Cours Logique Ensembles

Optimal Sup-Spé. Le n°1enSup-Spé
Logique, ensembles,
applications
Maths SUP - MPSI - Concours 2018
Fiche de cours
1. Logique élémentaire
Proposition. On appelle proposition mathématique, ou plus simplement proposition, un énoncé, qui peut être
vrai ou faux.
Définitions. Soient Aet Bdeux propositions.
—On appelle "non-A", et l’on note ¯ A,lapropositionsuivante:"LapropositionAest fausse."
—On appelle "Aet B"laproposition:"LapropositionAest vraie, et la proposition Best vraie."
—On appelle "Aou B"lapropositionsuivante:"LapropositionAest vraie, ou la proposition Best vraie".
Remarque
En logique, le "ou" n’est pas exclusif. Ainsi "Aou B"incluttrèsexactementtroiscas:lecasoùAest vraie et
Best fausse ; le cas où Best vraie et Aest fausse ; et enfin le cas où les deux propositions Aet Bsont vraies.
Implication, équivalence
—On dit que Aimplique B,etonnoteAñB,lorsquelapropositionsuivanteestvérifiée:"siAest vraie, alors
Best vraie".
—On dit que les propositions Aet Bsont équivalentes, et on note AôB,lorsquelapropositionsuivanteest
vérifiée : "la proposition Aest vraie si, et seulement si, la proposition Best vraie". Aet Bsont équivalentes si,
et seulement si, les deux implications AñBet BñAsont toutes les deux vraies.
Négation
—La négation de "Aet B"est:"non-A"ou"non-B". Comme rappelé ci-dessus, ce "ou" n’est pas exclusif.
—La négation de "Aou B"est:"non-A"et"non-B".
Contraposée, réciproque. Considérons une implication AñBqui soit vraie. Il ne faut pas confondre la
contraposée de cette implication avec sa réciproque :
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-Concours 2018 2
—La réciproque de pAñBqest : pBñAq.Laréciproqued’uneimplicationn’estpastoujoursvraie.
—La contraposée de pAñBqest : `¯ Bñ¯ A˘,ou,enfrançais:"non-B"implique"non-A". La contraposée d’une
implication est toujours vraie !
Point méthode
Pour établir une implication pAñB), on peut supposer que Aest vraie, et montrer qu’alors Best vraie, mais
on peut tout aussi bien supposer que Best fausse ( ¯ B), et montrer qu’alors Aest à son tour fausse ( ¯ A). Pour
plus de précisions, voir la Fiche méthodologique du chapitre Préliminaires.
Distributivité du "et" sur le "ou" et réciproquement. Soient A,Bet Ctrois propositions.
—pAou pBet Cqq ô ppAou Bqet pAou Cqq.
—pAet pBou Cqq ô ppAet Bqou pAet Cqq.
2. Ensembles
Ensemble, élément. On appelle ensemble, toute collection d’objets. Chacun de ces objets est alors appelé un
élément de cet ensemble. Lorsqu’un objet xest élément d’un ensemble E,onditquexappartient à E,etl’onnote:
xPE.
Quantificateurs.
—On note @le quantificateur universel "pour tout".
—On note Dle quantificateur existentiel "il existe".
Remarque
Les quantificateurs s’emploient exclusivement dans les phrases rédigées en langage mathématique. Leur emploi
dans les phrases rédigées en français est exclu. Ainsi, on pourra écrire : "@xPR,x
2PR`", ou bien "pour tout
nombre réel x,lecarrédexest positif", mais pas : "@xPR,x
2est positif". Dit autrement, on ne doit pas
mélanger une phrase rédigée en français et une phrase écrite en langage mathématique.
Négation d’une assertion quantifiée
—La négation de "pour tout xappartenant à E,lapropositionPpxqest vraie est : "il existe xappartenant à E
tel que Ppxqsoit fausse.
—La négation de "il existe xappartenant à Etel que la proposition Ppxqsoit vraie est : "pour tout xappartenant
àE,lapropositionPpxqest fausse.
Inclusion. Soient Eet Fdeux ensembles. On dit que Fest inclus dans E,etl’onnoteFÄE,sitousleséléments
de Fsont éléments de E,i.e.si:@xPF, x PE.
Partie, sous-ensemble. On dit que Fest une partie de E, ou un sous-ensemble de E,siFest inclus dans E.
Notation PpEq.Soit Eun ensemble. On note PpEq,l’ensembledespartiesdeE.
Complémentaire. Soient Eun ensemble et Fune partie de E.OnappellecomplémentairedeFdans E,etl’on
note ¯ F,l’ensembledesélémentsappartenantàEet n’appartenant pas à F.
Réunion, Intersection de deux ensembles. Soient Aet Bdeux ensembles.
—On appelle "Aunion B", et on note AYB,l’ensembledesélémentsappartenantàAou à B.Rappel:en
logique, le "ou" n’est pas exclusif.
—Soient Aet Bdeux ensembles. On appelle "Ainter B", et on note AXB,l’ensembledesélémentsappartenant
àAet à B.
Généralisation à un nombre fini d’ensembles. Soient nPN˚et pA1,A
2,...,A nqune famille d’ensembles.

