CONTINUITE, DERIVATION et ETUDE DE FONCTIONS. 1°) Etude

CONTINUITE, DERIVATION et ETUDE DE FONCTIONS.
1°) Etude de la fonction partie entière.
3 ≤ 3,4 < 4 on dit que 3 est la partie entière de 3,4, on écrit E(3,4) = 3.
-4 ≤ -3,9 < -3 on écrit E(-3,9) = -4.
5 ≤ 5 < 6 on écrit E(5) = 5.
Déf : Pour tout réel x, il existe un unique entier n de ZZ tel que n ≤ x < n +1, n est le plus grand entier relatif
inférieur ou égal à x ; cet entier n est appelé partie entière de x et est noté E(x).
représentation graphique : (
(
(
(
(
Pour dessiner la représentation graphique, "il faut lever le crayon" aux points d'abscisse entière.
lim
x → 2 , x > 2 E(x) = 2 mais lim x → 2 , x < 2 E(x) = 1 ≠ E(2).
2°) Continuité.
a) Définitions.
Déf : Soit la fonction définie sur une fonction définie dans un intervalle I et a un point de I.
On dit que la fonction définie sur I est continue en a si et seulement si lim
x → a f (x) = f (a).
Sinon on dit que f est discontinue en a.
exemple : la fonction partie entière est continue en tous les points d'abscisse non entière et discontinue aux points
d'abscisse entière.
la fonction x → x est continue sur IR.
remarque : f est continue en a si et seulement si (en posant x = a + h) lim
h → 0 f (a + h) = f (a).
Déf : f est continue sur l'intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de l'intervalle I.
On peut alors tracer la représentation graphique de f sur I "sans lever le crayon".
b) Continuité et opérations
Th : f et g sont deux fonctions définies dans un intervalle I et a un point de I.
Si f et g sont continues en a, alors :
f + g est continue en a ;
pour tout réel k, k f est continue en a;
f g est continue en a ;
si g(a) ≠ 0 , f
g est continue en a.
Corollaires : Si f et g sont continues sur un intervalle I, alors
f + g , k f ( k réel) , f g sont continues sur I ;
si g ne s'annule pas sur I , f
g est continue sur I.
x → x n (n ∈ IN*) est continue sur IR.
Les fonctions polynômes sont continues sur IR
Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.
E(1) = 1 se lit au point (1;1)
E(2) se lit au point (2,2), donc le point
(2,1) n'appartient pas à la représentation
graphique.
Sur l'intervalle [1 ; 2[, la fonction est
constante.
La fonction partie entière est croissante.
o i
j

Prop : la fonction x → x  est continue sur IR.
la fonction x → x est continue sur [0 ; + ∞[.
la fonction x → 1
x n est continue sur]- ∞ ; 0[ et sur ]0 ; + ∞[.
les fonctions x → cos x et x → sin x sont continues sur IR.
Th de composition: Soit f une fonction définie dans un intervalle I contenant a et g une fonction définie dans un
intervalle J contenant f (a).
Si f est continue en a et g est continue en f (a), alors g ° f est continue en a.
Corollaire : Si f est continue sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J où g est continue, alors g ° f est
continue sur I.
exemple f (x) = cos(3 x + 5)
2 x + 5 est définie sur ]0 ; + ∞[
x → x est continue sur ]0 ; + ∞[, donc x → 3 x + 5 est continue sur ]0 ; + ∞[.
la fonction cos est continue sur IR, donc la fonction composée cos( 3 x + 5) est continue sur [0 ; + ∞[.
la fonction x → 2 x + 5 est continue et ne s'annule pas sur IR+ , donc la fonction f est continue sur IR+.
Th : Si lim
x → a f (x) = l et si g est continue en l ,alors lim x → a (g ° f ) (x) = g(l).
Th : Si une suite (un) converge vers une limite l et si f est une fonction continue sur un intervalle I contenant l,
alors la suite (f (un)) converge vers f (l).
c)Résolution de l'équation f (x) = k.
Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant deux réels a et b.
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c de [a, b] tel que f (c) = k.
Corollaire : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I contenant deux réels a et b.
Si f (a) x f (b) < 0, alors l'équation f (x) = 0 admet une solution unique dans ]a ; b[.
f
est une fonction continue sur I.
k est un réel compris entre f (a) et f (b).
il y a au moins un point de la courbe d'ordonnée k
(ici, au maximum 3 )
o
A
B
a b
f(a)
f(b)
k
c1c2 c3
o
A
B
a b
f
(a)
f
(b)
k
c
1
corollaire 1
: Si
f
est une fonction continue et strictement monotone
sur [a ; b] , alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b),
l'équation f (x) = k admet une solution unique dans [a ; b].

