Chapitre 10 − Équations du 1er degré à une inconnue

Mathématiques pour la classe de Quatrième
Chapitre 10 −Équations du 1er degré à une inconnue
Rémi CHEVAL -www.podcast-science.com −26 février 2015
Revoir :
1) La notion d’égalité
Découvrir :
1) La résolution d’une équation du 1er degré
à une inconnue.
2) La mise en équation d’un problème concret.
Table des matières
1 Quelques définitions 1
1.1 Analyse du titre de ce chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Que veut dire : « Résoudre une équation » ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Exercices d’application ................................... 1
2 Les deux propriétés de la balance 2
2.1 L’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 La multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 Exercices d’application ................................... 2
3 Résoudre un problème concret 3
3.1 Méthode complète pour résoudre une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Traduire un problème concret en une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 Exercices d’application ................................... 4
1 Quelques définitions
1.1 Analyse du titre de ce chapitre
Définition. Revenons quelques instants sur l’expression « Équations du 1er degré à une inconnue »
et pour mieux la comprendre, décortiquons chacun des termes qui la constitue.
●Équation : égalité entre deux expressions littérales.
Exemple : 7x+3
1er membre de l’équation
=−2x+1
2e membre de l’équation
●du 1er degré :
●Il n’y a pas de termes en x2et de termes en x3.
●Mais, il y a des termes en xet des termes sans x.
●à une inconnue :
●xest la seule lettre dont on cherche la valeur.
1.2 Que veut dire : « Résoudre une équation » ?
Objectif (La résolution d’une équation).
●Résoudre une équation consiste à trouver toutes les valeurs possibles du nombre
xpermettant à l’égalité d’être vérifiée.
●Ces valeurs sont appelées les solutions de l’équation.
Pour terminer cette première partie du chapitre, nous allons faire quelques exercices où il faudra
vérifier si un nombre est solution d’une équation. On remplace les x par notre nombre et
ensuite on fait les calculs : cela doit vous rappeler le chapitre sur le calcul littéral.
Exemple ( Est-ce que 4 ;− 3 ; 5 ou − 4 sont solutions de l’équation 3 x− 5 = 5 x− 15 ?).
Pour savoir si 4est solution de notre équation, il suffit de calculer en remplaçant x par 4, la valeur
des deux expressions littérales 3 x− 5et 5 x− 15 . Si on obtient le même valeur, alors on
peut dire que 4est solution de l’équation 3x−5=5x−15.
Valeur de x4−3 5 −4
Valeur de 3x−57−14 10 −17
Valeur de 5 x− 15 5−30 10 −35
Solution ? Non Non Oui Non
Nous venons ainsi de vérifier que 5 est solution de l’équation 3 x− 5 = 5 x− 15 et que ce n’est
pas le cas pour les nombres 4; − 3et − 4. Par contre, rien nous dit qu’il n’existe pas d’autres
solutions à notre équation.
1.3 Exercices d’application
Exercice ( Page 83 n°33). Chacun des nombres suivants est-il solution de l’équation :
2x(x+1)=12 ?
a) 2b) 3c) −2d) −3
Exercice ( Page 83 n°34). Pour les équations suivantes, préciser si chacun des nombres
2,−1ou 3est solution :
a) 3x+2=5x+4b) 2(3x−6)=5x−9
c) 2−4x=−3(x−1)−3d) 1+2x=4x+3
Exercice ( Page 83 n°35). Pour les équations suivantes, préciser si le nombre 1
3est une
solution :
a) 2(3x−6)=12x−14 b) 1−5x=2x−4
c) 2−5x=3x−2
3
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2 Les deux propriétés de la balance
Avant de commencer mon explication, je vais m’attarder deux secondes sur le mot « balance ».
En effet, même si l’électricité est très présente dans nos vies, je parle ici de la balance à deux
plateaux dans laquelle l’équilibre signifie qu’il y a autant à gauche qu’à droite.
Balance électrique Balance à deux plateaux
2.1 L’addition
Propriété. Soient a, b, c trois nombres relatifs.
Si a=balors a+c=b+c
Explication de la propriété :
−Si une balance est à l’équilibre avec aà gauche et bà droite.
