VE_L1S2 Chapitre 5 Extrema - Université de Cergy

Chapitre 5
Extrema d’une fonction de deux
variables - Convexité
5.1
Introduction : cas des fonctions d’une variable réelle
Soit f une fonction définie et de classe C 2 sur un intervalle ouvert I (i.e. f
est dérivable deux fois et sa dérivée seconde est continue sur I) Si f admet un
extremum en x0 alors la dérivée f Õ vérifie f Õ (x0 ) = 0 : la tangente à Cf au point
(x0 , f (x0 )) est alors horizontale : cette condition est une condition nécessaire, mais
non suffisante, ainsi de la fonction « cube » dont la courbe est représentée cidessous :
Figure 5.1 – Courbe de la fonction x ‘æ 0, 1x3
5
6
CHAPITRE 5. EXTREMA D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - CONVEXITÉ
On appelle la condition (nécessaire) « f Õ (x0 ) = 0 » condition du premier
ordre.
Un réel x0 tel que f Õ (x0 ) = 0 est appelé point stationnaire (en mécanique
cela correspond aux instants où la vitesse s’annule)
Cette proposition n’est toutefois vraie que pour des points intérieurs au domaine de définition de f : c’est pourquoi, les domaines étudiés dans ce cours seront
toujours ouverts.
Pour déterminer une condition suffisante pour que f admette un extremum
en x0 , il faut étudier la dérivée seconde de f :
Observons les deux cas de figure :
Figure 5.2 – Un exemple
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5.1. INTRODUCTION : CAS DES FONCTIONS D’UNE
VARIABLE RÉELLE
1. Étude de f au voisinage de
x = ≠3
2. Étude de f au voisinage de
x=1
x
≠3
x
f
f (≠3)
f
f Õ (x)
≠
0
+
f Õ (x)
1
f (1)
+
0
fÕ
0
fÕ
0
f ÕÕ (x)
+
f ÕÕ (x)
≠
La dérivée est négative avant ≠3
puis positive après ≠3 : f Õ est
donc strictement croissante : donc
sa dérivée est positive : i.e. sur
un intervalle ouvert contenant ≠3,
f ÕÕ (x) > 0
7
≠
La dérivée est positive avant 1 puis
négative après 1 : f Õ est donc strictement décroissante : donc sa dérivée est négative : i.e. sur un intervalle ouvert contenant 1, f ÕÕ (x) <
0
De façon plus générale,
Théorème 1. Soient f une fonction définie et de classe C 2 sur un intervalle
ouvert I, et x0 œ I
f admet un maximum (local) en x0 si et seulement si :
f Õ (x0 ) = 0 et
f ÕÕ (x0 ) < 0
f admet un minimum (local) en x0 si et seulement si :
f Õ (x0 ) = 0 et
f ÕÕ (x0 ) > 0
Lorsque f Õ (x0 ) = 0, on appelle la condition « f ÕÕ (x0 ) ”= 0 » condition suffisante du second ordre
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CHAPITRE 5. EXTREMA D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - CONVEXITÉ
8
5.2
Extremum libre d’une fonction de deux variables
Définition 1. Soit f définie sur un ouvert et x0 œ .
On dit que f admet un maximum (respectivement minimum) absolu
ou global au point M0 (x0 , y0 ) si
1
’(x, y) œ , f (x, y) Æ f (x0 , y0 ) resp. f (x, y) Ø f (x0 , y0 )
2
On dit que f admet un maximum (resp minimum) relatif au point
M0 (x0 , y0 ) s’il existe un voisinage V0 de x0 tel que
1
fl V0 , f (x, y) Æ f (x0 , y0 ) resp. f (x, y) Ø f (x0 , y0 )
’(x, y) œ
2
Un extremum (ou optimum) de f est un minimum ou un maximum de f
5.2.1
Conditions nécessaires du premier ordre (CN1)
Géométriquement, si f admet un extremum au point M0 (x0 , y0 ) alors le plan
tangent au graphe Gf de f au point M0Õ (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) est horizontal.
