Scientifique (cours) - Les math. avec H. Rorthais

1e S - programme 2011 - mathématiques – ch.7 - cours
(D’après Hachette - Déclic 2011 – ch.4)
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Ch.7 : Etude des variations d’une fonction
1 SENS DE VARIATION ET OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS
THÉORÈME 1
Somme de fonctions
Soit un réel k et deux fonctions u et v définies sur un intervalle I.
1) Les fonctions u et u + k ont le même sens de variation sur I.
2) 

Si les fonctions u et v sont toutes deux croissantes sur I, alors la fonction u + v est croissante sur I.
Si les fonctions u et v sont toutes deux décroissantes sur I, alors la fonction u + v est décroissante sur I.
Démonstration :
Voir les démonstrations aux exercices 30 et 31, page 117.
Remarque : (Voir l'exercice 32, page 117)
Si les fonctions u et v n'ont pas le même sens de variation sur l'intervalle I, on ne peut rien conclure sur le sens de
variation de la fonction u + v.
Commentaire :
La courbe représentative de la fonction u + k est l’image de la courbe représentative

de la fonction u par la translation de vecteur k OJ .
THÉORÈME 2
Produit par une constante
Soit un réel  et une fonction u définie sur un intervalle I.

Si  > 0, alors les fonctions u et u ont le même sens de variation sur I.

Si  < 0, alors les fonctions u et u, ont des sens de variation contraires sur I.
Démonstration : Cas où  < 0 et u est croissante sur I.
La fonction u conserve l'ordre. Ainsi, pour tous réels a et b dans I tels que a  b, on a : u(a)  u(b).
En multipliant par  (négatif) chaque membre de l'inégalité, on a : u(a) > u(b).
Ainsi la fonction u est décroissante sur I, contrairement à la fonction u.
THÉORÈME 3

Racine carrée
Soit une fonction u définie sur un intervalle I telle que pour tout réel x de I, u(x)  0.
La fonction u est la fonction définie sur I par : x  u(x) .
Les fonctions u et u ont le même sens de variation sur I.


Inverse
Soit une fonction u définie sur un intervalle I sur lequel u a un signe constant et ne s'annule pas.
1
1
est la fonction définie sur I par : x 
.
u
u(x)
1
Les fonctions u et ont des sens de variation contraires sur I.
u
La fonction

Démonstration :

Inverse d'une fonction :
Cas où u est croissante et strictement positive sur I.
Pour tous réels a et b dans I tels que a  b, on a : 0 < u(a)  u(b).
La fonction inverse étant décroissante sur ]0 ; +[, on a :
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1
1

.
u(a) u(b)
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Ainsi la fonction

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1
est décroissante sur I, contrairement à la fonction u.
u
Voir la démonstration du théorème sur la racine carrée d'une fonction à l'exercice 38, page 118.
Exemple :
Soit f la fonction définie sur IR \ {2} par : f (x) =
1
.
x–2
1
où u : x  x – 2.
u
La fonction u est strictement négative et croissante sur ]– ; 2[.
Donc la fonction f est décroissante sur ]– ; 2[.
De la même façon, la fonction f est décroissante sur ]2 ; +[.
On a : f =

Exercice corrigé : Utiliser les variations des fonctions de référence
On considère les fonctions f, g et h définies sur l'intervalle I :
f (x) = –2 x et I = [0 ; +[ ; g(x) = –2 x – 3 et I = [0 ; +[ ; h(x) =
1
et I = IR.
2x2 + 5
Étudier les variations de ces fonctions sur leur ensemble de définition.
Solution :
Méthode :
Variations de f :
1) On cherche une relation
entre la fonction à
étudier et une fonction u,
dont on connaît les
variations.
On conclut en utilisant les
théorèmes du cours.
1) f = (–2)  r où r : x


x.
3) Comme –2 < 0, f et r ont des sens de variation
contraires. Or r est strictement croissante sur
[0 ; +[. Donc f est strictement décroissante sur
[0 ; +[.
2) Les fonctions u et v ont le
même sens de variation
dans le cas où :
4) On vérifie à l'aide de la calculatrice.
Variations de g :
1) On remarque que g = f + (–3).

v = u + k, où k est
une constante (quel
que soit son signe) ;
2) Donc f et g ont le même sens de variation sur
[0 ; +[. Donc la fonction g est strictement
décroissante sur [0 ; +[.

v = u, où  est un
réel strictement
positif ;
4) On vérifie à l'aide de la calculatrice.
Variations de h :
1) h est l'inverse de la fonction k : x  2x2 + 5, fonction polynôme du second
degré strictement positive sur IR .
Les fonctions h et k ont donc des sens de variation contraires.

v = u.

