Chapitre 2 : Petits rappels d`algèbre linéaire

Université François-Rabelais de Tours
Licence de Mathématiques
Chapitre 2 : Petits rappels d’algèbre linéaire
UE 6-3 Algèbre
Semestre 6
Dans ce chapitre, nous faisons un résumé succinct des notions à connaître. Il est impératif de connaître
et de savoir manipuler ces notions afin de pouvoir suivre la suite de ce cours.
Dans ce qui suit, K désigne un corps.
1
Théorie de la dimension
1.1
Espace vectoriel
Définition 1.1.
Soient K un corps et E un ensemble muni d’une loi interne + et d’une loi externe ·, c’est-à-dire
de deux applications :
E × E −→
E
K × E −→
E
et
(x, y) 7−→ x + y
(λ, x) 7−→ λ · x
On dit que (E, +, ·) est un K-espace vectoriel ou un espace vectoriel sur K si :
1) (E, +) est un groupe commutatif (dont l’élément neutre 0E ou 0 est appelé le vecteur nul) ;
2) Pour tout x, y ∈ E et λ, µ ∈ K on a :
(a) λ · (x + y) = λ · x + λ · y
(b) (λ + µ) · x = λ · x + µ · y
(c) λ · (µ · x) = (λµ) · x
(d) 1 · x = x
Exemple 1.2. Exemples fondamentaux de K-espaces vectoriels :
1) Kn muni des lois :
(x1 , . . . , xn ) + (y1 . . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
et
λ · (x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn )
2) L’ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans K ;
3) L’ensemble des suites KN à valeurs dans K ;
4) L’ensemble des fonctions de K dans K ;
5) L’ensemble des matrices Mn,p (K) à n lignes et p colonnes à coefficients dans K.
Définition 1.3.
Soit (E, +, ·) un K-espace vectoriel. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si F ⊂ E et
si F est un K-espace vectoriel.
On écrira quelque fois s.e.v à la place de sous-espace vectoriel.
Exemple 1.4.
1) Les ensembles {0E } et E sont des sous-espaces vectoriels de E.
2) L’ensemble Kn [X] = {P ∈ K[X], deg(P ) ≤ n} est un sous-espace vectoriel de K[X].
Proposition 1.5. Soit (E, +, ·) un K-espace vectoriel et soit F ⊂ E. Alors (F, +, ·) est un sous-espace
vectoriel de E si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1) F 6= ∅
2) ∀x, y ∈ F, ∀λ ∈ K, x + λy ∈ F
1
1.2
Somme de sous-espaces vectoriels
Définition-Proposition 1.6.
(1). Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E. L’ensemble
F + G := {xF + xG | xF ∈ F, xG ∈ G}
est un s.e.v de E. Il s’agit du plus petit sous-espace vectoriel de E contenant F ∪ G.
(2). Plus généralement, si (Ei )i∈I est une famille finie de sous-espace vectoriel de E, alors
l’ensemble
X
X
Ei = {
xi | xi ∈ Ei pour tout i ∈ I}
i∈I
i∈I
est un s.e.v de E. Il s’agit du plus petit sous-espace vectoriel de E contenant ∪i∈I Ei .
Exemple 1.7. Soit E := F (R, R) l’espace vectoriel des fonctions de R dans R. On désigne par P le
sous-espace vectoriel des fonctions paires, et I le sous-espace vectoriel des fonctions impaires. On a alors
P + I = F . En effet, soit f ∈ F . On définit deux fonctions :
f p : R −→
x
7−→
R
f (x) + f (−x)
2
et
fi : R
−→
x
7−→
R
f (x) − f (−x) .
2
On a alors f = f p + f i d’où le résultat.
Définition 1.8.
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E. On dit que F et G sont
en somme directe lorsque F ∩ G = {0}. La somme de F et de G se note alors F ⊕ G et on parle
de somme directe de F et de G.
Proposition 1.9. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E. Les assertions
suivantes sont équivalentes :
(1) F et G sont en somme directe
(2) tout élément de F + G s’écrit de manière unique sous la forme xF + xG où xF ∈ F et xG ∈ G.
Exemple 1.10. La somme dans l’exemple 1.7 est directe. En effet, une fonction à la fois paire et impaire
est nulle. On a donc P ∩ I = {0}.
Définition 1.11.
Soient (Ei )i∈I une famille finie de sous-espace vectoriel de E. On dit que E est la somme directe
des (Ei )i∈I si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
P
(1) E = i∈I Ei
P
(2) Si i∈I xi = 0 avec xi ∈ Ei pour tout i alors xi = 0 pour tout i
La deuxième
condition implique que tout élément de E s’écrit de manière unique sous la forme
P
x = λi xi avec xi ∈ Ei pour tout i.
1.3
Familles libres, familles génératrices, bases
Définition 1.12.
Soit E un K-espace vectoriel et soit H une partie quelconque de E. Il existe un plus petit sousespace vectoriel contenant H. On le note Vect(H) et on l’appelle sous-espace vectoriel engendré
par H.
3
Exemple 1.13.
facilement
 On
 vérifiera


