Cours Logique Ensembles

Optimal Sup-Spé. Le n°1 en Sup-Spé
Logique, ensembles,
applications
Maths SUP - MPSI - Concours 2018
Fiche de cours
1. Logique élémentaire
Proposition. On appelle proposition mathématique, ou plus simplement proposition, un énoncé, qui peut être
vrai ou faux.
Définitions. Soient A et B deux propositions.
— On appelle "non-A", et l’on note Ā, la proposition suivante : "La proposition A est fausse."
— On appelle "A et B" la proposition : "La proposition A est vraie, et la proposition B est vraie."
— On appelle "A ou B" la proposition suivante : "La proposition A est vraie, ou la proposition B est vraie".
Remarque
En logique, le "ou" n’est pas exclusif. Ainsi "A ou B" inclut très exactement trois cas : le cas où A est vraie et
B est fausse ; le cas où B est vraie et A est fausse ; et enfin le cas où les deux propositions A et B sont vraies.
Implication, équivalence
— On dit que A implique B, et on note A ñ B, lorsque la proposition suivante est vérifiée : "si A est vraie, alors
B est vraie".
— On dit que les propositions A et B sont équivalentes, et on note A ô B, lorsque la proposition suivante est
vérifiée : "la proposition A est vraie si, et seulement si, la proposition B est vraie". A et B sont équivalentes si,
et seulement si, les deux implications A ñ B et B ñ A sont toutes les deux vraies.
Négation
— La négation de "A et B" est : "non-A" ou "non-B". Comme rappelé ci-dessus, ce "ou" n’est pas exclusif.
— La négation de "A ou B" est : "non-A" et "non-B".
Contraposée, réciproque. Considérons une implication A ñ B qui soit vraie. Il ne faut pas confondre la
contraposée de cette implication avec sa réciproque :
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- Concours 2018
— La réciproque de pA ñ Bq est : pB ñ Aq. La réciproque d’une implication n’est pas toujours vraie.
`
˘
— La contraposée de pA ñ Bq est : B̄ ñ Ā , ou, en français : "non-B" implique "non-A". La contraposée d’une
implication est toujours vraie !
Point méthode
Pour établir une implication pA ñ B), on peut supposer que A est vraie, et montrer qu’alors B est vraie, mais
on peut tout aussi bien supposer que B est fausse (B̄), et montrer qu’alors A est à son tour fausse (Ā). Pour
plus de précisions, voir la Fiche méthodologique du chapitre Préliminaires.
Distributivité du "et" sur le "ou" et réciproquement. Soient A, B et C trois propositions.
— pA ou pB et Cqq ô ppA ou Bq et pA ou Cqq.
— pA et pB ou Cqq ô ppA et Bq ou pA et Cqq.
2. Ensembles
Ensemble, élément. On appelle ensemble, toute collection d’objets. Chacun de ces objets est alors appelé un
élément de cet ensemble. Lorsqu’un objet x est élément d’un ensemble E, on dit que x appartient à E, et l’on note :
x P E.
Quantificateurs.
— On note @ le quantificateur universel "pour tout".
— On note D le quantificateur existentiel "il existe".
Remarque
Les quantificateurs s’emploient exclusivement dans les phrases rédigées en langage mathématique. Leur emploi
dans les phrases rédigées en français est exclu. Ainsi, on pourra écrire : "@x P R, x2 P R` ", ou bien "pour tout
nombre réel x, le carré de x est positif", mais pas : "@x P R, x2 est positif". Dit autrement, on ne doit pas
mélanger une phrase rédigée en français et une phrase écrite en langage mathématique.
Négation d’une assertion quantifiée
— La négation de "pour tout x appartenant à E, la proposition Ppxq est vraie est : "il existe x appartenant à E
tel que Ppxq soit fausse.
— La négation de "il existe x appartenant à E tel que la proposition Ppxq soit vraie est : "pour tout x appartenant
à E, la proposition Ppxq est fausse.
Inclusion. Soient E et F deux ensembles. On dit que F est inclus dans E, et l’on note F Ä E, si tous les éléments
de F sont éléments de E, i.e. si : @x P F, x P E.
Partie, sous-ensemble. On dit que F est une partie de E, ou un sous-ensemble de E, si F est inclus dans E.
Notation PpEq. Soit E un ensemble. On note PpEq, l’ensemble des parties de E.
Complémentaire. Soient E un ensemble et F une partie de E. On appelle complémentaire de F dans E, et l’on
note F̄ , l’ensemble des éléments appartenant à E et n’appartenant pas à F .
Réunion, Intersection de deux ensembles. Soient A et B deux ensembles.
— On appelle "A union B", et on note A Y B, l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B. Rappel : en
logique, le "ou" n’est pas exclusif.
— Soient A et B deux ensembles. On appelle "A inter B", et on note A X B, l’ensemble des éléments appartenant
à A et à B.
Généralisation à un nombre fini d’ensembles. Soient n P N˚ et pA1 , A2 , . . . , An q une famille d’ensembles.
