Chapitre 1 - Diabolomaths

© Julien Fonteniaud Professeur de mathématiques
5
Nombres en
écriture
fractionnaire
Sens de
l’écriture
fractionnaire.
Multiples et
diviseurs,
divisibilité.
Division par un
décimal
[N1]
2 semaines
Utiliser diverses représentations
d’un même nombre (écriture
décimale ou fractionnaire,
notation scientifique, repérage sur
une droite graduée) ; passer d’une
représentation à une autre.
• Nombres décimaux.
• Nombres rationnels
(positifs ou négatifs), notion
d’opposé.
• Fractions, fractions
irréductibles, cas particulier
des fractions décimales.
Comparer, ranger, encadrer des
nombres rationnels.
Repérer et placer un nombre
rationnel sur une droite graduée.
• Ordre sur les nombres
rationnels en écriture
décimale ou fractionnaire.
• Égalité de fractions.
Déterminer si un entier est ou
n’est pas multiple ou diviseur d’un
autre entier.
Simplifier une fraction donnée
pour la rendre irréductible.
• Multiples et diviseurs.
Dès le début du cycle 4, les élèves construisent et
mobilisent la fraction comme nombre qui rend
toutes les divisions possibles.
Nombres en écriture fractionnaire :
Écriture fractionnaire.
Opposé
En 5ème, les élèves calculent et comparent
proportions et fréquences, justifient par un
raisonnement l'égalité de deux quotients,
reconnaissent un nombre rationnel.
Sens de l’écriture fractionnaire (donner l’expression
d’une proportion, d’une fréquence).
Ordre.
Multiples et diviseurs, divisibilité.
Comparaison de deux nombres relatifs en écriture
décimale ou fractionnaire.
Un quotient ne change pas quand on multiplie son
numérateur et son dénominateur par un même
nombre.
Division par un décimal.
Utiliser l’écriture fractionnaire comme expression
d’une proportion, d'une fréquence.
Reconnaître, dans des cas simples, si un nombre entier
positif est multiple ou diviseur d'un autre nombre
entier positif.
Utiliser sur des exemples numériques des égalités du
type
Ramener une division dont le diviseur est décimal à une
division dont le diviseur est entier.
Fractions – Définition et comparaison
Activité : Correction de la petite fiche
Rappel : Fractions = partage en primaire (activité 1)
nombre manquant en 6ème (activité 2)
proportion en 5ème
Exemple : Nombre de filles dans la classe, nombre d’élèves qui portent des lunettes,
ou une montre ou blonds,… (trouver un exemple avec un dénominateur de population
totale et un dénominateur 2 (1
2 par exemple)).
I. Rappels et compléments
1. Définitions
 Soient a et b deux nombres avec b 0. Le nombre a
b est le quotient de a par b :
a
b = ab
 C’est un nombre qui rend possible toutes les divisions,
 C’est le résultat de la division de a par b,
S1 + S2

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 C’est une proportion d’une population par rapport à une autre.
 Exemple : 12
23 des élèves de 5A portent des lunettes,
1
2 des élèves de 5A portent une montre (à expliquer).
 a est le numérateur et b est le dénominateur,
a
b est appelé écriture fractionnaire,
Si a et b sont des entiers, a
b est appelé fraction.
 Exemple : 3,5
4 ; 1 5,5 ; 2,8 3,5 sont des écritures fractionnaires, 5 7 ; 12 5 sont des fractions.
 Remarques : a
1 = a, 0 b = 0, a a = 1.
 Application : Si 2
3 des 27 élèves de 5A sont des filles, combien y a-t-il de filles ?
 Exercice : 33 à 41 p 53
Activité : Fiche
2. Différentes écritures d’un même nombre
Pour tous nombres a, b et c (b et c non nuls)
ac
bc = a b
C'est-à-dire : On ne change pas la valeur d’une écriture fractionnaire si l’on multiplie (ou
divise) son numérateur ET son dénominateur par un même nombre.
 Exemples : 1
5 = 1×3 5×3 = 5 15
 Application : Simplifier 14
21 : 14 21 = 72
73 = 2
3
 Exercice : 46 – 47 – 50 – 51 p 54
Correction des exercices
Fiche à coller dans la leçon + lecture des critères de divisibilité.
S3
S4

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 Applications : Simplifier 75
45 : 75 45 = 515
59 = 15
9 = 53
33 = 5
3
Simplifier 784
256 : 784 256 = 4196
464 = 196
64 = 449
416 = 49
16
 Exercices : 42 – 43 – 44 p 53 – 15 – 17 – 19 p 51
 Calcul Mental
 Activité : Un gigot de 2,8 kg coûte 39,76 €. Quelle opération doit on faire pour
connaitre le prix du kg ? Comment réaliser cette division ?
39,76 ÷ 2,8 = 39,76
2,8 = 39,76×10 2,8×10 = 397,6 28 = 397,6 ÷ 28
II. Division par un nombre décimal
Pour diviser un nombre par un nombre décimal, on multiplie le diviseur et le dividende
par 10, 100, 1000… jusqu’à ce que le diviseur soit entier.
 Exemple : 0,68 ÷ 3,2 = ?
0,68  3,2 = 0,68
3,2 = 0,6810
3,210 = 6,8
32 = 6,8 ÷ 32
 Exercices : 24 – 25 – 26 – 30 p 52 – 57 – 58 – 61 p 55 – Fiche
Fiche d’activité (à l’oral et ensemble)
III. Comparaison de nombres en écriture fractionnaire
1. Cas où les dénominateurs sont les mêmes
Dans ce cas, on compare les numérateurs et on range les écritures fractionnaires dans le
même ordre
décimal
entier
0
0
0
8
6,
2
3
5
2
1
2
0,
0
-
8
6
4
6
-
0
4
2
3
-
0
8
4
6
-
0
6
1
0
6
1
-
0
S5
S6

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 Exemple : Comparer 7,5
9 et 7,49 9
7,5 > 7,49 donc 7,5
9 > 7,49 9
2. Cas où les dénominateurs sont différents
Dans ce cas, on commence par réduire au même dénominateur (cf I.2.) puis on se sert de
la méthode précédente.
 Exemple : Comparer 7
12 et 3,4 6
On commence par mettre au même dénominateur : 3,4
6 = 3,42
62 = 6,8
12
On conclut : 6,8 < 7 donc 6,8
12 < 7 12 donc 3,4 6 < 7 12
 Exercices : Fiche
 Remarques :
 Comparaison à 1 : Une écriture fractionnaire est plus grande que 1 si le numérateur est
plus grand que le dénominateur
 Exemples : 45
27 > 1 et 3 5 < 1 donc 45 27 > 3 5
 Cas où les numérateurs sont les mêmes (exemple 1
2 et 1 3 avec les parts)
On compare les dénominateurs puis on inverse l’ordre :
 Exemple : Comparer 3
5 ; 3 7 ; 3 9 ; 3 12
5 < 7 < 9 < 12 donc 3
5 > 3 7 > 3 9 > 3 12
 Exercices : Fiche
S7