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Partie I
MR, MESSIRDI BACHIR "
Enseignant aux département de
Mathématiques- Faculté des
sciences- Université de
TLEMCEN".Cours pour les
étudiants"ST-SM-MI-GBM-ARCHEcoles préparatoires..."ALLAHOMA
IDJALHOU FI MIZANE
HASSANATE ALAB RAHIMAHO
ALLAH
1
Partie II
2
Partie III
3
Table des Matières
I
MR, MESSIRDI BACHIR " Enseignant aux département de Mathématiques-
Faculté des sciences- Université de TLEMCEN".
II
1
Cours pour les étudiants" ST-SM-MI-GBM-ARCH-Ecoles prépara-
toires..."
2
III
3
IV
ALLAHOMA IDJALHOU FI MIZANE HASSANATE ALAB RAHIMAHO
ALLAH
4
1 Logique élémentaire- Quelques types des raisonnements-Théorie des ensembles
1.1
1.2
12
LOGIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1
PROPOSITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.2
NÉGATION D’UNE PROPOSITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3
CONNECTEURS LOGIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.4
LES QUANTIFICATEURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
QUELQUES TYPES DES RAISONNEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1
LE RAISONNEMENT PAR L’ABSURDE . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2
LE CONTRAPOSÉE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4
1.2.3
1.3
LE RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE . . . . . . . . . . . . . . . 16
THÉORIE DES ENSEMBLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1
Inclusion-sous ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2
Egalité de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3
Ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4
Intersection
1.3.5
Réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.6
Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.7
Complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.8
Ensemble produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.9
Di¤érence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.10 Di¤érence symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.11 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4
Exercice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5
Solution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Relations d’équivalence- Relations d’ordre
2.1
2.2
31
RELATIONS D’ÉQUIVALENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1
NOTION DE RELATION BINAIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2
RELATION D’ÉQUIVALENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
RELATION D’ORDRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1
L’ordre total et l’ordre partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2
MAJORANT,MINORANT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3
La borne supérieure, la borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.4
Maximum, minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3
Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4
Solution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Les applications
51
3.1
NOTION D’APPLICATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2
ÉGALITÉ DE DEUX APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5
3.3
COMPOSÉE DE DEUX APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4
IMAGE D’UNE PARTIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5
INJECTIVITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6
SURJECTIVITÉ
3.7
BIJECTIVITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8
BIJECTION RÉCIPROQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.9
IMAGE RÉCIPROQUE D’UNE PARTIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.10 INVOLUTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.11 PROPRIÉTÉS DES APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.13 Solution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Suites numériques.
71
4.1
DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2
QUELQUES CARACTÈRES DES SUITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3
4.2.1
Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2
Suites bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
NATURE D’UNE SUITE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.1
Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.2
Suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4
THÉORÈME FONDAMENTAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5
PROPRIÉTÉ FONDAMENTALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6
THÉORÈME D’ENCADREMENT (RÈGLE DES DEUX GENDARMES) . . . 76
4.7
SOUS-SUITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.8
Suites adjacentes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.9
Exercices:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.10 Solutions des exercices:
V
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Fonctions numériques d’une variable réelle.
87
4.10.1 1.1 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6
4.10.2 1.2 LIMITE ET CONTINUÉTÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.10.3 1.3 THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIARES . . . . . . . . . . . 90
4.10.4 1.4 Le PROLONGEMENT PAR CONTINUÉTÉ . . . . . . . . . . . . . . 91
4.10.5 2.1 DÉRIVATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.10.6 2.2 FONCTION DE CLASSE C n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.10.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.10.8 2.3 THÉORÈME DE ROLLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.10.9 2.4 THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS . . . . . . . . . . . . 98
4.10.10 2.5 THÉORÈME DE L’HÔPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5 Développements limités.
5.1
5.2
VI
101
1 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1.1
1.1 Théorème des acroissement …nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1.2
1.2 Théorème des acroissement …nis généralisés . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1.3
1.3 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.1.4
1.4 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.1.5
1.5 Formule de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2. Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.1
2.1 Principaux développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.2
2.2 Propriétés des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.3
2.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3
Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4
Solutions des exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Les nombres complexes.
124
5.4.1
1.1 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4.2
1.2 CALCUL D’UN MODULE ET L’ARGUMENT D’UNE PUISSANCE
D’UN NOMBRE COMPLEXE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4.3
1.3 SIMPLIFICATION D’UN RAPPORT DE NOMBRES COMPLEXES 127
5.4.4
1.4 NATURE D’UN NOMBRE COMPLEXE . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7
5.4.5
1.5 RACINES CARRÉES D’UN NOMBRE COMPLEXE . . . . . . . . . 128
5.4.6
1.6 RACINES n-IÈMES D’UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL
5.4.7
1.7 FACTORISATION D’UN POLYNÔME RÉEL . . . . . . . . . . . . . 130
5.4.8
1.8 LA FORMULE D’EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4.9
1.9 LA FORMULE DE MOIVRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
. . . 129
5.4.10 1.10 SIMPLIFICATION DE SOMMES DE COSINUS OU BIEN SINUS . 131
5.5
VII
Exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Structures algébriques.
134
5.5.1
1.1 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5.2
1.2 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.5.3
1.3 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5.4
1.4 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.6
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.7
Le corrigé: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
VIII
Espaces vectoriels:
155
5.8
Introduction: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.9
Dé…nition d’un espace vectoriel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.9.1
L’addition: (notée +) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.9.2
Une opération externe, la multiplication par un élément de | : . . . . . . 156
5.10 Exemples: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.11 Propriétés immédiates des opérations dans un espace vectoriel: . . . . . . . . . . 157
5.12 Sous -espaces vectoriels: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.12.1 Exemples: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.13 Intersection et la réunion de deux sous-espaces: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.14 Somme de sous-espaces. Somme directe: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.14.1 Somme de sous-espaces: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.14.2 Somme directe: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.15 Famille de vecteurs d’un espace vectoriel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8
5.15.1 1) Dépendance: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.15.2 2) Indépendance: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.15.3 3) Famille génératrice ou systéme générateur: . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.15.4 4) Base: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.15.5 5) Dimension d’un espace vectoriel: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.15.6 6) Rang d’un système de vecteurs: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.15.7 7) Lien entre la dimension et la somme directe: . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.16 Sous-espace engendré par un ensemble: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.17 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.18 Le corrigé: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
IX
Méthodes d’intégration:
171
5.19 Formules fondamentales d’intégration: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.19.1 Formule de changement de variable: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.19.2 Formule de réduction: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.20 Intégration par parties: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.20.1 Intégration par parties: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.21 Intégrales trigonométriques:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.21.1 Les identités trigonométriques: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.22 Subtitutions trigonométriques: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.23 Intégration par fractions partielles: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.23.1 Fraction rationnelle: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.24 Divers changements de variable: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.25 Intégration des fonctions hyperboliques: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.26 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.27 Le corrigé des exercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
X
Applications linéaires:
200
5.28 Application linéaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.29 Noyau d’une application linéaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9
5.30 Injectivité d’une application linéaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.31 Image d’une application linéaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.32 Rang d’une application linéaire: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.33 Endomorphisme, Isomorphisme, Automorphisme: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.34 Projecteur: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.35 Symétrie: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.36 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
XI
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
209
5.37 1-ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE 1: . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.37.1 Exemple:
x3
1 y 0 = y 2 + x2 y
2x
1-ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE 2 à COEFFICEINTS
CONSTANTS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.38 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.39 Le corrigé des éxercices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
XII
Les Matrices.
225
5.40 Matrices associées à une application linéaire dans le cas des espaces de dimensions …nies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.41 Propriétés des matrices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.42 Opérations sur les matrices: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.43 Inverse d’une matrice carrée: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.43.1 Inversion d’une matrice par la méthode de GAUSS:
. . . . . . . . . . . . 234
5.43.2 Inversion d’une matrice par la notion du déterminant: . . . . . . . . . . . 236
5.44 Changement de base. Matrices semblables:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.45 La matrice associée dans un changement de base: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.46 Exercice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10
5.47
Université de Tlemcen
AnnéeUniversitaire
: 2010 - 2011. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
11
Chapitre 1
Logique élémentaire- Quelques types
des raisonnements-Théorie des
ensembles
1.1
LOGIQUE
Vous savez par expérience qu’un cours de mathématiques est constitué d’une suite d’énoncés,
appelés dé…nitions ou propositions. Les dé…nitions sont posées a priori et les propositions
doivent être démontrées à l’aide de dé…nitions ou d’autres propositions déja établies. C’est
cette démarche, qui consiste à passer avec logique, les di¤érentes étapes d’un raisonnement
mathématique. Il nous a cependant paru utile de dégager quelques règles de logique universelle.
1.1.1
PROPOSITIONS
Une proposition un énoncé (une assertion) dont on peut a¢ rmer sans ambiguïté s’il est vrai
p
ou faux. Par exemple 2 >1 est une proposition vraie; 2 est un nombre rationnel, est une
proposition fausse; mais A
B n’est pas une proposition car on n’a pas des données sur les
deux ensembles A et B.
Par suite on note une proposition vraie par "V" ou "1", et une proposition fausse par "F"
ou "0".
12
1.1.2
NÉGATION D’UNE PROPOSITION
Si P est une proposition, on note la négation de P par non P ou P , qui est vraie si P est fausse
et fausse si P est vraie.
1.1.3
CONNECTEURS LOGIQUES
À deux propositions P et Q, on peut associer une troisième, qui est dé…nit par un connecteur
logique entre ces deux propositions.
Conjonction
On appelle conjonction de deux propositions P et Q, la proposition notée P ^ Q qui est vraie,
si P et Q sont vraies et fausse dans les autres cas. Deux propostions sont incompatibles, si
leur conjonction est fausse.
Disjonction
Une disjonction de deux propositions, est noté par P _ Q, et elle est vraie si l’un des deux est
vraie.
Implication
L’implication de deux propositions P et Q, est la proposition (non P ) ou Q, notée P ) Q
(qui se lit P implique Q), qui est fausse dans le seul cas où P est vraie et Q est fausse.
Équivalence
Deux propositions sont dites équivalentes, ce qu’on note P () Q, si elles sont toutes les
deux vraies, ou toutes les deux fausses. En examinant la proposition P ) Q et Q ) P .
13
Ces formules sont réduits dans le tableau suivant:
1.1.4
P
Q P
P ^ Q P _ Q P ) Q P () Q
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
LES QUANTIFICATEURS
Soit un ensemble E et une propriété déterminée P . On peut se poser les deux questions
suivantes:
a) Existe-t-il des éléments de E qui possèdent cette propriété?
b) Dans l’a¢ rmative, la propriété appartient-elle à tous les éléments?
Pour formuler les réponses à ces deux questions on introduit deux symboles appelés quanti…cateurs. Ce sont:
Quanti…cateur existentiel
Il s’écrit 9 et signi…e: il existe au moins un élément de E ayant la propriété P . Par exemple
l’écriture
9x 2 R tel que: x2 + x
2=0
signi…e qu’il existe au moins un nombre réel tel que: x2 + x
2 = 0:
Quanti…cateur universel
Qui s’écrit 8 et signi…e que tout élément de E véri…e P . Par exemple l’écriture
8x 2 R tel que: x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
signi…e que pour tout nombre réel véri…e l’identité écrite.
