Logique, ensembles et applications. I Outils du raisonnement

Logique, ensembles et applications.
I Outils du raisonnement mathématique 1
I.A Assertions et connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.A.1 Assertions........................... 1
I.A.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.A.3 Propriétés des connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . 3
I.B Quantificateurs............................ 4
I.C Modes de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.C.1 Syllogisme........................... 5
I.C.2 Disjonction des cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.C.3 Démonstration par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.C.4 Démonstration par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . 6
I.C.5 Démonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.C.6 Démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.C.7 Exemples ........................... 7
II Ensembles 7
II.A La notion d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II.B Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II.C Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . 9
II.DEnsemblesproduits.......................... 10
II.E Structure algébrique des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III Applications 13
III.AGénéralités .............................. 13
III.B Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III.B.1 Notion intuitive d’ensembles en bijection . . . . . . . . . . 14
III.B.2 Applications injectives et surjectives . . . . . . . . . . . . 16
III.C Compléments sur les applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
III.C.1 Composée de deux applications et application réciproque 17
III.C.2 Prolongement et restriction d’une application . . . . . . . 19
I Outils du raisonnement mathématique
I.A Assertions et connecteurs logiques
I.A.1 Assertions
Définition 1. Une assertion est un énoncé mathématique (ou propriété) à
laquelle on attribue l’une des deux valeurs logiques : le vrai (V) ou le faux (F)
(valeurs booléennes).
Exemples 1.
– "2 + 2 = 4" est une assertion vraie.
– "2 + 2 = 5" est une assertion fausse.
– "πest un nombre entier" est une assertion fausse.
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Remarque 1. Pour certaines assertions, on peut décider du caractère vrai ou
faux (par exemple, on peut décider que l’assertion x > 0est vraie), mais cela
provoque parfois des contradictions. Par exemple, l’assertion "toute règle admet
une exception" ne peut pas être vraie. Les deux possibilités sont consignées dans
une table de vérité :
P
V
F
I.A.2 Connecteurs logiques
Il existe cinq connecteurs logiques, à la base de tout raisonnement mathéma-
tique, dont nous allons faire la liste :
•Négation (non) : À toute assertion P, on peut associer une autre assertion,
appelée négation de Pet notée (non P), qui prend les valeurs :
– Vrai si Pest faux.
– Faux si Pest vrai.
Pnon P
V F
F V
Par exemple, si Pest : "l’entier nest pair", (non P)devient : "l’entier n
est impair"
•Disjonction (ou) : L’assertion (Pou Q)est vraie si l’une au moins des deux
assertions Pet Qest vraie.
•Conjonction (et) : L’assertion (Pet Q)est vraie si les deux assertions P
et Qsont vraies.
•Implication (⇒) : L’assertion (P ⇒ Q)est vraie si l’assertion ((non P) ou Q)
est vraie.
•Équivalence (⇔) : L’assertion (P ⇔ Q)est vraie si l’assertion
((P ⇒ Q) et(Q⇒P)) est vraie.
Remarques 2.
1. Le "ou" mathématique n’est pas exclusif : si les assertions Pet Qsont
toutes les deux vraies, alors l’assertion (Pou Q)est vraie.
2. (P ⇒ Q)signifie (non P) est vraie ou (Pest vraie et dans ce cas) Qest
vraie.
Cette assertion s’écrit donc aussi "Si P(vraie), alors Q(vraie)", ou encore
"Pest une condition suffisante pour Q", ou enfin "Qest une condition
nécessaire pour P"
3. (P ⇔ Q)s’écrit aussi "Psi et seulement si Q", ou encore "Pest une
condition nécessaire et suffisante pour Q"
On peut résumer les différentes valeurs logiques prises par ces connecteurs
logiques en fonction des valeurs logiques de Pet Qdans la table de vérité
suivante :
2

