corrige

1080 2
540 2
270 2
135 3
45 3
15 3
5 5
1
720 2
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
CORRIGE du DM 1
Exercice 1
1/ Décomposition des nombres 720 et 1080 en produit de facteurs premiers :
On obtient alors : 720 = et 1080= .
532 24 ×× 532 33 ××
2/ En utilisant le résultat cette décomposition , on a :
a/ 720 = 5125316532532 2424 =××=××=×× et
1080 = 53232 ××××
53322532532 223333 ××××=××=×× = 6 30 =
b/ Comme 720 = et 1080= , le diviseur commun le plus grand possible
532 24 ×× 532 33 ××
5323 ××
est , d’où PGCD(720 ;1080 ) = 2 = 360 .
532 23 ××
c/ On peut simplifier par le PGCD : 720
1080 = 2 3
2360 3360 = ×
×
.
3/ Application :
10,8 m = 1080 cm et 7,20 m= 720 cm . La dimension de la dalle carrée est égale à :
PGCD(720 ;1080 ) = 360 , soit 3,60 m de côté .
Le nombre de dalles suivant la largeur est 2
360
720 = et suivant la longueur est 3
360
1080 = .
Le nombre de dalles nécessaires est alors 32
×
, soit 6 dalles .
Exercice 2
() ()
(
)
() ( )
1/ S = 5,0
21 243
112
114113 2
23
−=
−
=
−
+−
=
−××
−×−×−×−× , donc S est un nombre décimal :
∈
S ID.
()() ()()
() ()
2/ S = 14
4
56
22 4883
212
224123 2
23
==
×
×+×
=
×−×
×−×−−×−× , donc S est un nombre entier naturel:
∈
S IN.
3/ S =
() ()
()
222
224223
222
224223 22
2
23
××
×−×
=
××
××−×× = 2423
24
28 −
=
−12 , donc S est réel :
∈
S IR.
4/ S =
() ()
()
1
1010
34
64212
3
2
2
2
342
3
4
102 104103 10102 1010410103
10102
1010410103
−−
−
−
−
×
×−×
=
××
××−××
=
××
××−×× = -5 ,
10
10×
∈
S .
5/ S =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
××−×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×
2
1
4
3
2
21 3
2
4
4
3
3
2
3
2
23
=
(
)
2
1
4
3
4
21
3
2
4
3
2
3
2
2
2
2
3
3
××−
−
××−× = 0
16
93
2
3
2
=
−
−, donc
∈
S IN.
Exercice 92 page 30 : On suppose que 2 est rationnel , c’est-à-dire : b
a
=2 avec b
a irréductible .
1/ En élevant au carré l’égalité précédente , on obtient : ()
2
2
2⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=b
a , soit 2
2
2b
a
= , par suite : a ² = 2b² .
2/ a/ Soit x = 2n un nombre entier pair , alors en élevant au carré : x² = ( 2n )² = 2²×n² = 4n² = 2
×
( 2n² ) =2k
avec k= 2n² un nombre entier naturel . Donc le carré d’un nombre pair est pair .
b/ Soit x = 2n + 1 un nombre entier impair , alors en élevant au carré :(x)² = ( 2n+1 )²= (2n)² +2
×
(2n )
×
1+ 1²
(x)² = 4n² +4n+1 = 2( 2n² + 2n) + 1 = 2k +1 avec k= 2n² + 2 n un nombre entier naturel . Comme x² s’écrit
sous forme de 2k+1 , alors x² est impair . Donc le carré d’un nombre impair est un nombre impair .
3/ On sait que a² = 2b² . Le nombre 2b² étant pair , alors a² est un nombre pair . On en déduit que soit le nombre a
est pair soit il est impair . Si a était impair , alors son carré serait impair ( d’après le résultat de la question 2/ ) ,
ce est impossible puisque le nombre a² est pair . Conclusion : le nombre entier a est donc pair .
4/ Comme a est pair , il peut s’écrire a= 2k . On remplace cette égalité dans la relation a² = 2b² , on obtient :
( 2k)² = 2b² ; en simplifiant on obtient b² = 2k² . En raisonnant de la même façon que la question 3/ , on
démontre que le nombre entier b est pair .
5/ On en déduit que les deux entiers a et b sont pairs , par suite ils sont multiples de 2 , donc la fraction b
a est
réductible , ce qui contredit l’hypothèse initiale qui est « a/b est irréductible » .Conclusion : Le nombre 2 n’est
pas rationnel , il est irrationnel : ∈2 IR .