1 B) Variable aléatoire continue

1 B) Variable aléatoire continue:
Soit (; Q; P )un espace probabilisé et Xvariable aléatoire réelle dé…nie comme
suit:
X: (; Q)! (R; BR)
tel que: X() =]a; b[R,X() est un intervalle ou réunion d’intervalles de R:
On dit alors que Xest une v.a.r continue.
1.1 Loi de probabilité:
La loi de probabilité de Xest dé…nie par la fonction densité de probabilité f
qui véri…e:
f(x)08x2Df
Z
Df
f(x)dx = 1
où Dfest le domaine de dé…nition de la fonction f:
Remarque:
fest continue sur Dfsauf, peut-être en un nombre …ni de points ( continue
par morceaux ).
Dans ce cours, on admet que toutes les v.a.r continues admettent une densité
de probabilité et dans ce cas on dit qu’elles sont absolument continues.
Notations:
>P(X2A) = ZA f(x)dx A 2BR
>P0
@X2] 1;+1[=
+1
Z
1
f(x)dx = 11
A
>P(aXb) =
b
Za
f(x)dx; (a; b)2R2; a < b
>P(X=a) =
a
Za
f(x)dx = 0; a 2R
i.e la probabilité qu’une v.a.r continue prenne une valeur isolée …xe est tou-
jours nulle.
>P(X < a) = P(Xa) =
a
Z
1
f(x)dx; a 2R
1

1.2 Fonction de répartition:
Elle est dé…nie de la façon suivante:
F:R! R
a! F(a) = P(Xa) = P(X2] 1; a]) =
a
Z
1
f(x)dx
Remarques:
1) On dit qu’une variable aléatoire réelle Xest absolument continue ssi sa
fonction de répartition Fest dérivable et
d
da F(a) = f(a)
2) Soient a; b 2R;(a < b)
P(aXb) =
b
Za
f(x)dx =F(b)F(a)
Graphe:
3) P(a < X < b) = P(aX < b) = P(a < X b) = P(aXb)
1.2.1 Espérance mathématique:
Soit Xune v.a.r dont la loi admet pour densité de probabilité f(x).
Si
+1
Z
1
jxjf(x)dx < 1;l’espérance mathématique de Xest alors dé…nie par:
E(X) =
+1
Z
1
xf (x)dx
Remarque:
E['(X)] =
+1
Z
1
'(x)f(x)dx
avec 'est une application continue et
+1
Z
1
j'(x)jf(x)dx < 1:
2

1.2.2 Moments:
Xune v.a.r continue de densité de probabilité f(x), si
+1
Z
1
jxjrf(x)dx < 1,
on dit que Xadmet un moment d’ordre r(r2N)dé…ni par:
E(Xr) =
+1
Z
1
xrf(x)dx
et si
+1
Z
1
jxjrf(x)dx < 1;on dit que Xadmet un moment centré
d’ordre rdé…ni par:
E[(X)r] =
+1
Z
1
(x)rf(x)dx;=E(X)
Propriété: Soient a; b 2R
E(aX +b) = aE (X) + b
En e¤et
E(aX +b) =
+1
Z
1
(ax +b)f(x)dx
=
+1
Z
1
axf (x)dx +
+1
Z
1
bf (x)dx =a
+1
Z
1
xf (x)dx +b
+1
Z
1
f(x)dx =
=aE (X) + b
1.2.3 Variance et écart-type:
On appelle variance de la v.a.r continue Xla valeur
V ar (X) = Eh(X)2i=
+1
Z
1
(x)2f(x)dx =2
X,=E(X)
V ar (X) = EX2[E(X)]2=
+1
Z
1
x2f(x)dx [E(X)]2
avec E(X) =
+1
Z
1
xf (x)dx
3

X=pvar (X)écart-type de X
Exemple:
Soit Xune v.a continue de densité de probabilité:
f(x) = c4x2x2si 0< x < 2
0sinon 
1) Calculer la constante c:
2) Trouver la fonction de répartition F:
3) Calculer P(X > 1) ; E (X);  (X):
Solution:
1) fd.d.p( densité de probabilité ) () 8
>
<
>
:
>f(x)08x2Df
>Z
Df
f(x)dx = 1 9
>
=
>
;
Df=]  1;+1[= R
x2]0;2[=)2xc (2 x)0;8x2]0;2[
=)c0
+1
Z
1
f(x)dx =
0
Z
1
f(x)dx +
2
Z0
f(x)dx +
+1
Z2
f(x)dx = 1
=
0
Z
1
0dx +
2
Z0
c4x2x2dx +
+1
Z2
0dx =c
2
Z04x2x2dx = 1
=c"4x2
2
2
02x3
3
2
0#=8
3c= 1
=)c=3
8
2) la fonction de répartition
F:R! R
x! F(x) = P(Xx) =
x
Z
1
f(t)dt
4

x2] 1;0] : F(x) =
x
Z
1
f(t)dt = 0
x2]0;2[: F(x) =
x
Z
1
f(t)dt =
0
Z
1
f(t)dt +
x
Z0
f(t)dt
=3
8
x
Z04t2t2dt =3
84x2 22x3 3=3 82x22 3x3
x2]2;+1[: F(x) =
x
Z
1
f(t)dt =
0
Z
1
f(t)dt +
2
Z0
f(t)dt +
x
Z2
f(t)dt = 1
donc
F(x) = 8
<
:
0si x0
3
82x22 3x3si 0< x < 2
1si x29
=
;
3)
P(X > 1) =
+1
Z1
f(x)dx =
2
Z1
f(x)dx +
+1
Z2
f(x)dx
=3
82x22 3x32
1
=1
2
ou bien
P(X > 1) = 1 P(X1)
= 1 F(1) = 1
2
E(X) =
+1
Z
1
x f (x)dx =
0
Z
1
x f (x)dx +
2
Z0
x f (x)dx +
+1
Z2
x f (x)dx
=3
8
2
Z04x22x3dx =3
84 3x32 4x42
0
= 1
V ar (X) = EX2[E(X)]2
EX2=
+1
Z
1
x2f(x)dx =
0
Z
1
x2f(x)dx +
2
Z0
x2f(x)dx +
+1
Z2
x2f(x)dx
=3
8x42 5x52
0
=3
816 5=6 5
5