• Dénombrement. (Révision) • Probabilité. • Conditionnement

2016/2017
BCP ST 1B
Colles de mathématiques - Semaine 17 du 20/02/17
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Dénombrement. (Révision)
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Probabilité.
Nombre de p-listes de E ou de listes de p éléments de E . Situation classique associée.
Nombre de p-listes sans répétitions E . (ou arrangement de p éléments de E ) Situation classique associée.
Nombre de permutations de E . Situation classique associée.
Nombre de combinaisons de p éléments d'un ensemble de cardinal n. Situation classique associée.
Vocabulaire des événements dans le cas d'un univers ni.
Dénition d'un système complet d'événements.
Dénition d'une probabilité sur un univers ni. P(Ω) est l'ensemble des événements, P est dénie sur P(Ω).
Propriétés des probabilités :
P (∅) = 0 , P (A) = 1 − P (A), P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) , A ⊂ B =⇒ P (A) 6 P (B) ...
Si p1 , p2 , . . . , pn sont n réels positifs ou nuls de somme 1,
il existe une et une seule probabilité P sur Ω telle que : ∀i ∈ [[1, n]], P ({ωi }) = pi
Choisir les pi revient à choisir un modèle probabiliste (pour un univers donné).
Cas d'équiprobabilité. Tirages usuels et modèles associés. Utilisation du dénombrement.
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Conditionnement.
Dénition d'une probabilité conditionnelle.
Théorème : Formule des probabilités composées. (conditionnements successifs )
Théorème : Formule des probabilités totales. (2 versions : avec les intersections ou avec les proba cond.)
Théorème : Formule de Bayes. (On redémontre à chaque fois )
Dénition de deux événements indépendants.
Dénition de n événements 2 à 2 indépendants ou mutuellement indépendants.
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Expériences indépendantes.
Dans un exercice avec des expériences indépendantes, on commence par dénir des événements de la forme
Ak : " ....... au k−ième lancer", " ....... au k−ième tirage" ... permettant d'utiliser l'indépendance.
Cas particulier de n expériences identiques et indépendantes. (Pas encore la loi binomiale).
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Variables aléatoires réelles sur un univers ni.
Système complet d'événements associés à une variable aléatoire.
Dénition de la loi de probabilité d'une variable aléatoire X . (représentation graphique )
Savoir évaluer la loi de probabilité d'une variable aléatoire avec des simulations numériques.
Fonction de répartition d'une loi, d'une variable aléatoire, propriétés. (représentation graphique )
Espérance mathématique d'une variable aléatoire (deux dénitions équivalentes ). Linéarité.
E(X) =
X
X(ω)P ({ω}) =
ω∈Ω
Théorème de transfert. E(ϕ(X)) =
X
X
x P ([X = x])
x∈X(Ω)
ϕ(x)P ([X = x])
x∈X(Ω)
Variance. Proposition : V (aX + b) = a2 V (X).
Formule de K÷nig-Huygens.
Nous n'avons pas encore vu et nous verrons à la rentrée : les lois usuelles et les simulations en Python.
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Les élèves devront proter des vacances pour assimiler les diérentes notions, les diérentes dénitions ... essentielles
pour la suite de leur formation.
Ils seront interrogés sur le cours ou des applications directes avant d'être interrogé sur des exercices plus originaux. Le
mercredi 22 février ils auront un interrogation de cours sur ce sujet avant un devoir surveillé sur le chapitre probabilité.
Vous trouverez en annexe ce que j'entends par questions de cours ou applications directes du cours.
Annexe : Questions considérées comme élémentaires. (peut-être à tort )
1) Etre capable de dénir les mots :
Univers
Probabilité conditionnelle
événements
probabilité
système complet d'événements.
indépendance de deux événements.
Variables aléatoires
Valeurs prises par une VAR
Loi de probabilité d'une VAR
Espérance d'une VAR
indépendance mutuelle de n événements.
SCE associé à une VAR
Fonction de répartition d'une VAR.
variance d'une VAR
écart-type d'une VAR.
2) Connaître les propriétés de l'espérance et de la variance.
3) Pouvoir citer les théorèmes :
Formule des probabilité totales.
Formule des probabilités composées.
Théorème de transfert.
4) Savoir justier que la probabilité d'une réunion est une somme de probabilités.
5) Savoir justier que la probabilité d'une intersection est un produit de probabilités.
6) Dans les exercices suivants donner un modèle probabiliste classique et répondre à la question.
a) On lance deux dés. Quelle est la probabilité que la somme des deux numéros obtenu soit égale à 4 ?
b) On tire simultanément deux jetons dans une urne contenant 10 jetons numérotés de 1 à 10.
Quelle est la probabilité d'obtenir deux nombres impairs ?
c) On tire successivement et sans remise 4 jetons dans une urne contenant 10 jetons numérotés de 1 à 10.
Quelle est la probabilité que le dernier numéro obtenu soit pair ?
7) Dans les exercices suivants dénir les événements permettant de modéliser l'expérience avec un arbre de probabilité. Puis justier la réponse en appliquant avec soin des théorèmes du cours.
a) On considère une urne contenant initialement 2 boules rouges et une boule verte.
On réalise 3 tirages au hasard dans l'urne et le contenu de l'urne évolue suivant la règle suivante :
après chaque tirage on rajoute une boule de la couleur tirée.
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule verte ?
b) Une urne contient 3 dés : deux dés normaux et un dé truqué suivant la loi
xi
1
2
3
4
5
6
pi
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
2
On choisit un dé et lance le dé.
On note X le nombre obtenu.
Déterminer la loi de X et son espérance.
8) Un urne contient 2 boules rouges et 3 boules vertes.
a) On tire trois boules avec remise.
À Quelle est la probabilité d'avoir que des boules vertes ?
Á Quelle est la probabilité que le dernier tirage donne une boule verte ?
b) On tire trois boules sans remise.
À Quelle est la probabilité d'avoir que des boules vertes ?
Á Quelle est la probabilité que le dernier tirage donne une boule verte ?
9) On lance 10 fois un dé équilibré.
Quelle est la probabilité d'obtenir un six au premier et au dernier lancer ?
Quelle est la probabilité d'obtenir le même résultat au premier et au dernier lancers ?
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois un six ?