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Universit´e de Rouen
UFR de M´edecine et Pharmacie
Ann´ee Universitaire 2014-2015
GFGSP 2
Epreuve de Statistiques
Mme Le Cl´ezio
Date de l’´epreuve : mercredi 7 janvier
Dur´ee de l’´epreuve : 1 heure
Session 1
Le sujet comporte 2 pages et se trouve accompagn´e d’un formulaire et des tables usuelles.
Consignes
•pour tous les tests, vous choisirez un risque αde 5%;
•tout autre document est interdit;
•la calculatrice est autoris´ee.
Questions de cours
Indiquez sur votre copie la(les) bonne(s) r´eponse(s) sous la forme : Question x, r´eponse y.
1. La r´egion critique d’un test est construite de fa¸con `a garantir le contrˆole :
(A) du risque de rejeter H0`a tort,
(B) du risque de rejeter H1`a tort.
2. Lorsque l’on souhaite comparer la moyenne d’une variable continue mesur´ee avant et apr`es
un traitement chez les mˆemes individus, on utilise :
(A) un test de comparaison des proportions,
(B) un test non param´etrique de Mann-Whitney/Wilcoxon pour ´echantillons ind´ependants,
(C) un test de Student de comparaison de moyennes pour donn´ees appari´ees,
(D) un test de Student de comparaison de moyennes pour ´echantillons ind´ependants.
1. A
2. C
Exercice 1
Un laboratoire souhaite comparer la qualit´e d’un nouveau kit enzymo-immunologique pour le
dosage d’un m´edicament, par comparaison au kit utilis´e jusque-l`a en production. Un ´etalon est
constitu´e `a partir de 12 dosages contrˆoles r´ealis´es avec le kit usuel, sur des ´echantillons de plasma
surcharg´es `a une concentration fixe. Le laboratoire mesure alors une concentration moyenne de
31,1 mg/L, pour une variance de 3,4 (mg/L)2. Le nouveau kit est test´e sur 12 dosages similaires.
1

Le laboratoire observe alors une concentration moyenne de 28,7 mg/L, avec une variance de 2,1
(mg/L)2.
Au vu de ces mesures, le nouveau kit renvoit-il des mesures en moyenne comparables `a
l’ancien?
1. Donnez l’intervalle de confiance `a 95% de la concentration moyenne mesur´ee par chacun
des kits.
2. D´efinissez les hypoth`eses `a tester.
3. Proposez une statistique de test permettant de r´epondre `a la question.
4. Comment concluez-vous le test ?
On note µ1(resp. µ2) l’esp´erance des mesures avec le premier kit (resp. le nouveau kit).
Intervalle de confiance `a 95% pour chacun des kits
Pour chaque intervalle de confiance, on utilise le quantile `a 97,5% (bilat´eral) d’une loi de Student
`a 11 ddl (n1−1 = n2−1 = 11), soit 2.201.
IC95%(µi) = [mi±t11,97,5% ss2
i
ni
]
Soit :
IC95%(µ1) = [31,1±t11,97,5% r3,4
12 ] = [29,93 −32,27]
IC95%(µ1) = [28,7±t11,97,5% r2,1
12 ] = [27,78 −29,62]
Remarques
•Intervalle de confiance : toujours bilat´eral
•Surtout pas de loi normale `a cette taille d’´echantillon
•On donne la variance dans le texte, pas l’´ecart-type.
Hypoth`eses `a tester : Test de comparaison de deux esp´erances
ind´ependantes `a variances inconnues et sur petits ´echantillons
(H0: Les mesures du nouveau kit ont la mˆeme esp´erance que celles de l’ancien.
H1: Les mesures du nouveau kit n’ont pas la mˆeme esp´erance `a celles de l’ancien.
(H0:µ1=µ2
H1:µ16=µ2
Remarques
•Pas de ”significatif” dans la formulation des hypoth`eses.
•Coh´erence entre la formulation math´ematique et la formulation en fran¸cais.
•Attention aux notations et `a leur d´efinition

Statistique de test
On consid`ere la statistique de test suivante :
T=m1−m2
qs2×(1
n1+1 n2)
o`u s2estime la variance commune :
s2=(n1−1)s2
1+ (n2−1)s2 2
n1+n2−2=11 ×3,4 + 11 ×2,1 22 = 2,75
tobs =31,1−28,7
q2,75 ×(1
12 +1 12 )
= 3,55
Remarques
•Attention au choix de la formule ! Variances inconnues
•Attention aux erreurs de calculs (somme de fractions)
Conclusion du test
La statistique de test Tsuit sous l’hypoth`ese nulle une loi de Student `a n1+n2−2 = 22 ddl,
donc on compare tobs au quantile `a 97,5% d’une loi de Student `a 22 ddl, soit 2,074. Comme
tobs >2,074, on rejette l’hypoth`ese nulle et on conclut que le nouveau kit donne des mesures
significativement plus faibles que l’ancien kit, au risque de 5%.
Remarques
•Attention au quantile, ce n’est pas le mˆeme que pour les intervalles de confiance !
•Pr´eciser que la conclusion est au risque de 5%.
Exercice 2
Un ´etudiant en pharmacie est entrain´e `a mesurer la pression art´erielle lors d’une journ´ee de don
du sang. Pour chacun des 200 sujets consid´er´es, son professeur v´erifie `a son tour la mesure.
Les mesures de pression diastolique de l’´etudiant pr´esentent une variance de 184 mmHg2. Les
mesures de son professeur pr´esentent une variance de 133 mmHg2.
L’´etudiant doit-il continuer `a s’entraˆıner ? Autrement dit, ses mesures sont-elles significa-
tivement plus variables que celles de son maˆıtre ?