Dé…nition 1.1 Une tautologie est une proposition qui est vraie dans tous les cas.
14
Exemple 1.1 Véri…er que la proposition:
(P ) Q) _ (Q ) P )
est une tautologie.
1.2
P
Q P )Q Q)P
(P ) Q) _ (Q ) P )
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
QUELQUES TYPES DES RAISONNEMENTS
Il est important de trouver un moyen ou une méthode pour répondre à un certain problème,
pour cela on s’inspire à quelques techniques ou raisonnements.
1.2.1
LE RAISONNEMENT PAR L’ABSURDE
généralement, la recherche d’une réponse à un problème s’apuie sur les hypothèses donnés ou
les théorèmes connus, mais parfois le chemin direct est di¢ cille à véri…er. On s’inspire donc
sur le raisonnement par l’absurde, qui propose que la négation du problème voulu est vraie,
et par suite on arrive à une contradiction avec les hypothèses donnés, ou l’un des théorèmes
connus, ou bien l’un des axiomes.... C’est à dire qu’on a proposer est fausse, ce qui a¢ rme que
le problème voulu est vraie. Autrement dit:
(P ) Q) () Q ) une contradiction :
Exemple 1.2 Montrons que:
n2 est pair ) n est pair
15
par l’absurde supposons que:
n n’est pas pair ) n est impair ) n = 2k + 1
) n2 = 2 2k 2 + 2k + 1
=
2p + 1
) n2 est impair, contradiction avec l’hypothèse.
)
ce qu’on a proposer est fausse
) n est pair.
1.2.2
LE CONTRAPOSÉE
On appelle contraposée d’une implication P ) Q l’implication (non Q ) non P ). Autrement
dit si on a non Q implique non P , alors par hypothèse on a P , c’est-à-dire, on a pas non Q,
alors on a Q.
Exemple 1.3 Montrons que:
8x; y 2 R
x 6= y ) 3x + 2 6= 3y + 2
En e¤ et:
3x + 2 = 3y + 2 ) x = y c’est le contraposée.
1.2.3
LE RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
On utilise le raisonnement par récurrence dans le cas d’une relation ou formule qui depend d’un
indice n 2 N. Alors pour montrer qu’une propriété est vraie pour tout entier n supérieur ou
égal à un entier n0 , on véri…e qu’elle est hériditaire ( c’est-à-dire que si elle est vraie pour un
entier quelconque, alors elle est vraie pour son suivant). Il su¢ t alors qu’elle soit vraie pour
l’entier n0 pour en déduire qu’elle est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à un entier n0 .
Exemple 1 Montrons que quel que soit l’entier naturel n, l’entier 32n
7.(Rn )
Par récurrence montrons que (Rn ) est vraie pour tout n 2 N.
16
2n est divisible par
Si n = 0, 30
20 = 0 = 0:7 ) 30
20 est divisible par 7.) R0 est vraie.
Supposons que (Rn ) est vraie (l’hypothèse de récurrence), et montrons que (Rn+1 ) l’est aussi,
c’est-à-dire:
32(n+1)
2n+1 est divisible par7:
En e¤ et:
32(n+1)
2n+1
2n + 7:32n
=
2: 32n
=
2:7:k + 7:32n (l’hypothèse de récurrence)
=
7 2:k + 32n = 7:k 0
) 32(n+1)
2n+1 est divisible par7:
Conclusion:
8n 2 N; 32n
1.3
2n est divisible par 7.
THÉORIE DES ENSEMBLES
Un ensemble est constiué d’objets matériels, ou de phénomènes, ou de signes, ou d’identités
abstraites, rassemblés en vertu d’une propriété commune.
Un ensemble est une entité d’une nature di¤érente de celle des éléments qui le composent:
un ensemble de points n’est pas un point, même s’il ne contient qu’un point.
Certains ensembles particulièrement importants sont désignés par des lettres déterminées.
Signalons:
N = f0; 1; 2; 3; 4; 5; :::g ;
Z = f0; 1; 2; 3; :::g ;
Q, ensemble des nombres rationnels: fractions positives ou négatives;
R, ensemble des nombres réels;
17
C, ensemble des nombres complexes.
D’une autre façon on peut désigner un ensemble ou une partie en précisant les propriétés
particulières P véri…ées par un élément x de cette partie, par exemple:
fx; x 2 R; 1
x
5g
VOCABULAIRES ET NOTATIONS:
Si a est un élément de l’ensemble E, on écrit a 2 E, on énonce " a élément de E " ou encore
" a appartient à E ". La négation de l’énoncé précédent se note a 2
= E. Notons qu’un ensemble
qui ne contient aucun élément est dit l’ensemble vide, noté: ?.
1.3.1
Inclusion-sous ensemble
Soient E, F deux ensemble. Si tous les éléments d’un ensemble E appartiennent à un ensemble
F on dit que E est inclus dans F , ou bien E est un sous ensemble de F .
Exemple 1.4 N
R:
Exemple 1.5 ?
E, avec E est un ensemble quelconque.
Preuve: Soit a 2 ? ) a 2 E est vraie car la première proposition est fausse, ce qui a¢ rme
que l’implication est vraie.
1.3.2
Egalité de deux ensembles
Soient E, F deux ensemble. Pour montrer que E = F , on montre que E
1.3.3
F et F
E.
Ensemble des parties
On appelle ensemble des parties d’un ensemble E, et l’on désigne par p (E), l’ensemble dont
les éléments sont les parties de E. On a ? 2 p (E) ; E 2 p (E).
Exemple 1.6 E = f1; 2; 3g, alors: p (E) = f?; f1g ; f2g ; f3g ; f1; 2g ; f1; 3g ; f2; 3g ; Eg :
18
1.3.4
Intersection
On appelle intersection d’une famille de parties, A, B, C, par exemple, le sous-ensemble formé
par les éléments appartenant à chacune des parties considérées. On désigne cette intersection
par la notation A \ B \ C. Elle peut se réduire à la partie vide, en particulier si des sousensembles sont disjoints. On a alors:
x 2 A \ B ) x 2 A et x 2 B
1.3.5
Réunion
L’ensemble de tous les éléments appartenant au moins à l’une des parties A, B, C, est dit la
réunion de ces parties, notée:A[ B [ C. On a alors:
x 2 A [ B ) x 2 A ou x 2 B
1.3.6
Partition
On réalise une partition d’un ensemble E en classant les éléments de E dans des sous ensembles
disjoints E1 ; E2 ; E3 ; ..., tels que tout élément de E soit classé. On la note par: P (E) :En
particulier on a:
P (E) = E1 [ E2 [ E3 [ :::
et Ei \ Ej
= ?, 8i 6= j
Exemple 2 E = f1; 2; 3g, alors:P (E) = ff1g ; f2g ; f3gg
ou bien P (E) = ff1; 2g ; f3gg...
1.3.7
Complémentaire
Le complément d’un ensemble E dans un ensemble F , est l’ensemble dans la réunion avec E
est égale à F , et l’intersection avec E est égale à l’ensemble vide. On le note: CFE ou bien E.
19
Donc on a:
E[E = F
et E \ E = ?
1.3.8
Ensemble produit
On appelle produit de deux ensembles E et F l’ensemble des couples ordonnés du type (x; y)
avec x 2 E et y 2 F , noté E
1.3.9
F:
Di¤érence
La di¤érence entre deux ensemble E et F est l’ensemble:
E r F = fx 2 E avec x 2
= Fg
1.3.10
Di¤érence symétrique
La di¤érence symétrique entre deux ensemble E et F est l’ensemble:
E4F
= (E r F ) [ (F r E)
= (E [ F ) r (E \ F )
= f(x 2 E avec x 2
= F ) ou bien (x 2 F avec x 2
= E)g
1.3.11
Exemple d’application
Soient E et F deux sous ensembles de G, montrons que:
E [ F = E \F
1) montrons que:
E[F
E \F
20
Soit x 2 E [ F ) x 2 E ou x 2 F ) x 2 G et x 2
= E ou x 2 G et x 2
= F.
) x 2 G et x 2
= E ou x 2
= F:
) x 2 G et x 2
= E \F
) x 2 E \F
2 d’une façon similaire on montre que:
E \F
1.4
E[F
Exercice
Exercice 01: P , Q, R sont trois propositions.
(1) Véri…er les lois de Morgan:
1) P _Q , P ^ Q 2) P ^Q , P _ Q
(2) Les propositions suivantes sont elles des tautologies?
a) [P ) Q] , P _Q
b) [P ) Q] , Q ) P
c) [P ^ Q] _ R , [Q ) R]
d) [P ) (Q ^ R)] , [(P ) Q) ^ (P ) R)].
Exercice 02: Pour n 2 N ; Montrer que:
1) Si n2 est pair, alors n est pair.
2) Si 2n
1 est un nombre premier alors n est premier:
3) Si x et y sont di¤érents alors les nombres (x + 1) (y
1) et (x
1) (y + 1) sont di¤érents.
4) a et p sont deux entiers naturels; montrer que l’on a :
( p premier et p divise a2 ) ) p divise a:
21
5)
p
2 est un nombre irrationnel. Déduire que:
p
p
2 + 3 est irrationnel.
Exercice 03: Montrer par récurrence que:
1) 8n 2 N; 4n + 6n 1 est un multiple de 9.
n
X
1
2) 8n 2 N ;
k (k + 1) (k + 2) = n (n + 1) (n + 2) (n + 3) :
4
k=1
n 1
3) 8n 2 N ; 2
n!: avec n! = n (n
1) (n
2) :::1 et 0! = 1
Exercice 04: A; B et C sont trois parties d’un ensembleE. Montrer que:
1) A [ B = A \ C , B
2) A
B , CEB
A
C.
CEA , A [ B = B
3) CEA[B = CEA \ CEB
4) B = C , (A \ B = A \ C et A [ B = A [ C )
5) (A n B) n C
A n (B [ C) :
6) On suppose que:A \ B = A [ B:A-t-on B = C:
Exercice 05: Soient E un ensemble, A; B 2 P (E) :Résoudre dans P (E) les équations suivantes:
1) X [ A = B
3) X
et
A=B
et
2) X \ A = B
4) X 4 A = B
Exercice 06: Soient E un ensemble non vide, et P (E) l’ensemble de ses parties. On suppose que card
E = n:Montrer par récurrence que:
card P (E) = 2n :
1.5
Solution des exercices
Exercice 01: P et Q étant deux proposition:
22
(1) Véri…ons les lois de Morgan:
P
Q
P
Q
P _Q
P _Q
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
P
Q
P
Q
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
P ^Q
P ^Q
P ^Q
P _Q,P ^Q
P _Q
P ^Q , P _ Q
(2) Les propositions suivantes sont elles des tautologies?
Une tautologie est une proposition qui est vrai dans tous les cas.
