Instabilité fréquentielle et limitation de la précision des horloges

Instabilit´efr´equentielle et limitation de la
pr´ecision des horloges atomiques
Thomas Huault
Master 1 physique, Universit´e Joseph Fourier, ann´ee 2004-2005
Table des mati`eres
1 Introduction 2
2 Erreurs de mesure sur la seconde atomique 2
2.1 Fondement de la mesure et de l’erreur : approximation de l’atome isol´eaurepos . 2
2.2 Inexactitude........................................ 2
2.3 Instabilit´es de fr´equence `a court et moyen terme : bruit de grenaille . . . . . . . . . 3
2.4 Instabilit´eenfr´equence d’origine physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4.1 Effet Doppler r´esiduel .............................. 5
2.4.2 EffetZeemanquadratique............................ 5
2.4.3 EffetStarketrayonnementducorpsnoir ................... 5
2.4.4 D´eplacements collisionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4.5 Bruitdeprojectionquantique.......................... 6
2.4.6 Bilan des effets physiques : exemples dans des ´etalonsatomiques ...... 7
3Conclusion 7
1

1 Introduction
Les horloges atomiqes sont actuellement les instruments de mesure du temps les plus pr´ecis que
l’on sait mettre en oeuvre. La pr´ecisonrelativedelamesuredela seconde par de tels dispositifs
est ´evalu´ee `a10
−15 pour les appareils les plus courant, soit l’´equivalent de la d´erive d’une seconde
pour 50 millions d’ann´ees. Derni`erement, grˆace au projet PHARAO consistant en la r´ealisation
d’une horloge atomique en apesenteur, cette pr´ecision descend jusqu’`a10
−16.
Au cours des propos qui vont suivre, on s’efforcera de rep´erer quels sont les facteurs limitant la
pr´ecision de la mesure de la seconde et de savoir si la pr´ecision des horloges atomiques va tendre
vers une limite.
2 Erreurs de mesure sur la seconde atomique
2.1 Fondement de la mesure et de l’erreur : approximation de l’atome
isol´eaurepos
La qualit´edelamesureestbas´ee sur l’obtention d’un ´etalon atomique de fr´equence id´eale sur
lequel est asservi un oscillateur. La fr´equence de r´ef´erence serait d´efinis en th´eorie par des transi-
tions entre deux niveaux d’´energie voisins tr`es bien s´epar´es d’un atome ou d’un ion unique, isol´e
et au repos.
Le cas id´eal de l’atome isol´e et au repos n’est, dans la pratique, qu’approch´e. Les conditons
exp´erimentales sont g´en´eralement les sources de l’´eloignement de cet ´etat.
Les perturbations induites sur la mesure d´ecoulent majoritairement de l’asservissement de la
fr´equence de l’oscillateur sur la fr´equence atomique. En effet, la boucle d’asservissement ´etant
bas´ee sur la mesure de la probabilit´e de transition autour de la r´esonnance atomique, le moindre
´ecart de fr´equence sera interpr´et´e comme une variation de la fr´equence de r´ef´erence par la boucle
qui changera la fr´equence de l’oscillateur.
Les effets influants sur la pr´ecision de la mesure sont soit des effets li´es `alamesure(d´etection ou
instrumentation) soit des effets physiques.
Dans la suite du document nous allons d´ecrire l’effet de ces perturbations en cherchant `aca-
ract´eriser l’ordre de grandeur de l’erreur sur la mesure de la seconde et en donnant un exemple
d’application dans lequel ce probl`eme a ´et´e soit rencontr´e et/ou solutionn´e.
2.2 Inexactitude
L’inexactitude d’un ´etalon atomique est d´ecrite comme sa capacit´e`afournirsans´etallonnage
une fr´equence en accord avec la d´efinition de la seconde. La seconde est d´efinie par rapport `a une
transition ´energ´etique d’un atome ou d’un ion stable, isol´e et au repos. Or, dans la pratique, les
atomes impliqu´es dans ces transitions se trouvent dans des ´etats hors d’´equilibre et ne sont pas
isol´es. La fr´equence de r´ef´erence (ν0) est une fr´equence propre accessible dans un domaine spatial
limit´e infiniment fin (en th´eorie). La configuration exp´erimentale et ses contraintes va introduire
des effets syst´ematiques perturbant la mesure de cette fr´equence (effets que nous d´ecrirons dans
les sections suivantes). A la sortie du dipositif, on va donc r´ecup´erer une valeur moyenne νsde
la fr´equence mesur´ee qui sera sensiblement diff´erente de la fr´equence de r´ef´erence. La pr´ecision
relative qui va caract´eriser l’incertitude sur la mesure du temps par l’horloge va alors ˆetre d´efinie
comme l’incertitude1σEsur la d´etermination du rapport R=nus
ν0.
1On note que cette notion d’incertitude est une notion g´en´erale d´efinie dans chaque cas o`u une grandeur est
r´ef´erenc´ee par rapport `aunph´enom`ene naturel invariant
2