P Q P et Q P ou Q P ⇒ Q P ⇔ Q
VVVVVV
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
Remarques 3.
1. Si Pet Qsont simultanément fausses, alors (P ⇒ Q)est vraie. Par
exemple ((1 >2) ⇒(2 >3)) est une assertion vraie.
2. P ⇒ Q n’a pas même valeur logique que Q⇒P.
Par exemple, pour x∈R,(x= 1 ⇒x > 0) est une assertion vraie, mais
(x > 0⇒x= 1) est une assertion fausse.
I.A.3 Propriétés des connecteurs logiques
Proposition 1. On peut composer des connecteurs logiques :
1. Si (P ⇒ Q)est vraie et si (Q⇒R)est vraie, alors (P ⇒ R)est vraie.
2. non(non P)a même valeur logique que P.
3. non(Pet Q)a même valeur logique que (non P) ou(non Q)
4. non(Pou Q)a même valeur logique que (non P) et(non Q)
5. Pet(Qou R)a même valeur logique que (Pet Q) ou(Pet R)
6. Pou(Qet R)a même valeur logique que (Pou Q) et(Pou R)
Démonstration. Toutes ces propriétés se retrouvent à l’aide de tables de vérité. Par exemple,
nous allons démontrer 3) :
P Q P et Qnon(Pet Q) non Pnon Q(non P) ou(non Q)
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
Ce tableau nous permet de constater que les valeurs logiques prises par la propriété non(Pet Q)
coïncident avec celles de la propriété (non P) ou(non Q).
On pourra démontrer le reste de la même façon à titre d’exercice.
Exercice 1. Montrer que l’assertion Pou(non P)est toujours vraie.
Remarque 4. Il est essentiel de savoir formuler la négation d’une propriété P.
En effet comme les valeurs logiques de la propriété Pet de la propriété non P
sont inverses, il suffit de démontrer que non Pest vraie pour établir que Pest
fausse.
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Définition 2. Soit Eun ensemble. Pour un élément xde E, on note P(x)une
assertion dont la valeur logique dépend d’une variable notée x.P(x)est appelé
un prédicat. Par exemple, pour E=R, le prédicat P(x) : ”x > 0” est vrai pour
la valeur x= 1, et faux pour la valeur x=−1.
I.B Quantificateurs
Définition 3.
1. On définit le quantificateur universel, noté ∀(quelque soit) de la manière
suivante :
∀x∈E, P(x)
signifie que le prédicat P(x)est vrai pour toute valeur de xprise dans E,
ou encore :
{x∈E/ P(x)est vrai }=E
2. On définit le quantificateur existentiel, noté ∃(il existe) de la manière
suivante :
∃x∈E, P(x)
signifie que le prédicat P(x)est vrai pour au moins une valeur de xprise
dans E, ou encore :
{x∈E/ P(x)est vrai } 6=∅
Proposition 2. On exprime la négation des quantificateurs de la manière sui-
vante :
1. L’assertion non(∃x∈E, P(x)) est logiquement équivalente à
∀x∈E, non P(x).
2. L’assertion non(∀x∈E, P(x)) est logiquement équivalente à
∃x∈E, non P(x).
Exemple 2. non(∀x∈E, [∃y∈F, (∀z∈G, P(x, y, z))])
⇔ ∃x∈E, non[∃y∈F, (∀z∈G, P(x, y, z))]
⇔ ∃x∈E, ∀y∈F, non(∀z∈G, P(x, y, z))
⇔ ∃x∈E, ∀y∈F, ∃z∈G, non P(x, y, z)
Proposition 3. On peut inverser deux quantificateurs de même nature :
• ∃x∈E, ∃y∈F, P (x, y)équivaut à ∃y∈F, ∃x∈E, P (x, y)
• ∀x∈E, ∀y∈F, P (x, y)équivaut à ∀y∈F, ∀x∈E, P (x, y)
• ∀x∈E, ∃y∈F, P (x, y)n’est en général pas équivalent à
∃y∈F, ∀x∈E, P (x, y)
Exemples 3.
1. Si E=R∗
−, et F=R∗ +, alors on a (∀x < 0,∀y > 0, xy < 0), ce qui
équivaut à (∀y > 0,∀x < 0, xy < 0)
4

2. Si E=F=R∗
+, alors l’assertion (∀x > 0,∃y > 0, xy = 1) est vraie.
En effet, pour tout xréel strictement positif, il existe y=1
x>0tel que
xy = 1.
En revanche, l’assertion (∃y > 0,∀x > 0, xy = 1) est fausse. On peut le
prouver à l’aide de la remarque 4. La négation de cette assertion est :
∀y > 0,∃x > 0, xy 6= 1
Cette nouvelle assertion est vraie car pour yréel strictement positif quel-
conque, il existe x=2
y>0tel que xy = 2 6= 1.
I.C Modes de raisonnement
Remarque 5. Dans le lexique du raisonnement, un théorème, une proposition,
un corollaire ou un lemme sont des assertions vraies. Une hypothèse est une
assertion qu’on vérifie ou dont on décide qu’elle est vraie (même si elle peut être
fausse, par exemple dans le raisonnement par l’absurde).
I.C.1 Syllogisme
On veut démontrer la proposition Q. On procède en trois étapes :
1. On démontre la proposition P(celle-ci se vérifie en général directement).
2. On vérifie que l’assertion (P ⇒ Q)est vraie.
3. On en déduit la proposition Q.
C’est le mode de raisonnement le plus couramment utilisé, et qu’on fait souvent
sans y penser dans la vie courante. Par exemple :
"Socrate est un homme (proposition P). Tous les hommes sont mortels (propo-
sition P ⇒ Q). Donc Socrate est mortel (proposition Q).
I.C.2 Disjonction des cas
On veut démontrer la proposition Q. On se donne nassertions P1,P2,...,Pn
(appelées cas) tel que l’une de ces assertions au moins est vraie.
On vérifie alors que les assertions P1⇒ Q,P2⇒ Q,...,Pn⇒ Q sont vraies, et
on en déduit la proposition Q.
Exemple 4. Soit n∈N. Montrer que l’entier n(n+ 1) est pair.
I.C.3 Démonstration par contraposée
On veut démontrer une proposition de type P ⇒ Q. On peut la démontrer
directement en supposant P(vrai) et en déduisant Q(vrai). On se ramène alors
à l’un des autres types de raisonnement.
La contraposée de cette proposition est la proposition (non Q ⇒ non P). Elle est
logiquement équivalente à la précédente (à titre d’exercice, on pourra construire
une table de vérité pour s’en convaincre).
Par exemple, si ABC est un triangle, avec AB = 3, AC = 4, et BC = 6, on
peut déduire de la contraposée du théorème de Pythagore que ABC n’est pas
rectangle. En effet, le théorème s’énonce de la façon suivante :
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