Lycée Gustave Eiffel Année 2011

Lycée Gustave Eiffel
Mathématiques PTSI 2
Année 2011-2012
Feuille n˚1
Trigonométrie
Exercice 1. Normalisation
Exercice 6. Polynômes trigonométriques
Soit t ∈ R. Transformer les expressions suivantes sous la forme A cos(ωt + ϕ) avec
2
(A, ω) ∈ R+ et ϕ ∈ R :
√
√
1. cos(t) + 3 sin(t)
5. 2 cos(2πt) − 12 sin(2πt)
√
π
π
2. 3 cos(2t) − 3 sin(2t)
6. (2 − 3) cos t +
+ sin t +
3
6
3. cos(3t) + sin(3t)
7. cos(t) + 2 sin(t)
√
√
8. cos(2t) − 3 sin(2t)
4. 2 cos(2t) − 6 sin(t)
Soit a ∈ R. Écrire les expressions suivantes sous la forme d’un polynôme trigonométrique.
Exercice 7. Linéarisation.
Exercice 2. Équations trigonométriques
Soit x ∈ R. Linéariser les expressions suivantes :
1. cos(a) sin(2a)
2. sin(a) cos(2a)
3. cos(a) sin(2a)
1. sin3 (x)
2. cos3 (x)
3. sin(x) cos2 (x)
Résoudre les équations d’inconnue t ∈ R suivantes :
√
√
1
7. cos(t) + 3 sin(t) = 2
1. cos(t) =
2√
√
2
2
8. cos(3t) + sin(3t) =
2. sin(2t) =
2
2
π
9. 1 + cos(5t) + sin(5t) = 0
= cos(2t)
3. cos t +
3
√
√
π
10. 3 cos(t) − sin(t) = 2
4. sin t +
= sin(3t)
5
√
√
5. cos(t) = sin(t)
11. √2 cos(2t) − 2 sin(2t) = cos(t) −
6. cos(t) = sin(2t)
3 sin(t)
π
π
π
, sin
et tan
Exercice 3. Calcul de cos
12
12
12
π
π
π
π
π π
1. En remarquant que
= − , calculer cos
, sin
et tan
.
12
3
4
12
12 12
π
π
, sin
et
2. En utilisant les formules de duplication, retrouver cos
12
12
π
tan
.
12
Exercice 4. Demi-angle
π
π π
Calculer le cosinus, le sinus et la tangente de : ,
et
8 16
24
Exercice 5. Une égalité
cos(6a) + 6 cos(4a) + 15 cos(2a) + 10
Soit a ∈ R. Vérifier l’égalité suivante :
= 2 cos(a)
cos(5a) + 5 cos(3a) + 10 cos(a)
4. sin(2a) cos(2a)
5. sin(3a) cos(2a)
6. cos(5a)
4. cos(x) sin2 (x)
5. sin4 (x)
6. cos4 (x)
7. sin(4a)
7. sin2 (x) cos3 (x)
Exercice 8. Polynôme de Tchebichev
Soit n ∈ N. Montrer l’existence d’un polynôme Pn tel que, si x ∈ R, alors :
cos(nx) = Pn (cos(x)).
Exercice 9. Équations
Soit x ∈ R. Résoudre les équations suivantes :
1. sin(3x) + sin(2x) + sin(x) = 0
2. sin(3x) − sin(x) − 4 cos(2x) = 0
π
Exercice 10. Détermination de cos
5
3. cos(3x) + cos(2x) + cos(x) = 0
4. sin(3x) − 2 sin(x) − cos(3x) = 0
1. (a) Résoudre l’équation d’inconnue a ∈ R : sin(5a) = 0.
(b) Préciser les cinq solutions de cette équation dans [0, π[.
(c) Ordonner les cosinus de ces cinq solutions.
2. (a) Écrire sin(5a) sous la forme d’un polynôme trigonométrique de la forme
sin(a)P (cos(a)) où P est un polynôme à coefficients réels.
(b) Déterminer les racines de P .
1
(c) Ordonner les racines de P .
π
3. En déduire cos
5