Chapitre 1 Courbes et surfaces - Université de Cergy

Chapitre 1
Courbes et surfaces
Voir fichier spécifique.
1

Chapitre 2
Généralités sur les fonctions de
deux variables
Voir fichier spécifique.
2

Chapitre 3
Limite & continuité d’une
fonction de deux variables
Voir fichier spécifique.
3

Chapitre 4
Dérivabilité d’une fonction de
deux variables - Différentielle
4.1 Dérivées partielles d’ordre un
4.1.1 1 Définitions
Dans tout le chapitre, les fonctions considérées seront définies et étudiées sur
des ouverts Ωde R2.
Définition 1. Soient fune fonction définie sur un ouvert Ωde R2et M0(x0, y0)
un point de Ω. On appelle dérivée partielle de la fonction fpar rapport à la
variable xau point M0, la dérivée au réel x0, lorsqu’elle existe, de la première
fonction partielle F1:x7→ f(x, y0): cette dérivée est notée ∂f
∂x (x0, y0). On a
donc (sous réserve d’existence d’une limite réelle) :
∂f
∂x (x0, y0) = F0
1(x0) = lim
x→x0
F1(x)−F1(x0)
x−x0
= lim
x→x0
f(x, y0)−f(x0, y0)
x−x0
= lim
h→0
f(x0+h, y0)−f(x0, y0)
h
4

4.1. DÉRIVÉES PARTIELLES D’ORDRE UN 5
De la même façon, on appelle dérivée partielle de la fonction fpar rapport
à la variable yau point M0, la dérivée au réel y0, lorsqu’elle existe, de la seconde
fonction partielle F2:y7→ f(x0, y): cette dérivée est notée ∂f
∂y (x0, y0). On a
donc (sous réserve d’existence d’une limite réelle) :
∂f
∂y (x0, y0) = F0
2(x0) = lim
y→y0
F2(y)−F2(y0)
y−y0
= lim
y→y0
f(x0, y)−f(x0, y0)
y−y0
= lim
h→0
f(x0, y0+h)−f(x0, y0)
h
Si fpossède des dérivées partielles par rapport à xet à yau point (x0, y0), on
dit que fest dérivable en (x0, y0).
De façon plus générale, on dit que fest dérivable sur Ωsi les deux dérivées
partielles d’ordre un existent pour tout point M(x, y)de Ω. On les note ∂f
∂x (x, y)
et ∂f
∂y (x, y).
∂f
∂x : Ω −→ R
(x, y)7−→ ∂f
∂x (x, y) = lim
h→0
f(x+h, y)−f(x, y)
h
∂f
∂y : Ω −→ R
(x, y)7−→ ∂f
∂y (x, y) = lim
h→0
f(x, y +h)−f(x, y)
h
L1/S2 - MATH 102 - Fonctions de plusieurs variables
J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion