Ex Probabilités conditionnelles BTS

Exercice 1 : On fait l’hypothèse que chacun des moteurs d’un avion bi-moteur tombe en panne avec une probabilité égale à 0,000 1 et
ceci d’une façon indépendante l’un de l’autre.
Quelle est la probabilité que l’avion arrive à bon port sachant qu’il peut voler avec un seul moteur ?
Exercice 2 : Dans une usine d’automobiles, trois chaînes « a », « b » et « c » fournissent respectivement 25%, 35% et 40% de la
production de moteurs.
Certains de ces moteurs sont écartés comme défectueux, dans les proportions suivantes :
5% pour la chaîne « a », 4% pour la chaîne « b » et 1% pour la chaîne « c ».
On prend un moteur au hasard et on définit les évènements suivants :
A : « Le moteur est issu de la chaîne « a » » ; B : « Le moteur est issu de la chaîne « b » » ;
C : « Le moteur est issu de la chaîne « c » » ; D : « Le moteur est défectueux ».
Les résultats sont donnés à 10-4 près.
1. Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités et tracer un arbre pondéré illustrant la situation.
2. Calculer P(D).
3. Quelle est la probabilité qu’un moteur sorte de la chaîne « a » sachant qu’il est défectueux ?
4. Calculer la probabilité qu’un moteur sorte de la chaîne « c » sachant qu’il n’est pas défectueux ?
Exercice 3 :
Une étude statistique indique que 95% des téléviseurs fabriqués par une entreprise sont en état de fonctionnement. On fait subir à
chaque appareil un test de contrôle. On constate alors que:
Quand un appareil est en état de fonctionnement, il est accepté dans 96% des cas à l'issu du test. Quand un appareil n'est pas en état de
fonctionnement, il est néanmoins accepté dans 8% des cas à l'issu du test.
On choisit au hasard un téléviseur fabriqué par l'entreprise. On définit les événements suivants:
F : "le téléviseur est en état de fonctionnement"
T : "le téléviseur est accepté à l'issu du test"
: "le téléviseur est refusé à l'issu du test".
On note (A / B) l'événement " A sachant B".
Ainsi, la probabilité de l'événement F, notée P(F), est : P(F) = 0,95 et
la probabilité de l'événement P(T/F) = 0,96
1.
Quelle est la probabilité que le téléviseur ne soit pas en état de fonctionnement?
2.
Quelle est la probabilité qu'un téléviseur soit refusé à l'issu du test sachant qu'il est en état de fonctionnement? Quelle est la
probabilité qu'un téléviseur soit refusé à l'issu du test et qu'il soit en état de fonctionnement? Quelle est la probabilité qu'un
téléviseur soit refusé à l'issu du test et qu'il ne soit pas en état de fonctionnement?
3.
Calculez la probabilité que le téléviseur soit refusé à l'issu du test.
4. Un téléviseur est refusé à l'issu du test. Quelle est la probabilité qu'il soit en état de fonctionnement?
Exercice 4
Des enquêtes concernant les véhicules circulant en France ont été effectuées. Elles montrent que:
• 12% des véhicules ont des freins défectueux ;
• parmi les véhicules ayant des freins défectueux, 20% ont un éclairage défectueux;
• parmi les véhicules ayant de bons freins, 8% ont un éclairage défectueux.
Dans l'espoir d'améliorer la sécurité routière, la gendarmerie effectue, au hasard, des contrôles de véhicules.
On appelle E l'événement "le véhicule contrôlé a un bon éclairage" et F l'événement "le véhicule a de bons freins". On note E et F
les événements contraires de E et F.
1.
Donner les probabilités de F, de E sachant que F est réalisé, puis de E sachant que F est réalisé.
2.
• Calculer la probabilité pour qu'un véhicule contrôlé ait des freins défectueux et un éclairage défectueux.
• Calculer la probabilité pour qu'un véhicule contrôlé ait de bons freins et un éclairage défectueux.
• En déduire la probabilité pour qu'un véhicule contrôlé ait un éclairage défectueux.
3. Sachant qu'un véhicule contrôlé a un éclairage défectueux, quelle est la probabilité pour qu'il ait des
freins défectueux.