1 B) Variable aléatoire continue

1
B) Variable aléatoire continue:
Soit ( ; Q; P ) un espace probabilisé et X variable aléatoire réelle dé…nie comme
suit:
X
tel que:
:
( ; Q) ! (R; BR )
X ( ) =]a; b[ R,
X ( ) est un intervalle ou réunion d’intervalles de R:
On dit alors que X est une v.a.r continue.
1.1
Loi de probabilité:
La loi de probabilité de X est dé…nie par la fonction densité de probabilité f
qui véri…e:
Z
f (x)
0 8 x 2 Df
f (x) dx = 1
Df
où Df est le domaine de dé…nition de la fonction f:
Remarque:
f est continue sur Df sauf, peut-être en un nombre …ni de points ( continue
par morceaux ).
Dans ce cours, on admet que toutes les v.a.r continues admettent une densité
de probabilité et dans ce cas on dit qu’elles sont absolument continues.
Notations:
Z
>P (X 2 A) = f (x) dx
A 2 BR
A
0
>P @X 2]
>P (a
X
b) =
1; +1[=
Zb
+1
Z
1
f (x) dx = 1A
(a; b) 2 R2 ;
f (x) dx;
a
>P (X = a) =
Za
1
f (x) dx = 0;
a
a<b
a2R
i.e la probabilité qu’une v.a.r continue prenne une valeur isolée …xe est toujours nulle.
>P (X < a) = P (X
a) =
Za
1
1
f (x) dx;
a2R
1.2
Fonction de répartition:
Elle est dé…nie de la façon suivante:
F
a
:
R !R
! F (a) = P (X
a) = P (X 2]
1; a]) =
Za
f (x) dx
1
Remarques:
1) On dit qu’une variable aléatoire réelle X est absolument continue ssi sa
fonction de répartition F est dérivable et
d
F (a) = f (a)
da
2) Soient a; b
P (a
X
b)
2
R; (a < b)
Zb
=
f (x) dx = F (b)
F (a)
a
Graphe:
3) P (a < X < b) = P (a
1.2.1
X < b) = P (a < X
b) = P (a
X
b)
Espérance mathématique:
Soit X une v.a.r dont la loi admet pour densité de probabilité f (x).
+1
Z
Si
jxj f (x) dx < 1; l’espérance mathématique de X est alors dé…nie par:
1
E (X) =
+1
Z
xf (x) dx
1
Remarque:
E [' (X)] =
+1
Z
' (x) f (x) dx
1
avec ' est une application continue et
+1
Z
1
2
j' (x)j f (x) dx < 1:
1.2.2
Moments:
X une v.a.r continue de densité de probabilité f (x), si
+1
Z
1
r
jxj f (x) dx < 1 ,
on dit que X admet un moment d’ordre r (r 2 N ) dé…ni par:
r
E (X ) =
+1
Z
xr f (x) dx
1
et si
+1
Z
1
r
jx
j f (x) dx < 1; on dit que X admet un moment centré
d’ordre r dé…ni par:
r
E [(X
) ]=
+1
Z
r
(x
) f (x) dx;
= E (X)
1
Propriété: Soient a; b 2 R
E (aX + b) = aE (X) + b
En e¤et
E (aX + b)
=
+1
Z
(ax + b) f (x) dx
=
+1
Z
+1
Z
1
axf (x) dx +
1
= aE (X) + b
1.2.3
bf (x) dx = a
1
+1
Z
xf (x) dx + b
1
+1
Z
f (x) dx =
1
Variance et écart-type:
On appelle variance de la v.a.r continue X la valeur
h
V ar (X) = E (X
V ar (X)
avec
E (X)
2
)
i
=
= E X
=
+1
Z
+1
Z
2
(x
) f (x) dx =
2
X
,
= E (X)
1
2
2
[E (X)] =
+1
Z
1
xf (x) dx
1
3
x2 f (x) dx
2
[E (X)]
=
X
p
var (X)
écart-type de X
Exemple:
Soit X une v.a continue de densité de probabilité:
2x2
si 0 < x < 2
0 sinon
c 4x
f (x) =
1) Calculer la constante c:
2) Trouver la fonction de répartition F:
3) Calculer P (X > 1) ; E (X) ; (X) :
Solution:
8
0 8 x 2 Df
>
Z
< > f (x)
1) f d.d.p( densité de probabilité ) ()
f (x) dx = 1
>
>
:
Df
Df =]
x
+1
Z
f (x) dx
2 ]0; 2[=) 2xc (2
=) c 0
=
Z0
=
Z0
1
f (x) dx +
1
c
"
Z2
x)
f (x) dx +
0
0dx +
1
=
1; +1[= R
Z2
2
2x
0
4
x
2
3 2
2
0
x
3
0; 8 x 2]0; 2[
+1
Z
f (x) dx = 1
0
#
dx +
+1
Z
0dx = c
Zx
f (t) dt
2
=
8
c=1
3
2) la fonction de répartition
x
:
R !R
! F (x) = P (X
4
x) =
1
Z2
0
3
=) c =
8
F
>
;
2
c 4x
2 2
9
>
=
4x
2x2 dx = 1
x
x
2
2
=
]
Zx
1; 0] : F (x) =
Zx
]0; 2[: F (x) =
Zx
3
8
f (t) dt = 0
1
Z0
f (t) dt =
1
f (t) dt +
1
2t2 dt =
4t
Zx
2
0
3
3 x
4
8
2
2
f (t) dt
x
3
=
3
8
2 3
x
3
2x2
0
x
2
]2; +1[: F (x) =
Zx
f (t) dt =
1
donc
F (x) =
3)
8
<
:
P (X > 1)
=
3
8
Zx
f (t) dt +
0
2 3
3x
f (x) dx =
3
2x2
8
Z2
f (t) dt = 1
2
9
si x 0
=
si 0 < x < 2
;
si x 2
1
=
f (t) dt +
1
0
2x2
1
+1
Z
Z0
2 3
x
3
Z2
f (x) dx +
1
2
+1
Z
f (x) dx
2
=
1
1
2
ou bien
P (X > 1)
=
1
= 1
E (X)
=
+1
Z
x f (x) dx =
1
=
3
8
Z0
P (X
1)
1
F (1) =
2
x f (x) dx +
1
Z2
4x2
Z2
x f (x) dx +
0
2x3 dx =
3 4 3
x
8 3
E X
2
= E X2
=
+1
Z
2 4
x
4
=1
0
2
2
x f (x) dx =
3 4
x
8
2
[E (X)]
1
=
x f (x) dx
2
0
V ar (X)
+1
Z
2 5
x
5
x f (x) dx +
3
8
16
5
2
1
2
=
0
Z0
Z2
0
=
5
6
5
2
x f (x) dx +
+1
Z
2
x2 f (x) dx
V ar (X)
=
(X)
=
6
6
1
1=
5
p5
5
1
p =
5
5