 que le plus petit sous-espace vectoriel de R qui contient les
1
0
x
vecteurs  0  et  1  est { y  | x, y ∈ R}. 0
0
0
2
Proposition 1.14. Soit E un K espace vectoriel et H une partie de E alors :
( `
)
X
`
`
Vect(H) =
λi xi | (λ1 , ..., λ` ) ∈ K , (x1 , ..., xl ) ∈ H , ` ∈ N
i=1
Lorsque H = {e1 , . . . , en } on écrira parfois Vect(e1 , . . . , en ) au lieu de Vect({e1 , . . . , en }) pour alléger les
notations.
Définition 1.15.
Soit E un K-espace vectoriel et soient e1 , e2 , ..., en des vecteurs de E.
1) On dit que la famille (e1 , ..., en ) est une famille libre ou encore est linéairement indépendante si pour tous λ1 ,...,λn dans K, on a
n
X
λi ei = 0 =⇒ λi = 0, ∀i = 1, . . . , n
i=1
Si la famille n’est pas libre, on dit qu’elle est liée.
2) On dit que la famille (e1 , ..., en ) est une famille génératrice si
Vect(e1 , ...., en ) = E,
autrement dit : ∀x ∈ E, ∃(λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn , x = λ1 e1 + ... + λn en .
3) On dit que famille (e1 , ..., en ) est une base si c’est une famille libre et génératrice de E.
Proposition 1.16. Soit E un K-espace vectoriel et soit (e1 , ..., en ) une famille de vecteurs de E. Les
propriétés suivantes sont équivalentes :
1) (e1 , ..., en ) est une base.
2) Pour tout x ∈ E, il existe une unique famille (λ1 , ..., λn ) de scalaires tels que :
x=
n
X
λ i ei .
i=1
Les scalaires λi s’appellent les coordonnées du vecteur x dans la base (e1 , ..., en ).
Notation. Soit B = (e1 , . . . , en ) une base d’un espace vectoriel E. On écrit :
 
λ1
n
 λ2 
X
 
λ i ei
[x]B =  .  ⇐⇒ x =
 .. 
i=1
λn
L’ordre des éléments de la base est important !
1) On vérifiera facilement que la famille B = (v1 , v2 , v3 ) où
 
 
 
1
−1
1
v1 = 1 , v2 =  1  , v3 =  0 
1
0
−1


1
forme une base de R3 . De plus les coordonées de  1  dans la base B sont (1/2, 1/2, 1/2). En
1
effet, on a


1
 1  = 1 v1 + 1 v2 + 1 v 3
2
2
2
1
Exemple 1.17.
2) On vérifiera facilement que la famille B = (1, 1 − X, X − X 2 , X 2 − X 3 ) forme une base de R3 [X].
Le polynôme F = 8X 3 − X 2 + 3X s’écrit sous la forme