−Alors l’équilibre est conservé si on ajoute cdes deux côtés.
Exemple. Résoudre les deux équations suivantes.
3=x−2 6 +x=−2
2+3=x−2+2(−6)+6+x=−2+(−6)
5=x x =−8
Le −2est passé du côté gauche de
l’égalité, et s’est transformé en +2
Le 6est passé du côté droit de
l’égalité, et s’est transformé en −6
2.2 La multiplication
Propriété. Soient a, b, c trois nombres relatifs avec cnon nul.
Si a=b,alors,
a×c=b×ca
c=b c
Explication de la propriété :
−Si une balance est à l’équilibre avec aà gauche et bà droite.
−Alors l’équilibre est conservé s’il y en a cfois plus ou cfois moins des deux côtés.
Exemple. Résoudre les deux équations suivantes.
x
9=−4 342 =3x
9×x
9=−4 3×942 3=3x 3
x=−12 14 =x
Le ÷9est passé du côté droit de
l’égalité, et s’est transformé en ×9
Le ×3est passé du côté gauche de
l’égalité, et s’est transformé en ÷3
2.3 Exercices d’application
Nous verrons en détails la méthode pour résoudre une équation dans la partie suivante. Mais, pour
l’instant, retenez une seule chose :
Il faut évacuer tous les nombres qui sont autour de l’in-
connu, pour faire en sorte qu’elle soit seule dans l’un
de deux membres de l’égalité (à gauche ou à droite).
2.3.1 Utilisation de l’addition : Si a=b,alors a+c=b+c
Exercice (Page 81 n°15). Résoudre chaque équation.
a) x+5=25 b) 6+y=−5
c) −6+a=7d) t−12 =−7
Indications. a) Il faut évacuer le 5vers le membre de droite. b) Il faut évacuer le 6vers le
membre de droite. c) Il faut évacuer le − 6vers le membre de droite. d) Il faut évacuer le − 12
vers le membre de droite.
Exercice (Page 81 n°16). Résoudre chaque équation.
a) −5=x+15 b) 6,2=y−5,1
c) −5+a=7d) −3=t−6
2.3.2 Utilisation de la division : Si a=b,alors a
c=b c
Exercice ( Page 81 n°17). Résoudre chaque équation. Simplifier les fractions obtenues.
a) 3x=27 b) 6y=−54
c) −7=14ad) −3t=−12
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Indications. a) Il faut évacuer le × 3vers le membre de droite. b) Il faut évacuer le × 6vers le
membre de droite. c) Il faut évacuer le × 14 vers le membre de gauche. d) Il faut évacuer le
×(−3)vers le membre de droite.
2.3.3 Utilisation de la multiplication : Si a=b,alors a×c=b×c
Exercice ( Page 81 n°18). Résoudre chaque équation. Simplifier les fractions obtenues.
a) x
2=25 b) y 3=−4c) 3
5=a 5d) t 15 =−1 6
Indications. a) Il faut évacuer le ÷ 2vers le membre de droite. b) Il faut évacuer le ÷ 3vers le
membre de droite. c) Il faut évacuer le ÷ 5vers le membre de gauche. d) Il faut évacuer le ÷ 15
vers la droite.
2.3.4 Multiplication, division & fraction : un cocktail explosif.
Avant de passer à la suite du chapitre, je voudrais prendre un peu de temps pour revenir sur l’idée :
« Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse ».
1) Avec la propriété sur la multiplication, on peut retrouver celle sur la division.
Si a=b,alors a×1
c=b×1 cet donc a c=b c
2) Pour évacuer une multiplication par a
b, on multiplie par b al’inverse de a b
5
2x=3 2
Je veux
évacuer le 5
2×
⇒
2
5×
5
2x=3 2×
2
5
Je multiplie
alors par 2
5
⇒x=3
5
J’ai simplifié
l’équation obtenue
Exercice ( Page 81 n°19). Résoudre chaque équation. Simplifier les fractions obtenues.
a) 4
3t=−8b) 5 4x=2
c) −3
2y=1 2d) 2 3=3 2a
3 Résoudre un problème concret
3.1 Méthode complète pour résoudre une équation
Nous arrivons au moment le plus important du chapitre : Savoir application la mé-
thode complète pour résoudre une équation. Pas de panique, il y aura beaucoup
d’exercices d’application pour s’entraîner. Avant de commencer, je vous conseille de
relire le chapitre sur le calcul littéral.
