Instabilité fréquentielle et limitation de la précision des horloges

Instabilité fréquentielle et limitation de la
précision des horloges atomiques
Thomas Huault
Master 1 physique, Université Joseph Fourier, année 2004-2005
Table des matières
1 Introduction
2
2 Erreurs de mesure sur la seconde atomique
2.1 Fondement de la mesure et de l’erreur : approximation de l’atome isolé au repos
2.2 Inexactitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Instabilités de fréquence à court et moyen terme : bruit de grenaille . . . . . . . .
2.4 Instabilité en fréquence d’origine physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Eﬀet Doppler résiduel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Eﬀet Zeeman quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Eﬀet Stark et rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Déplacements collisionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Bruit de projection quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6 Bilan des eﬀets physiques : exemples dans des étalons atomiques . . . . .
3 Conclusion
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2
2
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3
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1
1
Introduction
Les horloges atomiqes sont actuellement les instruments de mesure du temps les plus précis que
l’on sait mettre en oeuvre. La précison relative de la mesure de la seconde par de tels dispositifs
est évaluée à 10−15 pour les appareils les plus courant, soit l’équivalent de la dérive d’une seconde
pour 50 millions d’années. Dernièrement, grâce au projet PHARAO consistant en la réalisation
d’une horloge atomique en apesenteur, cette précision descend jusqu’à 10−16 .
Au cours des propos qui vont suivre, on s’eﬀorcera de repérer quels sont les facteurs limitant la
précision de la mesure de la seconde et de savoir si la précision des horloges atomiques va tendre
vers une limite.
2
Erreurs de mesure sur la seconde atomique
2.1
Fondement de la mesure et de l’erreur : approximation de l’atome
isolé au repos
La qualité de la mesure est basée sur l’obtention d’un étalon atomique de fréquence idéale sur
lequel est asservi un oscillateur. La fréquence de référence serait déﬁnis en théorie par des transitions entre deux niveaux d’énergie voisins très bien séparés d’un atome ou d’un ion unique, isolé
et au repos.
Le cas idéal de l’atome isolé et au repos n’est, dans la pratique, qu’approché. Les conditons
expérimentales sont généralement les sources de l’éloignement de cet état.
Les perturbations induites sur la mesure découlent majoritairement de l’asservissement de la
fréquence de l’oscillateur sur la fréquence atomique. En eﬀet, la boucle d’asservissement étant
basée sur la mesure de la probabilité de transition autour de la résonnance atomique, le moindre
écart de fréquence sera interprété comme une variation de la fréquence de référence par la boucle
qui changera la fréquence de l’oscillateur.
Les eﬀets inﬂuants sur la précision de la mesure sont soit des eﬀets liés à la mesure (détection ou
instrumentation) soit des eﬀets physiques.
Dans la suite du document nous allons décrire l’eﬀet de ces perturbations en cherchant à caractériser l’ordre de grandeur de l’erreur sur la mesure de la seconde et en donnant un exemple
d’application dans lequel ce problème a été soit rencontré et/ou solutionné.
2.2
Inexactitude
L’inexactitude d’un étalon atomique est décrite comme sa capacité à fournir sans étallonnage
une fréquence en accord avec la déﬁnition de la seconde. La seconde est déﬁnie par rapport à une
transition énergétique d’un atome ou d’un ion stable, isolé et au repos. Or, dans la pratique, les
atomes impliqués dans ces transitions se trouvent dans des états hors d’équilibre et ne sont pas
isolés. La fréquence de référence (ν0 ) est une fréquence propre accessible dans un domaine spatial
limité inﬁniment ﬁn (en théorie). La conﬁguration expérimentale et ses contraintes va introduire
des eﬀets systématiques perturbant la mesure de cette fréquence (eﬀets que nous décrirons dans
les sections suivantes). A la sortie du dipositif, on va donc récupérer une valeur moyenne νs de
la fréquence mesurée qui sera sensiblement diﬀérente de la fréquence de référence. La précision
relative qui va caractériser l’incertitude sur la mesure du temps par l’horloge va alors être déﬁnie
s
comme l’incertitude1 σE sur la détermination du rapport R = nu
ν0 .