Le rapport R est d´etermin´eenvaleurmoyenne.Ilestd´ecrit comme ´etant le produit des fac-
teurs de corrections ridonn´es par l’´evalutation des effets engendr´es par les perturbations iphy-
siques et exp´erimentales, qui peuvent ˆetre d´etermin´es par des mesures compl´ementaires, ajust´e
au d´emultiplicateur de fr´equence introduit par l’exp´erimentateur (pour disposer de fr´equence plus
facile `atraiter).Eng´en´eral, ce facteur est connu avec exactitude. On d´efinit enfin σi, l’incertitude
sur les correcteurs ri.
En supposant que les perturbations sont ind´ependantes, on peut alors ´ecrire :
σE=(
σ2
i)1/2
Les σisont g´en´eralement donn´es sous la forme des ´ecarts par rapport `alafr´equence de r´ef´erence2.
σEest la valeur de l’incertitude sur la mesure qui est donn´ee par les laboratoires lorqu’ils veulent
d´ecrire la pr´ecision de leur horloge. On note que cette valeur d’incertitude est relaive et n’a de sens
que si elle est donn´ee avec l’instabilit´edefr´equence de l’horloge d´ependante du temps sur lequel
la mesure a ´et´e´echantillonn´ee.
2.3 Instabilit´es de fr´equence `a court et moyen terme : bruit de grenaille
Dans ce paragraphe, les effets auxquels nous allons nous int´eresser sont caract´eris´es par des
dur´ees d’´echantillonages de la mesure du temps de l’ordre de quelques secondes `a plusieurs jours.
Ce sont les bruits li´es `a aux syst`emes `a particules : les bruits de grenaille.
Dans le cas des horloges atomiques, le bruit de grenaille (ou bruit de d´etection) est dˆu aux atomes
du jet atomique traversant une section droite du jet (lors de la d´etection) et aux porteurs de charge
du courant ´electrique traversant un conducteur du syst`eme de d´etection. Les instants d’occurence
des deux types de travers´ees diff´erents sont distribu´es al´eatoirement selon une loi de Poisson.
Le courant de sortie du d´etecteur, image de la mesure de la frange de Ramsey, va connaˆıtre des
fluctuations qui seront interpr´et´ees par la boucle d’asservissement comme ´etant dˆues `a une variation
de la fr´equence de r´ef´erence.
Le courant image de la fr´equence atomique et notamment de la frange centrale (figure 1) peut se
r´eduire `a l’expression d’une cosinuso¨ıde :
I=Ib+1
2Ipv[1 + cos ( π(ν−ν0) ∆ν0
)]
o`uIpv (intensit´epic-vall´ee) et∆ν0sont repr´esent´es sur la figure 1.
2Dans la suite du document, les σisont la plupart du temps ´equivalent aux δν et δω
3

