Fonctions zêta de courbes projectives sur un corps fini et

Fonctions zˆeta de
courbes projectives
sur un corps fini
et cohomologie
Weil-´etale
Nicolas Mascot
M´emoire de Master 2
sous la direction de
Boas Erez
´
Ecole Normale Sup´erieure
Septembre 2010
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Table des mati`eres
Introduction 3
Remerciements 4
1 Le th´eor`eme de Riemann-Roch 5
1.1 Courbes .............................. 5
1.2 Diviseurs sur une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Le th´eor`eme de Riemann-Roch pour les courbes . . . . . . . . 20
1.4 Calcul du genre d’une courbe plane non singuli`ere . . . . . . . 24
2 Fonction zˆeta d’une courbe alg´ebrique sur un corps fini 27
2.1 Action du groupe de Galois sur les points . . . . . . . . . . . . 27
2.2 D´efinition des fonctions zˆeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Rationalit´e de la fonction zˆeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 L’´equation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 L’hypoth`ese de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 La cohomologie Weil-´etale 49
3.1 Cohomologie des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Topologies de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Suitesspectrales.......................... 65
3.4 La cohomologie ´etale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 La cohomologie Weil-´etale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.6 La conjecture de Lichtenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Perspectives 84
4.1 La cohomologie ´etale pour les corps de nombres . . . . . . . . 84
4.2 Valeur des fonctions zˆeta en s= 1/2............... 88
4.3 Valeurs de fonctions Lassoci´ees `a un revˆetement . . . . . . . 90
5 Annexe 99
5.1 Cohomologie des faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Faisceaux de diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 Dualit´edeSerre..........................110
R´ef´erences 116
2

Introduction
Le premier objet de ce m´emoire est l’´etude arithm´etique des courbes
alg´ebriques planes sur un corps fini. ` A une telle courbe est associ´ee une
fonction zˆeta, qui encode des informations sur son arithm´etique, et qui, `a
l’instar d’autres fonctions zˆeta, v´erifie des propri´et´es telles qu’une ´equation
fonctionnelle ou une “hypoth`ese de Riemann”. Le fait est que, contrairement
au cas des fonctions zˆeta de Dedekind relatives aux corps de nombres, on sait
d´emontrer l’hypoth`ese de Riemann pour les fonctions zˆeta de courbes sur les
corps finis ; ceci a de nombreuses cons´equences arithm´etiques, par exemple,
elle permet une d´emonstration imm´ediate du th´eor`eme de Hasse pour les
courbes elliptiques. Signalons qu’il est possible d’attacher une fonction zˆeta
`a une vari´et´e de dimension quelconque sur un corps fini, toutefois, par souci
de simplicit´e, nous n’´etudierons s´erieusement que le cas des courbes. Notons
que ceci ne nous ´eloigne nullement des fonctions zˆeta de Dedekind, puisque
l’anneaux des entiers d’un corps de nombre est lui aussi de dimension un.
Afin de mieux comprendre les fonctions zˆeta de Dedekind en vue de l’hy-
poth`ese de Riemann, il semble profitable d’´etudier davantage les fonctions
zˆeta de vari´et´es sur les corps finis, en raison de l’analogie qu’elles pr´esentent
avec elles. ` A cette fin, J.S. Milne a ´etabli dans [Mil80] une formule reliant
la valeur en z´ero de la fonction zˆeta d’une vari´et´e sur un corps fini `a une
sorte de caract´eristique d’Euler des espaces de cohomologie ´etale de ladite
vari´et´e. Toutefois, cette formule ne s’applique qu’aux vari´et´es projectives
non singuli`eres, et est de surcroˆıt fort peu naturelle. Ces inconv´enients ex-
pliquent l’int´erˆet des travaux de Stephen Lichtenbaum, publi´es dans [Lic05],
qui, grˆace `a l’introduction d’une cohomologie Weil-´etale, version l´eg`erement
modifi´ee de la cohomologie ´etale, r´eussissent `a aboutir `a une formule plus
naturelle, et surtout `a s’affranchir du cadre projectif non singulier, et mˆeme
`a se g´en´eraliser au cas des sch´emas de type fini sur Spec(Z) tels que les an-
neaux d’entiers de corps de nombres, comme [Lic09] le laisse entrevoir. Aussi,
apr`es avoir pr´esent´e la cohomologie Weil-´etale dans le cadre des vari´et´es sur
les corps finis, qui constitue le deuxi`eme objet de ce m´emoire, en ´evoquerons-
nous quelques applications r´ecentes et prometteuses.
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Remerciements
Je tiens `a remercier chaleureusement mon encadrant Boas Erez de m’avoir
´enorm´ement soutenu et de s’ˆetre montr´e si disponible, et aussi de m’avoir
donn´e goˆut `a la g´eom´etrie arithm´etique et de m’avoir initi´e au monde de la
recherche. Je remercie ´egalement Qizheng Yin de m’avoir pouss´e `a faire un
peu de g´eom´etrie.
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1 Le th´eor`eme de Riemann-Roch
L’objectif de cette premi`ere partie est l’´etablissement du th´eor`eme de
Riemann-Roch pour les courbes projectives. Ce th´eor`eme est extrˆemement
performant, et nous nous en rendrons bien compte lorsque nous l’utiliserons
`a de multiples reprises dans la partie suivante. Nous profitons ´egalement de
cette premi`ere partie pour introduire les objets g´eom´etriques sur lesquels nous
travaillerons, en essayant de combiner la simplicit´e de [Lor96] `a la puissance
de [Har77].
1.1 Courbes
Les objets qui nous int´eresseront par la suite, et auxquels nous appli-
querons les outils li´es `a la cohomologie des faisceaux que nous aurons en-
tretemps introduits, sont les courbes.
Fixons un corps de base k, ainsi qu’une clˆoture alg´ebrique ¯ kde celui-
ci. Une courbe affine plane sur kest le lieu Zfdes z´eros d’un polynˆome
f∈k[x, y] dans ¯ k2. On lui associe son anneau des fonctions r´eguli`eres Cf=
k[x, y]/(f), qui est donc un anneau noeth´erien de dimension 1. ` A une telle
courbe correspond un k-sch´ema affine, encore not´e Zf,
Zf= Spec(Cf).
Nous nous int´eresserons plus particuli`erement au cas o`u la courbe est
irr´eductible, c’est-`a-dire qu’elle n’est pas union d’autres courbes strictement
incluses dans elle ; il revient au mˆeme d’exiger que fsoit irr´eductible dans
k[x, y]. L’anneau Cfest alors int`egre, et on appelle corps des fonctions ra-
tionnelles son corps des fractions k(Zf) = Frac(Cf).
`
A un point P= (a, b)∈¯ k2de Zfcorrespond un point ferm´e de Zf,
c’est-`a-dire un id´eal premier non nul pPde Cf. On lui associe l’extension
finie k(P) = k(a, b)'Cf/pPde k, qui est d´efinie comme ´etant l’extension
engendr´ee par les coordonn´ees de Psur k.
La courbe Zfsera dite non singuli`ere si fet son gradient ne s’annulent
jamais simultan´ement sur ¯ k2.Zfest non singuli`ere si et seulement si l’anneau
Cfest int´egralement clos, c’est donc alors un anneau de Dedekind. Il est
´equivalent de dire que les localis´es (Cf)pde Cfen les points ferm´es p∈
Zf\{0}sont principaux, ce sont donc alors des anneaux de valuation discr`ete.
On note vpla valuation normalis´ee associ´ee ; c’est une valuation sur k(Zf),
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