Chapitre 1 Courbes et surfaces - Université de Cergy

Chapitre 1
Courbes et surfaces
Voir fichier spécifique.
1
Chapitre 2
Généralités sur les fonctions de
deux variables
Voir fichier spécifique.
2
Chapitre 3
Limite & continuité d’une
fonction de deux variables
Voir fichier spécifique.
3
Chapitre 4
Dérivabilité d’une fonction de
deux variables - Différentielle
4.1
4.1.1
Dérivées partielles d’ordre un
1 Définitions
Dans tout le chapitre, les fonctions considérées seront définies et étudiées sur
des ouverts Ω de R2 .
Définition 1. Soient f une fonction définie sur un ouvert Ω de R2 et M0 (x0 , y0 )
un point de Ω. On appelle dérivée partielle de la fonction f par rapport à la
variable x au point M0 , la dérivée au réel x0 , lorsqu’elle existe, de la première
∂f
(x0 , y0 ). On a
fonction partielle F1 : x 7→ f (x, y0 ) : cette dérivée est notée
∂x
donc (sous réserve d’existence d’une limite réelle) :
∂f
F1 (x) − F1 (x0 )
(x0 , y0 ) = F10 (x0 ) = lim
x→x0
∂x
x − x0
= x→x
lim
0
f (x, y0 ) − f (x0 , y0 )
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
= lim
h→0
x − x0
h
4
4.1. DÉRIVÉES PARTIELLES D’ORDRE UN
5
De la même façon, on appelle dérivée partielle de la fonction f par rapport
à la variable y au point M0 , la dérivée au réel y0 , lorsqu’elle existe, de la seconde
∂f
fonction partielle F2 : y 7→ f (x0 , y) : cette dérivée est notée
(x0 , y0 ). On a
∂y
donc (sous réserve d’existence d’une limite réelle) :
F2 (y) − F2 (y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = F20 (x0 ) = y→y
lim
0
∂y
y − y0
= lim
y→y0
f (x0 , y) − f (x0 , y0 )
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
= lim
h→0
y − y0
h
Si f possède des dérivées partielles par rapport à x et à y au point (x0 , y0 ), on
dit que f est dérivable en (x0 , y0 ).
De façon plus générale, on dit que f est dérivable sur Ω si les deux dérivées
∂f
(x, y)
partielles d’ordre un existent pour tout point M (x, y) de Ω. On les note
∂x
∂f
et
(x, y).
∂y
∂f
:
Ω −→ R
∂x
∂f
f (x + h, y) − f (x, y)
(x, y) 7−→
(x, y) = lim
h→0
∂x
h
∂f
:
Ω −→ R
∂y
f (x, y + h) − f (x, y)
∂f
(x, y) = lim
(x, y) 7−→
h→0
∂y
h
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6
CHAPITRE 4. DÉRIVABILITÉ D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - DIFFÉRENTIELLE
q
q
Exemple 1 Soit f définie sur R2 par f (x, y) = |x| × |y|. On peut vérifier que
f est continue sur R2 mais que f n’est pas dérivable si x = 0 ou y = 0
Figure 4.1 – Un exemple de fonction non dérivable
Exemple 2 Considérons la fonction f définie sur R2 par f (x, y) = −(x2 + y 2 ).
C’est le paraboloïde de révolution « renversé » pour plus de lisibilité ... Ici, il est
représenté sur un domaine restreint [0; 3] × [0; 3] :
Figure 4.2 – Paraboloïde
On va étudier ce qui se passe au point M00 (2; 1; −5) : on a représenté en gras
les deux courbes C1 (respect. C2 ) des fonctions x 7→ F1 (x) = f (x, 1) = −x2 − 1 et
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4.1. DÉRIVÉES PARTIELLES D’ORDRE UN
7
y 7→ F2 (y) = f (2, y) = −y 2 − 4 sur le paraboloïde : ces deux courbes se coupent
en M00
Figure 4.3 – Courbes des fonctions F1 et F2 sur le paraboloïde
On a alors F10 (x) = −2x : ce qui nous permet de tracer le vecteur tangent à la
courbe C1 : en effet, lorsqu’on se place dans le plan d’équation y = 1 cette courbe
a pour équation z = F1 (x) = −x2 − 1, donc F10 (2) = −4 : coefficient directeur de
−
la
tangente
au point M00 et donc son vecteur tangent a pour composantes →
v1 =


1


 0 
−4
De même
F20
(y) = −2y : on trace le vecteur tangent à la courbe C2 .