P
Q
P
Q
P )Q
P _Q
Q)P
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
la suite du tableau
[P ) Q] , P _Q
[P ) Q] , Q ) P
1
1
1
1
1
1
1
1
23
P
Q
R
P ^Q
Q)R
Q^R
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
P )Q
P )R
[P ^ Q] _ R
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
la suite du tableau
P ) (Q ^ R)
(P ) Q) ^ (P ) R)
c)
d)
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
Ce qui implique que: les propositions a), b) et d) sont des tautologies mais b) n’est
pas une tautologie.
Exercice 02: Pour n 2 N ; Montrons par un raisonnement par l’absurde que:
(1) Si n2 est pair, alors n est pair.
Supposons que: n n’est pas pair ) n est impair ) 9k 2 N tel que: n = 2k + 1 ) n2 =
(2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 2k 2 + 2k + 1
= 2m + 1 avec m = 2k 2 + 2k 2 N ) n2 est impair (contradiction avec l’hypothèse).
(2) Si 2n
1 est un nombre premier alors n est premier:
24
Supposons que n n’est pas premier) 9a; b 2 N avec b 6= 0 tel que: n = a b , (a; b) 6= (n; 1)
et (a; b) 6= (1; n) :
Alors 2n
[(2a )
1 = 2ab
1] 6= 2n
1 = (2a )b
1 et [(2a )
1 = [(2a )
1] [P (2a )] avec deg P (2a ) = b
1. Mais
1] 6= 1
) 2n 1 = M [P (2a )] avec M 6= 2n 1 et M 6= 1 ) 2n 1 n’est pas premier (contradiction
avec l’hypothèse).
(3) Si x et y sont di¤érents alors les nombres (x + 1) (y
Supposons que (x + 1) (y
1) = (x
1) et (x
1) (y + 1) ) xy
1) (y + 1) sont di¤érents.
x+y
1 = xy + x
y
1)
2y = 2x ) x = y (contradiction avec l’hypothèse).
(4) a et p sont deux entiers naturels; montrer que l’on a :
( p premier et p divise a2 ) ) p divise a:
Si p premier et p divise a2 ) 9k 2 N tel que: a2 = k p ) a a= k p
8
< a divise p et k divise a contradiction avec le fait que p est premier.
)
) p divise a:
:
ou bien: pdivise a et adivise k
(5) si p est premier alors
p
p est un nombre irrationnel.
p
Supposons par l’absurde que: p est un nombre rationnel) 9a; b 2 N , (a; b) = 1 avec
p
2
b 6= 0 et p = ab ) p = ab ) p b2 = a2
) p divise a2 mais p premier) p divise a ) a = k p, k 2 N ) b2 = p k 2 ) p divise b2 ,
mais p premier) p divise b
) p 6= 1 est un diviseur commun de a et b contradiction avec (a; b) = 1 )
p
p est un
nombre irrationnel.
(6)
p
p
p
2 est un nombre irrationnel. Déduire que: 2 + 3 est irrationnel.
p
p
p
D’après (5) 2 est un nombre irrationnel. Supposons que 2 + 3 est rationnel)
p p
p 1p 2 Q )
2- 32Q
2+ 3
p
p
p
p
la somme des deux nombres) 2 2 2 Q ) 2 2 Q contradiction) 2 + 3 est irrationnel.
25
Exercice 03: Montrons par récurrence que:
1) 8n 2 N; 4n + 6n 1 est un multiple de 9.
n
X
1
2) 8n 2 N ;
k (k + 1) (k + 2) = n (n + 1) (n + 2) (n + 3) :
4
k=1
n 1
3) 8n 2 N ; 2
1) 8n 2 N; 4n + 6n
Si n = 0, 40
6 0
n!: avec n! = n (n
1) (n
2) :::1 et 0! = 1
1 est un multiple de 9.(Rn )
1 = 0 = 0:9 ) 40
6 0
1 est un multiple de 9 ) R0 est vraie.
Supposons que (Rn ) est vraie pour un n 2 N (l’hypothèse de récurrence), et montrons que
(Rn+1 ) l’est aussi, c’est-à-dire:
4(n+1) + 6 (n + 1)
1 est un multiple de 9:
En e¤et:
4(n+1) + 6 (n + 1)
1
=
4 4n + 6n + 1 + 6
=
9:k + 3:4n + 6 (l’hypothèse de récurrence)
=
9:k + 3 (9k
)
6n + 1) + 6 = 9 (k + 3k
4(n+1) + 6 (n + 1)
2n + 1)
1 est un multiple de 9:
Conclusion:
8n 2 N; 4n + 6n
2) 8n 2 N ;
Si n = 1;
n
X
1 est un multiple de 9.
k (k + 1) (k + 2) = 41 n (n + 1) (n + 2) (n + 3) : (Rn )
k=1
1
X
k (k + 1) (k + 2) = 1 (2) (3) = 6 et 14 n (n + 1) (n + 2) (n + 3) = 14 1 (2) (3) (4) =
k=1
6 ) R1 est vraie.
Supposons que (Rn ) est vraie pour un n 2 N (l’hypothèse de récurrence), et montrons que
26
(Rn+1 ) l’est aussi, c’est-à-dire:
n+1
X
k (k + 1) (k + 2) =
k=1
1
(n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)
4
En e¤et:
n+1
X
k (k + 1) (k + 2) =
k=1
n
X
k (k + 1) (k + 2) + (n + 1) (n + 2) (n + 3)
k=1
=
=
Conclusion:
8n 2 N ;
3) 8n 2 N ; 2n
1
Pour n = 1; 21
1
n
X
k=1
1
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + (n + 1) (n + 2) (n + 3)
4
1
(n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)
4
1
k (k + 1) (k + 2) = n (n + 1) (n + 2) (n + 3) :
4
n!: (Rn ) avec n! = n (n
= 20 = 1
1) (n
2) :::1 et 0! = 1
1! = 1 ) R0 est vraie.
Supposons que (Rn ) est vraie pour un n 2 N (l’hypothèse de récurrence), et montrons que
(Rn+1 ) l’est aussi, c’est-à-dire:
2n
(n + 1)!
En e¤et:
2n = 2:2n
1
2:n!
(n + 1) :n! = (n + 1)!
Conclusion:
8n 2 N ; 2n
1
n!:
Exercice 04: A; B et C sont trois parties d’un ensembleE. Montrons que:
(1) A [ B = A \ C , B
A
C.
") " Montrons que: A [ B = A \ C ) B
A
C
a) B
A, si x 2 B ) x 2 A [ B ) x 2 A \ C ) x 2 A ) B
b) A
C, si x 2 A ) x 2 A [ B ) x 2 A \ C ) x 2 A et x 2 C ) A
)B
A
C
27
A
C
"( "B
A
C )A[B =A\C
8
<
x2A)x2C
a) A [ B
A \ C; si x 2 A [ B )
b) A \ C
A [ B, si x 2 A \ C ) x 2 A ) x 2 A [ B
B , CEB
(2) A
: ou x 2 B ) x 2 A ) x 2 C
)x2A\C
CEA , A [ B = B
a) Montrons que: A
B , CEB
CEA
En e¤et:
") "si x 2 CEB ) x 2 E et x 2
= B ) x 2 E et x 2
= A car A
B ) x 2 CEA
"( "si x 2 A ) x 2
= CEA ) x 2
= CEB ) x 2 B
b) Montrons que: CEB
CEA , A [ B = B
") "1) A [ B
B?
8
< x2A)x2
= CEA ) x 2
= CEB ) x 2 B
si x 2 A [ B )
)x2B
:
ou x 2 B
2)B
A [ B évident dans tous les cas.
"( "CEB
CEA ?
=B)x2
= A[B )x2
= A ) x 2 CEA :
si x 2 CEB ) x 2
(3) CEA[B = CEA \ CEB
"
"CEA[B
CEA \ CEB ?
si x 2 CEA[B ) x 2
= A[B )x2
= A et x 2
= B ) x 2 CEA et x 2 CEB ) x 2 CEA \ CEB
"
" CEA \ CEB
CEA[B
si x 2 CEA \ CEB ) x 2 CEA et x 2 CEB ) x 2
= A et x 2
=B)x2
= A [ B ) x 2 CEA[B :
(4) B = C , (A \ B = A \ C et A [ B = A [ C )
") " Montrons que: (A \ B = A \ C et A [ B = A [ C )?
si B = C ) A \ B = A \ C et A [ B = A [ C
"( " Montrons que: B = C?
"
"si x 2 B ) x 2 A [ B ) x 2 A [ C
28
8
< x 2 A ) x 2 A \ B car on a x 2 B ) x 2 A \ C ) x 2 C
)
:
ou x 2 C
)x2C
"
" si x 2 C ) x 2 A [ C ) x 2 A [ B
8
< x 2 A ) x 2 A \ C car on a x 2 C ) x 2 A \ B ) x 2 B
)
:
ou x 2 B
)x2B
(5) (A n B) n C
A n (B [ C) :
si x 2 (A n B) n C ) x 2 (A n B) et x 2
= C ) x 2 A et x 2
= B et x 2
= C ) x 2 A et
(x 2
= B et x 2
= C)
) x 2 A et x 2
= B [ C ) x 2 A n (B [ C)
(6) On suppose que:A \ B = A [ C:A-t-on B = C:
Non car par exemple: A = f1; 2; 4g ; B = f1; 2; 4g et C = f1; 2g on a: A \ B = A [ C:mais
B 6= C:
Exercice 05: Soient E un ensemble non vide, et P (E) l’ensemble de ses parties. On suppose que card
E = n:
Montrer par récurrence que:
card P (E) = 2n ; 8n 2 N :
Par récurrence:
1ère étape: Pour un ensemble qui contient un seul élément par exemple: E = fag ) P
(E) = f?; fagg
) card P (E) = 21 = 2
donc la relation est vraie pour n = 1
2ème étape: supposons que pour un ensemble An qui contient n éléments alors: card P
(An ) = 2n
29
et montrons que pour un ensemble An+1 qui contient n + 1 éléments alors: card P
(An+1 ) = 2n+1
En e¤et: si on a un ensemble An+1 qui contient n + 1 éléments alors: l’ensemble des
parties contient les sous ensembles
qui ont un lien avec les n premiers éléments qui sont 2n sous ensembles et on ajoute les
mêmes sous enembles mais qui contients
l’élément d’ordre (n + 1) à chaque fois.) card P (An+1 ) = 2n + 2n = 2n+1 :
conclusion:
card P (E) = 2n ; 8n 2 N :
Exercice 06: Soient E un ensemble, A; B 2 P (E) :Résoudre dans P (E) les équations suivantes:
(1) X [ A = B
(3) X
(1) X [ A = B ) A
A=B
1
(4) X 4 A = B
2
A
A [ Y avec Y 2 P (A) ! ensemble des parties de A
= X = CB
A ) X = B [ Y avecY
Alors l’ensemble des solutions est
(3) X
et
(2) X \ A = B
A [ Y avecY
B ) X = CB
Alors l’ensemble des solutions est
(2) X \ A = B ) B
et
CEA
= X = B [ Y avec Y 2 P CEA ! ensemble des parties de CEA
A = B ) A \ B = ? ) X = B [ Y avecY
Alors l’ensemble des solutions est
(4) X 4 A = B ) X = (B
3
A
= fX = B [ Y avec Y 2 P (A) ! ensemble des parties de Ag
A) [ (A \ B) :
30
Chapitre 2
Relations d’équivalence- Relations
d’ordre
2.1
RELATIONS D’ÉQUIVALENCE
2.1.1
NOTION DE RELATION BINAIRE
On appelle relation de E vers F tout procédé associant à des éléments de E des éléments de
F.
