TS 2016 Cours Ch12. Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle

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Ch12. Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle
1. Variable aléatoire continue, Loi à densité :
• Exemple :
Une puce électronique se déplace,dans le sens des aiguilles d’une montre, à vitesse constante sur les côtés du triangle
ABC rectangle en A, avec AC = 3, AB = 4 et BC = 5, .
Une panne se produit subitement et la puce s’arrête instantanément.
(a) Quelle est la probabilité pour que la puce s’arrête sur le côté [BC] ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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(b) Soit n entier naturel non nul. Les points M et N de [AB] et [AC] vérifient AM = AN =
1
.
n
. Quelle est la probabilité que la puce s’arrête sur la réunion des segments
[AM ] et [AN ] ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................................
. Que peut-on dire de cette probabilité lorsque n tend vers +∞ ? . . . . . . . .
C
b
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N
. Quelle probabilité attribuer à l’événement "la puce s’arrête sur le point
A" ? Expliquer.
A
b
b
b
M
b
B
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• De nouveaux univers, de nouvelles variables aléatoires :
Jusqu’à présent, une expérience aléatoire conduisait à un univers fini et une variable aléatoire X prenait un nombre fini
de valeurs. On parle alors de variables aléatoires discrètes.
Mais il arrive que les issues d’une expérience aléatoire ou les valeurs prises par une variable aléatoire X soient n’importe
quel nombre réel d’un intervalle I de R. On parle alors de variable aléatoire continue.
• De nouvelles loi de probabilité : Loi de probabilité continue, Loi à densité :
Lorsqu’une variable aléatoire X,Pest discrète la loi de probabilité est donnée par l’ensemble des valeurs P (X = xi ).
P (X = xi )
Dans ce cas P (a ≤ X ≤ b) =
xi ∈[a;b]
Lorsqu’une variable aléatoire X, est continue à valeurs les réels d’un intervalle I de R, sa loi de probabilité, dite continue
n’est plus associée à la probabilité de chacune des valeurs.
En effet P (X = a) = 0 pour tout a ∈ I.
On caractérise la loi de probabilité de X, par la probabilité P (X ∈ [a; b]) pour tout intervalle [a; b] inclus dans I.
C’est par le calcul d’aire sous la courbe d’une fonction propre à chaque loi de probabilité continue,
appelée fonction de densité que se font les calculs de probabilité. On dit dans ce cas que la variable aléatoire continue X
suit une loi de probabilité continue, ou encore une loi à densité.
• Définition : Une fonction de densité est une fonction définie sur un intervalle I de R, continue, positive sur I et dont
l’aire totale sous la courbe vaut 1.
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Exemple : Montrer que la fonction f définie sur [1; 3] par f (x) = − (x − 2)2 + est une fonction de densité.
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Exemple de Fonction de Densité f (x) = − (x − 2)2 +
4
4
Exemple de Fonction de Probabilité
d’une variable aléatoire X discrète :
d’une variable aléatoire X continue sur [1; 3]
0.4
0.7
0.6
0.2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.1
Alors
P (2 ≤ X ≤ 3) = P (X = 2) + P (X = 2, 5) + P (X = 3)
−0.5
−0.1
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Alors
R 2,7
P (1, 3 ≤ X ≤ 2, 7) = 1,3 f (t)dt = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et P (1 ≤ X ≤ 3) = 1
E(X) = 1×0, 25+1, 5×0, 2+2×0, 1+2, 5×0, 3+3×0, 15
et P (1 ≤ X ≤ 3) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Espérance, Variance, Écart type d’une loi de probabilité continue :
Espérance d’une variable aléatoire discrète E(X) =
P
xi P (X = xi ).
Espérance d’une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur un intervalle [a; b] de R : E(X) =
Rb
a
xf (x)dx
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire, est la valeur moyenne que l’on peut espérer obtenir, si on répète un
grand nombre de fois l’expérience.
Variance d’une variable aléatoire discrète V (X) =
P
P
2
(xi − E(X))2 P (X = xi ) = x2i P (X = xi ) − [E(X)] .
Variance d’une variable aléatoire continue de fonction de densité f sur un intervalle [a; b] de R :
Rb
2
V (X) = a x2 f (x)dx − [E(X)]
Dans les deux cas discret et continu, l’écart type est σ =
√
V
La variance d’une variable aléatoire, est la moyenne des carrés des écarts entre chaque valeurs prises et E(X), si on répète
un grand nombre de fois l’expérience.
