L`ensemble des nombres réels 1 Quelques notions générales sur R

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UNIVERSITÉ DE CERGY
Année 2013-2014
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Mathématiques
MATH104 : Mathématiques
Chapitre II : L’ensemble des nombres réels
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Quelques notions générales sur R
1.1
Définitions
On suppose les notions de N (entiers naturels) et Z (entiers relatifs) connues.
Définition 1. L’ensemble Q des nombres rationnels est défini par :
(
Q=
p
/ p ∈ Z et q ∈ N∗
q
)
Remarque : Un sous-ensemble important de Q est l’ensemble des nombres décimaux :
p
D = r ∈ Q/ ∃p ∈ Z et k ∈ N; r = k
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Définition 2. Une première définition sommaire (et qui devra être approfondie dans un chapitre
ultérieur) de l’ensemble R des nombres réels, est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire de
la forme :
±a1 a2 · · · an , d1 d2 · · ·
Remarques :
1. Une telle écriture est appelée développement décimal.Tout rationnel est un réel, mais il
existe des réels non rationnels (dits irrationnels).
2. On a les inclusions : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
√
2 est irrationnel.
Exemple 1.
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1.2
Opérations
1.2
2
Opérations
• R muni de l’addition est un groupe commutatif :
1. L’addition est une opération interne : ∀(x, y) ∈ R2 , x + y ∈ R.
2. L’addition est associative : ∀(x, y, z) ∈ R3 , (x + y) + z = x + (y + z).
3. L’addition est commutative : ∀(x, y) ∈ R2 , x + y = y + x.
4. 0 est l’élément neutre pour l’addition : ∀x ∈ R, x + 0 = 0 + x = x.
5. Tout réel possède un opposé pour l’addition : ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + y = y + x = 0
L’opposé d’un réel est unique : soit x ∈ R supposons qu’il existe (y, z) ∈ R2 tel que :
x + y = y + x = 0 et x + z = z + x = 0, alors y = y + 0 = y + (x + z) = (y + x) + z = 0 + z = z
On note −x l’opposé de x.
• R muni de l’addition et de la multiplication est un corps commutatif :
1. La multiplication est une opération interne.
2. La multiplication est associative.
3. La multiplication est commutative.
4. 1 est l’élément neutre pour la multiplication.
5. Tout réel non nul possède un inverse. ∀x ∈ R∗ , ∃y ∈ R∗ , xy = yx = 1 : un tel inverse est
1
unique et il est noté x−1 ou
x
6. La multiplication est distributive par rapport à l’addition :
∀(x, y, z) ∈ R3 , x × (y + z) = (x × y) + (x × z)
Remarque : La soustraction et la division se définissent naturellement :
∀(x, y) ∈ R2 , x − y = x + (−y) et ∀x ∈ R, ∀y ∈ R∗ ,
Exercice 1.
2
x
= x × y −1
y
Q est également un corps commutatif. Mais Z ne l’est pas ... pourquoi ?
Ordre sur R - Topologie de R
Définition 3. On définit la relation « ≤ » sur R par : soient (x, y) ∈ R2 , x ≤ y signifie que x est
inférieur ou est égal à y (i.e. x − y ≤ 0)
Théorème 1. R est un corps totalement ordonné.
Justification :
1. La relation « ≤ » est :
– Réflexive : ∀x ∈ R : (x ≤ x)
– Antisymétrique : ∀(x, y) ∈ R2 , ((x ≤ y et y ≤ x) ⇒ x = y)
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– Transitive : ∀(x, y, z) ∈ R3 , ((x ≤ y et y ≤ z) ⇒ x ≤ z)
Ces trois propriétés font de R un ensemble ordonné.
– L’ordre est total : ∀(x, y) ∈ R2 , (x ≤ y ou y ≤ x). R est dit totalement ordonné.
2. La relation « ≤ » est compatible avec l’addition :
∀(x, y, z) ∈ R3 , x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
3. La relation « ≤ » est compatible avec la multiplication :
∀(x, y) ∈ R2 , ((0 ≤ x et 0 ≤ y) ⇒ 0 ≤ xy)
Ainsi R est un corps totalement ordonné
Exercice 2.
1. Montrer que si x est un réel qui vérifie x ≤ 0 alors 0 ≤ −x.
2. Montrer que le carré d’un réel est positif ou nul.
3. Montrer que : (0 ≤ x et y ≤ z) ⇒ (xy ≤ xz)
4. Montrer que l’on ne peut pas définir d’ordre sur C qui en fasse un corps ordonné.
Définition 4. Soit x ∈ R , on définit la valeur absolue de x, notée |x | par : |x| = max{−x; x}
Conséquences, propriétés : Pour tous réels x et y, pour tout entier naturel n :
1. |x| ≥ 0
2. |x| = | − x|
3. |xy| = |x| · |y|
4. |xn | = |x|n
5. |x| ≤ |y| ⇔ x2 ≤ y 2
Théorème 2.
