TOPOLOGIE

UNIVERSIT´ E DE PROVENCE L2-S3- 2005-2006
TOPOLOGIE
1 Suites de nombres r´eels et complexes. Suites de Cauchy.
Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.
1.1 Ensemble des nombres r´eels
1.1.1 Structure de corps
On va partir de l’id´ee ”intuitive” des nombres r´eels. (R, +, .) est un corps commutatif. On rap-
pelle que l’ensemble des entiers naturels N, est stable pour les lois d’addition et de multiplication,
que l’ensemble des entiers relatifs Zest un sous-anneau, que l’ensemble des nombres rationnels
Q:= {p
q;p∈Z, q ∈N∗}est un sous-corps. On peut ´egalement d´efinir D:= {a 10n;a∈Z, n∈N}
ensemble des nombres d´ecimaux; ce sont les nombres r´eels dont la partie d´ecimale ne comporte
que des z´eros `a partir d’un certain rang; c’est aussi un sous-anneau. On peut d´emontrer que Q
est l’ensemble des nombres r´eels dont le d´eveloppement d´ecimal illimit´e est p´eriodique.
1.1.2 Rest ordonn´e
Relation d’ordre On peut d´efinir sur Rune relation ≤,v´erifiant les axiomes suivants:
O1− ∀x∈R, x ≤x, (r´eflexivit´e)
O2− ∀x, y ∈R, (x≤yet y≤x)⇒x=y, (antisym´etrie)
O3− ∀x, y, z ∈R, (x≤y, y ≤z)⇒x≤z, (transitivit´e).
≤est donc une relation d’ordre. De plus, elle v´erifie
∀x, y, z∈R , x ≤y⇒x+z≤y+z(compatibilit´e par rapport `a l’addition),
∀x, y ∈R, (0 ≤x, 0≤y)⇒0≤x.y,
∀x, y ∈R, on a soit x≤ysoit y≤x(tous les ´el´ements de Rsont comparables).
Rest donc un corps totalement ordonn´e.
Intervalles de ROn d´efinit la notion d’intervalle:
Soit a, b ∈Rtels que a≤b. On pose:
[a, b] = {x∈R;a≤x≤b}: intervalle ferm´e, born´e, appel´e aussi segment.
[a, +∞[= {x∈R;a < x }: intervalle ferm´e, non born´e,
]− ∞, b] = {x∈R;x≤b}: intervalle ferm´e, non born´e,
]a, b[= {x∈R;a < x < b}: intervalle ouvert,
]a, +∞[= {x∈R;a < x }: intervalle ouvert, non born´e,
]− ∞, b[= {x∈R;x < b }: intervalle ouvert, non born´e,
]a, b] = {x∈R;a < x ≤b}: intervalle semi ouvert,
[a, b[= {x∈R;a≤x < b}: intervalle semi ouvert,
]− ∞,+∞[= {x∈R}=R. : intervalle ouvert et ferm´e, non born´e.
On signale quelques notations:
R∗=R\{0}, R+= [0,+∞[, R∗
+=]0,+∞[.
1.1.3 Majorant, minorant, borne sup et borne inf d’un sous-ensemble de R.
D´efinition 1 Soit A⊂Rune partie non vide. Aest dite major´ee s’il existe M∈Rtel que
∀x∈A, x ≤M.
Un tel Mest appel´e majorant de A.
1

Soit A⊂Rune partie non vide. Aest dite minor´ee s’il existe m∈Rtel que:
∀x∈A, x ≥m.
Un tel mest appel´e minorant de A.
Exemples 1 1)-A=]a, b], est major´e et l’ensemble des majorants est [b, +∞[. A est aussi mi-
nor´e et l’ensemble de ses minorants est ]− ∞, a].
2)- Nest minor´e et l’ensemble de ses minorants est ]− ∞,0].
3)-Par contre, Nest un sous-ensemble non vide Rqui n’est pas major´e: pour tout x∈R, il
existe n∈Ntel que n > x.
4)-Zn’est ni minor´e ni major´e.
D´efinition 2 Soit Kun corps ordonn´e contenant Q. On dit que Kest archim´edien si pour tout
x∈K, il existe n∈Ntel que x < n.
Exemple : Rest archim´edien.
Th´eor`eme 1 (Admis) Propri´et´e de la borne sup´erieure
Toute partie Ade Rnon vide et major´ee admet un plus petit majorant. On l’appelle borne
sup´erieure de A, sup A.
Corollaire 1 Toute partie Ade Rnon vide et minor´ee admet un plus grand minorant. On
l’appelle borne inf´erieure de A, inf A.