1 On
note que cette notion d’incertitude est une notion générale déﬁnie dans chaque cas où une grandeur est
référencée par rapport à un phénomène naturel invariant
2
Le rapport R est déterminé en valeur moyenne. Il est décrit comme étant le produit des facteurs de corrections ri donnés par l’évalutation des eﬀets engendrés par les perturbations i physiques et expérimentales, qui peuvent être déterminés par des mesures complémentaires, ajusté
au démultiplicateur de fréquence introduit par l’expérimentateur (pour disposer de fréquence plus
facile à traiter). En général, ce facteur est connu avec exactitude. On déﬁnit enﬁn σi , l’incertitude
sur les correcteurs ri .
En supposant que les perturbations sont indépendantes, on peut alors écrire :
σE = (
σi2 )1/2
Les σi sont généralement donnés sous la forme des écarts par rapport à la fréquence de référence2.
σE est la valeur de l’incertitude sur la mesure qui est donnée par les laboratoires lorqu’ils veulent
décrire la précision de leur horloge. On note que cette valeur d’incertitude est relaive et n’a de sens
que si elle est donnée avec l’instabilité de fréquence de l’horloge dépendante du temps sur lequel
la mesure a été échantillonnée.
2.3
Instabilités de fréquence à court et moyen terme : bruit de grenaille
Dans ce paragraphe, les eﬀets auxquels nous allons nous intéresser sont caractérisés par des
durées d’échantillonages de la mesure du temps de l’ordre de quelques secondes à plusieurs jours.
Ce sont les bruits liés à aux systèmes à particules : les bruits de grenaille.
Dans le cas des horloges atomiques, le bruit de grenaille (ou bruit de détection) est dû aux atomes
du jet atomique traversant une section droite du jet (lors de la détection) et aux porteurs de charge
du courant électrique traversant un conducteur du système de détection. Les instants d’occurence
des deux types de traversées diﬀérents sont distribués aléatoirement selon une loi de Poisson.
Le courant de sortie du détecteur, image de la mesure de la frange de Ramsey, va connaı̂tre des
ﬂuctuations qui seront interprétées par la boucle d’asservissement comme étant dûes à une variation
de la fréquence de référence.
Le courant image de la fréquence atomique et notamment de la frange centrale (ﬁgure 1) peut se
réduire à l’expression d’une cosinusoı̈de :
1
π(ν − ν0 )
)]
I = Ib + Ipv [1 + cos (
2
∆ν0
où Ipv (intensité pic-vallée) et∆ν0 sont représentés sur la ﬁgure 1.
2 Dans
la suite du document, les σi sont la plupart du temps équivalent aux δν et δω
3
Fig. 1 – Courbe de résonnance d’un tube
à jet atomique (frange de Ramsey entourée
symétriquement par un piédestal de Rabi
Les ﬂuctuations relatives de fréquence sont caractérisées par la variance d’Allan. L’écart type des
ﬂuctuations de la fréquence de l’horloge est donc donnée par :
1
σ(τ ) =
1 (2Ib + Ipv ) 2 − 1
τ 2
π Ipv Qat
où τ est le temps caractérisant la durée d’échantillonnage de la mesure et Qat le facteur de qualité
du résonnateur atomique.
On relève la variation de l’instabilité relative en fréquence caractétisée par l’écart type d’Allan
pour diﬀérents types d’horloge atomique (ﬁgure 2).
Fig. 2 – Courbes asymptotiques de l’instabilité
relative de fréquence
On voit que l’instabilité a tendance à diminuer jusqu’à environ 1 heure d’échantillonnage, quelque
soit le dispositif puis qu’elle ré-augmente. Le dispositif à MASER à hydrogène présente la meilleur
stabilité.
4
2.4
2.4.1
Instabilité en fréquence d’origine physique
Eﬀet Doppler résiduel
L’onde micro-onde excitant les atomes dans la cavité n’est pas strictement stationnaire. La
nature des matériaux constituant la cavité entraı̂ne donc un ﬂux d’énergie dirigé vers les parois.
Ce ﬂux d’énergie va provoquer un déplacement de la fréquence de référence par eﬀet Doppler
dépendant de la phase Φ(t) accumulée par les atomes au cours de l’interrogation de Ramsey. Cette
variation de phase renconctrée par un atome va engendrer une perturbation de la probabilité de
transition qui va se répercuter sous forme d’un déplacement de fréquence :
−−→
δν
1
→
−
=
g(t) ∇Φ(t)v(t)dt
ν0
πQat
g(t) est la fonction de sensibilité des atomes pendant l’interrogation et v(t) leur vitesse instantannée.
L’eﬀet Doppler peut être complétement supprimé en disposant d’une cavité verticale (fontaine
atomique) car les atome circulant dans le même tube, les impulsions micro-ondes sont émises du
même lieu.