4
3
2
1
Z
0
-1
-2
-3
-4
- 2.0
- 1.5
- 1.0
- 0.5
Y
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
- 0.5
X
- 1.0
- 1.5
- 2.0
Figure 5.3 – Extremum et plan tangent horizontal
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5.2. EXTREMUM LIBRE D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES
9
Théorème 2. Soit f une fonction de classe C 2 sur un ouvert . Si f admet
≠≠≠≠æ
æ
≠
un extremum au point M0 , alors grad f (M0 ) = 0 : cette condition est appelée
condition nécessaire du premier ordre (CN1).
Définition 2. On appelle point stationnaire de f tout point M (x, y) œ
≠≠≠≠æ
æ
≠
que grad f (M ) = 0
tel
Exemple 1
Soit f définie sur R2 par f (x, y) = ≠(xy 2 + 2x2 + y 2 ).
Déterminer les points stationnaires de f .
.... f possède 3 points stationnaires M0 (0; 0), M1 (≠1; ≠2) et M2 (≠1; 2) : cependant on peut voir que certains d’entre eux ne sont pas des optima.
Figure 5.4 – Exemple 1
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CHAPITRE 5. EXTREMA D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - CONVEXITÉ
10
5.2.2
.
Conditions suffisantes du second ordre (CS2)
Soient f une fonction de classe C 2 sur un ouvert
On note
≠æ
m
=
et M0 (x0 , y0 ) un point de
A B
h
le vecteur accroissement à partir de M0
k
On note f l’accroissement de f induit par le déplacement de M0 (x0 , y0 ) en
M (x0 + h, y0 + k), i.e. f = f (M ) ≠ f (M0 ) = f (x0 + h, y0 + k) ≠ f (x0 , y0 )
On admet que :
f
=
ˆf
ˆf
(x0 , y0 ) · h +
(x0 , y0 ) · k
ˆx
ˆy
1
+
2
A
B
1 ≠æ 2
ˆ2f
ˆ2f
ˆ2f
2
2
(x
,
y
)
·
h
+
2
(x
,
y
)
·
hk
+
(x
,
y
)
·
k
+
o
|| m ||2
0 0
0 0
0 0
ˆx2
ˆxˆy
ˆy 2
1 ≠æ 2
≠æ
où o || m ||2 est une fonction négligeable devant || m ||2 = h2 + k 2 .
Cette expression est le développement limité (de Taylor) à l’ordre 2 de
la fonction f au voisinage de M0 .
ˆf
ˆf
Supposons que M0 soit un point stationnaire :
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ) = 0, donc :
ˆx
ˆy
f
1
=
2
A
B
1 ≠æ 2
ˆ2f
ˆ2f
ˆ2f
2
2
(x
,
y
)
·
h
+
2
(x
,
y
)
·
hk
+
(x
,
y
)
·
k
+o
|| m ||2
0
0
0
0
0
0
ˆx2
ˆxˆy
ˆy 2
Et le signe de
f
est celui de
ˆ2f
ˆ2f
ˆ2f
2
(x
,
y
)
·
h
+
2
(x
,
y
)
·
hk
+
(x0 , y0 ) · k 2
0
0
0
0
ˆx2
ˆxˆy
ˆy 2
dès lors que h2 + k 2 est suffisamment petit.
Posons
r=
ˆ2f
(x0 , y0 ) ,
ˆx2
s=
ˆ2f
(x0 , y0 ) ,
ˆxˆy
t=
ˆ2f
(x0 , y0 )
ˆy 2
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5.2. EXTREMUM LIBRE D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES
11
On obtient alors :
ˆ2f
ˆ2f
ˆ2f
2
(x
,
y
)
·
h
+
2
(x
,
y
)
·
hk
+
(x0 , y0 ) · k 2
0 0
0 0
ˆx2
ˆxˆy
ˆy 2
= r · h2 + 2s · hk + t · k 2
Q A B
2
h
= k ar
k
2
1
R
h
+ 2s + tb
k
2
= k 2 r⁄2 + 2s⁄ + t
avec ⁄ =
h
k
Ce qui permet d’affirmer que le signe de f est celui de r⁄2 + 2s⁄ + t = P (⁄)
que l’on considère comme un trinôme en la variable ⁄.
Soit = 4s2 ≠ 4r.t = 4(s2 ≠ rt) le discriminant de P (⁄).
f admet un extremum en M0 si et seulement si f est de signe constant
sur V0 .