On note σ1(resp. σ2) la variance des mesures du maˆıtre (resp. de l’´etudiant).
Hypoth`eses `a tester : Test unilat´eral `a droite de comparaison de deux
variances
(H0: Les mesures de l’´etudiant sont plus variables que celles du maˆıtre.
H1: Les mesures de l’´etudiant ne sont pas plus variables que celles du maˆıtre.
(H0:σ1=σ2
H1:σ1< σ2
Remarques
•Pas de ”significatif” dans la formulation des hypoth`eses.
•Coh´erence entre la formulation math´ematique et la formulation en fran¸cais.
•Les mesures du maˆıtre sont estim´ees dans les mˆemes conditions que celles de l’´etudiant, il
ne s’agit pas d’une comparaison `a une norme.
Statistique de test
On consid`ere la statistique de test suivante :
F=s2
2
s2
1
fobs =184
133 = 1,38
Remarques
•On veut savoir si σ2est sup´erieur `a σ1donc s2est au num´erateur.
•L’´enonc´e donne directement les variances.
Conclusion du test
La statistique de test Fsuit sous l’hypoth`ese nulle une loi de Fisher `a n1−1 et n2−1 ddl, soit
199 et 199 ddl. Dans la table, on prend le plus proche, soit ∞et 100, ce qui donne un quantile
`a 95% de 1,303. Comme fobs >1,303, on rejette l’hypoth`ese nulle et on conclut que le nouvel
´etudiant doit continuer `a s’entraˆıner, au risque de 5%.
Remarques
•Pas de probl`eme s’ils choisissent 100 et 100 ddl, pour un quantile de 1,407 et non rejet de
H0.
Exercice 3
Une exp´erience a ´et´e men´ee pour explorer le lien entre la fr´equence cardiaque d’une personne et
la fr´equence `a laquelle on lui demande de monter et descendre des escaliers.
On effectue une r´egression lin´eaire de la fr´equence cardiaque apr`es effort sur la fr´equence
cardiaque au repos et la fr´equence des pas comme variable cat´egorielle (lentement ou 14 pas/min,
mod´er´ement ou 21 pas/min, rapidement ou 28 pas/min).
On obtient les r´esultats suivants, le logiciel pr´ecisant que le R2associ´e `a cette r´egression
lin´eaire est de 0.61.

Variable Coefficient Ecart-type t p-valeur
Ordonn´ee `a l’origine -2,6 22,2 -0,1 0,9062
Fr´equence cardiaque au repos 1,2 0,3 4,5 0,0001
Pas mod´er´es 7,7 6,0 1,3 0,2143
Pas rapides 27,8 6,0 4,6 9,29e-05
R´epondez par vrai ou faux, en justifiant vos r´eponses `a partir des valeurs ci-dessus d`es que
possible.
(A) La cat´egorie ”pas lents” est utilis´ee comme cat´egorie de r´ef´erence.
(B) Les cat´egories ”pas mod´er´es” et ”pas rapides” sont utilis´ees comme cat´egories de r´ef´erence.
(C) La fr´equence cardiaque apr`es effort d´epend significativement de la fr´equence cardiaque au
repos, au risque de 5%.
(D) Quelle quelle soit, la fr´equence des pas influe significativement la fr´equence cardiaque apr`es
effort, au risque de 5%.
(E) Une fr´equence rapide des pas augmente en moyenne le rythme cardiaque de 27.8 battements
par minute par rapport aux pas lents.
(F) Une fr´equence mod´er´ee des pas augmente significativement le rythme cardiaque par rap-
port aux pas lents, au risque de 5%.
(G) Les personnes montant les marches lentement pr´esentent en moyenne une fr´equence car-
diaque apr`es effort `a peu pr`es ´egale `a 1.2 fois leur fr´equence cardiaque au repos.
(H) Cette r´egression lin´eaire explique plus de la moiti´e de la variabilit´e de la fr´equence cardiaque
apr`es effort.
(A) Vrai, c’est la seule cat´egorie pour laquelle il n’y a pas de coefficient.
(B) Faux, pour la raison inverse.
(C) Vrai, la p-valeur est de 0,0001 <5%.
(D) Faux, ce n’est pas le cas des pas mod´er´es par rapport aux pas lents.
(E) Vrai, coefficient pas rapides vs pas lents de 27,8 battements, avec p-valeur <5%.
(F) Faux, p-valeur de 0,21 >5%.
(G) Vrai, coefficient de la fr´equence cardiaque au repos de 1,2 et ordonn´ee `a l’origine non
significative (p-valeur = 0,90 >5%).
(H) Vrai, le R2 vaut 61%.