1 Manipulation d`égalités entre nombres 2 Manipulations d

1 Manipulation d’égalités entre nombres
1.1 Opérations sur les égalités
On peut ajouter ou multiplier un même nombre à chaque membre d’une égalité :
si a=b, alors a+x=b+x
a×x=b×x
Soustraire, c’est ajouter l’opposé, donc on peut soustraire un même nombre à chaque membre de
l’égalité. Mais diviser par x, c’est multiplier par l’inverse de x,qui n’existe que si xest non nul.
Donc on ne peut diviser chaque membre de l’égalité que par un nombre non nul.
On déduit de tout cela qu’on peut additionner, soustraire, multiplier membre à membre des égalités
sans contraintes, mais qu’on ne divise membre à membre des égalités que si les diviseurs sont non nuls :
si a=cet b=d, alors 
a+b=c+d
a−b=c−d
a×b=c×d
si de plus, b6= 0, alors a
b=c d
1.2 Simplification d’égalités
Simplifier n’existe pas ! On ne simplifie pas, on applique l’une des régles précédentes.
— si a+x=b+x, alors a=b(on ajoute −xà chaque membre)
— si a×x=b×x, alors a=bsi on est sûr que x6= 0 (on multiplie chaque membre par 1
x) ; et
si on n’est pas sûr, on traite deux cas (cas où x= 0 et cas où x6= 0).
2 Manipulations d’inégalités entre réels
2.1 Opérations sur les inégalités
On peut ajouter un même objet à chaque membre d’une inégalité :
si a6b, alors a+x6b+x
On peut multiplier chaque membre de l’inégalité par un même nombre positif :
si a6bet x>0, alors a×x6b×x
On peut multiplier chaque membre de l’inégalité par un même nombre négatif, à condition de retourner
l’inégalité :
si a6bet x60, alors a×x>b×x
On peut inverser chaque membre de l’inégalité, à condition qu’ils aient le même signe et de retourner
l’inégalité :
si 0< a 6b, alors 1
a>1 b>0
Pour les mêmes raisons que les égalités, soustraire ne pose pas de problème, mais comme diviser, c’est
multiplier par l’inverse, on fera attention au signe.
De cela, on déduit les résultats suivants.
On peut ajouter membre à membre des inégalités :
si a6cet b6d, alors a+b6c+d
On peut multiplier membre à membre des inégalités entre nombres positifs :
si 06a6cet 06b6d, alors 06a×b6c×d
Et c’est tout ce qu’on a le droit de faire ! On ne peut ni soustraire, ni diviser membre à membre
des inégalités, même entre nombres positifs.

2.2 Simplification d’inégalités
Encore une fois, simplifier n’existe pas ! On ne simplifie pas, on applique l’une des régles précédentes.
— si a+x6b+x, alors a6b(on ajoute −xà chaque membre)
— si a×x6b×xet x > 0, alors a6b(on multiplie chaque membre par 1
x>0)
On retiendra que dès qu’on veut appliquer une opération multiplicative (multiplication,
division, exponentiation) sur une inégalité, il faut absolument prendre garde aux signes,
le cas favorable étant le cas où tous les nombres sont positifs. Un outil très utile pour évacuer les
signes : la valeur absolue !
3 Valeur absolue
Définition. Soit xun réel. On appelle valeur absolue de x, notée |x|, le nombre réel tel que
— si x>0, alors |x|=x
— si x60, alors |x|=−x.
On constate alors que |x|est toujours positif.
3.1 Règles de calculs avec les valeurs absolues
La valeur absolue est compatible avec les opérations multiplicatives : pour tous réels aet b,
—|a.b|=|a|.|b|
— si de plus b6= 0, alors 
a
b
=|a|
|b|
— si nest un entier, alors |an|=|a|n.
On en déduit que pour tous réels a, b, c, d,
— si |a|6|b|, alors |ac|6|bc|
— si |a|6|b|et |c|6|d|, alors |ac|6|bd|
En revanche, la valeur absolue n’est pas compatible avec les opérations additives : en général, on ne
peut pas affirmer que |a+b|=|a|+|b|. Cependant, on a quand même une relation entre ces deux
nombres.
Théorème 1 (Inégalité triangulaire).Pour tous réels a, b, on a l’inégalité |a+b|6|a|+|b|.
On en déduit la conséquence suivante :
Corollaire 1. pour tous réels a, b, on a l’inégalité 
|a|−|b| 6|a−b|.
3.2 Inégalités et valeurs absolues
Toute inégalité du type |a|6Kimplique, pour qu’elle ait un sens, que Kest forcément un nombre
positif. Dans ce cas, on peut transformer l’inégalité avec la valeur absolue en une double inégalité :
|a|6K⇐⇒ −K6a6K
Attention, ça ne marche pas dans l’autre sens. D’abord, si Kest un réel négatif, l’inégalité |a|>K
est toujours vraie donc elle n’apporte aucun renseignement sur a. Et dans l’autre cas, si Kest un réel
positif, alors
|a|>K⇐⇒
Enfin, mis à part les règles de calcul précédentes, on ne peut rien dire de mieux à propos des opérations
sur des inégalités entre des valeurs absolues : « les inégalités ne traversent pas les barres de valeurs
absolues ».
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4 Exposants et racines
Soit xun réel.
Si nest un entier naturel non nul, alors xndésigne x×x×x . . . ×xoù xest répété nfois.
Si n= 0, alors par convention, on pose x0= 1.
Si nest un entier relatif négatif (n=−m), alors xndésigne 1
xm
à condition bien sûr que xsoit non
nul.
Si nest un entier naturel non nul et xpositif, alors x1/n désigne l’unique réel positif ytel que yn=x:
yest appelé la racine n-ème de xet est aussi notée n
√x. Dans le cas n= 2, on retrouve la racine carrée
bien connue. Dans le cas n= 3, on appelle aussi ce nombre la racine cubique de x.
Enfin, si l’exposant est un rationnel p
qet xest potitif, alors xp/q vaut q
√xp.
Selon les conditions sur net x, ces notations vérifient les mêmes propriétés calculatoires :
— pour tout nombre xet tous exposants m, n, on a xm+n=xm×xnet xmn =xmn;
— pour tous nombres x, y et tout exposant n, on a (xy)n=xn×yn.
Dans le cas des exposants entiers, on se méfiera des simplifications hâtives :
on a bien sûr « si x=y, alors xn=yn», mais la réciproque est fausse en général ;
si nest un nombre impair, alors elle est vraie : si xn=yn, alors x=y; mais si nest un nombre pair,
alors on a seulement : si xn=yn, alors |x|=|y|! (cas le plus courant : n= 2 . . .)
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