∀(x, y) ∈ R2 , |x + y| ≤ |x| + |y|
Conséquences :
1. ∀(x, y) ∈ R2 , |x − y| ≤ |x| + |y|
2. ∀(x, y) ∈ R2 , |x| − |y| ≤ |x + y|
Exercice 3. On suppose que |x−1| ≤ 2 et que −5 ≤ y ≤ −4. Encadrer les expressions suivantes :
1) x + y
2) x − y
3) xy
4) |x| − |y|
Définition 5. On dit qu’un sous ensemble I de R est un intervalle de R, si pour tous réels a
et b appartenant à I et pour tout réel x tel que a ≤ x ≤ b, alors x appartient à I.
Soient a et b deux réels tels que a < b.
On dit que l’intervalle I des réels x est :
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1. un intervalle fermé [a; b] (ou un segment) si, pour tout x appartenant à I, a ≤ x ≤ b.
2. un intervalle ouvert ]a; b[ si, pour tout x appartenant à I, a < x < b.
3. un intervalle semi-ouvert à droite [a; b[ (respectivement à gauche ]a; b]) si, pour tout x appartenant à I, a ≤ x < b (respect. a < x ≤ b).
Dans ces trois cas, I est un intervalle dit borné de R.
De la même façon, on définit les intervalles non bornés de R :
Illustration :
Notation de
l’intervalle
C’est l’ensemble
des réels x tels que
[a; b]
a≤x≤b
[a; b[
a≤x<b
]a; b]
a<x≤b
]a; b[
a<x<b
[a; +∞[
x≥a
]a; +∞[
x>a
]−∞; b]
x≤b
]−∞; b[
x<b
Représentation sur
la droite réelle
Définition 6. On définit sur R une distance : soient x et y deux réels, on pose d(x, y) = |y − x| =
|x − y|
Conséquences : Soient x0 ∈ R et r > 0
1. L’ensemble {x ∈ R / |x − x0 | = r} = {x0 − r; x0 + r}
2. L’ensemble {x ∈ R / |x − x0 | ≤ r} = [x0 − r; x0 + r]
3. L’ensemble {x ∈ R / |x − x0 | ≥ r} =] − ∞; x0 − r] ∪ [x0 + r, ; +∞[
Exercice 4.
1. {x / |x + 2| < 4} = · · ·
Exercice 5.
2. {x / |x + 2| ≥ 5} = · · ·
Écrire sans valeur absolue les fonctions suivantes :
1. f : f (x) = |3 − x| + |3x + 1|
2. g : g(x) = 3|2x − 1| + |x2 + 1|
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Théorème 3. Inégalité de Cauchy-Schwarz Pour tout entier n ∈ N∗ , pour tous (x1 , x2 , · · · , xn )
et (y1 , y2 , · · · , yn ) éléments de Rn
n
X
!2
≤
xi yi
i=1
n
X
!
x2i
×
i=1
n
X
!
yi2
i=1
Remarque : une autre formulation de cette inégalité est :
n
X
xi yi ≤
i=1
3
n
X
!1
2
x2i
×
i=1
n
X
!1
2
yi2
i=1
La fonction « Partie entière »
Exemple 2.
la fonction « partie entière »
Définition 7. Soit x un réel, il existe un unique entier (relatif) n tel que n ≤ x < n + 1. Cet
entier est appelé « partie entière » de x. On le note E(x).
La fonction « partie entière », notée E, définie sur R, associe à chaque réel sa partie entière.
Illustration :
Figure 1 – Courbe de la fonction « partie entière »
Exemples 3.
Exercice 6.
E(π) = 3 ; E(−4, 35) = −5.
1. Montrer que ∀(x, y) ∈ R2 , x ≤ y ⇒ E(x) ≤ E(y)
2. Montrer que ∀x ∈ R r Z, E(−x) = −E(x) − 1.
3. Montrer que ∀x ∈ R; ∀p ∈ Z, E(x + p) = E(x) + p.
4. Montrer que ∀(x, y) ∈ R2 , E(x) + E(y) − E(x + y) ∈ {−1; 0}
Tracer les courbes des fonctions suivantes
x
1. f : x 7→ x − E(x)
2. g : x 7→
E(x)
Exercice 7.
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Majorant - minorant - bornes sup. et inf.
Définition 8. Soit A une partie non vide de R.
1. On dit que M ∈ R est un majorant de A si pour tout x ∈ A, x ≤ M .
2. On dit que m ∈ R est un minorant de A si pour tout x ∈ A, x ≥ m.
On notera M j(A) (resp. M n(A)) l’ensemble des majorants (resp. minorants) de A.
Exercice 8. Déterminer M j(A) et M n(A) :
• Pour A = R+
• Pour A = Z
• Pour A =]0; 1]
Définition 9. Une partie non vide A de R est dite :
• minorée si M n(A) 6= ∅
• majorée si M j(A) 6= ∅
• bornée si elle est minorée ET majorée.
