Les Probabilités

Les Probabilités
I. Rappels de 1ère
Vocabulaire :
On considère un dé cubique parfaitement symétrique.
Les faces sont numérotées de 1 à 6.
• Lorsque l’on lance le dé et que l’on note le résultat, on réalise une
expérience aléatoire car le résultat est le fruit du hasard.
• Chaque issue est événement élémentaire (« obtenir un 4 »).
• L’ensemble des issues est appelé univers (noté Ω).
• Un sous-ensemble de l’univers est appelé événement (« obtenir
un nombre pair »).
• Les 6 chiffres ayant la même probabilité d’être obtenus, on dit qu’il
y a équiprobabilité.
Remarques :
Ω est l’événement certain. P(Ω) = 1.
∅ est l’événement impossible. P(∅) = 0.
La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1.
Définitions :
Soit A et B deux événements d’un univers Ω.
• L’événement A
∩ B (prononcer « A inter B ») est l’événement qui
est réalisé lorsque A et B sont réalisés.
• L’événement A
∪ B (prononcer « A union B ») est l’événement qui
est réalisé lorsque A ou B est réalisé.
• Deux événements sont disjoints ou incompatibles si A
∩ B = ∅.
• B est l’évènement contraire à A, si A
∩ B=∅ et A ∪ B=Ω. (B =
A
)
Propriétés :
• P(A
∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
• Si A et B sont disjoints (donc A
∩ B = ∅) , P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• P(
A
) + P(A) = 1, donc P(
A
) = 1 - P(A).
II. Variable aléatoire réelle
Définitions :
Une variable aléatoire X est une application qui à des événements
élémentaires d’un univers associe des nombres réels que l’on classe
ensuite par ordre croissant : x1, x2, ..., xn.
La loi de probabilité de cette variable aléatoire X est l’application qui
à l’événement élémentaire « X prend la valeur xi » (noté (X=xi)) associe
sa probabilité pi = P(X=xi). (N.B. : on doit avoir p1 + p2 + ... + pn = 1)
La fonction de répartition de la loi de probabilité X est F: ! → [0 ; 1]
x
" P(X ≤ x)
L’espérance mathématique de X est E(X) = x1
⋅ p1 + x2 ⋅ p2 + ... + xn ⋅ pn.
La variance de X est :
V(X) = (x1 – E(X))2
⋅ p1 +(x2 – E(X))2 ⋅ p2 + ... + (xn – E(X))2 ⋅ pn ( ≥ 0).
L’écart-type de X est : (X)
σ
σσ
σ = V(X) .
Propriété : V(X) = x1
2
⋅ p1 +x2
2
⋅ p2 + ... + xn
2
⋅ pn – E(X)2.
On utilise plutôt cette formule dans les calculs.
III. Exemple : double lancé de dés
On lance, en même temps, deux dés cubiques non truqués.
L’univers est l’ensemble des couples de résultats de chacun des dés :
Il y a 36 possibilités. On appelle X la variable aléatoire, qui à un
résultat de lancer de dés associe la somme des deux dés.
Les résultats possibles sont 2, 3, 4,..., 12.
La loi de probabilité de X est l’application qui à un résultat possible,
associe sa probabilité. Après calculs, on obtient :
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X=xi) 1
36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36
Exemple: P(X=5) = 4
36 ; 1+4, 4+1, 2+3 et 3+2 égaux à 5, 4 possibilités.
E(X) = 2 ×
1
36 +3
×
2
36 +4
×
3
36 +5
×
4
36
+6 ×
5
36
+7 ×
6
36
+8 ×
5
36
+9 ×
4
36
+10 ×
3
36
+
11
×
2
36
+12 ×
1
36
=
2 6 12 20 30 42 40 36 30 22 12
36
++++++++++
=
252
36
= 7.
V(X) = 2
2
×
1
36
+3
2
×
2
36
+4
2
×
3
36
+5
2
×
4
36
+6
2
×
5
36
+7
2
×
6
36
+8
2
×
5
36
+9
2
×
4
36
+
10
2
×
3
36
+11
2
×
2
36
+12
2
×
1
36
- 7
2
=
1974
36
-49 ≈ 5,83. σ (X) = V(X) ≈ 2,42.
IV. Ex d’annales (Bac STI, France 09/08)
Un industriel se fournit en pièces détachées chez deux fournisseurs
différents : le producteur Lavigne et le producteur Olivier. Les pièces
fournies ont trois niveaux de qualité différents, en fonction des
utilisations prévues. Ces niveaux de qualité influent sur la durée de vie
estimée des pièces selon le tableau 1 (exprimées en années).
Qualité supérieure Qualité ordinaire Qualité « 1
er
prix »
Lavigne 5 3 2
Olivier 3 2 1
Un lot est composé de 2000 pièces indiscernables :
Qualité supérieure Qualité ordinaire Qualité « 1
er
prix » Total
Lavigne 100 500 800
Olivier 400 500
Total 2000
1 .a. Recopier et compléter le tableau ci-dessus.
b. Montrer que 1000 pièces ont une durée de vie estimée de deux ans.
2. On choisit une pièce au hasard (équiprobabilité du tirage).
a. Déterminer la probabilité que la durée de vie estimée de la pièce
choisie soit de deux ans.
b. On suppose que la pièce choisie provient du producteur Lavigne.
Quelle est la probabilité que sa durée de vie estimée soit de 2 ans ?
3. On note X la variable aléatoire qui, pour chaque pièce du lot
considéré, associe sa durée de vie estimée.
a. Déterminer la probabilité de l’événement « X=3 ».
b. Etablir sous forme de tableau la loi de probabilité de X.
c. Calculer l’espérance de X. Interpréter ce nombre.
Réponse :
1.a. Lavigne/ordinaire : 200 ; Total/Olivier : 1200 ; Olivier/1
er
prix : 300 ;
Total/supérieure : 500 ; Total/ordinaire :700 ; Total/1
er
prix : 800.
b. Somme des « 1
er
prix » de Lavigne et « ordinaire » d’Olivier : 1000.
2.a. 1000 pièces de durée de vie estimée de 2 ans. P =
1000 1
2000 2
=
.
b. Lavigne : 500 de durée de 2 ans sur 800 au total. P=
500 5 0, 625
800 8
==
.
3.a. P(X=3)=
200 400 600 0,3
2000 2000
+==
b.
c. E(X)=1
× 0,15+2 × 0,5+3 × 0,3+5 × 0,05 = 2,3.
Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière. / 2008
x
i
1 2 3 5
P(X=x
i
) 0,15 0,5 0,3 0,05