corollaire (admis) : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, λ, µ les limites de f
aux bornes de I( λ et µ désignant des réels , + ∞ ou – ∞), alors pour tout réel k strictement compris entre λ et µ,
l'équation f (x) = k admet une solution unique dans I.
x -5 c1 2 c2 + ∞
f(x) + ∞ 8
4 4
-3
Th :Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ]a ;b[ (a et b étant des réels ou + ∞ ou
– ∞), alors pour tout réel k compris entre lim
x → a f (x) et lim x → b f (x), l'équation f (x) = k admet une solution unique
dans ]a ; b[.
3°) Dérivation.
a)Fonction dérivable. Nombre dérivé.
Déf : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a.
La fonction f est dérivable en a si et seulement si f (a + h) – f (a)
h a une limite finie L quand h tend vers 0 ( ce qui
revient à dire f (x) – f (a)
x – a a pour limite L quand x tend vers a.
Le nombre L est alors appelé nombre dérivé de f en a et est noté f ' (a).
Th : Si f est une fonction dérivable en a, alors elle est continue en a.
Interprétation cinématique
Si la position d'un mobile sur une droite est donnée en fonction du temps par y = f (t), alors f ' (a) est la vitesse instantanée
du mobile à l'instant a.
f (a + h) – f (a) est la distance parcourue entre les instants a et a + h, c'est-à-dire pendant une durée h.
f (a + h) – f (a)
h est donc la vitesse moyenne entre ces instants. lim
h → 0 f (a + h) – f (a)
h est la vitesse instantanée du mobile
à l'instant a.
b) Tangente à une courbe.
le coefficient directeur de la droite (AM) est yM – yA
xM – xA ,
c'est-à-dire f (a + h) – f (a)
h .
Si f est dérivable en a, ce coefficient directeur a une limite finie L
quand x tend vers a, c'est-à-dire quand M se rapproche de A.
La droite de coefficient directeur L et passant par A est appelée tangente
à la courbe en a.
Th : si f est dérivable en a, on appelle tangente à la courbe au point A(a ; f (a)), la droite passant par A et de
coefficient directeur f ' (a).
Une équation de cette tangente est alors y = f ' (a) (x – a) + f (a).
Si f n'est pas dérivable en a, mais est dérivable à droite en a
(respectivement à gauche), on dit que la courbe admet une demi-tangente
à droite (respectivement à gauche) en a.
par exemple f (x) = x + cos x en 0 (dessin ci-contre)
par exemple g(x) = x.
l'équation
f
(
x
) = 4 admet une solution
unique dans ]-5 ; 2] et une dans [2 ; + ∞[
o
o
A
a + h
M
m
a

Déf : Si f n'est pas dérivable en a mais si lim
h → 0 f (a + h) – f (a) h = + ∞ ou – ∞
on dit que la courbe admet une tangente verticale en A.
Soit f (x) = x sur [0 ; + ∞[
f (x) – f (0)
x – 0 = x – 0 x = x x = x
(x)² = 1x.
lim
x → 0 x = 0 et x >0 donc lim x → 0 f (x) – f (0)
x – 0 = + ∞ : la courbe admet une demi- tangente verticale en O.
f (x) – f (a)
x – a peut n'avoir aucune limite en a : il n'y a pas de tangente
par exemple f (x) = x sin ( 1
x )
c) développement limité (ou approximation affine locale).
Th : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a.
La fonction f est dérivable en a si et seulement si il existe une fonction ε telle que f (a + h) = f (a) + h f ' (a) + h ε (h)
avec lim
h → 0 ε(h) = 0.
f (a) + h f ' (a) + h ε (h) avec lim
h → 0 ε(h) = 0 est appelé le développement limité d'ordre 1 de f en a.
f (a) + h f ' (a) est appelé approximation affine de f (a + h ) pour h voisin de 0.
f (a) + h f ' (a) est l'ordonnée du point de la tangente, d'abscisse a + h.
on a approché l'ordonnée de M par celle de T, et plus h sera voisin de 0,
meilleure sera l'approximation.
En sciences physiques, on écrit ∆x = a + h – a = h.
∆f = f (a + h) – f (a) = h f ' (a) + h ε (h) = ∆x f ' (a) + ∆x ε (∆x).
et ∆ f ≈ ∆x x f ' (a) pour ∆x voisin de 0.
d) Fonction dérivée.
Déf : Soit E un intervalle ou une réunion d'intervalles. La fonction f est dérivable sur E si et seulement si f est
dérivable en tout réel a de E.
La fonction notée f ' ou df
dx définie sur E par x → f '(x) est appelée la fonction dérivée de f.
f (x) f '(x) ensemble de
dérivabilité
k 0 IR
x 1 IR
x n , n ∈ IN n x n – 1 IR
1
x – 1 x² ] – ∞ ; 0 [∪ ]0 ; + ∞[
x – n = 1
x n , n ∈ IN
– n
x n + 1 = - n x – n -1 ] – ∞ ; 0 [∪ ]0 ; + ∞[
x 1
2 x ]0 ; + ∞[
sin x cos x IR
cos x – sin x IR
tan x 1
cos ² x = 1 + tan² x
IR – { π
2 + k π }
pour la dérivée de x n avec n ∈ ZZ, on a n x n – 1 avec comme domaine de dérivabilité IR si n > 0 et IR* si n < 0.
o
x
o
o
A
a + h
M
m
a
T
h f '(a)

