VE_L1S2 Chapitre 5 Extrema - Université de Cergy

Chapitre 5
Extrema d’une fonction de deux
variables - Convexité
5.1 Introduction : cas des fonctions d’une va-
riable réelle
Soit fune fonction définie et de classe C2sur un intervalle ouvert I(i.e. f
est dérivable deux fois et sa dérivée seconde est continue sur I)Si fadmet un
extremum en x0alors la dérivée fÕvérifie fÕ(x0)=0: la tangente à Cfau point
(x0,f(x0)) est alors horizontale : cette condition est une condition nécessaire, mais
non suffisante, ainsi de la fonction « cube » dont la courbe est représentée ci-
dessous :
Figure 5.1 – Courbe de la fonction x‘æ 0,1x3
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CHAPITRE 5. EXTREMA D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - CONVEXITÉ
On appelle la condition (nécessaire) « fÕ(x0)=0»condition du premier
ordre.
Un réel x0tel que fÕ(x0)=0est appelé point stationnaire (en mécanique
cela correspond aux instants où la vitesse s’annule)
Cette proposition n’est toutefois vraie que pour des points intérieurs au do-
maine de définition de f: c’est pourquoi, les domaines étudiés dans ce cours seront
toujours ouverts.
Pour déterminer une condition suffisante pour que fadmette un extremum
en x0, il faut étudier la dérivée seconde de f:
Observons les deux cas de figure :
Figure 5.2 – Un exemple
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5.1. INTRODUCTION : CAS DES FONCTIONS D’UNE
VARIABLE RÉELLE 7
1. Étude de fau voisinage de
x=≠3
x≠3
f f(≠3)
fÕ(x)≠0+
fÕ0
fÕÕ(x) +
La dérivée est négative avant ≠3
puis positive après ≠3:fÕest
donc strictement croissante : donc
sa dérivée est positive : i.e. sur
un intervalle ouvert contenant ≠3,
fÕÕ(x)>0
2. Étude de fau voisinage de
x=1
x1
f
f(1)
fÕ(x)+0≠
fÕ0
fÕÕ(x)≠
La dérivée est positive avant 1puis
négative après 1:fÕest donc stric-
tement décroissante : donc sa déri-
vée est négative : i.e. sur un inter-
valle ouvert contenant 1,fÕÕ(x)<
0
De façon plus générale,
Théorème 1. Soient fune fonction définie et de classe C2sur un intervalle
ouvert I, et x0œI
fadmet un maximum (local) en x0si et seulement si :
fÕ(x0)=0 et fÕÕ(x0)<0
fadmet un minimum (local) en x0si et seulement si :
fÕ(x0)=0 et fÕÕ(x0)>0
Lorsque fÕ(x0)=0, on appelle la condition « fÕÕ(x0)”=0»condition suffi-
sante du second ordre
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CHAPITRE 5. EXTREMA D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - CONVEXITÉ
5.2 Extremum libre d’une fonction de deux va-
riables
Définition 1. Soit fdéfinie sur un ouvert et x0œ.
On dit que fadmet un maximum (respectivement minimum) absolu
ou global au point M0(x0,y
0)si
’(x, y)œ,f(x, y)Æf(x0,y
0)1resp.f(x, y)Øf(x0,y 0)2
On dit que fadmet un maximum (resp minimum) relatif au point
M0(x0,y
0)s’il existe un voisinage V0de x0tel que
’(x, y)œflV0,f(x, y)Æf(x0,y
0)1resp.f(x, y)Øf(x0,y 0)2
Un extremum (ou optimum) de fest un minimum ou un maximum de f
5.2.1 Conditions nécessaires du premier ordre (CN1)
Géométriquement, si fadmet un extremum au point M0(x0,y
0)alors le plan
tangent au graphe Gfde fau point MÕ
0(x0,y
0,f(x0,y 0)) est horizontal.
-2.0
-4 -1.5
-2.0 -1.0
-1.5
-3
-0.5-1.0
-2
-0.5 0.0
0.0 X
0.5
-1
0.5
Y1.0
1.0
Z0
1.5
1.5 2.0
2.0
1
2
3
4
Figure 5.3 – Extremum et plan tangent horizontal
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5.2. EXTREMUM LIBRE D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES 9
Théorème 2. Soit fune fonction de classe C2sur un ouvert . Si fadmet
un extremum au point M0, alors ≠≠ ≠ ≠æ grad f (M0)=≠æ0: cette condition est appelée
condition nécessaire du premier ordre (CN1).
Définition 2. On appelle point stationnaire de ftout point M(x, y)œtel
que ≠≠ ≠ ≠æ grad f (M)=≠æ0
Exemple 1
Soit fdéfinie sur R2par f(x, y)=≠(xy2+2x2+y2).
Déterminer les points stationnaires de f.
.... fpossède 3points stationnaires M0(0; 0),M1(≠1; ≠2) et M2(≠1; 2) :ce-
pendant on peut voir que certains d’entre eux ne sont pas des optima.
Figure 5.4 – Exemple 1
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