Méthode. Prenons un exemple et détaillons la méthode sur celui-ci.
Étape 1 : Développer les membres
de gauche et de droite de l’équation.
5(3−2x)=−(4x+1)
15 −10x=−4x−1
Étape 2 : Évacuer tous les termes
en xdu côté gauche de l’équation.
4x+15 −10x= −4x−1+ 4x
−6x+15 =−1
Étape 3 : Évacuer tous les termes
sans xdu côté droit de l’équation.
−15 +6x+ 15 =−1−15
6x=−16
Étape 4 : Évacuer le coefficient de-
vant xvers le côté droit de l’équation.
6x
6=−8×
2
3× 2
x=−8
3
3.1.1 Trois exercices d’application directe
Exercice ( Page 83 n°40). Résoudre chaque équation. Les expressions sont déjà développées.
a) 3x+2=2x−5b) −3x+7=3x−11
Exercice (Page 83 n°42). Résoudre chaque équation.
a) 2(x−5)=3x+5b) −4(3+x)=2x−6
Exercice (Page 83 n°43). Résoudre chaque équation.
a) −3(2+x)=1−5xb) 4−7(2−x)=5−4x
3.1.2 Les fractions, on fait en sorte de les éviter
Exemple ( Page 83 n°48). Pour résoudre l’équation suivante, nous allons multiplier à
gauche et à droite par 3et par 7pour supprimer les dénominateurs.
3×7×2x−5
3=2−5x 7×3×
7
7×(2x−5)=3×(2−5x)
14x−35 =6−15x
14x+15x=6+35
29x=41
x=41
29
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Exercice (Page 83 n°49). Résoudre chaque équation.
a) x
5=7 2b) 3−x 2=x+1 3
Exercice (Page 83 n°50). Résoudre chaque équation.
a) 3+x
−5=6 7b) 3x−1 4=−x+2 −3
3.1.3 Les équations du second degré
Dans l’exemple suivant, vous allez vous rendre compte assez facilement que des équa-
tions du second degré se transforment en équation du premier degré quand les termes
en x2se simplifient.
Exemple (Page 85 n°62). On considère l’équation :
3x(2x−6)+3=6x(x−2)
3x×2x−3x×6+3=6x×x−6x×2
6x2−18x+3=6x2−12x
On peut maintenant supprimer les termes en x2
( −6x2)+ 6x2−18x+3= 6x2−12x+( −6x2)
18x− 18x+3=−12x+18x
3=6x
3
6=
6x
6
1
2=x
Exercice (Page 85 n°63). Résoudre les équations suivantes :
a) (2x−4) (3+x)−2x2=5x−6b) (4x+2) (2x−4)=8x2
3.2 Traduire un problème concret en une équation
Exemple. Son son MP3, Axel a téléchargé 26 chansons : de rap, de variétés et de rock. Elle a
téléchargé une seule chanson de variétés et quatre fois plus de chansons rap que de chansons rock.
Combien Axel a-t-elle téléchargé de chansons rock ?
Méthode. Dernière difficulté du chapitre : Savoir traduire un énoncé en une équation
Étape 1 : Que va représenter notre
inconnu x?Regardez la question.
On désigne par xle nombre de chansons
rock téléchargées.
Étape 2 : Mise en équation du pro-
blème. Il suffit de relire l’énoncé. 26
total
=1
variétés
+4x
rap
+x
rock
Étape 3 : Résolution de l’équation
(−1)+26 = 1+5x+( −1)
25
5=
5x
5
5=x
Étape 4 : Vérification. Ça doit vous
prendre au maximum 5secondes. 1+4×5+5=1+20 +5=26
5est bien solution de l’équation initiale.
Étape 5 : Interprétation et conclu-
sion. Soyons un peu logique.
5est un nombre entier positif, cette
solution est cohérente. Axel a donc
téléchargé 5chansons rock.
3.3 Exercices d’application
3.3.1 Il faut manger 5fruits et légumes par jour
Exercice ( Page 82 n°26). Sur un étalage, il y a cinq fois plus de bananes que de mangues. On
compte en tout 54 de ces fruits. Combien y a-t-il de mangues ?