Soit < une relation de E vers F . Si x 2 E est en relation avec y 2 F , on notera:
x<y
L’ensemble des couples (x; y) 2 E
F véri…ant une relation < est appelé le graphe de <.
Si E = F , une relation de E vers F est appelée relation binaire sur E ( ou dans E). Par
exemple l’égalité est une relation binaire sur tout ensemble E.
Propriétés des relations binaires dans un ensemble
Soit < une relation binaire dans un ensemble E et x; y; z des éléments de E.
Re‡exivité
< est ré‡exive si:
8x 2 E
x<x
31
Exemple 3 Soit < la relation dé…nie sur Z par:
x<y , 3 divise (x
y)
(On rappelle que a divise b , 9k 2 Z : b = ka).
Alors on a: pour tout x 2 Z, x
x = 0 = 0 3, donc 3 divise (x
x), d’où x<x, et par suite
< est ré‡exive.
Transitivité
< est transitive si:
8x; y; z 2 E
x<y
Exemple 4 Soit < la relation dé…nie sur N
et y<z ) x<z
N par:
x; x0 < y; y 0 , x + x0 = y + y 0
Alors on a: pour tout (x; x0 ) 2 N
N, x + x0 = x + x0 , d’où (x; x0 ) < (x; x0 ), et par suite <
est ré‡exive.
Symétrie < est symétrique si:
8x; y 2 E
x<y
) y<x
Exemple 5 Soit < la relation dé…nie sur R par:
x<y , (x
Alors on a: 8x; y 2 R; x<y , (x
y) est un multiple de 2
y) est un multiple de 2 ) (y
) y<x, et par suite < est symétrique.
Antisymétrie
< est antisymétrique si:
8x; y 2 E
x<y et y<x ) x = y
32
x) est un multiple de 2
Exemple 6 Soit < la relation dé…nie sur N par:
a<b , a divise b
Alors on a: 8a; b 2 N ; a<b , a divise b ) 9k1 2 N tel que:b = k1 a, d’autre part on a:
b<a , b divise a ) 9k2 2 N telque : a = k2 b
) a = k2 k1 a
) k2 k1 = 1 ) k2 = k1 = 1
) a=b
et par suite < est antisymétrique.
2.1.2
RELATION D’ÉQUIVALENCE
Dé…nition
Une relation dé…nie dans un ensemble E est une relation d’équivalence si elle est:
| ré‡exive,
| symétrique,
| transitive.
Si x<y, avec < est une relation d’équivalence. Alors on dit que x est équivalent à y modulo
<.
Exemple 2.1 Soit < la relation dé…nie sur Z par:
x<y , 3 divise (x
y)
Classe d’équivalence
Une classe d’équivalence d’un élément x donné est l’ensemble des éléments y équivalents à
cet élément notée: x_ ou cl (x) ou bien C (x) :
33
Exemple 7 Soit < la relation dé…nie sur Z par:
x<y , 3 divise (x
y)
alors:
2_
=
fx 2 Z tel que: x<2g
x<2 , 3 divise (x
, 9k 2 Z : x
2)
2=k 3
) x=k 3+2
) 2_ = f:::; 7; 4; 1; 2; 5; 8; :::g
Ensemble quotient
L’ensemble des classes d’équivalence modulo < se nomme ensemble quotient de E par < et
se note
E
<
ou E /<:
L’ensemble quotient constitue une partition de E:
En e¤et si x 2 E, x_ 6= ? puisque < est ré‡exive et x 2 x:
_
Et on a: [ x_ = E; x 2 E:
En…n si x_ 6= y_ ) x\
_ y_ = ? car s’il existe un élément a 2 x\
_ y_ ) a<x et y<a ) x<y ) x_ = y_
(contradiction).
Remarque 2.1 Si a 2 x_ alors a_ = x:
_
2.2
RELATION D’ORDRE
Dé…nition 2.1 Une relation dé…nie dans un ensemble E est une relation d’ordre si elle est:
| ré‡exive,
| antisymétrique,
| transitive.
34
Exemple 8 Soit < la relation dé…nie sur N par:
p<q , (9n 2 N tel que pn = q) :
En e¤ et:
a) La ré‡exivité:
on a: p1 = p ) p<p ) < est ré‡exive.
b) L’antisymétrie:
si:
p<q et q< p )
8
< (9n1 2 N tel que pn1 = q) et
: (9n 2 N tel que q n2 = p)
2
)
q
n1 n2
= q ) n1 n2 = 1 ) n1 = n2 = 1
) p = q ) < est antisymétrique.
b) La transitivité:
si:
p<q et q< r )
8
< (9n1 2 N tel que pn1 = q) et
: (9n 2 N tel que q n2 = r)
2
)
p
n1 n2
= r ) (9m = n1 n2 2 N tel que pm = r)
) p< r ) < est transitive.
conclusion: < est une relation d’ordre.
2.2.1
L’ordre total et l’ordre partiel
Dé…nition 2.2 Soit < une relation d’ordre dé…nie sur un ensemble E, alors si pour tout x; y 2
E, on a ou bien x<y ou y<x, on dira que l’ordre est total, si non c’est à dire
9 ;
2 E tel que on a ni
35
< ni <
alors < est un ordre partiel.
Exemple 2.2 Soit < la relation dé…nie sur N par:
p<q , (9n 2 N tel que pn = q) :
< est un ordre partiel car:
pour
2.2.2
= 2 et
= 3 on ni
< ni < :
MAJORANT,MINORANT
Dé…nition 2.3 Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre <, alors M est un majorant
de E, si 8x 2 E; x<M . D’autre part m est un minorant de E, si 8x 2 E; m<x.
Exemple 2.3 Dans I = [2; 5[ muni d’une relation d’ordre < dé…nie par:
x<y , x
y
l’ordre est total et on a par exemple:
7 est un majorant de I et
2.2.3
3 est un minorant de I.
La borne supérieure, la borne inférieure
Dé…nition 2.4 Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre <, alors la borne supérieure
d’un ensemble E est le plus petit des majorant, notée SupE. D’autre part la borne inférieure
est le plus grand des minorants, notée Inf E.
Exemple 2.4 Dans I = [2; 5[ muni d’une relation d’ordre < dé…nie par:
x<y , x
y
SupI = 5et Inf I = 2 .
36
2.2.4
Maximum, minimum
Dé…nition 2.5 Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre <, alors si la borne supérieure
d’un ensemble E appartient à E, alors l’élément maximal (maximum) ou dit le plus grand
élément de l’ensemble existe et il est égal à la borne supérieure de E, si non alors le maximum
n’existe pas: D’autre part si la borne inférieure d’un ensemble E appartient à E, alors l’élément
minimal (minimum) ou dit le plus petit élément de l’ensemble existe et il est égal à la borne
inférieure de E; si non le minimum n’existe pas.
On note le maximum par: M axE et le minimum par: M inE
Exemple 2.5 Dans I = [2; 5[ muni d’une relation d’ordre < dé…nie par:
x<y , x
8
<
2.3
Exercice
y
SupI = 5 2
= I ) M axI n’existe pas et
: Inf I = 2 2 I ) M in I = Inf I = 2 .
Exercice 01: On dé…nit dans R la relation R par:
x R y () x2
1
= y2
x2
1
y2
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence.
(2) Déterminer la classe d’équivalence de a 2 R .
Exercice 02: On dé…nit dans R la relation R par: x R y ()
x
y
>0
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence.
(2) Déterminer cl (1) et cl ( 2) : En déduire la classe d’équivalence de a 2 R .
Exercice 03: soit S la relation dans R dé…nie par:
a S b , a3
37
b3 = a
b
(1) Montrer que S est une relation d’équivalence.
(2) Discuter suivant la valeur de m le nombre d’éléments contenus dans la classe de m .
Exercice 04: Soit R la relation binaire dé…nie sur Z
N par:
(x; y) R x 0 ; y
0
, xy
0
x 0 y = 0:
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence.
(2) Déterminer cl ((1; 2)) et cl (( 1; 2)) :
Exercice 05 : Dans p (E), ensemble des parties de E 6= ?; R est dé…nie par:
A R B , A = B ou A = CEB
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence.
(2) Déterminer cl (?) ;en déduire cl (E) :
(3) A-t-on cl (A \ B) = cl (A) \ cl (B) pour A; B dans p (E)?justi…er.
Exercice 06: Soit
la relation dé…nie sur N par:
x
(1) Montrer que
y , 9 n 2 N tel que : x
n
= y.
est une relation d’ordre dans N :
(2) Cet ordre est-il total ?
(3) Soit l’ensemble B = f1; 4; 8g : Déterminer s’ils existent, M ax A et M in A pour l’ordre
:
Exercice 07: Soit dans R2 la relation dé…nie par:
(x; y)
x 0; y
0
,x
38
x
0
et y
y 0:
(1) Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre. L’ordre est-il total ?
(2) Préciser deux minorants, deux majorants, bornes inférieure et supérieure de la partie:
A = f(1; 2) ; (3; 1)g :
(3) La partie A possède-t-elle un plus grand élément ? un plus petit élément ?.
Exercice 08: On dé…nit dans Z la relation S par:
aS b, a
b+1
(1) Véri…er que 0 S 1 et 1 S 0:Donner une conclusion?
(2) Soit R la relation dé…nie sur Z par:
a R b, a h b+1
Montre que R est une relation d’ordre dans Z:
2.4
Solution des exercices
Exercice 01: On dé…nit dans R la relation R par:
x R y () x2
1
= y2
x2
1
y2
(1) Montrons que < est une relation d’équivalence dans R .
a) < est-elle ré‡exive?
< est ré‡exive, 8x 2 R ;
8x 2 R ; x2
x < x:
1
= x2
x2
1
) x <x ) < est ré‡exive
x2
b) < est-elle symétrique?
39
< est symétrique, 8 (x; y) 2 R
8 (x; y)
2
R ,
x < y ) y < x:
R ;
x <y ) x2
R
1
= y2
x2
1
y2
1
1
= x2
) y<x
y2
x2
) < est symétrique :
) y2
c) < est-elle transitive?
< est transitive,
8 (x; y; z) 2 R
8 (x; y; z)
2
R ; x <y et y<z ) x <z:
R
R
R ;
x <y et y<z
1
1
1
1
) x2
= y2
et y 2
= z2
2
2
2
x
y
y
z2
1
1
) x2
= z2
) x <z:
2
x
z2
Conclusion : < est une relation d’équivalence dans R :
R
2) Déterminons la classe d’équivalence de a 2 R .
