CHAPITRE V Fractions Objectifs du Chapitre 1 Calculer la somme de deux fractions 2 Calculer le produit de deux fractions 3 Calculer le quotient de deux fractions Fiche 10 p 259 et Méthode 1 p 53 Fiche 9 p 259 et Méthode 2 p 53 Méthode 3 p 54 I. Introduction : les nombres rationnels Vous avez appris à calculer avec des fractions en 5ème. Mais pourquoi les mathématiciens utilisent-ils des fractions ? C’est parce que les fractions permettent de … a) Calculer plus facilement Nous avons vu au chapitre I qu’on pouvait permuter l’ordre des termes dans un calcul qui ne contenait que des additions ou des soustractions. Cela permet de calculer beaucoup plus vite. Ce sont les nombres relatifs qui nous ont permis de mettre au point cette technique. Il est légitime de vouloir développer le même style de calcul rapide pour les produits. Or on a vu dans le chapitre I, que lorsqu’un calcul comporte une division, on est obligé de l’effectuer dans l’ordre d’écriture. Comment peut-on se débarrasser des divisions ? Grâce aux fractions ! b) Ecrire simplement de nouveaux nombres La plupart des divisions « ne tombent pas juste », et nous sommes obligés d’écrire un résultat approximatif ( 1 ÷ 3 ≈ 0,33K ). Si ce résultat est approximatif, tout calcul s’en inspirant sera lui aussi approximatif, ce qui est très désagréable pour un mathématicien. Ces fameux nombres dont la division « ne tombe pas juste » sont appelés nombres rationnels. Grâce aux fractions, on peut les écrire sans approximation ( 1 ÷ 3 = 1 ). 3 II. Calcul fractionnaire : rappels de 5ème 1) Simplification d’une fraction Pour tout nombres relatifs a et b et k , avec b et k non nuls, a k×a = b k ×b 2) Comparaison de deux fractions a) Effectuer le calcul De tête, ou à la calculatrice si le calcul est compliqué, on peut effectuer la division et ainsi repérer aisément le plus grand résultat. b) Si les deux fractions ont même dénominateur L’ordre des fractions est le même que celui des numérateurs. c) Si les deux fractions ont même numérateur L’ordre des fractions est l’inverse de celui des dénominateurs. d) Comparaison à 1 Si le numérateur est supérieur au dénominateur, alors la fraction est supérieure à 1, et vice versa. Si de deux fractions, l’une est plus petite que 1, et l’autre plus grande, alors il est aisé de les comparer. Chapitre 5 : Fractions 1/2 4èmes Ozar Hatorah 2011-2012 3) Opérations entre fractions a) Addition de fractions de même dénominateur Pour tout nombres relatifs a c a+c + = b b b a , b , c avec b non nul, b) Multiplication de deux fractions quelconques Pour tout nombres relatifs a c a×c × = b d b×d a , b , c , d avec b et d non nuls, 4) Fractions et langue française Dans la vie de tous les jours, on utilise souvent les fractions : « les trois quarts des voitures roulent au diésel » ou encore : « une personne sur trois n’a pas voté à la dernière élection présidentielle ». En mathématiques, ces phrases se traduisent toujours par le produit de la fraction et du nombre. III. Techniques avancées 1) Addition de deux fractions quelconques Pour tout nombres relatifs a , b , c , d avec b et d non nuls, a c ad + bc + = b d b×d 2) Produit en croix Pour tout nombres relatifs a c Si = , alors a × d = b × c b d a , b , c , d avec b et d non nuls, et Si a × d = b × c , alors a c = b d 3) Inverse d’un nombre a) Définition de l’inverse On dit que deux nombres non nuls sont inverses l’un de l’autre lorsque leur produit vaut 1. b) Calcul efficace de l’inverse d’un nombre Pour tout nombres relatifs non nuls a et b , l’inverse de a est 1 a b , l’inverse de est a b a Remarques : Tous les nombres relatifs ont un inverse, excepté 0. Ne pas confondre inverse d’un nombre et opposé d’un nombre. c) Diviser revient à multiplier !! Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse i.e. : a 1 Pour tout nombres relatifs a , b , c , d avec b , c et d non nuls, =a× b b et a b =a×d c b c d *** Chapitre 5 : Fractions 2/2 4èmes Ozar Hatorah 2011-2012