TS 2016 Cours Ch12. Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle

TS 2016 Cours Ch12. Loi à Densité, Loi Uniforme, Loi Exponentielle
1. Variable aléatoire continue, Loi à densité :
•Exemple :
Une puce électronique se déplace,dans le sens des aiguilles d’une montre, à vitesse constante sur les côtés du triangle
ABC rectangle en A, avec AC = 3, AB = 4 et BC = 5, .
Une panne se produit subitement et la puce s’arrête instantanément.
(a) Quelle est la probabilité pour que la puce s’arrête sur le côté [BC]?................................................
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(b) Soit nentier naturel non nul. Les points Met Nde [AB] et [AC] vérifient AM =AN =1
n.
. Quelle est la probabilité que la puce s’arrête sur la réunion des segments
[AM] et [AN]?........................................................
.......................................................................
. Que peut-on dire de cette probabilité lorsque ntend vers +∞? ........
.......................................................................
. Quelle probabilité attribuer à l’événement "la puce s’arrête sur le point
A" ? Expliquer.
.......................................................................
.......................................................................
A B
C
M
N
•De nouveaux univers, de nouvelles variables aléatoires :
Jusqu’à présent, une expérience aléatoire conduisait à un univers fini et une variable aléatoire Xprenait un nombre fini
de valeurs. On parle alors de variables aléatoires discrètes.
Mais il arrive que les issues d’une expérience aléatoire ou les valeurs prises par une variable aléatoire Xsoient n’importe
quel nombre réel d’un intervalle Ide R. On parle alors de variable aléatoire continue.
•De nouvelles loi de probabilité : Loi de probabilité continue, Loi à densité :
Lorsqu’une variable aléatoire X, est discrète la loi de probabilité est donnée par l’ensemble des valeurs P(X=xi).
Dans ce cas P(a≤X≤b) = P
xi∈[a;b]
P(X=xi)
Lorsqu’une variable aléatoire X, est continue à valeurs les réels d’un intervalle Ide R, sa loi de probabilité, dite continue
n’est plus associée à la probabilité de chacune des valeurs.
En effet P(X=a) = 0 pour tout a∈I.
On caractérise la loi de probabilité de X, par la probabilité P(X∈[a;b]) pour tout intervalle [a;b] inclus dans I.
C’est par le calcul d’aire sous la courbe d’une fonction propre à chaque loi de probabilité continue,
appelée fonction de densité que se font les calculs de probabilité. On dit dans ce cas que la variable aléatoire continue X
suit une loi de probabilité continue, ou encore une loi à densité.
•Définition : Une fonction de densité est une fonction définie sur un intervalle Ide R, continue, positive sur Iet dont
l’aire totale sous la courbe vaut 1.
Exemple : Montrer que la fonction fdéfinie sur [1; 3] par f(x) = −3
4(x−2)2+3 4est une fonction de densité.
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Exemple de Fonction de Probabilité
d’une variable aléatoire Xdiscrète :
0.2
0.4
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Alors
P(2 ≤X≤3) = P(X= 2) + P(X= 2,5) + P(X= 3)
et P(1 ≤X≤3) = 1
E(X) = 1×0,25+1,5×0,2+2×0,1+2,5×0,3+3×0,15
Exemple de Fonction de Densité f(x) = −3
4(x−2)2+3 4
d’une variable aléatoire Xcontinue sur [1; 3]
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
−0.10.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0−0.5
Alors
P(1,3≤X≤2,7) = R2,7
1,3f(t)dt =.......................
et P(1 ≤X≤3)=......................................
•Espérance, Variance, Écart type d’une loi de probabilité continue :
Espérance d’une variable aléatoire discrète E(X) = PxiP(X=xi).
Espérance d’une variable aléatoire continue de fonction de densité fsur un intervalle [a;b] de R:E(X) = Rb
axf(x)dx
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire, est la valeur moyenne que l’on peut espérer obtenir, si on répète un
grand nombre de fois l’expérience.
Variance d’une variable aléatoire discrète V(X) = P(xi−E(X))2P(X=xi) = Px2
iP(X=xi)−[E(X)]2.
