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Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables 27
2.4 Différentiabilité en plusieurs variables
La différentiabilité d’une fonction fau point x0correspond à l’exis-
tence d’une approximation linéaire de la fonction fau voisinage du point
x0. Pour une fonction d’une variable, cette approximation linéaire est la
droite tangente. Pour fonctions de deux variables, elle sera le plan tan-
gent au graphe de la fonction au point (x0,y
0).
Dès que une fonction d’une variable est dérivable si et seulement si
il existe la droite tangente au point, sur Ril y a équivalence entre la
dérivabilité et la différentiabilité. Pour fonction de plusieurs variables, en
general, la dérivabilité est une notion trop faible pour garantir l’existence
d’une approximation linéaire. Pour garantir l’existence de la linéarisation
il faut parler de différentielle.
Définition 2.4.1 [ Différentiabilité d’une fdpv à valeurs réelles] Soient
Dun ouvert de Rn,f:D7! Ret x02D.Onditquefest différentiable
en x0si il existe une application linéaire L:Rn7! Rtelle que au
voisinage de x0l’on ait :
f(x0+h)f(x0)=Lh +o(|h|)
Si une telle application existe, on l’appelle différentielle de fau point x0
et on la note Df(x0).
Toutes fonctions élémentaires telles que polynômes, exponentielle, loga-
rithmiques et trigonométriques sont différentiables dans leur domaine de
définition.
Sauriez-vous donner la définition de différentielle pour f:D7! Rp,
p>1?
De manière équivalente on peut dire que fest différentiable au point

28 2.4. Différentiabilité en plusieurs variables
x02Rnsi et seulement si l’expression :
f(x01 +h1,···,x
0n+hn)f(x01,···,x 0n)h1@x1f(x0)···hn@xnf(x0)
ph2
1+···+h2
n
tend vers 0lorsque (h1,···,h
n)!(0,···,0).
La différentiabilité est une condition plus forte que la continuité et la
dérivabilité.
Théorème 2.4.2 Soient Dun ouvert de Rn,f:D7! Ret x02D. Si
fest différentiable en x0alors :
—fest continue en x0;
—fadmet toute dérivée directionnelle en x0et sa différentielle est
donnée par :
Df(x0): Rn7! R
(h1,···,n
n)7! @x1f(x0)h1+@xnf(xn)hn=rf(x0)·h
ATTENTION : la réciproque du théorème 2.4.2 est fausse.
Exemple 12 La fonction définie au remarque 7est dérivable en (0,0)
mais pas différentiable en ce point car pas continue.
Définition 2.4.3 [ Fonction de classe C1] Soient Dun ouvert de Rnet
f:D7! R. Si toute dérivée partielle de fexiste et est continue sur D
on dit que fest de classe C1sur Det on écrit f2C1(D).
Théorème 2.4.4 [ Condition suffisante pour la différentiabilité ] Soient
Dun ouvert de Rn,f:D7! Ret x02D. Si fest de classe C1au
voisinage de x0alors elle est différentiable au point x0.
Proposition 2.4.1 [ Plan tangent] Soient Dune partie ouverte de
R2,f:D7! Ret (x0,y
0)2D. Si fest différentiable en (x0,y 0)alors
elle admet une linéarisation au voisinage de (x0,y
0).L’équationduplan

Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables 29
Figure 4: Fonction différentiable f(x, y)admettant un plan tangent à son graphe
pour tout point (x0,y
0,f(x0,y 0)).
tangent au graphe de la fonction {x, y, f (x, y)}en (x0,y
0)est donnée
par :
t(x, y)=f(x0,y
0)+(xx0)@xf(x0,y 0)+(yy0)@yf(x0,y 0)
Quelle est l’équation du "plan" tangent pour une fonction différentiable
en R3? Et en Rn?
2.5 Dérivées d’ordres supérieurs
Si une fonction fest dérivable on peut se demander si les dérivées
partielles sont elles mêmes dérivables. Par exemple, dans le cas d’une
fonction f:R27! R, on peut chercher les deux dérivées partielles (par

30 2.5. Dérivées d’ordres supérieurs
Figure 5: Fonction non différentiable en (0,0).Lanonexistenced’unplantangent
au graphe de la fonction en (0,0) est flagrante.

Chapter 2: Fonctions de plusieurs variables 31
rapport à xet y) des fonctions @xf(x, y)et @xf(x, y). Si les dérivées
existent, elles s’appellent dérivées partielles d’ordre 2.
Pour une fonction f:D7! R,Douvert de Rn, si toutes les dérivées
partielles premiéres son dérivables, on a n2dérivées partielles d’ordre 2:
@2f
@x2
i
=@
@xi@f @xi8i=1,···,n
@2f
@xixj
=@
@xi@f @xjj6=i
De la même manière on peut définir les dérivées partielles d’ordres
supérieurs.
Exemple 13 Soit f:R27! R:
f(x, y)=xy2.
On a 4dérivées d’ordre 2:
@2f
@x2=0,
@2f
@y2=2x,
@2f
@y@x=2y,
@2f
@x@y=2y.
Définition 2.5.1 [ Matrice hessiene ] Soient f:D7! R,Douvert de
Rnet x02D. Si fadmet toutes les dérivées partielles d’ordre 2en x0
on peut définir la matrice hessienne de fau point x0:
Hf(x0)=0
B
@
@2f
@x2
1··· @2f
@x1xn
.
.
.....
.
.
@2f
@xnx1··· @2f @x2
n
1
C
A