DS TS spé Exercice 1 : Divisibilité par 7 Pour savoir si un nombre n

DS TS spé
Exercice 1 : Divisibilité par 7
Pour savoir si un nombre n est divisible par 7, on sépare le chiffre des unités de n des autres chiffres et on
effectue la différence entre le nombre formé par les autres chiffres et le double du chiffre des unités .
L'entier n est divisible par 7 si et seulement si cette différence est divisible par 7
1) Appliquer ce critère pour démontrer que 861 est divisible par 7
86−2×1=84=7×12
2) On se propose de démontrer ce résultat pour un nombre de trois chiffres.
Soit n un entier dont l'écriture décimale est n = abc avec a ≠ 0
a) Démontrer que n ≡ 2a+3b+c (7)
n = 100a+10b+c or 100 = 7×14+2 donc 100 ≡ 2 (7) et 10 ≡ 3(7) donc par compatibilité des
congruences avec l'addiciton et la multiplication on en déduit que n ≡ 2a+3b+c (7)
b) on appelle m l'entier égal à la différence décrite ci-dessus. Montrer que : m ≡ 3a+b−2c(7)
m = 10a+b-2c ≡ 3a+b-2c(7)
c) n-3m ≡ 2a+3b+c-9a-3b+6c (7) c'est à dire n-3m≡ −7a+7c (7) or 7 ≡ 0 (7)
donc n-3m ≡ 0(7)
m+2n ≡ 3a+b-2c+4a+6b+2c (7) c'est à dire m+2n ≡ 7a+7b (7) ≡ 0 (7)
d) En déduire que : m≡0(7) ⇔ n≡0(7)
m ≡ 0 (7) ⇒ n−3×0 ≡ 0 (7) c'est à dire n ≡ 0 (7)
n ≡ 0 (7) ⇒ m+2×0 ≡ 0 (7) c'est à dire m ≡ 0 (7)
e) Conclure
être congru à 0 modulo 7 signifiant être multiple de 7 l'équivalence de la question précédente justifie
la règle de l'exercice sur la divisibilité par 7
Exercice 2 : Diviseurs, Division Euclidienne : les questions sont indépendantes
2
2
1) Trouver tous les couples d'entiers naturels qui vérifient x =y +33
on peut déjà noter que x est supérieur à y
2
2
x −y =33 ⇔ (x−y)(x+y) = 33 donc x+y et x-y sont des diviseurs associés de 33 avec x+y plus
grand que x – y donc les diviseurs associés de 33 étant 3 et 11 on obtient :
{x+y=33
x−y=1
ou x+y=11 ce qui donne 2 x=34 ou 2x=14 c'est à dire x=17 ou x=7
x−y=3
y=33−x
y=11−x
y=16
y=4
{
{
{
{
{
2) a) Démontrer que si d divise 3n+4 et 9n+5 alors d divise 7 . On citera le théorème utilisé ?
On sait que si a | b et a | c alors a divise toute combinaison linéaire de b et c donc ici d divise
3×(3n+4)−(9n−5) = 7
b) Quelles sont les valeurs possibles de d ?
d est donc un diviseur de 7 donc d ∈ { -7 ; -1 ; 1 ; 7 }
3) Dans la division euclidienne de deux entiers naturels, le dividende est 63 et le reste est 17. Donner
toutes les valeurs possibles du quotient et du diviseur.
On a pour q quotient et d le diviseur : 63=dq+17 avec 0≤17<d donc dq=46 d et q sont donc des
diviseurs associés de 46 donc : 1×46 ou 2×23 .
On peut donc avoir d=46 et q = 1 ou d = 23 et q = 2.
4) On divise un entier naturel n par 152 puis par 147. Les quotients sont égaux et les restes respectifs
sont 13 et 98. Quel est cet entier naturel ?
n = 152q+13 = 147q+98 donc 5q = 85 d'où q = 17 et donc n = 152*17+13 = 2597
Exercice 3 :
1) Citer les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition , la multiplication et
les puissances . Démontrer la propriété de compatibilité avec l'addition.
Facile
3k
2) a) Démontrer que pour tout entier naturel k, on a : 2
3k
2
3 k
k
3k
3k
= (2 ) = 8 or 8 ≡ 1 (7) donc 2
≡ 1
(7) ≡ 1 (7)
b) Quel est le reste dans la division euclidienne de 16
2009
≡ 1 (modulo 7)
2009
par 7 ?
2009
16 ≡ 2(7) donc 16
≡ 2
(7)
On considère alors les puissances de 2 :
1
2 ≡ 2 (7)
2
2 ≡ 4 (7)
3
2 ≡ 8 (7) ≡ 1 (7)
2009
d'où comme 2009 = 3*669+2 on a donc 2
le reste recherché est donc 4
3 669
2
2
= (2 ) ×2 ≡ 2 (7) ≡ 4(7)
Exercice 4 :
1) Compléter cette table des restes dans la congruence modulo 4.
x≡
2
x ≡
2
0
0
1
1
2
0
3
1
2
2) Prouver que l'équation 7x −4y = 1 d'inconnue x et y entiers relatifs n'a pas de solution.
2
Raisonnons modulo 4 comme 7 ≡ 3(4) et 4 ≡ 0 (4) si (x ;y) est solution alors 3x ≡ 1 (4)
or un entier ayant comme reste dans la division par 4 soit 0 , 1 , 2 , 3 d'après le tableau précédent x
ne peut donc être congru qu'à 0 ou 1 modulo (4) et 3x
2
à 0 ou 3 modulo 4 donc il est impossible
2
d'avoir 3x ≡ 1 (4) et l'équation n'a pas de soution
2
3) Résoudre dans ℤ l'équation (x+3) ≡ 1 (mod 4)
d'après le tableau on en déduit que x+3 congru à 1 ou à 3 modulo 4 d'où
x+3 ≡ 1 (4) donne x ≡ −2 (4) c'est à dire x = −2+4k ( k ∈ ℤ )
x+3 ≡ 3 (4) donne x ≡ 0(4) c'est à dire x = 4k ( k ∈ ℤ )
2