1
x2
a_ = fx 2 R =x <ag alors: x <a , x2
x4
a2
1
a2
x2
0n pose t = x2 ) t2
= a2
1
a2
2
a2
) x4
1 2
a2
4
1
a2
1 = a2
x2 )
1=0
1
a2
a2
1
a2
1 = 0 ) 4 = a2
t
+2
alors: 1/ Si 4 = 0 ) a2
t=
1
a2
= a2
1 2
a2
4 = 0 ) a2
1
a2
=
2)t=
a2
2
1
a2
) t = 1ou
1 qui ne convient pas car t > 0
)x=
1.
1 ) a_ = fa; 1; 1g :
2/ Si 4 < 0 ) alors on a un élément unique dans la classe de a ) a_ = fag.
3/ Si 4 > 0 ) t1 =
a2
1
a2
2
p
4
ou bien t2 =
dans la classe de a
p
p p
p
) a_ = a; t2 ;
t2 ; t 1 ;
t1 .
40
a2
1
a2
2
p
+ 4
alors on a 5 éléments
Exercice 02: On dé…nit dans R la relation R par:
x R y ()
x
>0
y
(1) Montrons que < est une relation d’équivalence dans R .
a) < est-elle ré‡exive?
< est ré‡exive, 8x 2 R ;
x < x:
8x 2 R ;
x
= 1 > 0 ) x <x ) < est ré‡exive
x
b) < est-elle symétrique?
< est symétrique, 8 (x; y) 2 R
8 (x; y)
2
R ,
R ;
R
x < y ) y < x:
x <y )
x
y
>0)
> 0 ) y<x
y
x
) < est symétrique
c) < est-elle transitive?
< est transitive,
8 (x; y; z) 2 R
8 (x; y; z)
R
R ; x <y et y<z ) x <z:
x
y
> 0et > 0
y
z
) x et y ont le même signe et y et z ont le même signe et x 6= 0
2
R
R
R ;
x <y et y<z )
) x et z ont le même signe et x 6= 0 ) x z
Conclusion
:
0 ) x <z ) < est transitive
< est une relation d’équivalence dans R :
(2) Déterminons la classe d’équivalence de 1.
1_
=
fx 2 R =x <1g :
x
x <1 )
> 0 ) x > 0 ) 1_ = ]0; +1[
1
41
b) Déterminons la classe d’équivalence de
2_
2.
=
fx 2 R =x < ( 2)g :
x
x <1 )
> 0 ) x < 0 ) 2_ = ] 1; 0[
2
8
< ]0; +1[ si a > 0
(3) Soit a 2 R , alors a_ =
: ] 1; 0[ si a < 0
Exercice 03: soit S la relation dans R dé…nie par:
a S b , a3
b3 = a
b
(1) Montrons que S est une relation d’équivalence.
a) S est-elle ré‡exive?
S est ré‡exive, 8a 2 R;
a S a:
8a 2 R; ) a3
b)
a3 = a
a = 0 ) a Sa ) S est ré‡exive
S est-elle symétrique?
S est symétrique, 8 (a; b) 2 R
8 (a; b)
2
R
R,
a <b ) a3
R;
) b3
a < b ) b < a:
a3 = b
b3 = a
b)
a ) b Sa ) S est symétrique.
c) S est-elle transitive?
S est transitive, 8 (a; b; c) 2 R
8 (a; b; c)
2
R
R
R; aSb et bSc ) a Sc:
R
R;
a <b ) 8a 2 R; ) a3
b3 = a
b
et bSc ) 8a 2 R; ) b3
c3 = b
c
) a3
c3 = a
c ) a Sc ) S est transitive
42
2) Discuter suivant la valeur de m le nombre d’éléments contenus dans la classe de m .
cl (m) =fa 2 R= mSag
mSa ,
) (m
) (a
8
<
m3
a3 = m
a
a) (m2 + am + a2 ) = (m
a)
m) (a2 + ma + m2 ) = (a
m) )
a=m
: ou a2 + ma + m2 = 1 ) a2 + ma + m2
conclusion:
=4
1=0
pour 4 = m2 4 m2 1
p
p
3m
2 + 3m
3m2 = 2
p2
3
1/ Si 4 = 0 ) m =
de m.
2/ Si 4 < 0 ) m 2
classe de m.
i
3/ Si 4 > 0 ) m 2
i
ou
1;
m=
p2 ; p2
3
3
alors on a deux éléments dans la classe
h
[
h
alors on a 3 éléments dans la classe de m.
p2
3
Exercice 04: Soit R la relation binaire dé…nie sur Z
i
p2
3
h
p2 ; +1
3
alors on a un élément unique dans la
N par:
(x; y) R x0 ; y 0 , xy
0
x 0 y = 0:
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence.
a) R est-elle ré‡exive?
R est ré‡exive, 8 (x; y) 2 Z
8 (x; y) 2 Z
b)
N ; (x; y) R (x; y)?
N ) xy
x y = 0 ) (x; y) R (x; y) ) R est ré‡exive
R est-elle symétrique?
R est symétrique, 8 (x; y) ; (x0 ; y 0 ) 2 Z
soient (x; y) ; x0 ; y 0
2
Z
) x 0y
N ,
(x; y) R (x0 ; y 0 ) ) (x0 ; y 0 ) R (x; y)?
N ; si (x; y) R x0 ; y 0 ) xy
0
x 0y = 0 )
xy 0 = 0 ) x0 ; y 0 R (x; y) ) R est symétrique.
43
c) R est-elle transitive?
R est transitive, 8 (x; y) ; (x0 ; y 0 ) ; (x00 ; y 00 ) 2 Z
N ; (x; y) R (x0 ; y 0 ) et (x0 ; y 0 ) R (x00 ; y 00 ) )
(x; y) R (x00 ; y 00 ) :
soient (x; y) ; x0 ; y 0 ; (x00 ; y 00 )
(x; y) R x0 ; y 0
2
) xy
et x0 ; y 0 R x00 ; y 00
N ;
Z
0
x 0 y = 0 ) x0 =
) x0 y 00
x00 y 0 = 0 )
xy
y
xy 0 00
y
y
0
car y 2 N
x00 y 0 = 0
x 00
y
x00 = 0 ) xy 00 yx00 = 0
y
) (x; y) R x00 ; y 00 ) R est transitive
)
(2) Déterminer cl ((1; 2)) et cl (( 1; 2)) :
cl ((1; 2))
=
f(x; y) 2 Z
(x; y) R (1; 2) , 2x
N ; (x; y) R (1; 2)g
y = 0 ) cl ((1; 2)) = fx (1; 2) ; x 2 Rg
et pour:
cl (( 1; 2))
=
f(x; y) 2 Z
N ; (x; y) R ( 1; 2)g
(x; y) R ( 1; 2) , 2x + y = 0 ) cl (( 1; 2)) = fx (1; 2) ; x 2 Rg
Exercice 05 : Dans p (E), ensemble des parties de E 6= ?; R est dé…nie par:
A R B , A = B ou A = CEB
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence.
< est ré‡exive, 8A 2 p (E) ;
A < A:
on a: A = A ) A <A ) < est ré‡exive
b) < est-elle symétrique?
44
< est symétrique, 8A; B 2 p (E),
soient A; B
2
)
A < B ) B < A?
p (E) ;
A <B ) A = B ou A = CEB
B = A ou B = CEA ) B<A
) < est symétrique :
c) < est-elle transitive?
< est transitive,
8A; B; C 2 p (E) ;
8A; B; C
2
p (E) ;
A <B et B<C ) A <C:
A <B et B<C ) A = B ou A = CEB
et B = Cou B = CEC
8
>
A = B et B = C ) A = C
>
>
>
>
>
< A = B etB = C C ) A = C C
E
E
)
) A = C ou A = CEC
>
B
C
>
A = CE et B = C ) A = CE
>
>
>
>
: A = C B etB = C C ) A = C
E
E
) A <C:
Conclusion
:
< est une relation d’équivalence dans p (E) :
(2) Déterminer cl (?) ;en déduire cl (E) :
cl (?)
=
A<? ,
cl (?)
=
fA 2 p (E) =A<?g
A = ? ou A = CE? ) A = ? ou A = E
f?; Eg et puisque E 2 cl (?) ) cl (E) = f?; Eg
(3) A-t-on cl (A \ B) = cl (A) \ cl (B) pour A; B dans p (E)?justi…er.
non car pour: A = ? et B = f1g on a: cl (A \ B) = cl (?) = f?; Eg
mais cl (A) \ cl (B) = cl (?) \ cl (f1g) 6= f?; Eg car f1g 2
= f?; Eg
45
donc: cl (A \ B) 6= cl (A) \ cl (B)
Exercice 06: Soit
la relation dé…nie sur N par:
x
(1) Montrer que
a)
y , 9 n 2 N tel que : x
n
= y.
est une relation d’ordre dans N :
est-elle ré‡exive?
est ré‡exive, 8x 2 N ; x
x?
1
8x 2 N ) 9 n =1 2 N tel que : x
b)
=x)x
x)
est ré‡exive
est-elle antisymétrique?
est antisymétrique, 8x; y 2 N ,
soient x; y N ; si x y
x
y
et y
x ) x = y?
et y x ) 9 n1 2 N tel que : x
et 9 n2
2
n1
= y
N tel que : y n2 = x ) ( y n2 )n1 = x
) n1 n2 = 1 ) n1 = n2 = 1
) x=y)
c)
est antisymétrique.
est-elle transitive?
est transitive, 8x; y; z 2 N ; x
soient x; y; z
2
y et y
z)x
z:
N ;
x y et y z ) 9 n1 2 N tel que : x
et 9 n2
9n
2
=
N tel que : y
n2
z )
(2) Cet ordre est-il total ?
46
= y
= z ) (x
n1 n2 2 N tel que : x
) x
n1
n
n1 n2
=z
est transitive
)
=z
n1
= y
L’ordre n’est pas total car pour les deux entiers f2; 3g on a ni 2
3 ni 3
2:
(3) Soit l’ensemble B = f1; 4; 8g : Déterminer s’ils existent, M ax B et M in B pour l’ordre
:
8
>
>
1
>
<
M)
4
>
>
>
: 8
M ) 9 n1 2 N tel que : 1
n1
= M
M ) 9 n2 2 N tel que : 4
n2
=M
M ) 9 n3 2 N tel que : 8
Alors les seul majorant est M = 1 d’après la première équation
n3
= M
M est un majorant de B , 8x 2 B; x
) SupB = 1 ) M ax B = 1
et on
8 a m est un minorant de B , 8x 2 B; m x
>
m 1 ) 9 n1 2 N tel que : m n1 = 1 ) m 2 N
>
>
>
>
>
< m 4 ) 9 n2 2 N tel que : m n2 = 4 ) m = 2; 4
)
>
>
m 8 ) 9 n3 2 N tel que : m n3 = 8 ) 2; 8
>
>
>
>
:
) m = 2( l’intersection entre les trois cas)
) Inf B = 2 2
= B ) M in B n’existe pas.
