Chapitre 4 Le cercle trigonométrique Première S 2 Soit une droite

Chapitre 4 Le cercle trigonométrique Première S
I. Définition du cercle trigonométrique
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1
sur lequel on distingue deux sens de parcours :
le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre)
et le sens indirect (sens des aiguilles d'une montre).
Le rayon étant de 1 (une unité), la longueur du cercle est 2
π
,
celle du demi-cercle est
π
, celle du quart de cercle est
2
π
!
II. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
Soit une droite graduée d’origine A comme sur les figures ci-dessous.
Imaginons que nous enroulions la droite autour du cercle. On associe alors à chaque abscisse
d'un point de la droite, un point du cercle :

A retenir !
A tout réel x, on peut associer un point M sur le cercle de la façon suivante :
* Si x > 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens direct.
* Si x < 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens indirect.
La longueur de l’arc
»
IM
est alors égal à
| |
x.
II. Angles en radians
Définition :
Soient A et M deux points du cercle trigonométrique de centre O.
La mesure en radians de l’angle
·
AOM
correspond à la longueur de l’arc
¼
AM
.
Correspondance entre angles en degrés et angles en radians :
Angles en degrés 360 180 90 60 45 30
Angles en radians
Exercice :
Placer les points suivants sur le cercle en fonction de l’angle
en radian qui leur est associé en partant de I :
A
(
)
π
B
π
12 C
π
3 D
3π
4
E
-π
6 F
2π
3 G
π
2 H
-3π
2
O
J
I

Mesure principale d’un angle en radians :
Activité :
Placer les points ci-dessous en fonction de l’angle en radian qui
leur est associé en partant de I :
A
3
π
B
8
3
π
C
5
3
π
−
D
13
3
π
11
3
E
π
−
On remarque que plusieurs mesures d’angles définissent un même point sur le cercle.
(On retrouve le fait qu’il y a enroulement de la droite des réels autour du cercle trigonométrique)
On appelle alors mesure principale d’un angle l’unique mesure appartenant à l’intervalle
]
]
;
π π
− .
Exercice :
Trouver la mesure principale des angles suivants :
Si
21
2
π
α = Si
13
3
π
α = Si
13
2
π
α = − Si
114
3
π
α = −
III. Trigonométrie
On munit le cercle trigonométrique d’un repère orthonormé (O ; I ; J).
Soit x la mesure en radian d’un angle, et M le point tel que
·
IOM
= x.
Dans le triangle rectangle OAM, on a : De même :
cos x = OA
OM sin x = MA OM
cos x = OA
1 sin x = MA 1
cos x = OA sin x = MA = OB
donc cos x est l’abscisse de M. donc sin x est l’ordonnée de M.
Conclusion : Si M est le point associé a un réel x sur le cercle trigonométrique, alors M(cos x ; sin x).
Remarques importantes:
1) Pour tout x, on a -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1
2) Dans le triangle OAM rectangle en A on a OM = 1, OA = cos x et AM = sin x, alors d’après le théorème de
Pythagore OA² + AM² = OM² et donc : cos²x+ sin²x = 1
O
+
I
J
M
x
A
B

Exercice :
On a donné les valeurs exactes du sinus et cosinus de quelques angles remarquables entre 0 et π
2.
Point I A B C J
x
- 5π
6
- 3π
4
- 2π
3
- π
2 - π 3 - π 4 - π 6 0 π
ππ
π
6 π
ππ
π
4 π
ππ
π
3 π
ππ
π
2 2π 3 3π 4 5π 6 π
cos x 1 3
2 2 2 1
2 0
sin x 0 1
2 2
2 3 2 1
a. Retrouver le point qui correspond à chaque angle.
b. En déduire les valeurs exactes des cosinus
et sinus de tous les angles du tableau.
Propriétés du sinus et du cosinus :
Définition de la tangente :
sin( )
, si cos( ) 0 alors tan( )
cos( )
α
α α α
α
∀ ∈ ≠ =¡
Démonstration :
O
I
A
J’
I’
J
B
C
K
D
H
M
E
G
L
N
F
π
6
π
4
π
3

Relation trigonométrique et angles associés :
Activité :
On obtient donc les formules suivantes :
(
)
cos 2 π α
+ =
(
)
sin 2 π α
+ =
(
)
cos α
− =
(
)
sin α
− =
(
)
cos π α
+ =
(
)
sin π α
+ =
(
)
cos π α
− =
(
)
sin π α
− =
cos 2
πα
+ =
sin 2
πα
+ =
cos 2
πα
− =
sin 2
πα
− =
Les équations trigonométriques :
Equation du type
(
)
(
)
cos cos avec réel donné
x a a= Equation du type
(
)
(
)
sin sin avec réel donné
x a a=