Exemples 4.
• Z est une partie non majorée et non minorée de R.
• ]0; 1] est une partie bornée de R.
• N est une partie minorée mais non majorée de R.
Théorème 4. Soit A une partie non vide de R.
1. Il existe au plus un élément a ∈ R vérifiant les conditions suivantes
(a) a ∈ A
(b) Pour tout élément x ∈ A, x ≤ a
Si un tel élément existe, on dit que c’est le plus grand élément de A et on le note max A.
2. Il existe au plus un élément b ∈ R vérifiant les conditions suivantes :
(a) b ∈ A.
(b) Pour tout élément x ∈ A, x ≥ b
Si un tel élément existe, on dit que c’est le plus petit élément de A et on le note min A.
Exemples 5.
• N est une partie de R qui possède un plus petit élément (0) et n’a pas de plus grand élément.
• ]0; 1[ est une partie de R qui n’a ni plus petit ni plus grand élément.
• Toute
partie finie de R possède un plus grand et un plus petit élément.
1
•
/n ∈ N∗ possède un plus grand élément (c’est 1) mais ne possède pas de plus petit
n
élément.
Remarque : Si A possède un plus petit élément (resp. plus grand élément) alors A est minorée
(resp. majorée). La réciproque est fausse (voir l’exemple de l’intervalle ]0; 1[ ci-dessus).
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Définition 10. Soit A une partie non vide de R.
1. Si A est majorée, et si M j(A) possède un plus petit élément M , on dit que M est la borne
supérieure de A, et on note M = sup A
2. Si A est minorée, et si M n(A) possède un plus grand élément m, on dit que m est la borne
inférieure de A, et on note m = inf A
Remarques :
• Si max A (resp. min A) existe, il en est de même de sup A (resp. inf A) et dans ce cas
sup A = max A (resp. min A = inf A) La réciproque est fausse : par exemple : A =]0; 1] ne
possède pas de minimum, mais inf A = 0.
• Pour tout réel x, on peut définir la valeur absolue de x par |x| = sup{−x; x} = max{−x; x}
Il existe des partiesnde Q majorées odans Q mais qui ne possèdent pas de borne supérieure
dans Q (penser à l’ensemble x ∈ Q/x2 ≤ 2 )
Théorème 5. Soient A une partie non vide de R et M ∈ R. Alors M = sup A si et seulement si
les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1. Pour tout x ∈ A, x ≤ M .
2. Pour tout ε > 0, il existe a ∈ A tel que M − ε < a
Remarque : On a bien entendu un énoncé analogue avec le minorant : (à faire en exercice)
Théorème 6. Soient A une partie non vide de R et m ∈ R. Alors m = inf A si et seulement si
les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1. Pour tout x ∈ A, x ≥ m.
2. Pour tout ε > 0, il existe a ∈ A tel que m + ε > a
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Quelques propriétés de R
Remarque : Q ne permet pas de traiter certaines questions√...
On a déjà vu qu’il existe des nombres irrationnels (comme 2) : ainsi Q ne permet pas d’étudier
la longueur de la diagonale d’un carré de côté de longueur 1 ...
Exemple 6. Il existe des parties de Q qui sont majorées mais qui n’admettent pas de bornes
supérieures dans Q. On considère les deux suites u et v définie sur N∗ par :
un =
1
1
1
1
+ + ··· +
et vn = un +
1! 2!
n!
n.n!
On peut facilement montrer que u est croissante et v décroissante (à vérifier), et que pour tout
entier n ≥ 1, un < vn (évident). Ainsi :
0 < u1 < u2 < · · · < un < un+1 < · · · < vn+1 < vn < · · · < v2 < v1
Soit A = {un / n ∈ N∗ }. A n’admet pas de borne supérieure rationnelle.
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a contrario on admet le théorème suivant :
Théorème 7. Soit A une partie non vide de R.
1. Si A est majorée, elle admet une borne supérieure réelle.
2. Si A est minorée, elle admet une borne inférieure réelle.
Remarque : L’hypothèse « non vide » est primordiale car l’ensemble vide est majoré par tout
réel mais l’ensemble des majorants (R) n’admet pas de plus petit élément.
Théorème 8. Pour tous X ∈ R et tous ε > 0, il existe n ∈ N∗ tel que nε > X. On dit que R est
archimédien.
Exercice 9. Soit x ∈ R, montrer que :
1. (∀ε
> 0, 0 ≤ x ≤ ε) =⇒
x=0
1
∗
2. ∀n ∈ N , 0 ≤ x ≤
=⇒ x = 0
n
Définition 11. Soit D une partie de R. on dit que D est dense dans R lorsque
∀(x, y) ∈ R2 , x < y ⇒ ∃d ∈ D/ x < d < y
Théorème 9. Q est dense dans R.
Exercice 10.
Montrer que l’ensemble des irrationnels noté R r Q est également dense dans R.
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