1 Enroulement de la droite des réels

Lycée Cassini
1
Cours : Trigonométrie
1S2
Enroulement de la droite des réels
Définition : On se place dans le plan.
– Orienter un cercle, c’est choisir un sens de parcours sur ce cercle appelé sens direct (ou positif).
L’autre sens est appelé sens indirect (négatif ou rétrograde).
– Orienter le plan, c’est orienter tous les cercles du plan dans le même sens. L’usage est de choisir
pour sens direct le sens contraire des aiguilles d’une montre (appelé aussi sens trigonométrique).
– Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. Lorsque le plan
est muni d’un repère (O;~ı, ~), le cercle trigonométrique est le cercle orienté dans le sens direct, de
centre O et de rayon 1.
Exercice 1
Soit un repère orthonormal O;~i, ~j , le cercle
C de centre O et de rayon 1 et la droite D d’équation x = 1 qui coupe l’axe (Ox) en I.
À tout nombre a, on associe le point M de la
droite D, d’abscisse 1 et d’ordonnée a.
« L’enroulement » de la droite D autour du
cercle C met en coïncidence le point M avec un
point N de C.
Plus précisément, si a est positif, le point N
d. Existe-t-il plusieurs nombres associés à un
même point ? Donner quatre nombres associés au point J.
D
×M
y
est tel que IN = IM = a, l’arc étant mesuré dans
le sens inverse des aiguilles d’une montre et, si a
y
est négatif, le point N est tel que IN = IM = |a|,
l’arc étant mesuré dans le sens des aiguilles d’une
montre.
Le point N est le point du cercle C associé au
nombre a.
N
a. Placer les points M1 , M2 , M3 , M4 ,
M5 , M6 , M7 , M8 , M9 de la droite
D dont les ordonnées respectives sont :
0; π2 ; − π2 ; π3 ; − π3 ; π; −π; 2π et − 2π (refaire le
dessin sur sa feuille au besoin).
×
×
O
b. Placer les points N1 , N2 , N3 , N4 , N5 , N6 ,
N7 , N8 , N9 du cercle associés à ces nombres.
c. Indiquer un nombre associé à chacun des
points I, J, B(−1; 0) et B ′ (0; −1).
1
×
J
×I
2
Une nouvelle unité de mesure des angles : le radian
Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique.
Définition La mesure d’un angle en radian est égale à la longueur de l’arc de cercle que cet angle
intercepte sur le cercle trigonométrique.
[ en radian est égale à la
Avec les notations de l’activité précédente, la mesure de l’angle ION
y
longueur IN , c’est-à-dire à a.
Exercice 2
Compléter le tableau suivant :
Mesure de l’arc IN
0
[
Mesure en radian de l’angle ION
[
Mesure en degré de l’angle ION
3
3.1
π
6
π
4
π
3
π
2
π
2π
Angles orientés
Cercle trigonométrique
Définition 1 Une unité de longueur étant fixé, on appelle cercle
trigonométrique tout cercle de centre O, de rayon 1 muni d’une
origine A et d’un sens de parcours (sens direct).
L’usage veut que le sens direct soit le sens inverse des aiguilles
d’une montre.
→
− ) orthonormé tel que
L’usage est de choisir un repère (O; −
ı ;→
−→ −
→ −−→ −
→ −→ −−→
OA = i , OB = j , (OA, OB) = π2 et on se déplace de A vers B
dans le sens direct.
3.2
Repérage d’un point sur le cercle trigonométrique :
L’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
permet : d’associer à chaque réel α, un point M sur le cercle.
inversement de repérer tout point M du cercle au moyen de réels
x mesurant l’arc orienté AB
Exemple : Dans le plan orienté, on considère un cercle C de centre O et d’origne A. Placer les points
~ OB)
~ = π ; (OA;
~ OD)
~ = − 7π et (OA;
~ OC)
~ = 21π
B,C,D tels que : (OA;
3
4
5
3.3
Mesure principale
Soit un cercle trigonométrique d’origine A, tout point M du cercle peut être repéré par un réel α
mesure de l’arc orienté AM . Ce réel α n’est pas unique, il existe une infinité de réels permettant de
repéré M . En effet tout les réels α + 2kπ avec k ∈ Z repérent le même point M .
~ OM
~ ) = α + 2kπ avec k ∈ Z.
on a donc (OA;
Définition 2 On appelle mesure principale l’unique valeur α0 , parmi les réels α + 2kπ, appartenant à
l’intervalle ] − π; π].
Exemple : Donner les mesures principales des angles suivants
π
5π
π
α1 = 21π
2 = 2 + 5 × 2 × π ; α2 = 3 = − 3 + 2π
2
Angles orientés de deux vecteurs non-nuls quelconque :
Soient ~u et ~v deux vecteurs non-nuls, il existe un unique couple de points (M ; N ) du cercle C tel que
~ = ~u
~ = ~v .
OM
et ON
||~u||
||~v ||
Les points M et N appartiennent au cercle C. Les deux vecteurs ~u et ~v non-nuls définissent un angle
~ ; ON
~ ).
orienté (~u; ~v ) dont un représentant est l’angle (OM
~ ; ON
~ ).
On a (~u; ~v ) = (OM
3.4
Propriétés des angles orientés
On a donc (~u; ~u) = 0 et (−~u; ~u) = (~u; −~u) = π
Propriété 1
Deux vecteurs non-nuls ~u et ~v sont colinéaires de mêmes sens si, et seulement (~u; ~v ) = 0.
Deux vecteurs non-nuls ~u et ~v sont colinéaires de sens contraires si, et seulement (~u; ~v ) = π.
Propriété 2 Relation de Chasles
Pour tous vecteurs non-nuls ~u, ~v et w
~ on a : (~u; ~v ) + (~v ; w)
~ = (~u; w)
~
Conséquences :
Pour tous vecteurs non-nuls ~u, ~v on a :
• (~v ; ~u) = −(~u; ~v )
• (~u; −~v ) = (~u; ~v ) + π
~ ~v ) = (~u; ~v ) + π • (−u;
~ −v)
~ = (~u; ~v )
• (−u;
4
Cosinus et sinus d’un angle orienté de vecteurs :
Si x désigne une mesure en radians d’un angle orienté (~u; ~v ), il existe un point M appartenant au
~ ) = x.
cercle trigonométrique tel que (~i; OM
Définition 3 Le cosinus (resp. le sinus) d’un angle orienté (~u; ~v ) est (resp. le sinus) le cosinus de
l’une de ces mesures en radians.
Le point M a pour abscisse cos(x) et pour ordonnée sin(x).
4.1
Lignes trigonométriques associées :