Exercice 07: Soit dans R2 la relation dé…nie par:
(x; y)
x 0; y
0
,x
x
0
et y
y 0:
(1) Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre. L’ordre est-il total ?
a)
est-elle ré‡exive?
est ré‡exive, 8 (x; y) 2 R2 ; (x; y)
8 (x; y) 2 R2 ) x
b)
x et y
(x; y)?
y ) (x; y)
(x; y) )
est ré‡exive
est-elle antisymétrique?
est antisymétrique, 8 (x; y) ; (x0 ; y 0 ) 2 R2 , (x; y)
47
(x0 ; y 0 ) et (x0 ; y 0 )
(x; y) ) (x; y) =
(x0 ; y 0 )?
soient (x; y) ; x0 ; y 0
2
R2 ; si (x; y)
et si x0 ; y 0 R (x; y) ) x
0
x et y
x0 ; y 0 ) x
0
et y
y
0
est antisymétrique.
est-elle transitive?
est transitive, 8 (x; y) ; (x0 ; y 0 ) ; (x00 ; y 00 ) 2 R2 ; (x; y)
(x; y)
0
y ) x = x0 et y = y 0
) (x; y) = x0 ; y 0 )
c)
x
(x0 ; y 0 ) et (x0 ; y 0 )
(x00 ; y 00 ) )
(x00 ; y 00 ) :
soient (x; y) ; x0 ; y 0 ; (x00 ; y 00 )
R2 ;
2
x0 ; y 0 ) x
(x; y)
et x0 ; y 0
x00 ; y 00 ) x0
) x
x00 et y
) (x; y)
conclusion:
x
0
et y
x00 et y 0
y
0
y 00
y 00
x00 ; y 00 )
est transitive
est une relation d’ordre qui est partiel car pour les deux couples:
(2; 3) et (4; 1) on a ni (2; 3)
(4; 1) ni (4; 1)
(2; 3) :
(2) Préciser deux minorants, deux majorants, bornes inférieure et supérieure de la partie:
A = f(1; 2) ; (3; 1)g :
(M1 ; M2 ) est un majorant de A ) 8 (x; y) 2 A; (x; y)
) SupA = (3; 2) 2
= A ) M axA n’existe pas.
(m1 ; m2 ) est un minorant de A ) 8 (x; y) 2 A; (m1 ; m2 )
) Inf A = (1; 1) 2
= A ) M inA n’existe pas.
48
8
>
>
(1; 2) (M1 ; M2 ) ) 1 M1 et
>
<
(M1 ; M2 ) )
(3; 1) (M1 ; M2 ) ) 3 M1 et
>
>
>
: ) (M ; M ) 2 R avec 3 M et
1
2
1
8
>
>
(m1 ; m2 ) (1; 2) ) m1 1 et m2
>
<
(x; y) )
(m1 ; m2 )
(3; 1) ) m1 3 et m2
>
>
>
: ) (m ; m ) 2 R avec m
1 et m2
1
2
1
Exercice 08: On dé…nit dans Z la relation S par:
aS b, a
b+1
(1) Véri…er que 0 S 1 et 1 S 0:Donner une conclusion?
0
1 + 1 ) 0 S 1et 1
0 + 1 ) 1 S 0 alors la relation n’est pas antisymétrique.
(2) Soit R la relation dé…nie sur Z par:
a R b, a h b+1
Montrons que R est une relation d’ordre dans Z:
a)
R est-elle ré‡exive?
R est ré‡exive, 8a 2 Z; a R a?
8a 2 Z; a h a + 1 ) aRa ) R est ré‡exive
b)
R est-elle antisymétrique?
R est antisymétrique, 8a; b 2 Z,
soient a; b
et b
2
h a+1 )
a Rb
Z; si aRb et bRa ) a h b + 1
(a
) (a
alors si (a
b)
6=
et b Ra ) a = b?
b) < (b
b) 1 < (a
a)
b) ( 1)
0 ) 1 < ( 1) (contradiction)
) a = b ) R est antisymétrique.
c) R est-elle transitive?
49
est transitive, 8a; b; c 2 Z; a R b et b R c ) a R c?
soient a; b; c
2
a R b et b R c )
Z;
a h b+1)a
et b h c + 1 ) b
c)a
b
c
) a < c + 1 ) R est transitive
Conclusion: R est une relation d’ordre.
50
Chapitre 3
Les applications
3.1
NOTION D’APPLICATION
Étant donné deux ensembles E et F on dé…nit une application de E dans F en se donnant une
règle permettant de faire correspondre à tout élément de E un élément déterminer de F . Cette
règle est considérée comme un opérateur, noté f; T; ::: Si a 2 E, f (a) désigne le transformé de
a et représente donc un élément de F , et on note:
f
:
E!F
x 7 ! f (x) = y
On dit que y est fonction de x. E est l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée. L’élément
y associé à x est l’image de x par f .
Exemple 3.1
f
:
R!R
x 7 ! f (x) = 6x + 3
51
3.2
ÉGALITÉ DE DEUX APPLICATIONS
Pour montrer que deux applications f et g sont égales, on montre qu’elles ont le même ensemble
de départ E, et le même ensemble d’arrivée F et que
8x 2 E; f (x) = g (x)
Exemple 3.2 Soit E un ensemble. Pour toute partie X de E, on note 'X l’application de E
dans f0; 1g dé…nie par:
8
< 1 si t 2 X
'X (t) =
: 0 si non
'X est appelée application caractéristique de X.
Exemple 9 Montrons que:
8A; B 2 P (E) ; 'A\B = 'A 'B
En e¤ et:
On sait que 'A\B et 'A 'B ont même ensemble de départ E et même ensemble d’arrivé
f0; 1g, il su¢ t de montrer que:
8t 2 E; 'A\B (t) = ('A 'B ) (t)
On distingue les cas suivants:
F si t 2 (A \ B) ) 'A\B (t) = 1, et ('A 'B ) (t) = ('A ) (t) ('B ) (t) = 1 1 = 1 (car t 2 A
et t 2 B),
F si t 2 (A r B) ) 'A\B (t) = 0, et ('A 'B ) (t) = ('A ) (t) ('B ) (t) = 1 0 = 1 (car t 2 A
et t 2
= B),
F si t 2 (B r A) ) 'A\B (t) = 0, et ('A 'B ) (t) = N ('A ) (t) ('B ) (t) = 0 1 = 1 (car
t2
= A et t 2 B),
F si t 2
= (A [ B) ) 'A\B (t) = 0, et ('A 'B ) (t) = ('A ) (t) ('B ) (t) = 0 0 = 0 (car t 2
=A
et t 2
= B).
52
Donc, pour tout t 2 E; 'A\B (t) = ('A 'B ) (t)
et par suite 'A\B = 'A 'B :
3.3
COMPOSÉE DE DEUX APPLICATIONS
Soient f une application d’un ensemble E dans un ensemble F et g une application de F dans
un ensemble G. Alors le composée de ces deux application est
g f
:
E!G
x 7! (g f ) (x) = g (f (x))
Exemple 3.3
f
:
N!N
et g : N ! N
x 7! f (x) = 2x
x 7! g (x) =
Alors:
f
g
:
N!N
x 7! f (g (x)) =
et g f
:
8
<
x
: x+1
8
<
:
x
2
x+1
2
si x est pair
si x est impair
si x est pair
si x est impair
N!N
x 7! g (f (x)) = g (2x) = x car 2x = y est un entier pair
Remarque 3.1 Dans le cas général:
g f 6= f
g
(voir l’exemple).
53
3.4
IMAGE D’UNE PARTIE
Soient f une application d’un ensemble E dans un ensemble F et A une partie de E. Alors
l’image de A par f est dé…nie par:
f (A) = ff (x) ; x 2 Ag
Exemple 3.4
f
R ! R+
:
x 7! f (x) = jxj
et A = f 1; 1; 2; 2; 3; 3g
On a donc:
f (A) = f1; ; 2; 3g
3.5
INJECTIVITÉ
Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F: Par dé…nition:
f est injective , 8x1 ; x2 2 E; x1 6= x2 ) f (x1 ) 6= f (x2 )
ou bien
:
f (x1 ) = f (x2 ) ) x1 = x2 (le contraposé)
Exemple 3.5
f
:
R!R
et g : R ! R+
x 7! f (x) = 2x
x 7! g (x) = jxj
Alors:
f est injective car:
mais g n’est pas injective car par exemple
8x1 ; x2 2 R; x1 6= x2 ) 2x1 6= 2x2 ) f (x1 ) 6= f (x2 )
:
54
2 6=
2 mais f (2) = f ( 2) :
3.6
SURJECTIVITÉ
Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F:Alors:
f est surjective , 8y 2 F; 9x 2 E tel que: f (x) = y
c’est à dire chaque élément de l’ensemble d’arrivé admet un antécédent.
Exemple 3.6
f
:
R!R
et g : N ! N
x 7! f (x) = jxj
x 7! g (x) =
Alors:
f n’est pas surjective car si y
mais g est surjective car
8
<
:
x
2
x+1
2
si x est pair
si x est impair
2 R , 8x 2 R; : f (x) = jxj =
6 y;
8y 2 N; 9x = 2y 2 N avec
2y
f (x) = f (2y) =
=y
2
3.7
:
BIJECTIVITÉ
Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble F:Alors:
f est bijective , f est injective et surjective.
, 8y 2 F; 9!x 2 E tel que: f (x) = y
Exemple 3.7
f
:
R+ ! R+
x 7! f (x) = jxj
Exemple 10 f est bijective.
55
3.8
BIJECTION RÉCIPROQUE
Soit f une application bijective d’un ensemble E dans un ensemble F . Alors l’application
réciproque f
1
est dé…nie de F dans E, qui a pour chaque élément y, on associe un élément
unique x.
Exemple 3.8
f
:
R!R
x 7! f (x) = 3x + 5
Exemple 11
y
=
3x + 5 ) x =
) f
y
y !
7
3.9
1
y
5
3
:R!R
5
3
IMAGE RÉCIPROQUE D’UNE PARTIE
Soient f une application d’un ensemble E dans un ensemble F et B une partie de E. Alors
l’image réciproque de B par f est dé…nie par:
f (B) = fx 2 E; f (x) 2 Bg
Exemple 3.9
f
:
R+ ! R+
x 7! f (x) = jxj
et B = f1; 2; 3g
On a donc:
f
1
(B) = f1; ; 2; 3g
56
3.10
INVOLUTION
une involution est une bijection d’un ensemble E sur lui-même, qui est égale son inverse, c’est
à dire:
8x
2
E
f (x) = f
1
(x)
) f [f (x)] = x ou bien: f
ou I est l’application identité
3.11
:
8x 2 E
f =I
I (x) = x:
PROPRIÉTÉS DES APPLICATIONS
Si A; B 2 P (E) alors:
A
B ) f (A) = f (B)
En e¤et: si
y 2 f (A) ) 9x 2 A tel que, f (x) = y
) 9x 2 B tel que, f (x) = y car: A
) y 2 f (B) ) f (A)
de même pour
:
f (B)
f (B) :
f (A) :
et on a:
f (A [ B) = f (A) [ f (B)
f (A \ B)
f (A) \ f (B)
L’égalité n’ayant lieu que si f est injective.