Déf : Soit une fonction f dérivable sur un ensemble E.
Si la fonction f ' est elle-même dérivable sur E, sa fonction dérivée est appelée dérivée seconde de f et est notée f ''
ou f ( 2).
e) Dérivées et opérations.
Th : si u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I:
la fonction u + v est dérivable sur I et ( u + v) ' = u ' + v '
la fonction k u est dérivable sur I et ( k u )' = k . u ' , k étant une constante réelle
la fonction u x v est dérivable sur I et ( u . v ) ' = u ' . v + u . v '
la fonction 1
u est dérivable sur I si u ne s'annule pas sur I et 
1
u ' = – u ' u ²
la fonction 
u
v est dérivable sur I si v ne s'annule pas sur I et 
u
v ' = u' v – u v ' v²
Corollaire : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle où elles sont définies.
exemple f (x) = 3 x – 4
x ² – 9 si x ≠ 3 et x ≠ -3
c'est de la forme u
v avec u = 3 x – 4 donc u' = 3
v = x ² – 9 donc v' = 2 x
f '(x) = u'v – u v'
v ² = 3 (x ² – 9) – (3 x – 4) x 2 x ( x ² – 9) ² = -3 x ² + 8 x – 27 (x ² – 9) ² si x ≠ 3 et x ≠ -3
Th : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un intervalle J avec u(I) ⊂ J.
Alors f = v ° u est dérivable sur I et, pour tout x de I : f '(x) = v' (u(x)) x u'(x).
Corollaire : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
pour tout n de IN, (u n)' = n un – 1 x u'
pour tout entier négatif et si u ne s'annule pas sur I, (u n)' = n un – 1 x u'
(sin u) ' = cos u x u'
(cos u) ' = - sin u x u'
si u est strictement positive alors u est dérivable et ( u) ' = u'
2 u.
exemple f (x) = 2 x ² – 8
f = u avec u = 2 x ² – 8.
u est dérivable sur IR et u' = 4 x et la fonction racine carrée est dérivable sur ]0 ; + ∞[.
u est positif si 2 ( x² – 4) > 0 c'est-à-dire si x ² > 4 donc si x ∈ ]- ∞ ; -2[ ∪ ]2 ; + ∞[ .
si x ∈ ]- ∞ ; -2[ ∪ ]2 ; + ∞[ , f ' (x) = u'
2 u = 4 x 2 2 x ² – 8 = 2 x 2 x ² – 8
attention f est définie en +2 et en –2, mais elle n'y est pas dérivable.
4°) Etude du sens de variation.
Th : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f est croissante sur I, alors, pour tout x de I, f ' (x) ≥ 0.
Si f est décroissante sur I, alors, pour tout x de I, f ' (x) ≤ 0.
Si f est constante sur I, alors, pour tout x de I, f ' (x) = 0.
Th : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si pour tout x de I, f '(x) = 0, alors f est constante sur I.
• Si pour tout x de I, f '(x) ≥ 0, alors f est croissante sur I.
• Si pour tout x de I, f '(x) ≤ 0, alors f est décroissante sur I.