D´emonstration: Soit A⊂R, A 6=∅et minor´ee. Soit mun minorant de A. On a ∀x∈
A, m ≤x. D´efinissons l’ensemble (−A):={−x∈R;x∈A}.
Cet ensemble est non vide et (−m) est un de ses majorants. De mˆeme si Mest un majorant
de A, alors (−M) est un minorant de (−A).Ainsi
Lemme 1 mminore (−A)si et ssi (−m)majore A.
Donc (−A) admet une borne sup´erieure. Montrons que
inf A=−sup(−A).
sup(−A) est un majorant de (−A) et donc, de ce qui pr´ec`ede, on d´eduit que ( −sup(−A)) est
un minorant de A. Par d´efinition, sup(−A) est le plus petit des majorants de (−A).Donc, pour
tout ε > 0,(sup(−A)−ε) n’est plus un majorant de (−A) et ainsi il existe aε∈(−A) tel que
sup(−A)−ε<aε.
Ceci est ´equivalent `a
−sup(−A) + ε > −aε.
Mais aε∈(−A)⇔ −aε∈A. Ainsi on vient de montrer que pour tout ε > 0,(−sup(−A) + ε)
n’est plus un minorant de (−A).Comme on a d´ej`a v´erifi´e que (−sup(−A)) est un minorant,
c’est donc le plus grand d’entre eux, c’est-`a-dire la borne inf de A:
inf(A) = −sup(−A).
Au passage, on a utilis´e une caract´erisation tr`es pratique de la borne sup (ou inf):
2

Th´eor`eme 2 Soit Aune partie non vide, major´ee de R. Soit Mun majorant de A. Les
propositions suivantes sont ´equivalentes:
i)-M= sup A.
ii)-∀ε > 0,∃aε∈A;
M−ε<aε≤M.
iii)-∀z∈R,z < M ⇒ ∃a∈A;z < a ≤M.
Soit Aune partie non vide, minor´ee de R. Soit mun minorant de A. Les propositions
suivantes sont ´equivalentes:
i)-m= inf A.
ii)-∀ε > 0,∃aε∈A;
m≤aε< m +ε.
iii)-∀z∈R,z > m ⇒ ∃a∈A;m≤a < z.
Ainsi la borne sup´erieure d’une partie Anon vide, major´ee de Rest l’unique majorant de
Aqui pour tout ε > 0peut ˆetre approch´e `a εpr`es par un ´el´ement de A. Idem pour la borne
inf´erieure.
En choisissant ε=1
n, n ∈N∗,on assure l’existence d’une suite (an)d’´el´ements de Aqui
v´erifie que pour tout n∈N∗
sup A−1
n< an≤sup A.
Ainsi il existe une suite (an)d’´el´ements de Aqui converge vers sup A.
Exemples 2 1)-A=]a, b],sup A=b, inf A=a, et an=a+(b−a)
n, n ∈N∗et bn=b−(b−a) n, n ≥
2,sont des suites de Aqui convergent respectivement vers inf Aet sup A.
2)-inf N= 0.
On remarquera que inf A /∈A, par contre sup A∈Aet de mˆeme inf N∈N.
D´efinition 3 Si sup A∈A, on le note max A, c’est l’´el´ement maximal de A. De mˆeme si
inf A∈Aon le note min A, c’est l’´el´ement minimal de A. En particulier, si Aadmet un
majorant M∈A, c’est sa borne sup (et donc son maximum). Idem, si Aadmet un minorant
m∈A, c’est sa borne inf (et donc son minimum).
Proposition 1 Toute partie non vide major´ee (respectivement minor´ee) de Zadmet un
´el´ement maximal (respectivement un plus petit ´el´ement, ´el´ement minimal).
D´emonstration: Soit A⊂Z,A6=∅et Amajor´ee. Alors Aadmet une borne sup´erieure,
sup A∈R. En choisissant ε= 1 dans le Th´eor`eme 2, on assure l’existence d’un ´el´ement a1∈A
tel que sup A−1< a1.Alors pour tout a∈A, on a a≤a1,car a>a1entraine a≥a1+ 1,et
donc a > sup A, ce qui est impossible. Donc a1est un majorant de Aqui appartient `a A. Donc
a1= max A.
Corollaire 2 Toute partie non vide de Nadmet un plus petit ´el´ement (un ´el´ement minimal).
