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Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables
2.4
27
Différentiabilité en plusieurs variables
La différentiabilité d’une fonction f au point x0 correspond à l’existence d’une approximation linéaire de la fonction f au voisinage du point
x0 . Pour une fonction d’une variable, cette approximation linéaire est la
droite tangente. Pour fonctions de deux variables, elle sera le plan tangent au graphe de la fonction au point (x0 , y0 ).
Dès que une fonction d’une variable est dérivable si et seulement si
il existe la droite tangente au point, sur R il y a équivalence entre la
dérivabilité et la différentiabilité. Pour fonction de plusieurs variables, en
general, la dérivabilité est une notion trop faible pour garantir l’existence
d’une approximation linéaire. Pour garantir l’existence de la linéarisation
il faut parler de différentielle.
Définition 2.4.1 [ Différentiabilité d’une fdpv à valeurs réelles] Soient
D un ouvert de Rn , f : D 7! R et x0 2 D. On dit que f est différentiable
en x0 si il existe une application linéaire L : Rn 7! R telle que au
voisinage de x0 l’on ait :
f (x0 + h)
f (x0 ) = Lh + o(|h|)
Si une telle application existe, on l’appelle différentielle de f au point x0
et on la note Df (x0 ).
Toutes fonctions élémentaires telles que polynômes, exponentielle, logarithmiques et trigonométriques sont différentiables dans leur domaine de
définition.
Sauriez-vous donner la définition de différentielle pour f : D 7! Rp ,
p > 1?
De manière équivalente on peut dire que f est différentiable au point
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2.4. Différentiabilité en plusieurs variables
x0 2 Rn si et seulement si l’expression :
f (x01 + h1 , · · · , x0n + hn )
f (x01 , · · · , x0n ) h1 @x1 f (x0 )
p
h21 + · · · + h2n
···
hn @xn f (x0 )
tend vers 0 lorsque (h1 , · · · , hn ) ! (0, · · · , 0).
La différentiabilité est une condition plus forte que la continuité et la
dérivabilité.
Théorème 2.4.2 Soient D un ouvert de Rn , f : D 7! R et x0 2 D. Si
f est différentiable en x0 alors :
— f est continue en x0 ;
— f admet toute dérivée directionnelle en x0 et sa différentielle est
donnée par :
Df (x0 ) : Rn 7! R
(h1 , · · · , nn ) 7! @x1 f (x0 )h1 + @xn f (xn )hn = rf (x0 ) · h
ATTENTION : la réciproque du théorème 2.4.2 est fausse.
Exemple 12 La fonction définie au remarque 7 est dérivable en (0, 0)
mais pas différentiable en ce point car pas continue.
Définition 2.4.3 [ Fonction de classe C 1 ] Soient D un ouvert de Rn et
f : D 7! R. Si toute dérivée partielle de f existe et est continue sur D
on dit que f est de classe C 1 sur D et on écrit f 2 C 1 (D).
Théorème 2.4.4 [ Condition suffisante pour la différentiabilité ] Soient
D un ouvert de Rn , f : D 7! R et x0 2 D. Si f est de classe C 1 au
voisinage de x0 alors elle est différentiable au point x0 .
Proposition 2.4.1 [ Plan tangent] Soient D une partie ouverte de
R2 , f : D 7! R et (x0 , y0 ) 2 D. Si f est différentiable en (x0 , y0 ) alors
elle admet une linéarisation au voisinage de (x0 , y0 ). L’équation du plan
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Figure 4: Fonction différentiable f (x, y) admettant un plan tangent à son graphe
pour tout point (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
tangent au graphe de la fonction {x, y, f (x, y)} en (x0 , y0 ) est donnée
par :
t(x, y) = f (x0 , y0 ) + (x
x0 )@x f (x0 , y0 ) + (y
y0 )@y f (x0 , y0 )
Quelle est l’équation du "plan" tangent pour une fonction différentiable
en R3 ? Et en Rn ?