0


→
−
v2 =  1 
−2
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CHAPITRE 4. DÉRIVABILITÉ D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - DIFFÉRENTIELLE
Figure 4.4 – Plan d’équation y = 1 et vecteur tangent à C1 en M00 (2; 1; −5)
Figure 4.5 – Vecteurs tangents aux courbes C1 et C2
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4.1. DÉRIVÉES PARTIELLES D’ORDRE UN
9
Exemples 3
2
1. Soit f la fonction définie sur R2 par f (x, y) = 2xy 2 + xex +3y . Déterminer
∂f
∂f
(x, y) et
(x, y).
∂x
∂y
x
2. Soit f la fonction définie sur R2 r {y = 0} par f (x, y) = . Pour tout x et
y
∂f
∂f
(x, y) et
(x, y)
tout y 6= 0, déterminer
∂x
∂y
Définition 2. Soit f une fonction définie sur un ouvert Ω de R2 . On dit que f est
de classe C 1 sur Ω si et seulement si elle est dérivable sur Ω et si ses dérivées
∂f
∂f
partielles d’ordre un
et
sont continues sur Ω.
∂x
∂y
Définition 3. Soient f une fonction définie et de classe C 1 sur un ouvert Ω de
R2 et M0 (x0 , y0 ) un point de Ω.


∂f
(x
,
y
)
0 0 

 ∂x

−−−−→


On appelle gradient de f au point M0 le vecteur grad f (M0 ) =  ∂f


(x0 , y0 ) 
∂y
2
Exemples 4 1. Soit f la fonction définie sur R2 par f (x, y) = 2xy 2 + xex +3y .
Déterminer le gradient f au point (−1; 0)
x
2. Soit f la fonction définie sur R2 r {y = 0} par f (x, y) = . Déterminer le
y
gradient f au point (2; 3)
Théorème 1. Le vecteur gradient au point M0 (x0 , y0 ) est orthogonal à la tangente
à la ligne de niveau de f passant par M0 .
La preuve sera (peut être ...) vue plus tard lors que sera abordée la notion de
différentielle d’une fonction.
Exemple 5 Soit f la fonction définie sur R2 par f (x, y) = x2 + y 2 (paraboloïde
de révolution)
Soit I 5 la courbe √
de niveau d’équation x2 + y 2 = 5 : I 5 est donc le cercle de
centre O et de rayon 5 dans le plan d’équation z = 0.
Soit M0 (x0 , y0 , 0) un point de !
I 5 . Dans le plan (xOy), le!vecteur gradient en
−−−→
2x0
x0
M0 à I 5 a pour coordonnées
colinéaire à OM0 =
qui est orthogonal
2y0
y0
au vecteur tangent au cercle I 5 et passant par M0 .
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CHAPITRE 4. DÉRIVABILITÉ D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - DIFFÉRENTIELLE
6
50
50
45
45
40
40
50
4
45
40
2
35
35
25
10
5
30
30
15
20
Z
0
25
20
15
-2
10
40
35
30
5
-4
- 05
45 40 35
-4
-3
-2
40
30
40
45
5
-1
X
0
1
2
3
4
30
35
40
5
-5
-4
-3
-2
10
-1
30
15
0
20
1
2
4
45
50
35 40
3
50
5
Y
-6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Figure 4.6 – Courbes de niveau du paraboloïde d’équation z = x2 + y 2
Conséquence : Équation de la tangente en M0 à une ligne de niveau
−−−−→
Soit L la ligne de niveau
passant par M0 (x0 , y0 ) : supposons que grad f (M0 ) =
!
∂f
∂f
→
−
(x0 , y0 ),
(x0 , y0 ) 6= 0 : alors la tangente T à L admet pour équation
∂x
∂y
cartésienne :
∂f
∂f
(x0 , y0 ).(x − x0 ) +
(x0 , y0 ).(y − y0 ) = 0
∂x
∂y
2
2
Exemple 6 Soit f la fonction définie sur R2 par f (x, y) = xy.ex +y . Déterminer
une équation de la tangente T à la ligne de niveau passant par le point M0 (−1; 0)
Définition 4. Le plan tangent en M00 (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) à la surface représentative
Gf de f est le plan qui passe par M00 et qui admet pour vecteur normal