D’après ce qui précède, f est de signe constant sur V0 si P (⁄) est de signe
constant sur V0 : un trinôme est de signe constant si et seulement si son discriminant est strictement négatif, et si c’est le cas, le signe de P (⁄) (ou de f )
est le signe de r.
Théorème 3. Soit M0 un point stationnaire d’une fonction f de classe C 2 sur un
ouvert . Posons :
r=
ˆ2f
(x0 , y0 ) ,
ˆx2
s=
ˆ2f
(x0 , y0 ) ,
ˆxˆy
t=
ˆ2f
(x0 , y0 )
ˆy 2
1. Si s2 ≠ rt < 0, alors f admet un extremum local en M0
(a) Si r > 0, f admet un minimum local en M0
(b) Si r < 0, f admet un maximum local en M0
2. Si s2 ≠ rt > 0, alors Gf présente un point col (ou point selle) en M0 (voir
figure du paraboloïde hyperbolique)
3. Si s2 ≠ rt = 0, on ne peut pas conclure sur la nature du point M0 , sauf
à poursuivre les calculs et faire un développement limité de f à un ordre
supérieur ou égal à 3 (hors programme).
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12
CHAPITRE 5. EXTREMA D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - CONVEXITÉ
25
20
15
10
5
Z
0
-5
- 10
- 15
- 20
- 25
-5
-4
-3
-5
-2
-4
-3
-1
Y
-2
0
-1
1
0
1
2
X
2
3
3
4
4
5
5
Figure 5.5 – Paraboloïde hyperbolique
Définition 3. Soit f une fonction de classe C 2 sur un ouvert . Si M0 (x0 , y0 ) œ
est un point stationnaire de f , la condition « s2 ≠ rt < 0 » est dite condition
suffisante du second ordre (ou CS2).
Exemple 2 Revenons à l’étude de f définie sur R2 par f (x, y) = ≠(xy 2 +2x2 +y 2 ).
Étudier la nature des points stationnaires de f .
Exemple 3 Soit f définie sur R2 par f (x, y) = (x2 +y 2 )2 ≠2(x2 ≠y 2 ). Déterminer
les extrema de f
Figure 5.6 – Figure exemple 3
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5.3. CONVEXITÉ
5.3
5.3.1
13
Convexité
Barycentre de n points pondérés
Définition 4. Un point pondéré de R2 est un couple (M, –) où M est un point de
R2 et – un réel (non nul).
Définition 5. Soit n Ø 1, On considère n points pondérés (M1 , –1 ), (M2 , –2 ), · · · , (Mn , –n )
de R2 tels que m =
n
ÿ
i=1
–i ”= 0.
Il existe un unique point G de R2 tel que
n
≠≠≠æ
≠≠≠æ
≠≠≠æ ÿ
≠≠æ æ
≠
–1 GM1 + –2 GM2 + · · · + –n GMn =
–i GMi = 0
(ú)
i=1
Ce point G s’appelle le barycentre des n points pondérés (Mi , –i ), i œ [[1, n]].
Proposition 1. Pour tout point M du plan , on a
A
n
≠≠æ
≠≠≠æ
1 ÿ
MG =
–i M Mi
m i=1
B
–i
,i œ
m
[[1, n]] : le barycentre G est l’unique point du plan tel que pour tout point M du
n
n
ÿ
≠≠æ ÿ
≠≠≠æ
plan, M G =
⁄i M Mi où
⁄i = 1
Remarque : Parfois on utilise une autre formulation, en posant ⁄i =
i=1
i=1
æ
≠
Propriété 1. Dans le plan muni d’un repère (O, i , ˛j), les coordonnées (xG , yG )
de G sont
Y
_
_
_
_
_
]
_
_
_
_
_
[
xG
yG
n
1 ÿ
=
–i xi
m i=1
n
1 ÿ
=
–i yi
m i=1
où (xi , yi ) sont les coordonnées du point Mi , i œ [[1, n]]
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CHAPITRE 5. EXTREMA D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - CONVEXITÉ
Exemple 4 La moyenne arithmétique (notée x) d’une variable statistique discrète
est le barycentre de ses valeurs xi affectées des fréquences fi , i œ [[1, n]]
x=
n
ÿ
fi xi
i=1
Exemple 5 Barycentre de deux points pondérés
Soient A et B deux points de R2 , alors le segment [AB] est l’ensemble des
barycentres de A et B affectés des coefficients ⁄ et 1 ≠ ⁄, où ⁄ œ [0; 1]
M (x, y) œ [AB] ≈∆ ÷⁄ œ [0; 1] tel que
I
x = ⁄xA + (1 ≠ ⁄)xB
y = ⁄yA + (1 ≠ ⁄)yB
Proposition 2. associativité du barycentre Soit G le barycentre des n points
pondérés (Mi , –i ), i œ [[1, n]] (où m =
Soit 1 < p < n tel que mÕ =
p
ÿ
i=1
n
ÿ
i=1
–i ”= 0)
–i ”= 0
Alors G est également le barycentre des points (GÕ , mÕ ), (Mp+1 , –p+1 ), · · · , (Mn , –n )
i.e. on peut remplacer p points Mi par leur barycentre « partiel » GÕ affecté du
coefficient mÕ .