10
 −10 

F = 10 · 1 − 10 · (1 − X) − 7 · (X − X 2 ) − 8 · (X 3 − X 2 ) et donc [F ]B = 
 −7  .
−8
3
On dit qu’un espace vectoriel E est de dimension finie s’il existe une famille génératrice finie de E.
Théorème 1.18.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit G une famille génératrice finie et soit L
une famille libre inclue dans G . Alors il existe une base B tel que L ⊂ B ⊂ G . En particulier :
• Tout espace vectoriel de dimension finie possède une base.
• Toute famille libre de E peut-être completée en une base de E. (Théorème de la base
incomplète)
• On peut extraire une base de toute famille génératrice.
1.4
Dimension
Théorème 1.19.
Soit E un K-espace vectoriel. Toutes les bases de E ont le même cardinal n. Cet entier n est
appelé la dimension de E, on le note dim(E).
Exemple 1.20. On a dim Rn = n, dim Rn [X] = n + 1, dim Mn (R) = n2 , etc...
Proposition 1.21. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ . Alors
1) Tout famille libre de n vecteurs est une base de E.
2) Toute famille génératrice de n vecteurs est une base de E.
Proposition 1.22. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ et soient E1 , . P
. . , Ek des s.e.v de
E. Alors E = E1 ⊕ E2 + ⊕ . . . ⊕ Ek si et seulement si E = E1 + E2 + . . . + Ek et n =
dim(Ei ).
Démonstration. On note di la dimension de Ei . Soit B = (e1 , . . . , en ) une famille de vecteurs telle que
. . . , en−dk +1 , . . . , en ).
(e1 , . . . , ed1 , ed1 +1 , . . . , ed1 +d2 , |{z}
{z
}
| {z } |
|
{z
}
base de E1
...
Base de E2
Base de Ek
Alors B contient n vecteurs et c’est une famille génératrice de E. Ainsi, puisque n = dim E, B est une
base de E. D’où le résultat.
Proposition 1.23. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E. On a
dim(F + G) = dim(F ) + dim(G) − dim(F ∩ G)
Définition 1.24.
Soit E un K-espace vectoriel. Le rang d’une famille de vecteurs F = (e1 , . . . , en ) est défini par :
rang(F ) = rang(e1 , . . . , en ) = dim(Vect(e1 , . . . , en ))
2
2.1
Applications linéaires
Premières définitions
Définition 2.1.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Une application f : E → F est dite linéaire si elle
vérifie pour tout (x, y) ∈ E 2 et pour tout λ ∈ K
f (x + y) = f (x) + f (y)
et
f (λx) = λf (x).
L’ensemble des applications de E dans F est noté L (E, F ). C’est un K-espace vectoriel.
4
Notons que les deux propriétés ci-dessus peuvent être reformulées de sorte que f : E → F est linéaire si et
seulement si elle vérifie pour tout (x, y) ∈ E 2 et pour tout λ ∈ K
f (x + λy) = f (x) + λf (y).
Soient E et F deux K-espaces vectoriels.
1) Une application linéaire de E dans E est appelée un endomorphisme. On note L (E) := L (E, E)
l’ensemble des endomorphismes de E.
2) Une application linéaire bijective est appelée un isomorphisme.
3) Une application linéaire bijective d’une espace vectoriel E dans lui-même est appelée un automorphisme. L’ensemble des automorphismes de E est noté GL(E).
4) S’il existe un isomorphisme entre E et F , on dit que E et F sont isomorphes.
Proposition 2.2. Soient E et F deux K-espaces vectoriels et soit f ∈ L (E, F ). Alors l’image d’un
sous-espace vectoriel de E par f est un sous-espace vectoriel de F .
Définition-Proposition 2.3.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et soit f ∈ L (E, F ). On pose
ker f = {x ∈ E | f (x) = 0F }
Im f = {f (x) | x ∈ E}
et
Alors
• ker f est un sous-espace vectoriel de E.
• Im f est un sous-espace vectoriel de F .
• f est injective si et seulement si ker(f ) = {0E }.
La dimension de Im f est appelée le rang de f .
Théorème 2.4 (Théorème du rang).
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et soit f ∈ L (E, F ). On a
dim(E) = dim(ker f ) + dim(Im f ).
2.2
Matrices
Soit u une application linéaire de E dans F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Soient B1 =
(e1 , ..., ep ) une base de E et soit B2 = (f1 , ...., fn ) une base de F . Alors l’application u est entièrement
déterminée pas les vecteurs u(ej ) exprimés dans la base (f1 , ...., fn ). Pour tout j ∈ {1, ..., p}, il existe des
scalaires aij ∈ K avec i ∈ {1, ..., n} tel que :
u(ej ) =
n
X
aij fi .
i=1
On obtient alors la matrice M ∈ Mnp (K) en prenant pour vecteurs colonnes les coordonnées des u(ej ) en
fonction des fi . Cette matrice est appelée la matrice de u dans les bases B1 et B2 . On la note :