3-Concours 2018
—On appelle "réunion des ensembles A1,...A
n", et on note
n
î
i“1
Ai,l’ensembledesélémentsappartenantàau
moins un des ensembles A1,...,A
n.
—On appelle "intersection des ensembles A1,...A
n", et on note
n
ì
i“1
Ai,l’ensembledesélémentsappartenantà
chacun des ensembles A1,...,A
n.
Lois de Morgan.Soient nPN˚et pA1,A
2,...,A nqune famille d’ensembles.
—
n
î
i“1
Ai“
n
ì
i“1
Ai.
—
n
ì
i“1
Ai“
n
î
i“1
Ai.
Couple, p-liste
—On appelle couple, une série de deux éléments ordonnés. Si aet bsont deux éléments, on note pa, bqle couple
d’éléments formé de apuis bdans cet ordre. On a : pa, bq‰pb, aq.
—On appelle p-liste, une série de péléments de Eordonnés. Si x1,x
2,...x psont péléments, on note px1,x 2,...,x nq
la p-liste formée de x1,x2... et xpdans cet ordre.
Produit cartésien. Soient EetFdeux ensembles. On note EˆF,l’ensembledescouplesd’élémentspx, yq,où
xPEet yPF.
Plus généralement, on note E1ˆE2ˆ...ˆEp,l’ensembledesp-listes (ou p-uplets) d’éléments px1,x
2,...,x pq,où
pour tout iPrr1,pss ,xiPEi.
Si tous les ensembles Eisont en fait le même ensemble E,onnoteEpl’ensemble E1ˆE2ˆ...ˆEp.Unélément
de Epest appelé une p-liste d’éléments de E.
3. Applications, injections, surjections, bijections
Application. On appelle application de Edans F,touterelationentrelesensemblesEet Ftelle que tout élément
de E(appelé ensemble de départ) soit relié à un et un seul élément de l’ensemble F(appelé ensemble d’arrivée).
Image directe d’une partie. Soient Eet Fdeux ensembles, Aune partie de Eet fune application de Edans
F.OnnoteimagedirectedeApar f,etonnotefpAq,l’ensembledesimagesparfdes éléments de A,i.e.(écriture
dite "en compréhension") : fpAq“tfpxq,xPAu,cequipeutégalements’écrire(écrituredite"enextension"):
fpAq“tyPF, DxPA, y “fpxqu.
Image réciproque d’une partie. Soient Eet Fdeux ensembles, Bune partie de Fet fune application de
Edans F.OnnoteimageréciproquedeBpar f,etonnotef´1pBq,l’ensembledesélémentsdeEdont l’image
appartient à B,i.e.:f´1pBq“txPE, fpxqPBu.
Attention !
La notation f´1pBq,oùB,oùBest un ensemble (et non un élément) ne suppose absolument pas que fsoit
bijective. Il s’agit seulement d’un ensemble d’éléments de Edont l’image appartient à B, et cet ensemble est
défini pour toute application f,bijectiveounon.Enrevanche,siydésigne un élément de F,pourquef´1pyq
ait un sens, il faut que fsoit bijective : f´1pyqdésigne alors l’unique antécédent de ypar fdans E. Il est
important de ne pas confondre ces deux notations.
Composée d’applications. Soient E,Fet Gtrois ensembles, fune application de Edans F,etgune application
de Fdans G.Onnotegof l’application de Edans Gdéfinie par : @xPE,pgofqpxq“gpfpxqq.
Injection. Soient Eet Fdeux ensembles, et fune application de Edans F.Onditquefest une injection (ou
une application injective) si tout élément de Fadmet au plus un antécédent par fdans E. Cela revient à dire que
deux éléments différents de Ene peuvent avoir la même image par f,i.e.:@px, x1qPE2,x ‰x1,fpxq‰fpx1q,soit
encore, par contraposée : @px, x1qPE2,fpxq“fpx1qñx“x1.
Surjection. Soient Eet Fdeux ensembles, et fune application de Edans F.Onditquefest une injection (ou une

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application injective) si tout élément de Fadmet au moins un antécédent par fdans E,i.e.si:@yPF, DxPE, fpxq“y.
Bijection. Soient Eet Fdeux ensembles, et fune application de Edans F.Onditquefest une bijection (ou
une application bijective) si tout élément de Fadmet un et un seul un antécédent par fdans E,i.e.si:@yPF, D!xP
E, fpxq“y.fest bijective si, et seulement si, fest à la fois injective et surjective.
Bijection réciproque. Soient Eet Fdeux ensembles, et fune application bijective de Edans F.Onappelle
alors bijection réciproque de f,l’applicationgde Fdans Equi, à tout élément de Fassocie son unique antécédent
dans E,i.e.:@yPF, gpyq“xPE,fpxq“y.
Composée de deux bijections. Soient E,Fet Gtrois ensembles, fune bijection de Edans Fet gune bijection
de Fdans G.L’applicationgof est une bijection de Edans G.Deplus:pgofq´1“`g´1˘o`f´1˘.