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5.3. CONVEXITÉ
5.3.2
15
Parties convexes de R2
Définition 6. Une partie A du plan R2 (ou de l’espace R3 ) est dite convexe
lorsqu’elle vérifie la propriété suivante :
Pour tous points M et N de A, le segment [M N ] est contenu entièrement dans
A
Partie convexe du plan
M
N
Partie non convexe du plan
N
M
Figure 5.7 – Convexité
Exemple 6 Soient a, b et c trois réels : P = {(x, y) œ R2 / ax + by > c} est une
partie convexe de R2
Proposition 3. L’intersection d’un nombre fini de parties convexes est une partie
convexe
Admis ⌅
Remarque : La réunion de deux parties convexes n’est pas en général convexe.
(figure)
5.3.3
Cas des fonctions d’une variable réelle
Définition 7. Une fonction d’une variable réelle f définie sur UN intervalle I
est dite convexe si la portion du plan située au dessus de sa courbe représentative
(ou épigraphe) est convexe.
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CHAPITRE 5. EXTREMA D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - CONVEXITÉ
Une fonction f est dite concave lorsque ≠f est convexe.
Figure 5.8 – Fonction non convexe / convexe
Propriété 2. Soit f une fonction d’une variable réelle définie sur un intervalle I.
f est convexe si et seulement si
’(a, b) œ I ◊ I, ’t œ [0, 1] , f (ta + (1 ≠ t)b) Æ tf (a) + (1 ≠ t)f (b)
Figure 5.9 – Fonction convexe
Proposition 4. Inégalité de Jensen
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5.3. CONVEXITÉ
17
Soient f une fonction convexe sur un intervalle I de R, (x1 , x2 , · · · , xn ), n réels
de I et (⁄1 , ⁄2 , · · · , ⁄n ) n réels de [0; 1] tels que
n
ÿ
⁄i = 1 , alors
i=1
f (⁄1 x1 + ⁄2 x2 + · · · + ⁄n xn ) Æ ⁄1 f (x1 ) + ⁄2 f (x2 ) + · · · + ⁄n f (xn )
De plus, cette inégalité est une égalité lorsque x1 = x2 = · · · = xn
Admis
Proposition 5. Croissance des pentes
Soit f une fonction d’une variable réelle définie sur I à valeurs dans R. On a
l’équivalence :
i. f est convexe.
ii. Pour tous réels a, b et c de I tels que a < b < c, on a :
f (b) ≠ f (a)
f (c) ≠ f (a)
f (c) ≠ f (b)
Æ
Æ
b≠a
c≠a
c≠b
iii. Pour tout réel a œ I, la fonction
·a : I r {a} æ R
f (x) ≠ f (a) est croissante.
x ‘æ
x≠a
Figure 5.10 – Croissance des Pentes
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CHAPITRE 5. EXTREMA D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - CONVEXITÉ
Théorème 4. cas des fonctions dérivables
Soit f une fonction d’une variable réelle définie sur I à valeurs dans R.
(i) Si f est dérivable sur I alors f est convexe si et seulement si f Õ est croissante
sur I.
(ii) Si f est deux fois dérivable, alors f est convexe si et seulement si f ÕÕ est
positive ou nulle sur I.