2.4.2
Eﬀet Zeeman quadratique
Le déplacement de fréquence produit par eﬀet Zeeman est le plus critique. L’eﬀet Zeeman intervient lorsque le champ magnétique micro-onde est parallèle au champ statique B0 , appliquée
pour séparer les niveaux hyperﬁns de dégénérescence dans la cavité et autoriser la transition produisant la fréquence de référence. Il résulte un déplacement quadratique de la structure hyperﬁne
du sytème de raies donné par :
δν α gN (t)Bc (t)2 dt
où Bc (t) est le champ statique rencontré par les atomes à l’instant t et gN (t) la fonction de
sensibilité normalisée.
2.4.3
Eﬀet Stark et rayonnement du corps noir
Une intéraction du moment dipolaire des atomes et d’un champ électrique statique dû à une
fuite dans le blindage de la cavité (diﬀérence de potentiel en certains points de la cavité) peut
produire un déplacement Stark des niveaux atomiques de la transition de la fréquence d’horloge.
L’écart de fréquene par eﬀet Stark peut s’exprimer par :
δν = kE E 2
où kE = −2, 27.10−10 Hz(V.m−1 )2 (valeur déterminée expérimentalement et utilisé pour la fontaine
FO1, étalon atomique du BNM-SYRTE, Bureau National de Métrologie - laboratore de SYstèmes
de Référence Temps-Espace). L’environnement électrostatique est normalement maı̂trisé dans les
cavité ce qui rend cet eﬀet négligeable mais les atomes voient le rayonnement thermique de la cavité
sous la forme d’une densité volumique d’énergie électormagnétique proportionnelle à la moyenne
quadratique du champ électrique. Si on considère que cette énergie provient du rayonnement d’un
corps noir, on peut l’exprimer par la loi de Stephan ω(T ) = σT 4 avec σ la constante de Stephan.
L’écart de fréquence produit par eﬀet Stark se réécrit alors :
δνStark = KE (
T 4
) (1 + T 2 )
300
où KE = 1, 57.10−4 Hz et = 1, 4.10−2 sont des constantes déterminées par des mesures sur FO1.
5
2.4.4
Déplacements collisionnels
Dans le cade de fontaines à atomes froids, les processus colisionnels jouent un rôle non négligeable.
A des températures de l’orde du µK, les intéractions inter-atomiques sont dominées par des forces
de type Van de Waals et la longueur d’onde de De Broglie est très supérieur à la porté du potentiel d’intéraction inter-atomique ce qui provoque un phénomène de diﬀusion entraı̂nant des
eﬀets colisionnels qui sont alors décrit exclusivement de manière quantique. On considère ici le
cas très simpliﬁé d’un nuage atomique très dilué dans lequel ne sont présentes que des collisions
élémentaires élastiques. Les eﬀets collectifs rencontrés dans les condensats sont donc négligeables
(collisions à trois atomes ou plus et collisions inélastique).
L’énergie des atomes se calcule en posant l’hamiltonien stationnaire de diﬀusion puis en résolvant
l’équation de Shrödinger pour une particule relative3 . Le déplacement est alors déterminé en
considérant les longueurs de diﬀusions des atomes dans leur état fondamental et excité puis en
calculant la conservtion de l’énergie du nuage atomique.
L’énergie totale d’intéraction dans l’état initial s’écrit :
Ei =
4πh̄2
.af .n.N
m
où af est la longueur de diﬀusion des atomes dans l’état fondamental.
L’énergie ﬁnale d’intéraction est donnée par la même formule mais en remplaçant af par ae , la
longueur da diﬀusion des atomes dans l’état excité.
Le déplacement de fréquence est ﬁnallement donné par :
∆ω =
2.4.5
4πh̄2
(af − ae ).n
m
Bruit de projection quantique
Le bruit de projection quantique est lié aux nombres d’atomes détectés auquel il est inversement proportionnel. Il provient du caractère aléatoire de la mesure de l’état ﬁnal. Pour améliorer
la précision des horloges, on est amené à réduire les densités atomiques dans les cavités atomiques
pour limiter les eﬀets colisionnels soit en diminuant le nombre d’atomes soit en les piégeants optiquement. De sorte, à chaque cycle les N atomes en sortie de cavité se trouvent dans le même
état quantique [α|x > +β|y >] résultants de la superposition des états fondamentaux et excités.
Comme la probabilité de mesurer les atomes se trouvant dans l’état excité |x > est égale à |α|2 , le
rapport NNx des atomes excités sur les atomes dans leur état fondamental tend vers |α|2 si N → ∞.