Indications. On désigne par xle nombre de mangues.
54
total
=5x
bananes
+x
mangues
Exercice ( Page 82 n°27). Un panier contient 29 fruits : des pommes, des poires et une pêche.
Il y a trois plus de pointes que de pommes. Combien y a-t-il de pommes ?
3.3.2 Deux énigmes avec les âges des parents et des enfants
Exercice ( Page 84 n°59). Éric a 43 ans aujourd’hui. Il dit à son fils Joshua : « Dans 27 ans,
j’aurai le double de ton âge. » On désigne par xl’âge actuel de Joshua.
1) a) Quel sera l’âge du père dans 27 ans ?
b) Exprimer en fonction de xl’âge du fils dans 27 ans.
c) En déduire une équation vérifiée par le nombre x.
2) Résoudre cette équation pour déterminer l’âge actuel de Joshua.
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Exercice ( Page 86 n°71). « Aujourd’hui, ma mère a trois fois mon âge. Dans 12 ans, elle aura
deux fois l’âge que j’aurai. » dit Camille. Quel est l’âge actuel de Camille et celui de sa
mère ?
3.3.3 Des histoires de bonbons et de chocolats
Exercice ( Page 84 n°56). Au supermarché, Mercedes a acheté 3lots contenant chacun 4tablettes
de chocolat et un paquet de bonbons. Chaque paquet de bonbons coûte 1 , 70 e . Mercedes paye en
tout 35,10 e.On désigne par xle prix d’une tablette de chocolat.
1) Exprimer en fonction de xle prix d’un lot.
2) Mettre en équation le problème.
3) Déterminer le prix d’une tablette de chocolat.
Exercice ( Page 86 n°70). Maéva va faire ses courses de Noël. Elle achète une boîte de chocolats,
du foie gras, une glace à la pistache et un pain au sésame.
●La boîte de chocolats coûte 5ede plus que la glace.
●Le fois gras coûte 4fois plus cher que la boîte de chocolats et le pain coûte 2,40 e.
●Maéva donne un billet de 100 eet on lui rend 21,60 e.
Quels sont les prix de la boîte de chocolats, de la glace et du foie gras ?
3.3.4 Aires et périmètres
Exercice ( Page 82 n°31). Déterminer le nombre xpour que l’aire du rectangle bleu
soit égale à celle du triangle jaune. Toutes les longueurs sont exprimées en centimètres.
4
3x−2
2
2x
Indications. Nous allons tout simplement écrire sous la forme d’une équation l’égalité
entre les deux aires.
4×3x−2
L’aire du rectangle bleu
=2×2x
2
L’aire du triangle jaune
On pense à simplifier la fraction pour se simplifier la vie.
Exercice ( Page 84 n°51). Déterminer la valeur du nombre xpour que le périmètre de
la figure bleue soit égale à 28 cm.
x
5cm
o
o
o
o
Exercice (Page 85 n°67). EF G est un triangle et le point Mappartient à [EF ].
x6cm
2cm
E F
M
G
●L’aire du triangle EM G est égale au double de l’aire du triangle MF G.
1) Écrire une équation vérifiée par le nombre x.
2) Résoudre cette équation.
Indications (Rappel sur l’aire d’un triangle).
Atriangle =base ×hauteur
2;AEM G =EM ×2 2;AM F G =M F ×2 2
Extrait du programme officiel
Connaissances Capacités Commentaires
Résolution de pro-
blèmes conduisant à
une équation du pre-
mier degré à une in-
connue.
– Mettre en équation et ré-
soudre un problème condui-
sant à une équation du pre-
mier degré à une inconnue.
Les problèmes issus d’autres par-
ties du programme et d’autres dis-
ciplines conduisent à l’introduction
d’équations et à leur résolution. À
chaque fois sont dégagées les diffé-
rences étapes du travail : mise en
équation, résolution de l’équation
et interprétation du résultat.
Les élèves, dans le cadre du socle
commun, peuvent être amenés à ré-
soudre des problèmes se ramenant
à une équation du premier degré
sans que la méthode experte soit
exigible.
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