Remarque : la seconde assertion est de façon évidente un cas particulier de la
première
Preuve : Ce théorème est admis
Exemple 7 Montrer que la fonction exponentielle est convexe sur R et que la
fonction logarithme népérien est concave sur Rú+ .
a+b Ô
Exemple 8 Montrer que pour tous a et b strictement positifs,
Ø ab
2
Théorème 5. Conséquence graphique : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I : alors f est convexe si et seulement si Cf est
située au-dessus de chacune de ses tangentes :
Preuve : admis
Conséquence : Soit f une fonction d’une variable réelle, convexe, définie et (au
moins) dérivable sur un intervalle ouvert I. Soit x0 œ I tel que f Õ (x0 ) = 0 alors f
atteint son minimum (sur I) en x0
Exemple 9 Soit f définie sur R par f (x) = x4 .
Pour tout réel x, f Õ (x) = 4x3 et f ÕÕ (x) = 12x2 .
f possède un unique point stationnaire x0 = 0, mais on ne peut pas conclure
avec la CS2 : cependant f est convexe (car ’x œ R, f ÕÕ (x) Ø 0) donc f admet un
minimum en x0 = 0
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5.3. CONVEXITÉ
5.3.4
19
Cas des fonctions de deux variables réelles
Définition 8. Une fonction de deux variables réelles f définie sur un ouvert est
dite convexe si la portion de l’espace située au dessus de son graphe représentatif
(ou épigraphe) est convexe.
Une fonction est dite concave lorsque ≠f est convexe.
Remarque : L’épigraphe est défini par EF = {(x, y, z) œ R3 / (x, y) œ et z Ø
f (x, y)}
L’exemple le plus clair est celui du paraboloïde d’équation cartésienne z =
x2 + y 2
200
180
160
140
120
Z
100
80
60
40
20
0
- 10
-6
Y- 2
2
6
10
10
8
6
4
2
0
-2
X
-4
-6
-8
- 10
Figure 5.11 – Paraboloïde
Théorème 6. Soit f une fonction définie et de classe C 1 sur une partie convexe
de R2 .
Alors f est convexe si et seulement si son graphe Gf est situé au-dessus de tout
plan tangent à Gf
’(x, y) œ , ’(x0 , y0 ) œ ,
f (x, y) Ø f (x0 , y0 ) +
ˆf
ˆf
(x0 , y0 )(x ≠ x0 ) +
(x0 , y0 )(y ≠ y0 )
ˆx
ˆy
Autrement dit
’(x0 , y0 ) œ , ’(x, y) œ ,
f
≠≠≠æ ≠≠≠≠æ
Ø M0 M · grad f (x0 , y0 )
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CHAPITRE 5. EXTREMA D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - CONVEXITÉ
20
Théorème 7. Soit f une fonction définie et de classe C 2 sur une partie convexe
de R2 . Pour tout (x, y) œ , posons :
r=
ˆ2f
(x, y) ,
ˆx2
s=
ˆ2f
(x, y) ,
ˆxˆy
t=
ˆ2f
(x, y)
ˆy 2
1. La fonction f est convexe si et seulement si pour tous (x, y) œ , s2 ≠ rt Æ 0
et r Ø 0 et t Ø 0.
2. La fonction f est concave si et seulement si pour tous (x, y) œ , s2 ≠ rt Æ 0
et r Æ 0 et t Æ 0.
Remarque :
• Si s2 ≠ rt < 0 alors f est convexe si et seulement si r Ø 0 (alors t Ø 0
nécessairement)
• Si s2 ≠ rt = 0, on doit considérer deux cas :
- Si s ”= 0, f est convexe si et seulement si r 1> 0 (alors t > 0 nécessairement)
2
1
- Si s = 0, f est convexe si et seulement si r > 0 et t = 0 ou r = 0 et
2
t>0 .
Exemple 10 Soit f définie sur R2 par f (x, y) = x + y 2 . Justifier que f est
convexe sur R2 .
Exemple 11 Exemple du paraboloïde de révolution d’équation f (x, y) = x2 +y 2 :
Montrer que f est convexe.
Exemple 12 Soit f définie par f (x, y) = ln(x2 ≠ y 2 ). Déterminer le domaine de
définition de f , puis étudier la convexité de f sur un domaine convexe de .
Figure 5.12 – Exemple 12
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5.4. EXTREMA LIÉS OU AVEC CONTRAINTE(S)
21
Corollaire 1. Soit f une fonction définie et de classe C 2 sur une partie convexe
de R2 , et M0 (x0 , y0 ) un point stationnaire de f .