1.1.4 Valeur absolue
D´efinition 4 L’application de Rdans R+d´efinie par
R→R+
x→ |x|:= max{x, −x}=(xsi x≥0
−xsi x < 0
,
est appel´ee valeur absolue. Elle v´erifie les trois propri´et´es suivantes: Soit x, y des nombres r´eels
quelconques:
3

P1|x|= 0 ⇔x= 0.
P2|x+y| ≤ |x|+|y|.
P3|x.y|=|x|.|y|.
De plus elle v´erifie :
Proposition 2 Pour tout x, y ∈Ret tout a∈R+,on a:
i)-|x| ≤ a⇔ −a≤x≤a.
ii)-|x| ≥ a⇔a≤xou x≤ −a.
iii)-|x|−|y|≤ |x−y|. On a de mˆeme |x|−|y|≤ |x+y|.
D´emonstration : en exercice `a partir de la d´efinition de la valeur absolue.
1.1.5 Partie enti`ere d’un nombre r´eel
Th´eor`eme 3 Etant donn´e un nombre r´eel x, il existe n∈Z,unique tel que
n≤x < n + 1.
Ce nombre s’appelle partie enti`ere de x. On le note E(x)ou [x].On d´efinit ainsi une application
de Rdans Zappel´ee partie enti`ere. Par construction, elle est croissante.
D´emonstration: L’ensemble ] − ∞, x]∩Zest non vide (par la propri´et´e d’Archim`ede),
major´e et inclus dans Z. Il admet donc un ´el´ement maximal, n, qui est unique. Donc E(x) =
max{n∈Z, n ≤x}.
Exercices
1)-Soient x, y ∈R, montrer que:
0≤E(x+y)−E(x)−E(y)≤1.
Correction:
∀x, y ∈R, on a:
E(x)≤x, E(y)≤y.
Donc, en sommant membre `a membre:
E(x) + E(y)≤x+y.
Comme le fonction Eest croissante, on en d´eduit:
E(E(x) + E(y)) ≤E(x+y).
Mais, pour tout p∈Z, on a E(p) = p. Donc, E(E(x) + E(y)) = E(x) + E(y).D’o`u l’in´egalit´e
de gauche.
Par ailleurs, on a
x < E(x)+1⇒x+y < E(x) + y+ 1 ⇒E(x+y)≤E(E(x) + y+ 1) ≤E(x) + y+ 1.
D’o`u:
E(x+y)−E(x)−1≤y.
Et donc,
E(E(x+y)−E(x)−1) ≤E(y).
Mais, E(E(x+y)−E(x)−1) = E(x+y)−E(x)−1.D’o`u la deuxi`eme in´egalit´e.
2)- Soit x∈Ret soit p∈N∗, montrer que:
E(x) + E(x+1
p) + ... +E(x+p−1 p) = E(px).
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Correction:
Pour tout k∈ {0, ..., p −1},on a:
x≤x+k
p≤x+ 1.
Donc il existe m∈ {0, ..., p −1}tel que:
k≤m⇒x+k
p< E(x)+1⇒E(x+k p) = E(x),
k > m ⇒x+k
p≥E(x)+1⇒E(x+k p) = E(x)+1.
Donc:
E(x) + E(x+1
p) + ... +E(x+p−1 p)=(m+ 1)E(x)+(p−m−1)(E(x) + 1)
=pE(x)+(p−m−1).
Mais, par la d´efinition de m, on a:
px +m < pE(x) + p,
px +m+ 1 ≥pE(x) + p.
Et donc:
pE(x) + p−m−1≤px < pE(x) + p−m.
Et donc
E(px) = pE(x)+(p−m−1).
Et donc:
E(x) + E(x+1
p) + ... +E(x+p−1 p) = E(px).
3)-Soit x∈Ret p∈N∗, montrer que:
E(E(px)
p) = E(x).
1.1.6 Approximation des nombres r´eels par des nombres rationnels
Densit´e de Qdans R.
Th´eor`eme 4 Tout nombre r´eel peut ˆetre approch´e `a εpr`es par un nombre rationnel.
D´emonstration: Soit x∈Ret ε > 0,quelconques. Soit n∈N, comme nx ∈R, on a
E(nx)≤nx < E(nx)+1.
Et donc, en divisant par n:
E(nx)
n≤x < E(nx) n+1 n.
Et donc en choisissant ntel 1
n≤ε(donc par exemple n=E(1 ε) + 1), on obtient:
E(nx)
n≤x < E(nx) n+ε.
Comme E(nx)∈Net n∈N∗,E(nx)
n∈Q.
Corollaire 3 Entre deux nombres r´eels distincts existe toujours un nombre rationnel.
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