2.5
Dérivées d’ordres supérieurs
Si une fonction f est dérivable on peut se demander si les dérivées
partielles sont elles mêmes dérivables. Par exemple, dans le cas d’une
fonction f : R2 7! R, on peut chercher les deux dérivées partielles (par
30
2.5. Dérivées d’ordres supérieurs
Figure 5: Fonction non différentiable en (0, 0). La non existence d’un plan tangent
au graphe de la fonction en (0, 0) est flagrante.
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rapport à x et y) des fonctions @x f (x, y) et @x f (x, y). Si les dérivées
existent, elles s’appellent dérivées partielles d’ordre 2.
Pour une fonction f : D 7! R, D ouvert de Rn , si toutes les dérivées
partielles premiéres son dérivables, on a n2 dérivées partielles d’ordre 2 :
@ 2f
@ @f
=
@x2i
@xi @xi
8i = 1, · · · , n
@ 2f
@ @f
=
@xi xj
@xi @xj
j 6= i
De la même manière on peut définir les dérivées partielles d’ordres
supérieurs.
Exemple 13 Soit f : R2 7! R :
f (x, y) = xy 2 .
On a 4 dérivées d’ordre 2 :
@ 2f
= 0,
@x2
@ 2f
= 2x,
@y 2
@ 2f
= 2y,
@y@x
@ 2f
= 2y.
@x@y
Définition 2.5.1 [ Matrice hessiene ] Soient f : D 7! R, D ouvert de
Rn et x0 2 D. Si f admet toutes les dérivées partielles d’ordre 2 en x0
on peut définir la matrice hessienne de f au point x0 :
0 @2f
1
@2f
·
·
·
2
@x1 xn
@x
B .. 1 . .
.. C
Hf (x0 ) = @ .
.
. A
@2f
@xn x1
···
@2f
@x2n
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2.5. Dérivées d’ordres supérieurs
Définition 2.5.2 [ Fonction de classe C 2 ] Soient f : D 7! R, D ouvert
de Rn et x0 2 D. Si f admet toutes les dérivées partielles d’ordre 2 et
elles sont continues sur D on dit que f est de classe C 2 sur D et on
écrit f 2 C 2 (D).
De la même manière on peut définir les fonction de classe C k , k
3.
Définition 2.5.3 [ Différentielle d’ordre supérieur ] Soient f : D 7! R,
D ouvert de Rn et x0 2 D. Si x 7! Df (x) est différentiable en x0 on dit
que f admet une différentielle d’ordre 2 en x0 . Elle est notée D2 f (x0 ).
Théorème 2.5.4 [ Lemme de Schwarz] Soient f : D 7! R, D ouvert
de Rn et x0 2 D. Si f admet une différentielle d’ordre 2 en x0 alors
toutes dérivées partielles croisées sont égales, c’est à dire :
@ 2f
@ 2f
(x0 ) =
(x0 ).
@xi xj
@xj xi
Lorsque elle existe, la différentielle d’ordre 2 d’une fonction f : D 7! R
au point x0 2 D est donnée par :
D2 f (x0 ) : Rn ⇥ Rn 7! R
n
P
@2f
(h, k) 7!
@xi xj (x0 )hi kj
i,j=1
où h = (h1 , · · · , hn ) et k = (k1 , · · · , kn ) sont vecteurs de Rn . Pourrait-on
écrire cette formule sous forme matricielle ? Si oui, comment ?
Théorème 2.5.5 [ Formule de Taylor d’ordre 2] Soient f : D 7! Rp ,
D ouvert de Rn et x0 2 D. Si f 2 C 2 (D) alors :
1
f (x + h) = f (x) + Df (x)h + D2 (f )(x)(h, h) + o(|h|2 ),
2
pour tout h 2 Rn tel que x + h soit contenu dans D.
Si p = 1 la formule de Taylor s’écrit à l’aide du gradient et de la
matrice hessiene :
1
f (x + h) = f (x) + rf · h + hT Hf (x)h + o(|h|2 ).
2