1 Enroulement de la droite des réels

Lycée Cassini Cours : Trigonométrie 1S2
1 Enroulement de la droite des réels
Définition : On se place dans le plan.
– Orienter un cercle, c’est choisir un sens de parcours sur ce cercle appelé sens direct (ou positif).
L’autre sens est appelé sens indirect (négatif ou rétrograde).
– Orienter le plan, c’est orienter tous les cercles du plan dans le même sens. L’usage est de choisir
pour sens direct le sens contraire des aiguilles d’une montre (appelé aussi sens trigonométrique).
– Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. Lorsque le plan
est muni d’un repère (O;~ı,~), le cercle trigonométrique est le cercle orienté dans le sens direct, de
centre Oet de rayon 1.
Exercice 1
Soit un repère orthonormal O;~ i,~ j, le cercle
Cde centre Oet de rayon 1 et la droite Dd’équa-
tion x= 1 qui coupe l’axe (Ox)en I.
À tout nombre a, on associe le point Mde la
droite D, d’abscisse 1 et d’ordonnée a.
« L’enroulement » de la droite Dautour du
cercle Cmet en coïncidence le point Mavec un
point Nde C.
Plus précisément, si aest positif, le point N
est tel que
y
IN =IM =a, l’arc étant mesuré dans
le sens inverse des aiguilles d’une montre et, si a
est négatif, le point Nest tel que
y
IN =IM =|a|,
l’arc étant mesuré dans le sens des aiguilles d’une
montre.
Le point Nest le point du cercle Cassocié au
nombre a.
a. Placer les points M1,M2,M3,M4,
M5,M6,M7,M8,M9de la droite
Ddont les ordonnées respectives sont :
0; π
2;−π 2;π 3;−π 3;π;−π; 2πet −2π(refaire le
dessin sur sa feuille au besoin).
b. Placer les points N1,N2,N3,N4,N5,N6,
N7,N8,N9du cercle associés à ces nombres.
c. Indiquer un nombre associé à chacun des
points I,J,B(−1; 0) et B′(0; −1).
d. Existe-t-il plusieurs nombres associés à un
même point ? Donner quatre nombres asso-
ciés au point J.
×
×
×
×
×
I
J
D
M
N
O
1

2 Une nouvelle unité de mesure des angles : le radian
Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique.
Définition La mesure d’un angle en radian est égale à la longueur de l’arc de cercle que cet angle
intercepte sur le cercle trigonométrique.
Avec les notations de l’activité précédente, la mesure de l’angle [ ION en radian est égale à la
longueur
y
IN, c’est-à-dire à a.
Exercice 2
Compléter le tableau suivant :
Mesure de l’arc IN 0π
6
π
4
π
3
π
2π2π
Mesure en radian de l’angle [ ION
Mesure en degré de l’angle [ ION
3 Angles orientés
3.1 Cercle trigonométrique
Définition 1 Une unité de longueur étant fixé, on appelle cercle
trigonométrique tout cercle de centre O, de rayon 1 muni d’une
origine Aet d’un sens de parcours (sens direct).
L’usage veut que le sens direct soit le sens inverse des aiguilles
d’une montre.
L’usage est de choisir un repère (O;−→ ı;−→ )orthonormé tel que
−→
OA =−→ i,−−→ OB =−→ j,(−→ OA, −−→ OB) = π
2et on se déplace de Avers B
dans le sens direct.
3.2 Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique :
L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
permet : d’associer à chaque réel α, un point Msur le cercle.
inversement de repérer tout point Mdu cercle au moyen de réels
xmesurant l’arc orienté AB
Exemple : Dans le plan orienté, on considère un cercle Cde centre Oet d’origne A. Placer les points
B,C,Dtels que : (~ OA;~ OB) = π
3;(~
OA;~ OD) = −7π
4et (~
OA;~ OC) = 21π
5
3.3 Mesure principale
Soit un cercle trigonométrique d’origine A, tout point Mdu cercle peut être repéré par un réel α
mesure de l’arc orienté AM. Ce réel αn’est pas unique, il existe une infinité de réels permettant de
repéré M. En effet tout les réels α+ 2kπ avec k∈Zrepérent le même point M.
on a donc (~ OA;~ OM) = α+ 2kπ avec k∈Z.
Définition 2 On appelle mesure principale l’unique valeur α0, parmi les réels α+ 2kπ, appartenant à
l’intervalle ]−π;π].
Exemple : Donner les mesures principales des angles suivants
α1=21π
2=π 2+ 5 ×2×π;α2=5π 3=−π 3+ 2π
2

