, on fera attention au signe.
De cela, on déduit les résultats suivants.
On peut ajouter membre à membre des inégalités :
si a 6 c et b 6 d, alors a + b 6 c + d
On peut multiplier membre à membre des inégalités entre nombres positifs :
si 0 6 a 6 c et 0 6 b 6 d, alors 0 6 a × b 6 c × d
Et c’est tout ce qu’on a le droit de faire ! On ne peut ni soustraire, ni diviser membre à membre
des inégalités, même entre nombres positifs.
2.2
Simplification d’inégalités
Encore une fois, simplifier n’existe pas ! On ne simplifie pas, on applique l’une des régles précédentes.
— si a + x 6 b + x, alors a 6 b (on ajoute −x à chaque membre)
1
— si a × x 6 b × x et x > 0, alors a 6 b (on multiplie chaque membre par > 0)
x
On retiendra que dès qu’on veut appliquer une opération multiplicative (multiplication,
division, exponentiation) sur une inégalité, il faut absolument prendre garde aux signes,
le cas favorable étant le cas où tous les nombres sont positifs. Un outil très utile pour évacuer les
signes : la valeur absolue !
3
Valeur absolue
Définition. Soit x un réel. On appelle valeur absolue de x, notée |x|, le nombre réel tel que
— si x > 0, alors |x| = x
— si x 6 0, alors |x| = −x.
On constate alors que |x| est toujours positif.
3.1
Règles de calculs avec les valeurs absolues
La valeur absolue est compatible avec les opérations multiplicatives : pour tous réels a et b,
— |a.b| = |a|.|b|
a |a|
— si de plus b 6= 0, alors =
b
|b|
— si n est un entier, alors |an | = |a|n .
On en déduit que pour tous réels a, b, c, d,
— si |a| 6 |b|, alors |ac| 6 |bc|
— si |a| 6 |b| et |c| 6 |d|, alors |ac| 6 |bd|
En revanche, la valeur absolue n’est pas compatible avec les opérations additives : en général, on ne
peut pas affirmer que |a + b| = |a| + |b|. Cependant, on a quand même une relation entre ces deux
nombres.
Théorème 1 (Inégalité triangulaire). Pour tous réels a, b, on a l’inégalité |a + b| 6 |a| + |b|.
On en déduit la conséquence suivante :
Corollaire 1. pour tous réels a, b, on a l’inégalité |a| − |b| 6 |a − b|.
3.2
Inégalités et valeurs absolues
Toute inégalité du type |a| 6 K implique, pour qu’elle ait un sens, que K est forcément un nombre
positif. Dans ce cas, on peut transformer l’inégalité avec la valeur absolue en une double inégalité :
|a| 6 K
⇐⇒
−K 6 a 6 K
Attention, ça ne marche pas dans l’autre sens. D’abord, si K est un réel négatif, l’inégalité |a| > K
est toujours vraie donc elle n’apporte aucun renseignement sur a. Et dans l’autre cas, si K est un réel
positif, alors
|a| > K ⇐⇒
Enfin, mis à part les règles de calcul précédentes, on ne peut rien dire de mieux à propos des opérations
sur des inégalités entre des valeurs absolues : « les inégalités ne traversent pas les barres de valeurs
absolues ».
2
4
Exposants et racines
Soit x un réel.
Si n est un entier naturel non nul, alors xn désigne x × x × x . . . × x où x est répété n fois.
Si n = 0, alors par convention, on pose x0 = 1.
m
1
Si n est un entier relatif négatif (n = −m), alors x désigne
à condition bien sûr que x soit non
x
nul.
n
Si n est un entier naturel non nul et x positif, alors √
x1/n désigne l’unique réel positif y tel que y n = x :
y est appelé la racine n-ème de x et est aussi notée n x. Dans le cas n = 2, on retrouve la racine carrée
bien connue. Dans le cas n = 3, on appelle aussi ce nombre la racine cubique de x.
√ p
p
Enfin, si l’exposant est un rationnel et x est potitif, alors xp/q vaut q x .
q
Selon les conditions sur n et x, ces notations vérifient les mêmes propriétés calculatoires:
n
— pour tout nombre x et tous exposants m, n, on a xm+n = xm × xn et xmn = xm ;
— pour tous nombres x, y et tout exposant n, on a (xy)n = xn × y n .
Dans le cas des exposants entiers, on se méfiera des simplifications hâtives :
on a bien sûr « si x = y, alors xn = y n », mais la réciproque est fausse en général ;
si n est un nombre impair, alors elle est vraie : si xn = y n , alors x = y ; mais si n est un nombre pair,
alors on a seulement : si xn = y n , alors |x| = |y| ! (cas le plus courant : n = 2 . . .)
3