partie 2 - Concours Communs Polytechniques

SESSION 2012
DGME204
CONCOURS NATIONAL D’ADMISSION DANS LES GRANDES ECOLES D’INGENIEURS
(Concours national DEUG)
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Epreuve commune à 2 options (Mathématiques et Physique)
MECANIQUE - PARTIE II
Durée : 2 heures
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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il a été amené à prendre.
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Les calculatrices sont interdites
Exercice 1 :
®
y0
Plateforme P2
M
G2
®
®
y1
O
I
x1
q
®
x0
G1
Plateforme P1
Figure 1
1/4
Tournez la page S.V.P.
®
®
®
Le référentiel Â0 est considéré comme galiléen. Il est rapporté au repère (O, x0 , y0 , z0 ) où l’axe
®
O z0 définit la verticale ascendante.
Un manège est constitué de 2 plateformes horizontales P1 et P2 , circulaires de même rayon R.
La plateforme P1 est fixe par rapport au référentiel Â0 , sa circonférence passe par l’origine O et
®
son centre G1 est sur l’axe O x0 .
La plateforme P2 , de centre G2 , roule sans glisser au point I autour de la plateforme P1 (figure 1).
®
On note w z0 le vecteur rotation de la plateforme P2 par rapport à Â0 . On suppose la vitesse
angulaire w constante.
® ® ®
®
®
Le référentiel Â1 est rapporté au repère orthonormé direct (G1 , x1 , y1 , z1 ) tel que z1 = z0 . Le repère
® ® ®
®
®
®
(G1 , x1 , y1 , z1 ) se déduit à chaque instant de (G1 , x0 , y0 , z0 ) par une rotation d'angle q autour de l'axe
®
G1 z0 .
®
1.1
Exprimer dans Â1 , et de 2 manières différentes, la vitesse V (G2 Î P2 / P1 ) du point G2
appartenant à la plateforme P2 par rapport à la plateforme P1 .
1.2
Exprimer la condition de roulement sans glissement au point I.
1.3
En déduire l’expression de q en fonction de w.
·
On considère un enfant, assimilé à un point matériel M, ayant pris place sur un siège du manège en
®
®
un point de la circonférence de la plateforme P2 . La position du point M est donnée par OM = r x1
®
®
et on constate que OM et G1G2 sont constamment colinéaires.
®
®
®
1.4
En projetant OG1 et G2 M suivant OM , démontrer que l’équation polaire r (q ) de la
trajectoire du point M dans Â0 peut s’écrire sous la forme r (q ) = K (1 + cos q ) . On
exprimera K.
1.5
Exprimer dans Â1 la vitesse V ( M Î P2 / P1 ) du point M appartenant à la plateforme P2
par rapport à la plateforme P1 en fonction de R , w et t.
1.6
Calculer la norme V ( M Î P2 / P1 ) de cette vitesse.
1.7
Déterminer la position M 1 du point M où l’enfant pourra descendre facilement du
manège.
1.8
Déterminer la position M 2 du point M où l’enfant a le plus de risque de se faire éjecter du
manège.
®
®
2/4
Exercice 2 :
®
y
®
y
®
M1
G
F2 / 1
®
®
F1/ 2 M2
®
x
z
O
®
x
®
z
® ® ®
Soit le référentiel  considéré comme galiléen. Il est rapporté au repère (O, x , y, z ) .
Dans ce référentiel, deux particules M 1 et M 2 , de masses m1 et m2 , sont en mouvement. On note
®
®
V ( M 1 / Â) et V ( M 2 / Â) leurs vitesses respectives par rapport au référentiel  .
®
Les 2 particules ne sont soumises qu’aux seules forces d’intéraction : F2 / 1 , force exercée par la
®
particule M 2 sur la particule M 1 , et F1 / 2 , force exercée par la particule M 1 sur la particule M 2
(figure ci-dessus).
®
2.1
Déterminer la vitesse V (G / Â) du centre de masse G du système S = {M1; M 2 } par
®
®
rapport au référentiel  en fonction de m1 , m2 , V ( M 1 / Â) et V ( M 2 / Â) .
®
2.2
Déterminer la valeur de l’accélération G(G / Â) du centre de masse G par rapport au
référentiel  .
2.3
En déduire la nature du mouvement du centre de masse G dans le référentiel  .
® ® ®
On considère maintenant le référentiel barycentrique Â* , rapporté au repère (G, x , y, z ) .
2.4 Le référentiel barycentrique Â* est-il galiléen ? Justifier.
®
®
®
2.5
Exprimer les vecteurs GM 1 et GM 2 en fonction du vecteur M 1M 2 , de m1 et m2 .
2.6
Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la particule M 1 puis à la particule
M 2 dans le référentiel barycentrique Â* .
2.7
Déduire de l’une de ces relations que l’étude du système S = {M1; M 2 } dans le référentiel
barycentrique Â* peut se réduire à l’étude du mouvement d’une seule particule fictive P,
®
de masse m soumise à la force F2 / 1 . On donnera l’expression de m .
3/4
Tournez la page S.V.P.
Exercice 3 :
®
z0
®
z1
G
O
a
®
®
x0
®
®
x1
y0
y1
On considère un cylindre homogène de centre de masse G, de rayon R, de hauteur H et de masse m
(voir figure ci-dessus).
On définit 3 référentiels :
®
®
®
®
-
Le référentiel Â0 est rapporté au repère (G, x0 , y0 , z0 ) , G z0 étant l’axe de révolution du
cylindre.
-
Le référentiel Â*0 est rapporté au repère (O, x0 , y0 , z0 ) .
-
Le référentiel Â1 est rapporté au repère (O, x1 , y1 , z1 ) tel que y1 = y0 . Le repère
®
®
®
® ® ®
®
® ® ®
®
®
®
®
(O, x1 , y1 , z1 ) se déduit du repère (O, x0 , y0 , z0 ) par une rotation d'angle a autour de
®
l'axe O y0 .
®
®
3.1
Déterminer la matrice d’inertie [ I G ]Â du cylindre au point G dans le référentiel Â0 .
3.2
Déterminer la matrice d’inertie [ I O ]Â* du cylindre au point O dans le référentiel Â*0 .
3.3
Déterminer dans le référentiel Â1 les moments d’inertie I Ox1 , I Oy1 , I Oz1 du cylindre par
0
0
®
®
®
rapport aux axes O x1 , O y1 et O z1 .
Fin de l’énoncé
4/4
IMPRIMERIE NATIONALE – 12 1289 – D’après documents fournis
On donne GO = e x0 .