→
−
n =







∂f
(x0 , y0 )
∂x
∂f
(x0 , y0 )
∂y
−1








Donc l’équation du plan tangent au graphe de f au point M00 est :
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 ) − (z − z0 ) = 0
∂x
∂y
Exemple 7 Soit f définie par f (x, y) = −(x2 + y 2 ) : Donner l’équation du plan
tangent au graphe de f au point M0 (2; 1; −5).
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4.1. DÉRIVÉES PARTIELLES D’ORDRE UN
11
Figure 4.7 – Plan tangent au paraboloïde au point M0 (1; 2; −5)
4.1.2
1.2 Dérivation d’une fonction composée
Premier type :
Soit f une fonction définie et de classe C 1 sur un ouvert Ω de R2 où chacune
des variables x et y est une fonction d’une variable t définie sur un intervalle I de
R, et M0 (x0 ; y0 ) tel que x0 = x(t0 ) et y0 = y(t0 )
Théorème 2. Si f admet des dérivées partielles d’ordre un continues au voisinage
de M0 et si les fonctions x 7→ x(t) et y 7→ y(t) sont dérivables en t0 , alors la
fonction composée d’une variable t 7→ F (t) = f (x(t), y(t)) est dérivable en t0 et
∂x
∂f
∂y
∂f
(x0 , y0 ). (t0 ) +
(x0 , y0 ). (t0 )
∂x
∂t
∂y
∂t
√
Exemple 8 Soient x 7→ x(t) = 3t2 , y 7→ y(t) = t , f 7→ f (x, y) = xy + ln y et
F 7→ F (t) = f (x(t), y(t)) . Calculer F 0 (t).
Remarque : Dans les cas simples, on peut retrouver directement
√ en
√ le résultat
écrivant l’expression de la composée, par exemple ici : F (t) = 3t2 . t + ln
t
Cas particulier : (qui sera utilisé dans certains exercices) Soit f une fonction
définie et de classe C 1 sur un ouvert Ω de R2 où y peut être définie implicitement
en fonction de x ∈ I et telle que y : x 7→ y(x) est dérivable sur I .
On pose F (x) = f (x, y(x)) , alors F est dérivable sur I et
∂f
∂f
∀x ∈ I, F 0 (x) =
(x, y(x)) +
(x, y(x)) × y 0 (x)
∂x
∂y
F 0 (t0 ) =
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CHAPITRE 4. DÉRIVABILITÉ D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - DIFFÉRENTIELLE
12
Exemple 9 Soit f définie sur R2 par f (x, y) = ex − (x2 + 1).y avec, pour tout
x réel, y(x) = x.ex . On pose F (x) = f (x, y). Calculer F 0 (x)
Applications aux fonctions homogènes :
Proposition 1. Identité d’Euler : Soit f une fonction de classe C 1 sur Ω. Si
f est homogène de degré k , alors
∀(x, y) ∈ Ω, x.
∂f
∂f
(x, y) + y (x, y) = kf (x, y)
∂x
∂y
Exemple 10 Soit f définie par f (x, y) = xy + 3x2 . f est homogène de degré
∂f
∂f
∂f
∂f
2 et
(x, y) = y + 6x,
(x, y) = x. On a alors x. (x, y) + y (x, y) =
∂x
∂y
∂x
∂y
xy + 6x2 + yx = 2(xy + 3x2 ) = 2f (x, y).
Second type
Soient u et v deux fonctions définis sur Ω ouvert et M0 un point de Ω
On considère la fonction F 7→ F (x, y) = f (u(x, y), v(x, y))
∂F
∂f
∂u
∂f
∂v
(x0 , y0 ) =
(u0 , v0 ) ×
(x0 , y0 ) +
(u0 , v0 ) ×
(x0 , y0 )
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂f
∂u
∂f
∂v
∂F
(x0 , y0 ) =
(u0 , v0 ) ×
(x0 , y0 ) +
(u0 , v0 ) ×
(x0 , y0 )
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
