L`ensemble des nombres réels 1 Quelques notions générales sur R

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UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques
Chapitre II : L’ensemble des nombres réels
1 Quelques notions générales sur R
1.1 Définitions
On suppose les notions de N(entiers naturels) et Z(entiers relatifs) connues.
Définition 1. L’ensemble Qdes nombres rationnels est défini par :
Q=(p
q/ p ∈Zet q∈N∗)
Remarque : Un sous-ensemble important de Qest l’ensemble des nombres décimaux :
D=r∈Q/∃p∈Zet k∈N;r=p
10k
Définition 2. Une première définition sommaire (et qui devra être approfondie dans un chapitre
ultérieur) de l’ensemble Rdes nombres réels, est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire de
la forme :
±a1a2···an, d1d2···
Remarques :
1. Une telle écriture est appelée développement décimal.Tout rationnel est un réel, mais il
existe des réels non rationnels (dits irrationnels).
2. On a les inclusions : N⊂Z⊂Q⊂R
Exemple 1. √2est irrationnel.
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1.2 Opérations 2
1.2 Opérations
•Rmuni de l’addition est un groupe commutatif :
1. L’addition est une opération interne : ∀(x, y)∈R2, x +y∈R.
2. L’addition est associative : ∀(x, y, z)∈R3,(x+y) + z=x+ (y+z).
3. L’addition est commutative : ∀(x, y)∈R2, x +y=y+x.
4. 0est l’élément neutre pour l’addition : ∀x∈R, x + 0 = 0 + x=x.
5. Tout réel possède un opposé pour l’addition : ∀x∈R,∃y∈R, x +y=y+x= 0
L’opposé d’un réel est unique : soit x∈Rsupposons qu’il existe (y, z)∈R2tel que :
x+y=y+x= 0 et x+z=z+x= 0, alors y=y+0 = y+(x+z)=(y+x)+z= 0+z=z
On note −xl’opposé de x.
•Rmuni de l’addition et de la multiplication est un corps commutatif :
1. La multiplication est une opération interne.
2. La multiplication est associative.
3. La multiplication est commutative.
4. 1est l’élément neutre pour la multiplication.
5. Tout réel non nul possède un inverse. ∀x∈R∗,∃y∈R∗, xy =yx = 1 : un tel inverse est
unique et il est noté x−1ou 1
x
6. La multiplication est distributive par rapport à l’addition :
∀(x, y, z)∈R3, x ×(y+z)=(x×y)+(x×z)
Remarque : La soustraction et la division se définissent naturellement :
∀(x, y)∈R2, x −y=x+ (−y) et ∀x∈R,∀y∈R∗,x
y=x×y−1
Exercice 1. Qest également un corps commutatif. Mais Zne l’est pas ... pourquoi ?
2 Ordre sur R- Topologie de R
Définition 3. On définit la relation « ≤» sur Rpar : soient (x, y)∈R2,x≤ysignifie que xest
inférieur ou est égal à y(i.e. x−y≤0)
Théorème 1. Rest un corps totalement ordonné.
Justification :
1. La relation « ≤» est :
– Réflexive : ∀x∈R: (x≤x)
– Antisymétrique : ∀(x, y)∈R2,((x≤yet y≤x)⇒x=y)
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– Transitive : ∀(x, y, z)∈R3,((x≤yet y≤z)⇒x≤z)
Ces trois propriétés font de Run ensemble ordonné.
– L’ordre est total : ∀(x, y)∈R2,(x≤you y≤x).Rest dit totalement ordonné.
2. La relation « ≤» est compatible avec l’addition :
∀(x, y, z)∈R3, x ≤y⇒x+z≤y+z
3. La relation « ≤» est compatible avec la multiplication :
∀(x, y)∈R2,((0 ≤xet 0≤y)⇒0≤xy)
Ainsi Rest un corps totalement ordonné 
Exercice 2.
1. Montrer que si xest un réel qui vérifie x≤0alors 0≤ −x.
2. Montrer que le carré d’un réel est positif ou nul.
3. Montrer que : (0 ≤xet y≤z)⇒(xy ≤xz)
4. Montrer que l’on ne peut pas définir d’ordre sur Cqui en fasse un corps ordonné.
Définition 4. Soit x∈R, on définit la valeur absolue de x, notée |x|par : |x|= max{−x;x}
Conséquences, propriétés : Pour tous réels xet y, pour tout entier naturel n:
1. |x| ≥ 0
2. |x|=| − x|
3. |xy|=|x|·|y|
4. |xn|=|x|n
5. |x|≤|y| ⇔ x2≤y2
Théorème 2.