Variance d’une variable aléatoire continue de fonction de densité fsur un intervalle [a;b] de R:
V(X) = Rb
ax2f(x)dx −[E(X)]2
Dans les deux cas discret et continu, l’écart type est σ=√V
La variance d’une variable aléatoire, est la moyenne des carrés des écarts entre chaque valeurs prises et E(X), si on répète
un grand nombre de fois l’expérience.
•Fonction de Répartition :
Soit Xune variable aléatoire discrète de loi de probabilité P(X=xi), où les xisont les valeurs prises par X.
On appelle Fonction de répartition de X, les valeurs P(X≤xi).
Soit Xune variable aléatoire continue sur un intervalle [a;b] de R, de fonction de densité f.
On appelle Fonction de Répartition de X,F(t) = P(X≤t) = Rt
af(x)dx pour t∈[a;b].
La fonction de Répartition Fd’une fonction de densité fdéfinie sur [a;b] est la primitive de ftelle que F(a) = 0.
•Dans le cas d’une variable aléatoires continue sur un intervalle [a;b], il faut connaître sa fonction de densité fpour le
calcul de probabilités. Nous traiterons dans ce chapitre le cas de deux lois à densité de référence : Loi Uniforme et Lois
exponentielles.
•Remarque : Certaine loi à densité sont définies sur [a;b], d’autre sur ] − ∞;a] d’autre sur [b; +∞[ d’autre encore sur R.
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2. Loi Uniforme sur un intervalle [a;b],U[a;b] :
•Définition : Une variable aléatoire continue X, suit une loi uniforme sur un intervalle [a;b] de R, notée U[a;b] lorsque
. sa fonction de densité est la fonction fdéfinie par 
f(x) = 1
b−aconstante, si x∈[a;b]
f(x) = 0 sinon
. pour tout intervalle [u;v]⊂[a;b], P(u≤X≤v) = Rv
u
1
b−adx =v−u b−a
•Représentation graphique :
Densité de probabilité
f(t) = 1
b−asur [a;b]
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ab
1
b−a×
× ××
1
Fonction de Répartition
F(x) = P(X≤x)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 2
ab
× ×
•Propriétés : Soit Xune variable aléatoire de loi U[a;b] de fonction de densité f, ALORS :
.P(a≤X≤b) = P(X∈[a;b]) = 1
. Pour tout x∈[a;b], P(X=x) = 0
. L’espérance de Xest E(X) = Rb
axf(x)dx =Rb
a
x
b−adx =a+b 2
Preuve :
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•Calculer σ(X) pour la loi uniforme U[a;b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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•La représentation graphique ci-dessus, représente la loi uniforme U[2; 6]. Calculer P(2,5≤X≤4,5) puis E(X).
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•Applications : Fiche exercices.
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3. Loi Exponentielle de paramètre λ > 0,E(λ) :
•Définition : Une variable aléatoire continue X, suit une loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0, notée E(λ) lorsque
. sa fonction de densité est la fonction fdéfinie par (f(x) = λe−λx si x∈[0; +∞[
f(x) = 0 sinon
. pour tout réels aet b, avec 0 ≤a < b,P(a≤X≤b) = Rb
aλe−λxdx =−e−λxb
a=e−λa −e−λb
•Remarques
. Pour tout xréel P(X=x) = 0
. Pour tout x≥0P(X≤x) = Rx
0λe−λxdx =−e−λxx
0= 1 −e−λx
.P(X≥0) = P(X∈[0; +∞[) = lim
x→+∞P(X≤x) = 1
On note R+∞
0f(x)dx = 1
•Représentation graphique :
Densité de probabilité
f(t) = λe−λt sur [0; +∞[
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5
Fonction de Répartition
F(x) = P(X≤x) = 1 −e−λx si x≥0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5
•Propriété Durée de vie sans vieillissement :
Soit Xvariable aléatoire de loi exponentielle E(λ), Alors
Pour tout réels tet hpositifs, PX≥t(X≥t+h) = P(X≥h)
Preuve : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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•Propriété (ROC) :E(X) = 1
λ
Preuve : Montrer que la fonction Gdéfinie sur Rpar G(t) = −t+1
λe−λt a pour dérivée g(t) = tf(t) = tλe−λt
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Exprimer alors Rx
0tf(t)dt, puis déterminer R+∞ 0tf(t)dt
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•Applications : Fiche exercices.
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