Exemple 11 Soit F 7→ F (x, y) = f (u(x, y), v(x, y)) = u(x, y).v(x, y) où u(x, y) =
x2 + y et v(x, y) = x + x.y
∂F
∂F
et
.
Déterminer
∂x
∂y
4.2
Dérivées partielles d’ordre 2
∂f
∂f
et
étant elles-mêmes des fonctions de deux va∂x
∂y
riables x et y, on peut définir, lorsqu’elles existent, leurs dérivées partielles par
rapport à x et y. On notera :
Les dérivées partielles
∂ 2f
∂
(x, y) =
2
∂x
∂x
∂ 2f
∂
(x, y) =
∂y∂x
∂y
!
∂f
(x, y)
∂x
!
∂f
(x, y)
∂x
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4.3. APPROXIMATION LOCALE D’ORDRE UN ET
DIFFÉRENTIELLE
∂ 2f
∂
(x, y) =
∂x∂y
∂x
∂ 2f
∂
(x,
y)
=
∂y 2
∂y
∂f
∂y
∂f
∂y
13
!
(x, y)
!
(x, y)
Théorème 3. (de Schwarz )
Soit f une fonction de deux variables x et y. Si les dérivées partielles d’ordre
∂ 2f
∂ 2f
2
et
sont continues , alors elles sont égales
∂y∂x
∂x∂y
Exemple 12 Soit f définie par f (x, y) = x2 y + ex + 3y. Déterminer les dérivées
partielles secondes de f .
Définition 5. Une fonction f définie sur un ouvert Ω de R2 est dite de classe C 2
si et seulement si elle est de classe C 1 sur Ω et si de plus ses dérivées partielles
∂f
∂f
et
sont elles mêmes de classe C 1 sur Ω
∂x
∂y
Remarque : Toutes les fonctions étudiées cette année seront effectivement de classe
C 2.
4.3
4.3.1
Approximation locale d’ordre un et différentielle
Approximation locale d’ordre un
1
Soient f une fonction
! de classe C sur un ouvert Ω et M0 (x0 , y0 ) ∈ Ω.
−→
h
On note ∆m =
un vecteur accroissement à partir de M0 (x0 , y0 ), pour h et
k
k « proches de zéro »
Si on désigne par ∆f l’accroissement de f induit par le déplacement de M0 (x0 , y0 )
en M (x0 + h, y0 + k), on a :
∆f = f (x, y) − f (x0 , y0 ) = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 )
en posant x = x0 + h et y = y0 + k.
Proposition
∆f =
−→ ∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 ) + o ||∆m ||
∂x
∂y
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14
CHAPITRE 4. DÉRIVABILITÉ D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - DIFFÉRENTIELLE
√
−→
où ||∆m || = h2 + k 2 .
Autrement dit :
f (x0 + h, y0 + k) = f (x0 , y0 ) +
√
∂f
∂f
(x0 , y0 ).h +
(x0 , y0 ).k + o h2 + k 2
∂x
∂y
Cette expression est le développement limité (D.L.) de f à l’ordre un au
voisinagede
√
√ M0 . Ici, o h2 + k 2 est un reste négligeable devant h2 + k 2 , ce qui signifie
−→
que lorsque ||∆m || est proche de zéro, on peut faire l’approximation :
f (x0 + h, y0 + k) ≈ f (x0 , y0 ) +
∂f
∂f
(x0 , y0 ).h +
(x0 , y0 ).k
∂x
∂y
Exemples 13
√
1. Déterminer une valeur approchée de A = 8, 9985 × 1, 0008
√
On utilise la fonction f définie par f (x, y) = xy sur ]0; +∞[×]0; +∞[. en
M0 (9; 1) avec h = −0, 0015 et k = 0, 0008
e0,003
2, 005
ex
au voisinage de M0 (0; 2) avec
On utilise la fonction f définie par f (x, y) =
y
h = 0, 003 et k = 0, 005
2. Déterminer une valeur approchée de B =
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