a11 a12 .... a1p
 a21 a22 ..... a2p 

M = B2 MatB1 (u) = 
 ...
...
...
... 
an1 an2 ... anp
Notez bien que sous le symbole Mat, on écrit la base d’arrivée B2 avant la base de départ B1 . Cette
convention est utile pour présenter les formules de changement de base comme on le verra dans la suite de
ce chapitre.
Théorème 2.5.
Soit u une application linéaire de E dans F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Soient
B1 une base de E et B2 une base de F . On a pour tout x ∈ E :
y = u(x) ⇐⇒ [y]B2 =
5
B2
MatB1 (u) · [x]B1
Proposition 2.6. Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels et soit u1 : E −→ F et u2 : F −→ G deux
applications linéaires. Soient BE , BF et BG des bases de E, F et G respectivement. On a
BG
MatBE (u2 ◦ u1 ) =
BG
MatBF (u2 ) ×
BF
MatBE (u1 )
Démonstration. On a par le théorème précédent :
[u2 ◦ u1 (x)]BG =
BG
MatBF (u2 ) · [u1 (x)]BF
[u1 (x)]BF =
et
BF
MatBE (u1 ) · [x]BE
d’où :
[u2 ◦ u1 (x)]BG =
BG
MatBF ·
BF
MatBE ·[x]BE .
Ceci étant vrai pour tout x ∈ E, on en déduit l’égalité souhaitée.
Proposition 2.7. Soient E, G deux K-espaces vectoriels et soient BE , BG des bases de E et G respectivement. L’application
L (E, F ) −→
Mn,p (K)
u
7−→ BG MatBE (u)
est un isomorphisme d’espace vectoriel. En particulier, dim(L (E, F )) = n × p.
Exemple 2.8. Soit f l’application de R3 dans lui-même définie par
f (x, y, x) = (x − y, y + z, x + z).
La matrice de f dans la base canonique B est

1
0
1

0
1 .
1
−1
1
0
On considère maintenant la famille B 0 = (e01 , e02 , e03 )
e01 = (1, 0, 0), e02 = (0, 2, 1), e03 = (−1, 0, 1)
On vérifie facilement que c’est bien une base de R3 . On veut déterminer la matrice de f dans cette nouvelle
base. Pour cela, on calcule les images des vecteurs e0i puis on les décompose dans la base (e01 , e02 , e03 ). On a
f (e01 ) = (1, 0, 1) = 2e01 + e03 ,
5
f (e02 ) = (−2, 3, 1) = − e01 +
2
3
f (e03 ) = (−1, 1, 0) = − e01 +
2
La matrice de f dans la base des e0i est donc

2
 5
 2
− 32
La matrice de f ◦ f dans la base

1
0
1
B est donc
 
−1 0
1
1 1 · 0
0 1
1
0
3
2
1
2
−1
1
0
3 0
e −
2 2
1 0
e −
2 2
1 0
e ,
2 3
1 0
e .
2 3

1

− 12  .
− 12
 
0
1
1 = 1
1
2
−2
1
−1

−1
2
1
soit f ◦ f (x, y, z) = (x − 2y − z, x + y + 2z, 2x − y + z).
2.3
Changement de base
0
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et soit BE = (e1 , . . . , en ) et BE
= (e01 , . . . , e0n ) deux bases
de E. La matrice identité de taille n × n est notée In .
6
Définition-Proposition 2.9.
On définie la matrice
B 0 PB
par :
0 PB
BE
E
:= [e1 ]BE0 ; [e2 ]BE0 ; . . . ; [en ]BE0
On a alors pour tout x ∈ E
0 PB [x]B
BE
E
E
0 PB
BE
E
0 PB
BE
E
·
=
= [x]BE0
0
BE PBE
0
BE
= In
MatBE (Id)
Soit F un espace vectoriel de dimension finie et soit BF = (f1 , . . . , fp ) et BF0 = (f10 , . . . , fp0 ) deux bases
de F . Soit u une application linéaire de E dans F et soit M = BF MatBE (u) = (ui,j ) la matrice de cette
application dans les bases BE et BF .
Proposition 2.10. On a
0
BF
MatBE0 (u) =
0 PB
BF
F
·
Démonstration. Soit x ∈ E et y = u(x). On a [y]BF0 =
0 PB
BF
F
·
BF
Mat BE (u) ·
0
BE PBE
BF
MatBE (u) ·
0
BF
0
BE PBE
MatBE0 (u) · [x]BE0 . De plus
· [x]BE0 =BF0 PBF ·
BF
MatBE (u) · [x]BE
=BF0 PBF · [y]BF
= [y]BF0
d’où le résultat.
Exemple 2.11. On reprend les notations

1 0

0
P
=
0 2
B B
0 1
de l’Exemple 2.8. On a


−1
1


0  et B0 PB = 0
1
0
− 21
1
2
− 21

1

0 .
1
On a donc
Mat B 0 (f ) =
B0 PB MatB (f )B PB0


1 − 21 1
1


1
= 0
0 0
2
1
1
0 −2 1


2
0
1
 5

3
= 2
− 21  .
2
− 32 12 − 21
7
−1
1
0

1 0
0

1 0 2
0 1
1

−1

0
1