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— On appelle "réunion des ensembles A1 , . . . An ", et on note
n
î
Ai , l’ensemble des éléments appartenant à au
i“1
moins un des ensembles A1 , . . . , An .
— On appelle "intersection des ensembles A1 , . . . An ", et on note
n
ì
Ai , l’ensemble des éléments appartenant à
i“1
chacun des ensembles A1 , . . . , An .
Lois de Morgan. Soient n P N˚ et pA1 , A2 , . . . , An q une famille d’ensembles.
—
n
î
i“1
—
n
ì
i“1
Ai “
Ai “
n
ì
Ai .
i“1
n
î
Ai .
i“1
Couple, p-liste
— On appelle couple, une série de deux éléments ordonnés. Si a et b sont deux éléments, on note pa, bq le couple
d’éléments formé de a puis b dans cet ordre. On a : pa, bq ‰ pb, aq.
— On appelle p-liste, une série de p éléments de E ordonnés. Si x1 , x2 , . . . xp sont p éléments, on note px1 , x2 , . . . , xn q
la p-liste formée de x1 , x2 . . . et xp dans cet ordre.
Produit cartésien. Soient E etF deux ensembles. On note E ˆ F , l’ensemble des couples d’éléments px, yq, où
x P E et y P F .
Plus généralement, on note E1 ˆ E2 ˆ . . . ˆ Ep , l’ensemble des p-listes (ou p-uplets) d’éléments px1 , x2 , . . . , xp q, où
pour tout i P rr 1 , p ss, xi P Ei .
Si tous les ensembles Ei sont en fait le même ensemble E, on note E p l’ensemble E1 ˆ E2 ˆ . . . ˆ Ep . Un élément
de E p est appelé une p-liste d’éléments de E.
3. Applications, injections, surjections, bijections
Application. On appelle application de E dans F , toute relation entre les ensembles E et F telle que tout élément
de E (appelé ensemble de départ) soit relié à un et un seul élément de l’ensemble F (appelé ensemble d’arrivée).
Image directe d’une partie. Soient E et F deux ensembles, A une partie de E et f une application de E dans
F . On note image directe de A par f , et on note f pAq, l’ensemble des images par f des éléments de A, i.e. (écriture
dite "en compréhension") : f pAq “ tf pxq, x P Au, ce qui peut également s’écrire (écriture dite "en extension") :
f pAq “ ty P F, Dx P A, y “ f pxqu.
Image réciproque d’une partie. Soient E et F deux ensembles, B une partie de F et f une application de
E dans F . On note image réciproque de B par f , et on note f ´1 pBq, l’ensemble des éléments de E dont l’image
appartient à B, i.e. : f ´1 pBq “ tx P E, f pxq P Bu.
Attention !
´1
La notation f pBq, où B, où B est un ensemble (et non un élément) ne suppose absolument pas que f soit
bijective. Il s’agit seulement d’un ensemble d’éléments de E dont l’image appartient à B, et cet ensemble est
défini pour toute application f , bijective ou non. En revanche, si y désigne un élément de F , pour que f ´1 pyq
ait un sens, il faut que f soit bijective : f ´1 pyq désigne alors l’unique antécédent de y par f dans E. Il est
important de ne pas confondre ces deux notations.
Composée d’applications. Soient E, F et G trois ensembles, f une application de E dans F , et g une application
de F dans G. On note gof l’application de E dans G définie par : @x P E, pgof qpxq “ g pf pxqq.
Injection. Soient E et F deux ensembles, et f une application de E dans F . On dit que f est une injection (ou
une application injective) si tout élément de F admet au plus un antécédent par f dans E. Cela revient à dire que
deux éléments différents de E ne peuvent avoir la même image par f , i.e. : @px, x1 q P E 2 , x ‰ x1 , f pxq ‰ f px1 q, soit
encore, par contraposée : @px, x1 q P E 2 , f pxq “ f px1 q ñ x “ x1 .
Surjection. Soient E et F deux ensembles, et f une application de E dans F . On dit que f est une injection (ou une
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application injective) si tout élément de F admet au moins un antécédent par f dans E, i.e. si : @y P F, Dx P E, f pxq “ y.
Bijection. Soient E et F deux ensembles, et f une application de E dans F . On dit que f est une bijection (ou
une application bijective) si tout élément de F admet un et un seul un antécédent par f dans E, i.e. si : @y P F, D!x P
E, f pxq “ y. f est bijective si, et seulement si, f est à la fois injective et surjective.
Bijection réciproque. Soient E et F deux ensembles, et f une application bijective de E dans F . On appelle
alors bijection réciproque de f , l’application g de F dans E qui, à tout élément de F associe son unique antécédent
dans E, i.e. : @y P F, gpyq “ x P E, f pxq “ y.
Composée de deux bijections. Soient E, F et G trois ensembles, f une bijection
` de˘E `dans˘F et g une bijection
de F dans G. L’application gof est une bijection de E dans G. De plus : pgof q´1 “ g ´1 o f ´1 .