Avec les notations habituelles, k change de sens de variation en
Et comme a = 2 (positif), on a le tableau des
variations de la fonction k ci-contre.
3) D'où le tableau des variations ci-contre pour h.
Ainsi h est strictement croissante sur ]– ; 0] et
strictement décroissante sur [0 ; +[.
4) On vérifie à l'aide de la calculatrice.
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–b
= 0.
2a
3) Les fonctions u et v ont
des sens de variation
contraires dans le cas
où :

v = u, où  est un
réel strictement
négatif ;

v=
1
avec u de signe
u
constant.
4) Penser à vérifier à l'aide
de la calculatrice : si la
courbe affichée ne
constitue pas une preuve,
c'est un bon élément de
vérification.
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2 SENS DE VARIATION ET DÉRIVATION
THÉORÈME 4
Dérivée d'une fonction monotone
On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
1) Si f est croissante sur I, alors pour tout réel x de I, f ' (x)  0.
2) Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel x de I, f ' (x)  0.
3) Si f est constante sur I, alors pour tout réel x de I, f ' (x) = 0.
Idées de démonstration :

Cas où la fonction f est constante
Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
On suppose que f est constante sur I.
Pour tout réel a de I et tout réel h tel que a + h appartient à I,
f (a + h) = f (a), donc le taux d'accroissement de f en a : h


f (a + h) – f (a)
est la fonction nulle.
h
f (a + h) – f (a)
.
h
On en déduit que f ' (a) = 0.
Or f ' (a) = lim
h0

Cas où la fonction f est croissante
Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
On suppose que f est croissante sur I. Soit un réel a de I.
Pour tout réel h tel que a + h appartient à I :
 Si h > 0, alors a < a + h. f étant croissante sur I, on a : f (a)  f (a + h).
f (a + h) – f (a)
est donc positif.
h
Si h < 0, alors a > a + h. f étant croissante sur I, on a : f (a)  f (a + h), donc f (a + h) – f (a)  0.
f (a + h) – f (a)
Et comme h < 0, le rapport
est encore positif.
h
En passant à la limite quand h tend vers 0, on obtient intuitivement que f ' (a)  0.
Le rapport

Commentaire :

Si f est croissante sur I, alors en chaque point de la courbe
, le coefficient
directeur de la tangente est positif : pour tout réel a de I, f ' (a)  0.

Si f est décroissante sur I, alors en chaque point de la courbe
, le coefficient
directeur de la tangente est négatif : pour tout réel a de I, f ' (a)  0.
THÉORÈME 5
Sens de variation d'une fonction dérivable (admis)
On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.

Si pour tout réel x de I, f ' (x)  0, alors la fonction f est croissante sur I.

Si pour tout réel x de I, f ' (x)  0, alors la fonction f est décroissante sur I.

Si pour tout réel x de I, f ' (x) = 0, alors la fonction f est constante sur I.
Commentaire :
Lorsque la fonction dérivée f ' est de signe constant sur I, et si elle ne s'annule qu'en un nombre fini de valeurs de
I, alors on peut conclure que f est strictement monotone sur I.
Exemple :
Soit la fonction cube f : x  x3.
f est dérivable sur IR et pour tout réel x, f ' (x) = 3x2.
f ' (x) = 0 équivaut à : 3x2 = 0, soit à : x = 0.
Un carré étant positif, pour tout réel x, f ' (x)  0.
Ainsi la dérivée f ' est positive sur IR et ne s'annule qu'en 0. La fonction f est donc
strictement croissante sur IR.

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Exercice corrigé : Étudier les variations d'une fonction et choisir une méthode
1) Soit une fonction f dérivable sur [–3 ; 3], dont on donne
la courbe représentative
' de sa dérivée f ' ci-contre.
Étudier les variations de la fonction f.
2) Soit la fonction g définie sur ]0 ; +[ par :
1
g(x) = – 2x + 3. Étudier les variations de la fonction g.
x
3) Soit la fonction h définie sur [0 ; +[ par : h(x) =
1
+ x.
x
Étudier les variations de la fonction h.
Solution :
Méthode :
1) On lit sur le graphique : f ' s'annule en –2 et en 1, est négative sur
[–3 ; –2] et positive sur [–2 ; 3].

On déduit les variations de f du
signe de f '.

Dans le cas de la somme de
deux fonctions monotones de
même sens de variation, on
peut conclure directement.

Sinon :
- on calcule f (x) ;
- on étudie le signe de f ' (x) ;
- on en déduit les variations
de f.
Penser à vérifier à l'aide de la
calculatrice.
 Voir les fiches
Calculatrices, page 394.
On résume le signe de f ' (x) dans un tableau de signes.
On en déduit le tableau des variations de f ci-contre.
Remarque : on ne connaît pas les valeurs des images f (–3),
f (–2) et f (3).
2) g est la somme des fonctions x


1
et de x
x


–2x + 3, qui sont
toutes deux décroissantes sur
]0 ; +[.
Donc a est décroissante sur
]0 ; +[.
On vérifie à l'aide de la
calculatrice.

3) h est dérivable sur ]0 ; +[ comme somme de fonctions dérivables
sur ]0 ; +[ et pour tout réel x > 0 :
–1
–1 + x2 (x – 1)(x + 1)
=
.
2 +1=
x
x2
x2
Comme x + 1 et x2 sont strictement positifs, h' (x) est du signe de
(x – 1).
1
Avec h(1) = + 1 = 2.
1
h' (x) =
On vérifie à l'aide de la calculatrice.
3 EXTREMUM D'UNE FONCTION
DÉFINITIONS 1
On considère une fonction f définie sur un intervalle I, et a un réel de I.