• Fonction de Répartition :
Soit X une variable aléatoire discrète de loi de probabilité P (X = xi ), où les xi sont les valeurs prises par X.
On appelle Fonction de répartition de X, les valeurs P (X ≤ xi ).
Soit X une variable aléatoire continue sur un intervalle [a; b] de R, de fonction de densité f .
Rt
On appelle Fonction de Répartition de X, F (t) = P (X ≤ t) = a f (x)dx pour t ∈ [a; b].
La fonction de Répartition F d’une fonction de densité f définie sur [a; b] est la primitive de f telle que F (a) = 0.
• Dans le cas d’une variable aléatoires continue sur un intervalle [a; b], il faut connaître sa fonction de densité f pour le
calcul de probabilités. Nous traiterons dans ce chapitre le cas de deux lois à densité de référence : Loi Uniforme et Lois
exponentielles.
• Remarque : Certaine loi à densité sont définies sur [a; b], d’autre sur ] − ∞; a] d’autre sur [b; +∞[ d’autre encore sur R.
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2. Loi Uniforme sur un intervalle [a; b], U [a; b] :
• Définition : Une variable aléatoire continue X, suit uneloi uniforme sur un intervalle [a; b] de R, notée U [a; b] lorsque
f (x) = 1 constante, si x ∈ [a; b]
b−a
. sa fonction de densité est la fonction f définie par
f (x) = 0 sinon
Rv 1
v−u
. pour tout intervalle [u; v] ⊂ [a; b], P (u ≤ X ≤ v) = u
dx =
b−a
b−a
• Représentation graphique :
Densité de probabilité
1
sur [a; b]
f (t) =
b−a
Fonction de Répartition
F (x) = P (X ≤ x)
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
1
×
b − a0.2
0.2
×
1
×
a
×
×
a
b
×
b
02
• Propriétés : Soit X une variable aléatoire de loi U [a; b] de fonction de densité f , ALORS :
. P (a ≤ X ≤ b) = P (X ∈ [a; b]) = 1
. Pour tout x ∈ [a; b], P (X = x) = 0
Rb
Rb
. L’espérance de X est E(X) = a xf (x)dx = a
a+b
x
dx =
b−a
2
Preuve :
. ...................................................................................................................
. ...................................................................................................................
. ...................................................................................................................
• Calculer σ(X) pour la loi uniforme U [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................................................................................
• La représentation graphique ci-dessus, représente la loi uniforme U [2; 6]. Calculer P (2, 5 ≤ X ≤ 4, 5) puis E(X).
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• Applications : Fiche exercices.
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3. Loi Exponentielle de paramètre λ > 0, E (λ) :
• Définition : Une variable aléatoire continue X, suit une(loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0, notée E (λ) lorsque
f (x) = λe−λx si x ∈ [0; +∞[
. sa fonction de densité est la fonction f définie par
f (x) = 0 sinon
b
Rb
. pour tout réels a et b, avec 0 ≤ a < b, P (a ≤ X ≤ b) = a λe−λx dx = −e−λx a = e−λa − e−λb
• Remarques
. Pour tout x réel P (X = x) = 0
. Pour tout x ≥ 0 P (X ≤ x) =
Rx
0
x
λe−λx dx = −e−λx 0 = 1 − e−λx
. P (X ≥ 0) = P (X ∈ [0; +∞[) = lim P (X ≤ x) = 1
x→+∞
R +∞
On note 0 f (x)dx = 1
• Représentation graphique :
Fonction de Répartition
F (x) = P (X ≤ x) = 1 − e−λx si x ≥ 0
Densité de probabilité
f (t) = λe−λt sur [0; +∞[
1.0
1.0
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
• Propriété Durée de vie sans vieillissement :
Soit X variable aléatoire de loi exponentielle E (λ), Alors
Pour tout réels t et h positifs, PX≥t (X ≥ t + h) = P (X ≥ h)
Preuve : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................................................................................
.......................................................................................................................
• Propriété (ROC) :
E(X) =
1
λ
1
Preuve : Montrer que la fonction G définie sur R par G(t) = − t +
e−λt a pour dérivée g(t) = tf (t) = tλe−λt
λ
.......................................................................................................................
Exprimer alors
Rx
0
tf (t)dt, puis déterminer
R +∞
0
tf (t)dt
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.......................................................................................................................
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• Applications : Fiche exercices.
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