Si f est convexe (respectivement concave) au voisinage de M0 , alors f admet
un minimum local (resp. un maximum local) en M0
Exemple 13 Soit f définie sur R2 par f (x, y) = ln(x2 + y 2 + 1). Étudiez la
nature du (ou des) point(s) stationnaire(s) de f .
Figure 5.13 – Exemple 13
5.4
Extrema liés ou avec contrainte(s)
Problématique : Soient f et g deux fonctions de deux variables de classe C 1 .
On cherche à déterminer les extrema relatifs de f lorsque x et y sont liées par la
relation g(x, y) = 0 appelée contrainte.
Autrement dit, on cherche à déterminer les extrema de f lorsque le point
M (x, y) se déplace sur la courbe de niveau 0 de g.
Méthode de détermination des points stationnaires
• 1. On se ramène à l’étude d’une fonction d’une variable :
Si la contrainte g(x, y) = 0 permet de définir implicitement (et facilement) y en
fonction de x, on remplace y par y(x) dans l’expression de f , on est ramené alors à
l’étude des extrema de la fonction d’une variable F définie par F (x) = f (x, y(x)).
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22
CHAPITRE 5. EXTREMA D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - CONVEXITÉ
Exemple 14 Soient f et g deux fonctions définies sur R2 par f (x, y) = xy
et g(x, y) = y + x2 ≠ 4. Justifiez que la contrainte g(x, y) = 0 permet de définir
implicitement y en fonction de x, puis déterminer les extrema relatifs de f sous la
contrainte g(x, y) = 0.
Exemple 15 Un produit Q est obtenu à partir de deux paramètres : le travail
X et le capital Y . La quantité produite q de Q est donnée par :
2
1
q = 3x 3 y 3
où x et y sont les quantités de travail et de capital.
On suppose que le coût unitaire du travail est de 3 (unités de compte), le coût
unitaire du capital de 1 et que le coût de fabrication est égal à 10.
Donner l’expression mathématique de la contrainte, puis déterminer la production optimale.
Exemple 16 Extrait du partiel de juin 2012
Les questions 1 et 2 sont indépendantes
Soit f la fonction définie sur R2 par f (x, y) = x3 + y 3 + 3xy.
1. Dans cette question, on recherche les extrema libres éventuels de f
1. Calculer les dérivées partielles premières de f , puis montrer que f possède
deux points stationnaires.
2. Calculer les dérivées partielles secondes de f , puis déterminer la nature de
chacun des points stationnaires de f .
Soit f la fonction définie sur R2 par f (x, y) = x3 + y 3 + 3xy.
2. On étudie cette fois les extrema éventuels de f sous la contrainte
g(x, y) = x + y ≠ 2 = 0
1. Montrer que la contrainte définit implicitement y en fonction de x.
2. Étudier les variations de la fonction F définie par F (x) = f (x, y(x)). (On
rappelle l’identité remarquable : (a ≠ b)3 = a3 ≠ 3a2 b + 3ab2 ≠ b3 )
3. Conclure.
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5.4. EXTREMA LIÉS OU AVEC CONTRAINTE(S)
23
≠
≠≠≠
æ
≠≠≠≠æ
• 2. On utilise la colinéarité des vecteurs gradients grad g(M0 ) et grad f (M0 )
Théorème 8. Soient f et g deux fonctions de deux variables de classe C 1 sur .
On note la courbe d’équation g(x, y) = 0.
≠
≠≠≠
æ
æ
≠
Soit M0 (x0 , y0 ) œ fl tel que grad g(x0 , y0 ) ”= 0 .
Si M0 (x0 , y0 ) est un extremum relatif de f sous la contrainte g(x, y) = 0, alors
≠
≠≠≠
æ
≠≠≠≠æ
les vecteurs grad g(M0 ) et grad f (M0 ) sont colinéaires.
Théorème 9. Soient f et g deux fonctions de deux variables de classe C 1 sur .