∀(x, y)∈R2,|x+y| ≤ |x|+|y|
Conséquences :
1. ∀(x, y)∈R2,|x−y|≤|x|+|y|
2. ∀(x, y)∈R2,|x|−|y|≤ |x+y|
Exercice 3. On suppose que |x−1| ≤ 2et que −5≤y≤ −4. Encadrer les expressions suivantes :
1) x+y2) x−y3) xy 4) |x|−|y|
Définition 5. On dit qu’un sous ensemble Ide Rest un intervalle de R, si pour tous réels a
et bappartenant à Iet pour tout réel xtel que a≤x≤b, alors xappartient à I.
Soient aet bdeux réels tels que a<b.
On dit que l’intervalle Ides réels xest :
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1. un intervalle fermé [a;b](ou un segment) si, pour tout xappartenant à I,a≤x≤b.
2. un intervalle ouvert ]a;b[si, pour tout xappartenant à I,a<x<b.
3. un intervalle semi-ouvert à droite [a;b[(respectivement à gauche ]a;b]) si, pour tout xap-
partenant à I,a≤x<b(respect. a<x≤b).
Dans ces trois cas, Iest un intervalle dit borné de R.
De la même façon, on définit les intervalles non bornés de R:
Illustration :
Notation de
l’intervalle
C’est l’ensemble
des réels xtels que
Représentation sur
la droite réelle
[a;b]a≤x≤b
[a;b[a≤x<b
]a;b]a<x≤b
]a;b[a<x<b
[a; +∞[x≥a
]a; +∞[x > a
]−∞;b]x≤b
]−∞;b[x<b
Définition 6. On définit sur Rune distance : soient xet ydeux réels, on pose d(x, y) = |y−x|=
|x−y|
Conséquences : Soient x0∈Ret r > 0
1. L’ensemble {x∈R/|x−x0|=r}={x0−r;x0+r}
2. L’ensemble {x∈R/|x−x0| ≤ r}= [x0−r;x0+r]
3. L’ensemble {x∈R/|x−x0| ≥ r}=] − ∞;x0−r]∪[x0+r, ; +∞[
Exercice 4.
1.{x / |x+ 2|<4}=··· 2.{x / |x+ 2| ≥ 5}=···
Exercice 5. Écrire sans valeur absolue les fonctions suivantes :
1. f :f(x) = |3−x|+|3x+ 1|2. g :g(x) = 3|2x−1|+|x2+ 1|
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Théorème 3. Inégalité de Cauchy-Schwarz Pour tout entier n∈N∗, pour tous (x1, x2,··· , xn)
et (y1, y2,··· , yn)éléments de Rn
n
X
i=1
xiyi!2 ≤ n
X
i=1
x2
i!× n
X
i=1
y2
i!
Remarque : une autre formulation de cette inégalité est :
n
X
i=1
xiyi≤ n
X
i=1
x2
i!
1
2
× n
X
i=1
y2
i!
1
2
3 La fonction « Partie entière »
Exemple 2. la fonction « partie entière »
Définition 7. Soit xun réel, il existe un unique entier (relatif) ntel que n≤x < n + 1. Cet
entier est appelé « partie entière » de x. On le note E(x).
La fonction « partie entière », notée E, définie sur R, associe à chaque réel sa partie entière.
Illustration :
Figure 1 – Courbe de la fonction « partie entière »
Exemples 3. E(π)=3; E(−4,35) = −5.
Exercice 6.
1. Montrer que ∀(x, y)∈R2, x ≤y⇒E(x)≤E(y)
2. Montrer que ∀x∈RrZ, E(−x) = −E(x)−1.
3. Montrer que ∀x∈R;∀p∈Z, E(x+p) = E(x) + p.
4. Montrer que ∀(x, y)∈R2, E(x) + E(y)−E(x+y)∈ {−1; 0}
Exercice 7. Tracer les courbes des fonctions suivantes
1. f :x7→ x−E(x) 2. g :x7→ x
E(x)
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