 cos(x + 2π) = cos(x)
1.

 sin(x + 2π) = sin(x)


 cos(−x) = cos(x)
2.

 sin(−x) = −sin(x)


 cos(π − x) = −cos(x)
3.

 sin(π − x) = −sin(x)


 cos(π + x) = −cos(x)
4.

 sin(π + x) = −sin(x)

π

 cos( 2 − x) = sin(x)
5.

 sin( π − x) = cos(x)
2

π

 cos( 2 + x) = −sin(x)
6.

 sin( π + x) = cos(x)
2
Sinus et Cosinus remarquables :
x
0
sin(x)
0
cos(x)
1
π
6
1
√2
3
2
π
√4
2
√2
2
2
π
√3
3
2
1
2
π
2
π
1
0
0
1
3
4.2
Equations trigonométriques :
cos a = cos b ⇐⇒ a = b + 2kπ, k ∈ Z ou a = −b + 2k′ π, k′ ∈ Z
Les solutions de cette équations représentés sur un cercle sont symétriques par rapport à l’axe des
abscisses.
sin a = sin b ⇐⇒ a = b + 2kπ, k ∈ Z ou a = π − b + 2k′ π, k′ ∈ Z
Les solutions de cette équations représentés sur un cercle sont symétriques par rapport à l’axe des
ordonnées.
5
Répérage. Coordonnées Polaires
→
− ), tout point M distinct de O peut être
Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O; −
ı ;→
repéré par :
→ −−→
−
• l’angle orienté θ = ( i ; OM )
• et par la distance r = OM .
En effet le point M est l’intersection du cercle de centre O et de rayon r avec le demi-droite [Oz).
Définition 4 Pour tout point M distinct de l’origine O, un couple (r; θ) tel que r = OM et θ =
~ ) est un couple de coordonées polaires de M . On note M (r; θ).
(~i; OM
Lien coordonées cartésiennes et coordonnées polaires :
−ı ; −
→
Propriété 3 Dans un repère orthonormal direct (O; →
 ), un point M distinct de O ayant pour
coordonnées

p cartésiennes (x; y) et pour coordonnées polaires (r; θ) alors on a :

 r = x2 + y 2
x = r cos θ

 y = r sin θ
Exemple : A(2; π4 )
4