Si f admet un extremum relatif en M0 sous la contrainte g(x, y) = 0 alors (x0 , y0 )
est solution du système :
Y
_
_
_
]
Exemple 17
_
_
_
[
ˆf
ˆg
ˆf
ˆg
(x, y). (x, y) ≠
(x, y). (x, y) = 0
ˆx
ˆy
ˆy
ˆx
g(x, y) = 0
Déterminer les extrema liés de f définie sur R2 par
f (x, y) = x2 .y + 30
sous la contrainte g(x, y) = x2 + y 2 ≠ 12 = 0
• Interprétation géométrique :
≠≠≠≠æ
Le vecteur grad f (M0 ) est un vecteur normal à la ligne de niveau Ifc où c =
f (x0 , y0 )
≠
≠≠≠
æ
Le vecteur grad g(M0 ) est un vecteur normal à la tangente en M0 à la courbe
d’équation g(x, y) = 0
Selon le théorème, si M0 est un point stationnaire, c’est un point où la courbe
et la ligne de niveau Ifc sont tangentes.
Sur la figure ci-dessous, on représenté
• le graphe de la fonction f : (x, y) ‘æ x2 .y + 30 (le +30 n’est là que pour des
raisons de lisibilité)
• les courbes de niveau 14 et 46
Ó • et sur le graphe on a aussi représenté laÔcourbe des contraintes, i.e. l’ensemble
(x, y, z) / x2 + y 2 ≠ 12 = 0 et z = f (x, y)
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CHAPITRE 5. EXTREMA D’UNE FONCTION DE DEUX
VARIABLES - CONVEXITÉ
24
14
46
200
150
Z
-5
100
14
50
-4
-3
0
46
- 50
- 100
-5
-2
-1
-4
0
-3
-2
1
-1
0
Y
2
1
2
3
3
4
4
5
5
Figure 5.14 – Exemple 17
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X
5.4. EXTREMA LIÉS OU AVEC CONTRAINTE(S)
25
• Étude de la nature du point stationnaire
Exemple 18 Reprenons l’énoncé précédent : étude des extrema liés de f définie
par
f (x, y) = x2 .y + 30
sous la contrainte g(x, y) = x2 + y 2 ≠ 12 = 0.
On a vu qu’il y avait 6 points stationnaires : pour chacun d’entre eux, on calcule
la valeur de f
Ô
Ô
Ô
Ô
f (0; 2 3) = f (0; ≠2 3) = 30, f (≠2 2; 2) = f (2 2; 2) = 46
Ô
Ô
et f (≠2 2; ≠2) = f (2 2; ≠2) = 14
Compte tenu de ces valeurs, f n’atteint
pas un extremum ni en A ni en B.
Ô
• Étude de la nature de F (2Ô 2; 2)
Ô
Ô
On étudie le signe
de
(2
2;
2)
=
f
(2
2
+
h;
2
+
k)
≠
f
(2
2; 2) sous la
f
Ô
Ô
2
2
contrainte liée g(2 2 + h; 2 + k) = (2 2 + h) + (2 + k) ≠ 12 = 0 pour (h, k)
proche de (0; 0).
Ô
• Étude
Ô de la nature
Ô de E(2 2; ≠2) Ô
Ô
=
f
(2
2+h;
≠2+k)≠f
(2
2;
≠2)
sous
la
contrainte
liée
g(2
2+
f (2 2; ≠2)
Ô
h; ≠2 + k) = (2 2 + h)2 + (≠2 + k)2 ≠ 12 = 0 pour (h, k) proche de (0; 0).
Exemple 19 extrait du partiel de mai 2012
Soient f et g les fonctions définies sur R2 par f (x, y) = 2xy, et g(x, y) =
x2 + y 2 ≠ 2
1. Définir, puis tracer les courbes de niveau ≠2 et 2 de f , notées L≠2 et L2 .
2. Définir puis tracer sur ce même repère la courbe
d’équation g(x, y) = 0.
3. Calculer les dérivées partielles premières de f , puis celles de g.
4. On cherche les extrema relatifs de f sous la contrainte g(x, y) = 0.
(a) Déterminer les points M (x, y) de la courbe pour lesquels les vecteurs
≠≠≠≠æ
≠≠≠≠æ
gradients grad f (x, y) et grad g(x, y) sont colinéaires.
(b) On considère le point A(1; 1). Montrer que pour tout (x, y) œ , f (x, y)≠
f (1, 1) = ≠(x ≠ y)2 . Conclure.
(c) On considère le point B(≠1, 1). Par une méthode analogue à la précédente, montrer que f admet un minimum relatif sous la contrainte
g(x, y) = 0 au point B.
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