Lycée Gustave Eiffel Année 2011

Lycée Gustave Eiffel Année 2011-2012
Mathématiques PTSI 2 Feuille n˚1
Trigonométrie
Exercice 1. Normalisation
Soit t∈R. Transformer les expressions suivantes sous la forme Acos(ωt +ϕ)avec
(A, ω)∈R+2et ϕ∈R:
1. cos(t) + √3 sin(t)
2. 3 cos(2t)−3 sin(2t)
3. cos(3t) + sin(3t)
4. √2 cos(2t)−√6 sin(t)
5. 2 cos(2πt)−√12 sin(2πt)
6. (2 −√3) cos t+π
3+ sin t+π 6
7. cos(t) + 2 sin(t)
8. cos(2t)−3 sin(2t)
Exercice 2. Équations trigonométriques
Résoudre les équations d’inconnue t∈Rsuivantes :
1. cos(t) = 1
2
2. sin(2t) = √2
2
3. cos t+π
3= cos(2t)
4. sin t+π
5= sin(3t)
5. cos(t) = sin(t)
6. cos(t) = sin(2t)
7. cos(t) + √3 sin(t) = √2
8. cos(3t) + sin(3t) = √2
2
9. 1 + cos(5t) + sin(5t)=0
10. √3 cos(t)−sin(t) = √2
11. √2 cos(2t)−√2 sin(2t) = cos(t)−
√3 sin(t)
Exercice 3. Calcul de cos π
12,sin π 12et tan π 12
1. En remarquant que π
12 =π 3−π 4, calculer cos π 12,sin π 12et tan π 12.
2. En utilisant les formules de duplication, retrouver cos π
12,sin π 12et
tan π
12.
Exercice 4. Demi-angle
Calculer le cosinus, le sinus et la tangente de : π
8,π 16 et π 24
Exercice 5. Une égalité
Soit a∈R. Vérifier l’égalité suivante : cos(6a) + 6 cos(4a) + 15 cos(2a) + 10
cos(5a) + 5 cos(3a) + 10 cos(a)= 2 cos(a)
Exercice 6. Polynômes trigonométriques
Soit a∈R. Écrire les expressions suivantes sous la forme d’un polynôme trigonomé-
trique.
1. cos(a) sin(2a)
2. sin(a) cos(2a)
3. cos(a) sin(2a)
4. sin(2a) cos(2a)
5. sin(3a) cos(2a)
6. cos(5a)
7. sin(4a)
Exercice 7. Linéarisation.
Soit x∈R. Linéariser les expressions suivantes :
1. sin3(x)
2. cos3(x)
3. sin(x) cos2(x)
4. cos(x) sin2(x)
5. sin4(x)
6. cos4(x)
7. sin2(x) cos3(x)
Exercice 8. Polynôme de Tchebichev
Soit n∈N. Montrer l’existence d’un polynôme Pntel que, si x∈R, alors :
cos(nx) = Pn(cos(x)).
Exercice 9. Équations
Soit x∈R. Résoudre les équations suivantes :
1. sin(3x) + sin(2x) + sin(x)=0
2. sin(3x)−sin(x)−4 cos(2x)=0
3. cos(3x) + cos(2x) + cos(x)=0
4. sin(3x)−2 sin(x)−cos(3x) = 0
Exercice 10. Détermination de cos π
5
1. (a) Résoudre l’équation d’inconnue a∈R:sin(5a)=0.
(b) Préciser les cinq solutions de cette équation dans [0, π[.
(c) Ordonner les cosinus de ces cinq solutions.
2. (a) Écrire sin(5a)sous la forme d’un polynôme trigonométrique de la forme
sin(a)P(cos(a)) où Pest un polynôme à coefficients réels.
(b) Déterminer les racines de P.
(c) Ordonner les racines de P.
3. En déduire cos π
5
1