Angles orientés de deux vecteurs non-nuls quelconque :
Soient ~u et ~v deux vecteurs non-nuls, il existe un unique couple de points (M;N)du cercle Ctel que
~
OM =~u
||~u|| et ~
ON =~v
||~v|| .
Les points Met Nappartiennent au cercle C. Les deux vecteurs ~u et ~v non-nuls définissent un angle
orienté (~u;~v)dont un représentant est l’angle (~ OM;~ ON ).
On a (~u;~v) = ( ~ OM;~ ON ).
3.4 Propriétés des angles orientés
On a donc (~u;~u) = 0 et (−~u;~u) = (~u;−~u) = π
Propriété 1
Deux vecteurs non-nuls ~u et ~v sont colinéaires de mêmes sens si, et seulement (~u;~v) = 0.
Deux vecteurs non-nuls ~u et ~v sont colinéaires de sens contraires si, et seulement (~u;~v) = π.
Propriété 2 Relation de Chasles
Pour tous vecteurs non-nuls ~u,~v et ~w on a : (~u;~v) + (~v;~w) = (~u;~w)
Conséquences :
Pour tous vecteurs non-nuls ~u,~v on a :
•(~v;~u) = −(~u;~v)•(~u;−~v) = (~u;~v) + π
•(~ −u;~v) = (~u;~v) + π•(~ −u;~ −v) = (~u;~v)
4 Cosinus et sinus d’un angle orienté de vecteurs :
Si xdésigne une mesure en radians d’un angle orienté (~u;~v), il existe un point Mappartenant au
cercle trigonométrique tel que (
~
i;~ OM) = x.
Définition 3 Le cosinus (resp. le sinus) d’un angle orienté (~u;~v)est (resp. le sinus) le cosinus de
l’une de ces mesures en radians.
Le point Ma pour abscisse cos(x)et pour ordonnée sin(x).
4.1 Lignes trigonométriques associées :
1.
cos(x+ 2π) = cos(x)
sin(x+ 2π) = sin(x)
2.
cos(−x) = cos(x)
sin(−x) = −sin(x)
3.
cos(π−x) = −cos(x)
sin(π−x) = −sin(x)
4.
cos(π+x) = −cos(x)
sin(π+x) = −sin(x)
5.
cos(π
2−x) = sin(x)
sin(π
2−x) = cos(x)
6.
cos(π
2+x) = −sin(x)
sin(π
2+x) = cos(x)
Sinus et Cosinus remarquables :
x0π
6
π
4
π
3
π
2π
sin(x) 0 1
2
√2
2
√3
21 0
cos(x) 1 √3
2
√2
2
1
20 1
3

4.2 Equations trigonométriques :
cos a= cos b⇐⇒ a=b+ 2kπ,k∈Zou a=−b+ 2k′π,k′∈Z
Les solutions de cette équations représentés sur un cercle sont symétriques par rapport à l’axe des
abscisses.
sin a= sin b⇐⇒ a=b+ 2kπ,k∈Zou a=π−b+ 2k′π,k′∈Z
Les solutions de cette équations représentés sur un cercle sont symétriques par rapport à l’axe des
ordonnées.
5 Répérage. Coordonnées Polaires
Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O;−→ ı;−→ ), tout point Mdistinct de Opeut être
repéré par :
•l’angle orienté θ= (−→ i;−−→ OM )
•et par la distance r=OM .
En effet le point M est l’intersection du cercle de centre Oet de rayon ravec le demi-droite [Oz).
Définition 4 Pour tout point Mdistinct de l’origine O, un couple (r;θ)tel que r=OM et θ=
(
~
i;~ OM)est un couple de coordonées polaires de M. On note M(r;θ).
Lien coordonées cartésiennes et coordonnées polaires :
Propriété 3 Dans un repère orthonormal direct (O;−→ ı;−→ ), un point Mdistinct de Oayant pour
coordonnées cartésiennes (x;y)et pour coordonnées polaires (r;θ)alors on a :
r=px2+y2
x=rcos θ
y=rsin θ
Exemple : A(2; π
4)
4