Fig. 1–Courbeder´esonnance d’un tube
`a jet atomique (frange de Ramsey entour´ee
sym´etriquement par un pi´edestal de Rabi
Les fluctuations relatives de fr´equence sont caract´eris´ees par la variance d’Allan. L’´ecart type des
fluctuations de la fr´equence de l’horloge est donc donn´ee par :
σ(τ)= 1
π
(2Ib+Ipv)1
2
IpvQat
τ−
1
2
o`uτest le temps caract´erisant la dur´ee d’´echantillonnage de la mesure et Qat le facteur de qualit´e
du r´esonnateur atomique.
On rel`eve la variation de l’instabilit´erelativeenfr´equence caract´etis´ee par l’´ecart type d’Allan
pour diff´erents types d’horloge atomique (figure 2).
Fig. 2 – Courbes asymptotiques de l’instabilit´e
relative de fr´equence
On voit que l’instabilit´e a tendance `a diminuer jusqu’`aenviron1heured’´echantillonnage, quelque
soit le dispositif puis qu’elle r´e-augmente. Le dispositif `aMASER`ahydrog`ene pr´esente la meilleur
stabilit´e.
4

2.4 Instabilit´eenfr´equence d’origine physique
2.4.1 Effet Doppler r´esiduel
L’onde micro-onde excitant les atomes dans la cavit´e n’est pas strictement stationnaire. La
nature des mat´eriaux constituant la cavit´eentraˆıne donc un flux d’´energie dirig´e vers les parois.
Ce flux d’´energie va provoquer un d´eplacement de la fr´equence de r´ef´erence par effet Doppler
d´ependant de la phase Φ(t) accumul´ee par les atomes au cours de l’interrogation de Ramsey. Cette
variation de phase renconctr´ee par un atome va engendrer une perturbation de la probabilit´ede
transition qui va se r´epercuter sous forme d’un d´eplacement de fr´equence :
δν
ν0
=1
πQat g(t)−→
∇Φ(t)−−→ v(t)dt
g(t) est la fonction de sensibilit´e des atomes pendant l’interrogation et v(t) leur vitesse instantann´ee.
L’effet Doppler peut ˆetre compl´etement supprim´e en disposant d’une cavit´e verticale (fontaine
atomique) car les atome circulant dans le mˆeme tube, les impulsions micro-ondes sont ´emises du
mˆeme lieu.
2.4.2 Effet Zeeman quadratique
Le d´eplacement de fr´equence produit par effet Zeeman est le plus critique. L’effet Zeeman in-
tervient lorsque le champ magn´etique micro-onde est parall`ele au champ statique B0, appliqu´ee
pour s´eparer les niveaux hyperfins de d´eg´en´erescence dans la cavit´e et autoriser la transition pro-
duisant la fr´equence de r´ef´erence. Il r´esulte un d´eplacement quadratique de la structure hyperfine
du syt`emederaiesdonn´epar:
δν α gN(t)Bc(t)2dt
o`uBc(t) est le champ statique rencontr´eparlesatomes`a l’instant tet gN(t)lafonctionde
sensibilit´e normalis´ee.
2.4.3 Effet Stark et rayonnement du corps noir
Une int´eraction du moment dipolaire des atomes et d’un champ ´electrique statique dˆu`a une
fuite dans le blindage de la cavit´e(diff´erence de potentiel en certains points de la cavit´e) peut
produire un d´eplacement Stark des niveaux atomiques de la transition de la fr´equence d’horloge.
L’´ecart de fr´equene par effet Stark peut s’exprimer par :
δν =kEE2
o`ukE=−2,27.10−10 Hz(V.m−1)2(valeur d´etermin´ee exp´erimentalement et utilis´epourlafontaine
FO1, ´etalon atomique du BNM-SYRTE, Bureau National de M´etrologie - laboratore de SYst`emes
de R´ef´erence Temps-Espace). L’environnement ´electrostatique est normalement maˆıtris´edansles
cavit´e ce qui rend cet effet n´egligeable mais les atomes voient le rayonnement thermique de la cavit´e
sous la forme d’une densit´e volumique d’´energie ´electormagn´etique proportionnelle `alamoyenne
quadratique du champ ´electrique. Si on consid`ere que cette ´energie provient du rayonnement d’un
corps noir, on peut l’exprimer par la loi de Stephan ω(T)=σT 4avec σla constante de Stephan.
L’´ecart de fr´equence produit par effet Stark se r´e´ecrit alors :
δνStark =KE(T
300)4(1 + T 2)
o`uKE=1,57.10−4Hz et =1,4.10−2sont des constantes d´etermin´ees par des mesures sur FO1.
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