On dit que le réel M est le maximum de f sur I, atteint en a,
si f (a) = M et si pour tout réel x de I, on a f (x)  M.

On dit que le réel m est le minimum de f sur I, atteint en a,
si f (a) = m et si pour tout réel x de I, on a f (x)  M.

Un extremum de f sur I est un maximum ou un minimum de f sur I.

On dit que le réel L est un maximum (respectivement minimum) local de f sur I s'il existe un intervalle
ouvert J contenu dans I, tel que L est le maximum (respectivement minimum) de f sur J.
THÉORÈME 6
Condition nécessaire sur l'existence d'un extremum pour une fonction dérivable (admis)
Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I ouvert et a un réel de I.
Si f admet un extremum (local) sur I, atteint en a, alors f ' (a) = 0.
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Interprétation graphique :
Dans les conditions du théorème précédent, la courbe représentative de f admet en a une tangente parallèle à
l'axe des abscisses.s
Remarques :

La proposition est fausse dans le cas où I est un intervalle fermé. Sur l'exemple 1 ci-dessous, le maximum de f
est 3, atteint en –5.
Mais la tangente à

au point d'abscisse –5 n'a pas pour coefficient directeur 0 : f ' (–5) < 0.
Cette condition n'est pas suffisante : voir l'exemple 2 ci-dessous.
THÉORÈME 7
Condition suffisante sur l'existence d'un extremum local pour une fonction dérivable
Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I ouvert, et a un réel de I.
Si la dérivée f ' s'annule en changeant de signe en a, alors f (a) est un extremum (local) de f sur I.
Idée de démonstration :
Il existe un intervalle ouvert J dans I sur lequel le
tableau de signes de f ', et donc le tableau des
variations de f, est l'un des deux tableaux ci-contre.
Ainsi f (a) est le maximum ou le minimum de la
fonction f sur J.
Exemple 1 :
Sur




le schéma ci-contre :
Le maximum de f sur [–5 ; 3] est 3, atteint en –5.
Le minimum de f sur [–5 ; 3] est –2, atteint en –3.
1 est un maximum local de f, car 1 est le maximum de f sur I = ]–2 ; 0[.
–1 est un minimum local de f, car c'est le minimum de f sur I' = ]0 ; 2[.
Exemple 2 :
Soit la fonction f : x  x3 dérivable sur IR .
Pour tout réel x, f ' (x) = 3x2.
Ainsi f ' (0) = 0.
Mais f étant strictement croissante sur IR, f n'admet pas d'extremum en 0.

Exercice corrigé : Déterminer des extrema, obtenir des inégalités
x
.
1 + x2
–1
1
Justifier que pour tout réel x de [–7 ; 7] :
 f (x)  .
2
2
1) Soit la fonction f définie sur [–7 ; 7] par : f (x) =
2) Démontrer que pour tout réel x  0, on a x3  3x – 2.
Solution :
Méthode :
1) En tant que quotient de fonctions dérivables sur [–7 ; 7] et le
dénominateur ne s'annulant pas, la fonction f est dérivable sur
[–7 ; 7], et pour tout réel x de cet intervalle, on a :
Pour encadrer f (x) :
On peut :
1(1 + x2) – x  2x
1 – x2
=
.
2 2
(1 + x )
(1 + x2)2
f ' (x) a le signe du trinôme 1 – x2 puisque (1 + x2)2 > 0.
D'où le tableau de signes de f ' (x) et le tableau des variations de f,
f ' (x) =
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
calculer f ' (x) ;

étudier le signe de f ' (x) et en
déduire les variations de f ;
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
avec :
–1
–1
f (–1) =
=
1 + (–1)2 2
1
1
et f ' (1) =
= .
1 + 12 2
1
–1
est le maximum de f et
est le minimum
2
2
–1
1
de f. Donc pour tout réel x de [–7 ; 7], on a :
 f (x)  .
2
2
Par lecture du tableau,

lire dans le tableau des
variations les extrema de f.
On peut aussi : majorer et minorer en utilisant les règles de comparaison.
Pour comparer l'image de x par deux fonctions, on précise le signe de leur différence :

2) Soit la fonction g définie sur [0 ; +[ par :
g(x) = x3 – (3x – 2) = x3 – 3x + 2.
g est dérivable sur [0 ; +[.
Pour tout réel x  0, on a :
g' (x) = 3x2 – 3. On obtient le
tableau ci-contre, avec :
Si le signe de g(x) n'est pas
« évident » :

g(0) = 03 – 3  0 + 2 = 2
et g(1) = 13 – 3  1 + 2 = 0.
Ce tableau montre que le minimum de g sur [0 ; +[ est 0.
Donc pour tout réel x  0, g(x)  0, soit x3  3x – 2.
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on calcule leur différence g(x),
et on étudie le signe de g(x).

on étudie les variations de la
fonction g ;
on obtient les extrema éventuels de g,
dont on déduit dans certains cas le signe
de g(x).
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