Dans la pratique, on ne peut pas disposer d’un nombre inﬁni d’atome dans la cavité. Il en résulte
donc une ﬂuctuation de NNx autour de la valeur limite de la probabilité de mesure d’autant plus
que la valeur de N est petite. En maintenant une le rapport NNx égale à 12 , l’asservissement est
1
optimal. L’instabilité en fréquence est proportionnelle N − 2 . Dans le cadre du projet PHARAO on
prévoit de descendre l’incertitude produite par le bruit de projection quantique à 2.10−16 .
Cette incertitude est considérée comme l’incertitude ultime des horloges atomiques car elle produit
des déplacements de la fréquence de référence très faible dont il est extrêmement diﬃcile de s’affranchir. En eﬀet, si on peut réduire l’instabilité du bruit de projection quantique en augmentant
le nombre d’atomes à détecter, on augmente aussi les riques de processus colisionnels provoquant
une instabilité fréquentielle.
3 calul
non développé ici car sans utilité pour la compréhension des eﬀets collisionnels
6
2.4.6
Bilan des eﬀets physiques : exemples dans des étalons atomiques
La multiplicité des conﬁgurations d’horloges atomiques exitantes est telle q’il n’est pas aisé de
donner une valeur numérique générale sur les limites de précisions apportées par chacune des causes
décrites précédemment. Aussi, chacun des eﬀets décrit n’inﬂue pas de la même manière selon la
conﬁgurarion expérimentale utilisée et le type d’atomes impliquées dans l’horloge (par exemple,
l’eﬀet Doppler est quasi-inexistant dans le cas des fontaines atomiques).
Fig. 3 – Tableau récapitulatif de diﬀérents eﬀets de déplacements
reltifs de fréquence pour diverses horloges atomiques
Le tableau en ﬁgure 3 n’est qu’un indicatif des diﬀérentes erreurs dûes aux déplacements de
fréquence d’origine physique pour des étalons atomiques utilisés comme référence dans le monde
entier.
Pour ces étalons, aucun renseignement sur le bruit de projection quantique n’est fournit probablement dû au fait que la précision de mesure de ceux-ci est ”trop faible” pour que cet eﬀet rentre en
compte de manière signiﬁcative et que les problématiques posées par le bruit de projection sont
récentes.
3
Conclusion
Nous venons de lister les eﬀets physiques provoquant les perturbations sur la mesure de la
seconde les plus importantes. On ne palie pas encore à toutes et tous les types d’horloge n’y sont
pas soumis.
A titre d’exemple, la précision relative de la fontaine PHARAO est évaluée à 7, 7.10−16 avec
une stabilité en fréquence de 1, 7.10−13 τ −1/2 . Les fontaines plus classiques à cesium ou rubidium
possède une stabilité similaire mais une précision de l’ordre de 10−15 .
Il apparaı̂t que le bruit de projection quantique sera la limite ultime des horloges atomiques.
De part sa nature (eﬀets quantiques), il ne sera pas possible de descendre la précision plus bas
que la dernière limite quantique autorisée (incertitude d’Heisenberg). De plus, avant d’atteindre
cette limite ultime, les eﬀets collisonnels auront déjà probablement pris le dessus sur l’instabilité
fréquentielle.
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Références
Claude Audoin, Bernard Guinot : Les fondements de la mesure du temps ; Masson 1998
Tomas Grange, Karol Kozlowski, Antoine Venaille : Un instrument de haute précision :
l’horloge atomique ; 8 avril 2004
G. Santarelli, Ph. Laurent, P. Lemonde, and A. Clairon : Quantum Projection Noise in an
Atomic Fountain : A High Stability Cesium Frequency Standard ; Physical Revue Letters june 1999
Yvan Sortais : Construction d’une fontaine double à atomes froids de 87 Rb et 133 Cs ; étude
des eﬀets dépendant du nombre d’atomes dans une fontaine ; Thèse de doctorat 2001
Luc Chassagne : Amélioration de l’exactitude d’une horloge atomique compacte à jet de césium
pompé optiquement ; Thèse de doctorat 2000
Michel Abgrall : Evaluation des performances de la fontaine atomique PHARAO - Participation
à l’étude de l’horloge spatiale PHARAO ; Thèse de doctorat 2003
Shougang ZHANG : Déplacement de fréquence dû au rayonnement du corps noir dans une
Fontaine Atomique à césium et amélioration des performances de l’horloge ; Thèse de doctorat
2004
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