57
B
Exemple 3.10
A
=
f0; g ; B = f0; 3 g et f (x) = cos x
) f (A) = f1; 1g ; f (B) = f1; 1g
f (A \ B)
=
)
3.12
f1g et f (A) \ f (B) = f1; 1g
f (A) \ f (B)
f (A \ B) (f n’est pas injective).
Exercices
Exercice 01: Soit E un ensemble. Pour toute partie X de E, on note 'X l’application de E dans f0; 1g
dé…nie par:
8t 2 E; ('X (t) = 1) , (t 2 X) :
'X est appelée application caractéristique de X:
(1) Montrer que: 8A; B 2 P (E) ; 'A\B = 'A :'B :
(2) En déduireque: 'A = ('A )2 :
(3) 'A = 1
'A :
(4) 'A[B = 'A + 'B
'A :'B :
Exercice 02: On considère les deux applications de N dans N dé…nies pour tout x 2 N, respectivement
par:
f (x) = 2x; g (x) =
Déterminer les applications u = g f
Exercice 03: f : E ! F une application,
(1) Montrer que:
(2) a) Montrer que:
A
8
<
x
2
:
x+1
2
et v = f
E et B
si x est pair
si x est impair
g.
E:
f (A [ B) = f (A) [ f (B) .
f (A \ B)
f (A) \ f (B) .
b) Donner un exemple pour lequel f (A \ B) 6= f (A) \ f (B) :
58
c) Montrer que si f est injective alors: f (A \ B) = f (A) \ f (B) .
Exercice 04:
(1) Montrer que f de R dans ] 1; 1[ dé…nie par:
f (x) =
x
est bijective et déterminer sa réciproque.
1 + jxj
(2) Soit g l’application de R dans l’intervalle [ 1; 1] dé…nie par:
f (x) = sin ( x)
a) Cette application est-elle injective? est-elle surjective? est-elle bijective?
b) Montrer que la restriction de f à
1 1
2 ;2
est une bijection de
1 1
2 ;2
sur ] 1; 1[ .
Exercice 05: Les applications suivantes sont elles injectives, surjectives, bijectives ?
f
:
R !R
sin x
x !
7
x
c) h : R+ ! R+
p
x 7! x
b) g : Z ! N
x 7! jxj
[x]
Exercice 06: Soit f de [0; 1[ dans[1; +1[ dé…nie par:
f (x) = p
1
1
x2
:
(1) Montrer que f est une application et qu’elle est bijective.
(2) Dé…nir alors l’application réciproque.
Exercice 07: Soit h l’application de R dans R dé…nie par: h (x) =
(1) Véri…er que pour tout réel a non nul on a: h (a) = h
4x
:
x2 +1
1
a
:
l’application h est-elle injective? Justi…er.
(2) Soit f la fonction dé…nie sur l’intervalle I = [1; +1[ par f (x) = h (x) :
59
a) Montrer que f est injective.
b) Véri…er que: 8x 2 I; f (x)
2:
c) Montrer que f est une bijection de I sur ]0; 2] et trouver f
Exercice 08 : Soit f : R ! R dé…nie par: f (x) =
(1) Calculer f (2) et f
1
2
1 (x) :
x
:
x2 +1
: f est-elle injective?
(2) Résoudre dans R : f (x) = 2: f est-elle surjective?
(3) Déterminer f (R) :(Indication: utiliser (x + 1)2
1)2
0 et (x
0):
Exercice 09: Soient E; F; G trois ensembles et f : E ! F , g : F ! G deux applications:
(1) Montrer que: g f
est injective ) f est injective.
(2) Montrer que: g f
est surjective ) g est surjective.
(3) f et g sont bijectives ) g f
est bijective et (g f )
1
=f
1
g
1.
Exercice 10: Soient E; F; G trois ensembles, on considère f et g deux applications quelconques de E
dans F et h une application injective de F dans G: montrer que:
h f =h g )f =g :
Exercice 11 : Soient A et B 2 P (E) et f : P (E) ! P (A)
P (B) dé…nie par:
f (X) = (X \ A; X \ B) :
(1) Montrer que f est injective si et seulement si A [ B = E .
(2) Montrer que f est surjective si et seulement si A \ B = ;.
(3) Donner une condition nécessaire et su¢ sante pour que f soit bijective.Déterminer f
60
1:
3.13
Solution des exercices
Exercice 01: Soit E un ensemble. Pour toute partie X de E, on note 'X l’application de E dans f0; 1g
dé…nie par:
8t 2 E; ('X (t) = 1) , (t 2 X) :
'X est appelée application caractéristique de X:
(1) Montrons que: 8A; B 2 P (E) ; 'A\B = 'A :'B :
'A\B : E ! f0; 1g et 'A :'B : E ! f0; 1g car: 0 0 = 0; 0 1 = 1 0 = 0 et 1 1 = 1:
Montrons alors
8 que: 8t 2 E; 'A\B8(t) = 'A (t) :'B (t)?
< 1 si t 2 A \ B
< 1 si t 2 A et t 2 B
=
'A\B (t) =
: 0 si t 2
: 0 si t 2
= A\B
= A ou t 2
=B
8
>
1 si t 2 A et t 2 B
>
>
>
8
>
>
< 0 si t 2 A ou t 2
< 1 si t 2 A et t 2 B
=B
et 'A (t) :'B (t) =
=
>
: 0 si t 2
>
0si t 2
= A ou t 2 B
= A ou t 2
=B
>
>
>
>
: 0si t 2
= A ou t 2
=B
= 'A\B (t) )
'A\B = 'A :'B :
(2) En déduireque: 'A = ('A )2 :
On a: 'A\A = ('A )2 d’après (1) mais: 'A\A = 'A car: A \ A = A ) 'A = ('A )2 :
(3) 'A = 1
'A :
8
8
8
8
< 1 si t 2 A
< 0 si t 2 A
< 1 1 si t 2 A
< 0 si t 2 A
'A (t) =
=
et 1 'A =
=
: 0 si t 2
: 1 si t 2
: 1 0 si t 2
: 1 si t 2
=A
=A
=A
=A
de plus: 'A (t) : E ! f0; 1g et 1 'A : E ! f0; 1g ) 'A = 1 'A :
(4) 'A[B = 'A + 'B
'A[B
'A :'B :
8
8
< 1 si t 2 A [ B
< 1 si t 2 A ou t 2 B
=
=
:
: 0 si t 2
: 0 si t 2
= A[B
= A et t 2
=B
61
'A (t)+'B (t) 'A (t) :'B
'A[B (t) :
8
>
1+0
>
>
>
>
>
< 0+1
(t) =
>
>
0+0
>
>
>
>
: 1+1
0 si t 2 A et t 2
=B
0 si t 2
= A ou t 2 B
0si t 2
= A ou t 2
=B
1si t 2 A ou t 2 B
et on a: 'A[B : E ! f0; 1g et 'A (t) + 'B (t)
) 'A[B = 'A + 'B
8
< 1 si t 2 A ou t 2 B
=
=
: 0 si t 2
= A et t 2
=B
'A (t) :'B (t) : E ! f0; 1g
'A :'B :
Exercice 02: On considère les deux applications de N dans N dé…nies pour tout x 2 N, respectivement
par:
f (x) = 2x; g (x) =
Déterminons les applications u = g f
8
<
:
x 7! u (x) = g f (x) = g [f (x)] = g (2x) =
x 7! v (x) = f g (x) = f [g (x)] =
g f (x) :
Exercice 03: f : E ! F une application,
(1) Montrons que:
a) f (A [ B)
Soit y 2
)
8
<
f
: f
A
x+1
2
et v = f
u:N!N
et v : N ! N
x
2
x
2
x+1
2
E et B
2x
2
si x est pair
si x est impair
g.
= x:
si x est pair
=
si x est impair
8
<
: x + 1 si x est impair
E:
f (A [ B) = f (A) [ f (B) .
f (A) [ f (B)?
f (A [ B) ) 9x 2 A [ B tel que: f (x) = y
9x 2 A ou 9x 2 B tel que: f (x) = y
) ( 9x 2 A tel que: f (x) = y) ou (9x 2 B tel que: f (x) = y)
) y 2 f (A)
ou y 2 f (B) ) y 2 f (A) [ f (B) :
b) y 2 f (A) [ f (B) ) y 2 f (A)
ou y 2 f (B)
) ( 9x 2 A tel que: f (x) = y) ou (9x 2 B tel que: f (x) = y)
) 9x 2 A ou 9x 2 B tel que: f (x) = y
) 9x 2 A [ B tel que: f (x) = y ) y 2
f (A [ B) :
62
x si x est pair
6=
(2) a) Montrons que:
Soit y 2
)
f (A \ B)
f (A) \ f (B) .
f (A \ B) ) 9x 2 A \ B tel que: f (x) = y
9x 2 Aet 9x 2 B tel que: f (x) = y
) ( 9x 2 A tel que: f (x) = y) et (9x 2 B tel que: f (x) = y)
) y 2 f (A)
et y 2 f (B) ) y 2 f (A) \ f (B) :
b) Donner un exemple pour lequel f (A) \ f (B)
1. On pose: A = f0; 1g et B = f0; 1g avec:
f (A \ B) :
f (x) = jxj :
f (A) = f0; 1g et f (B) = f0; 1g ) f (A) \ f (B) = f0; 1g
et A \ B = f0g ) f (A \ B) = f0g
conclusion: f (A) \ f (B)
f (A \ B) :
c) Montrer que si f est injective alors: f (A \ B) = f (A) \ f (B).
Il su¢ t de montrer que: f (A) \ f (B)
y 2 f (A) \ f (B) ) y 2 f (A)
f (A \ B)
et y 2 f (B)
) ( 9x1 2 A tel que: f (x1 ) = y) et (9x2 2 B tel que: f (x2 ) = y)
et puisque f est injective alors: x1 = x2 = x
) 9x 2 A et 9x 2 B tel que: f (x) = y
) 9x 2 A \ B tel que: f (x) = y ) y 2
f (A \ B) :
Exercice 04:
(1) Montrer que f de R dans ] 1; 1[ dé…nie par:
f (x) =
x
est bijective et déterminer sa réciproque.
1 + jxj
a) f est elle injective?
8x1 ; x2 2 R, si f (x1 ) = f (x2 ) ) x1 = x2 ?
Soient x1 ; x2 2 R, si f (x1 ) = f (x2 ) )
x1
1 + jx1 j
63
=
x2
1 + jx2 j
8
x2
x1
>
0 et x2 0 ) x1 = x2
>
1 + x1 = 1 + x2 si x1
>
>
>
>
x2
x1
>
0 et x2 0
>
>
1 + x1 = 1
x2 si x1
>
>
>
< ne convient pas que dans le cas où x1 ; x2 ont le même signe
)
x1
x2
>
>
0 et x2 0
>
1
x1 = 1 + x2 si x1
>
>
>
>
>
ne convient pas que dans le cas où x1 ; x2 ont le même signe
>
>
>
>
:
x2
x1
0 et x2 0x1 = x2
1
x1 = 1
x2 si x1
injective.
