1080 2 540 2 Exercice 1 270 2 1/ Décomposition des nombres 720 et 1080 en produit de facteurs premiers : 135 3 4 2 3 3 On obtient alors : 720 = 2 × 3 × 5 et 1080= 2 × 3 × 5 . 45 3 2/ En utilisant le résultat cette décomposition , on a : 15 3 4 2 4 2 5 5 a/ 720 = 2 × 3 × 5 = 2 × 3 × 5 = 16 × 3 × 5 = 12 5 et 1 3 3 3 3 2 2 1080 = 2 × 3 × 5 = 2 × 3 × 5 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3 × 2 × 3 × 5 = 6 30 720 360 180 90 45 15 5 1 CORRIGE du DM 1 2 2 2 2 3 3 5 b/ Comme 720 = 2 × 3 × 5 et 1080= 2 × 3 × 5 , le diviseur commun le plus grand possible est 2 3 × 3 2 × 5 , d’où PGCD(720 ;1080 ) = 2 3 × 3 2 × 5 = 360 . 1080 360 × 3 3 c/ On peut simplifier par le PGCD : = = . 720 360 × 2 2 3/ Application : 10,8 m = 1080 cm et 7,20 m= 720 cm . La dimension de la dalle carrée est égale à : PGCD(720 ;1080 ) = 360 , soit 3,60 m de côté . 720 1080 Le nombre de dalles suivant la largeur est = 2 et suivant la longueur est =3 . 360 360 Le nombre de dalles nécessaires est alors 2 × 3 , soit 6 dalles . Exercice 2 3 2 3 × (− 1) × 1 − 4 × (− 1) × (− 1) − 3 + 4 −1 1/ S = = = = −0,5 , donc S est un nombre décimal : S ∈ ID. 2 −2 2 2 × (1) × (− 1) 4 2 3 3 × (− 2 ) × (− 1) − 4 × (− 2 ) × (2 ) 3 2/ S = 3/ S = 2 × (− 1) × (2 ) 3× ( 2) × 3 2× ( ) 2 − 4× 2 × ( 2) × 2 ( 2) 2 2 ( 2 × 10 − 2 ) 2 × 10 3 3 × 8 + 8 × 4 56 = = 14 , donc S est un nombre entier naturel: S ∈ IN. 2× 2 4 2 = ( ) 3 × 10 4 × 10 −2 − 4 × 10 4 × 10 3 2 3 2 × 2 − 4× 2 2 2× 2× 2 2 = = 12 − 8 2 = 3 2 − 4 , donc S est réel : S ∈ IR. 4 2 2 3 × 1012 × 10 −2 − 4 × 10 4 × 10 6 3 × 1010 − 4 × 1010 = -5 × 1010 , S ∈ = −4 3 −1 2 × 10 × 10 2 × 10 . 2 2 ⎛ −1⎞ ⎛2⎞ 3 2 (− 1) 23 2 2 3× ⎜ ⎟ × − 4 × × ⎜ ⎟ 3× 3 − 4 × × 2 − 3 ⎝ 2 ⎠ = ⎝3⎠ 4 3 2 3 = 3 3 = 0 , donc S ∈ IN. 2 9 32 1 ⎛3⎞ ⎛ 1⎞ − − 4× 2 × 2×⎜ ⎟ ×⎜− ⎟ 16 2 4 ⎝4⎠ ⎝ 2⎠ 3 5/ S = = 2 3 4/ S = 2 3 2 a a avec irréductible . b b 2 2 a2 ⎛a⎞ 1/ En élevant au carré l’égalité précédente , on obtient : 2 = ⎜ ⎟ , soit 2 = 2 , par suite : a ² = 2b² . b ⎝b⎠ 2/ a/ Soit x = 2n un nombre entier pair , alors en élevant au carré : x² = ( 2n )² = 2² × n² = 4n² = 2 × ( 2n² ) =2k avec k= 2n² un nombre entier naturel . Donc le carré d’un nombre pair est pair . b/ Soit x = 2n + 1 un nombre entier impair , alors en élevant au carré :(x)² = ( 2n+1 )²= (2n)² +2 × (2n ) × 1+ 1² (x)² = 4n² +4n+1 = 2( 2n² + 2n) + 1 = 2k +1 avec k= 2n² + 2 n un nombre entier naturel . Comme x² s’écrit sous forme de 2k+1 , alors x² est impair . Donc le carré d’un nombre impair est un nombre impair . 3/ On sait que a² = 2b² . Le nombre 2b² étant pair , alors a² est un nombre pair . On en déduit que soit le nombre a est pair soit il est impair . Si a était impair , alors son carré serait impair ( d’après le résultat de la question 2/ ) , ce est impossible puisque le nombre a² est pair . Conclusion : le nombre entier a est donc pair . 4/ Comme a est pair , il peut s’écrire a= 2k . On remplace cette égalité dans la relation a² = 2b² , on obtient : ( 2k)² = 2b² ; en simplifiant on obtient b² = 2k² . En raisonnant de la même façon que la question 3/ , on démontre que le nombre entier b est pair . a 5/ On en déduit que les deux entiers a et b sont pairs , par suite ils sont multiples de 2 , donc la fraction est b réductible , ce qui contredit l’hypothèse initiale qui est « a/b est irréductible » .Conclusion : Le nombre 2 n’est pas rationnel , il est irrationnel : 2 ∈ IR . Exercice 92 page 30 : On suppose que 2 est rationnel , c’est-à-dire : ( ) 2=