) x1 = x2 ) f est
b) f est elle surjective?
Montrons que: 8y 2 ] 1; 1[ ; 9x 2 R tel que: f (x) = y
Si y 2 ] 1; 0[ ) x < 0 )
Si y 2 [0; 1[ ) x > 0 )
x
1
x
1 +x
x
y
1+y <
y
1 y <0
=y)x=
=y)x=
0 qui existe si: y 2 ] 1; 0[
qui existe si: y 2 [0; 1[
conclusion: f est une application bijective avec:
f
1
:
] 1; 1[ ! R
8
< y si y 2 [0; 1[
1 y
:
y 7!
: y si y 2 ] 1; 0[
1+y
(2) Soit g l’application de R dans l’intervalle [ 1; 1] dé…nie par:
g (x) = sin ( x)
a) Cette application est-elle injective? est-elle surjective? est-elle bijective?
1) g n’est pas injective car: si x1 = 0 et x2 = 2; x1 6= x2 mais: g (x1 ) = g (x2 ) = 0:
2)
1
sin ( x)
1 ) G est surjective
3) g n’est pas bijective car elle n’est pas injective.
b) Montrer que la restriction de g à
Soit h la restriction de g à
1) h est surjective car: si x 2
1 1
2 ;2
1 1
2 ;2
)h:
1 1
2 ;2
est une bijection de
1 1
2 ;2
1 1
2 ;2
! ] 1; 1[ x 2
x 7! h (x) = sin ( x)
)
1 < sin ( x) < 1:
2) il reste à montrer que: h est injective?
Soient x1 ; x2 2
1 1
2 ;2
sur ] 1; 1[ .
, si h (x1 ) = h (x2 ) ) sin ( x1 )
64
sin ( x2 ) = 0
) 2 sin
8
<
)
: cos
est bijective.
(x1 x2 )
2
cos
sin
(x1 +x2 )
2
(x1 +x2 )
2
(x1 x2 )
2
=0
= 0 ) x1 = x2
= 0 ) x1 + x2 = 1 cas qui n’est pas possible.
) h est injective) h
Exercice 05: Les applications suivantes sont elles injectives, surjectives, bijectives ?
a) f
:
R !R
sin x
x !
7
x
b) g : Z ! N
x 7! jxj
[x]
c) h : R+ ! R+
p
x 7! x
a)- f n’est pas injective car: x1 = 2 ; x2 = 4 , x1 6= x2 mais f (x1 ) = f (x2 ) = 0:
- Pour surjective: si on pose l’application h (x) = sin x
(x)
x ) h0 (x) = cos x
1 ) h0
0 ) h est décroissante
) le seul cas pour que h (x) = 0 quand x = 0 donc pour y = 1, 8x 2 R ; sin x 6= x )
sin x
x
6= 1 ) f (x) 6= 1
Alors f n’est pas surjective.
b) g : Z ! N
x 7! jxj
[x]
[x] désigne la partie entière qui est paer dé…nition: max y avec y 2 Z et y
x:
- g n’est pas injective car: x1 = 1; x2 = 2, x1 6= x2 mais f (x1 ) = f (x2 ) = 0:
- Pour surjective: on a pour x 2 Z+ ; g (x) = 0 et si x 2 Z ; g (x) =
x
x=
2x 2 N est
qui pair
) 8y = 2k + 1 (impair); 8x 2 Z; g (x) 6= y: Alors g n’est pas surjective.
c) h : R+ ! R+
p
x 7! x
Soient x1 ; x2 2 R+ ; h (x1 ) = h (x2 ) )
p
x1 =
p
x2 ) x1 = x2 car h est strictement
croissante) h est injective.
Pour surjective: 8y 2 R+ ; 9x 2 R+ tel que: y =
surjective) h est bijective.
65
p
x (il su¢ t de prendre x = y 2 )) h est
Exercice 06: Soit f de [0; 1[ dans[1; +1[ dé…nie par:
f (x) = p
1
x2
1
:
(1) Montrer que f est une application et qu’elle est bijective.
f est une application , 8x 2 [0; 1[ ; 9y 2 [1; +1[ tel que: f (x) = y?
f
0
(x) =
x
0 car x 2 [0; 1[ ) f est croissante en plus on a: f (0) = 1 et lim f
3
(1 x2 ) 2
x!1
(x) = +1
) f [0; 1[ = [1; +1[ d’où f est une application.
- f est injective car: 8x1 ; x2 2 [0; 1[ ; f (x1 ) = f (x2 ) ) p 1
1 x21
= p1
1 x22
) x21 = x22 ) x1 =
x2 :
p
- f est surjective car: 8y 2 [1; +1[ ; 9x 2 [0; 1[ tel que: f (x) = y )
y2 1
y
2 [0; 1[car y
p 1
1 x2
=y )x=
1:
(2) Alors l’application réciproque est:
f
1
:
[1; +1[ ! [0; 1[
p
y2 1
1
:
y 7! f (y) =
y
Exercice 07: Soit h l’application de R dans R dé…nie par: h (x) =
(1) Véri…er que pour tout réel a non nul on a: h (a) = h
h (a)
h
1
a
=
4a
a2 +1
4 a1
2
( a1 )
+1
= 0 ) h (a) = h
1
a
4x
:
x2 +1
1
a
:
:
1. l’application h est-elle injective? Justi…er.
h n’est pas injective car pour: x1 = 2 et x2 =
1
2
1
2
on a: x1 6= x2 mais d’après (1) h (2) = h
:
(2) Soit f la fonction dé…nie sur l’intervalle I = [1; +1[ par f (x) = h (x) :
a) Montrons que f est injective:
66
Montrons que: 8x1 ; x2 2 R, si f (x1 ) = f (x2 ) ) x1 = x2 ?
4x1
x21 +1
En e¤et: si f (x1 ) = f (x2 ) )
x1 =
1
x2
=
4x2
x22 +1
) (x1
x2 ) (1
x1 x2 ) = 0 ) x1 = x2 ou
cas qui n’est pas possible
pour: x1 ; x2 2 [1; +1[ sauf si x1 = x2 ) f est injective:
1. b) Véri…er que: 8x 2 I; f (x)
f (x)
2=
2(x 1)2
1+x2
2:
0 ) f (x)
2:
1. c) Montrer que f est une bijection de I sur ]0; 2] et trouver f
1 (x) :
On a: f est injective en plus:
- f est surjective car: 8y 2 ]0; 2] ; 9x 2 [1; +1[ tel que: f (x) = y )
yx2
4x + y = 0
4 = 16
4y 2
0 car: y 2 ]0; 2] ) x1 = 2 + 2
qui ne convient pas
p
)x=2+2 4
p
4
y 2 ou x2 = 2
2
p
4
4x
x2 +1
= y )
y 2 une solution
y 2 qui existe 8y 2 ]0; 2] ) f est bijective.
(2) Alors l’application réciproque est:
f
1
:
]0; 2] ! [1; +1[
p
y !
7
f 1 (y) = 2 + 2 4
Exercice 08 : Soit f : R ! R dé…nie par: f (x) =
(1) Calculer f (2) et f
f (2) = f
1
2
=
2
5
1
2
y2:
x
:
x2 +1
: f est-elle injective?
) f n’est pas injective car: x1 6= x2 mais f (2) = f
1
2
:
(2) Résoudre dans R : f (x) = 2: f est-elle surjective?
f (x) = 2 ,
x
x2 +1
= 2 , 2x2
x+2 = 0 ) 4 =
15 < 0 ) l’ensemble des solutions est
vide (;).
Donc pour y = 2; 8x 2 R; f (x) 6= 2 ) f n’est surjective
67
(3) Déterminer f (R) :(Indication: utiliser (x + 1)2
on a: (x + 1)2
1 1
2; 2
(R) =
0 et (x
1)2
0 ) x2 + 1
1)2
0 et (x
2x et x2 + 1
0):
2x )
1
2
x
x2 +1
1
2
)f
:
Exercice 09: Soient E; F; G trois ensembles et f : E ! F , g : F ! G deux applications:
(1) Montrer que: g f
est injective ) f est injective.
Supposons par l’absurde que f n’est pas injective) 9x1 ; x2 2 E avec x1 6= x2 et f (x1 ) = f
(x2 ) ) g [f (x1 )] = g [f (x2 )]
car g est une application alors g
f (x1 ) = g
f
(x2 ) ) g
f
n’est pas injective.
(contradiction)) f est injective.
(2) Montrer que: g f
est surjective ) g est surjective.
g f est surjective) 8z 2 G; 9x 2 E tel que: g f (x) = z ) g [f (x)] = z ) 9y = f (x) 2 F
car f est une application et g (y) = z
alors g est surjective.
(3 ) f et g sont bijectives ) g f
est bijective et (g f )
1
1
=f
g
1.
Si f et g sont bijectives. Montrons alors que:g f est injective ensuite qu’elle est surjective?
Pour injective:
Soient x1 ; x2 2 E avec x1 6= x2 ) f (x1 ) 6= f (x2 ) car f est injective) g [f (x1 )] 6=
g [f (x2 )]car g est injective) g f
est injective .
Pour surjective:
8z 2 G; 9y 2 F tel que: g (y) = z car g est surjective) 9x 2 E tel que: g [f (x)] = z car f
est surjective) g f (x) = z ) g f est surjective.
En plus si ona: h
f
1
g
1
k = Id ) k = h
(g f ) = f
1
1,
ce qui fait pour notre exercice: (g f )
Id f = Id ) (g f )
1
=f
1
g
1
=
1.
Exercice 10: Soient E; F; G trois ensembles, on considère f et g deux applications quelconques de E
dans F et h une application injective de F dans G: montrer que:
h f =h g )f =g :
68
Par l’absurde: supposons que: f 6= g ) 9x 2 E et f (x) 6= g (x) ) 9x 2 E tq: h
[f (x)] 6= h [g (x)] car h est injective
) 9x 2 E tq: h f (x) 6= h g (x) ) h f 6= h g
Exercice 11 : Soient A et B 2 P (E) et f : P (E) ! P (A)
P (B) dé…nie par:
f (X) = (X \ A; X \ B) :
(1) Montrer que f est injective si et seulement si A [ B = E .
") "hyp: f est injective
Pb: A [ B = E
"
" evident car A et B 2 P (E) :
"
"Par l’absurde supposons que E n’est pas inclu dans A [ B alors: 9x 2 E et x 2
= A[B
) 9x 2 E et x 2
= A et x 2
= B ) fxg \ A = fxg \ B = ; ) f (fxg) = (fxg \ A; fxg \ B) =
(;; ;) = f (;) avec ; =
6 fxg
) f n’est pas injective (contradiction), ce qui implique que: A [ B = E:
" ( "hyp: A [ B = E
Pb: f est injective
Soient X1 ; X2 2 P (E) avec f (X1 ) = f (X2 )
) (X1 \ A; X1 \ B) = (X2 \ A; X2 \ B) ) X1 \ A = X2 \ A et X1 \ B = X2 \ B
) (X1 \ A) [ (X1 \ B) = (X2 \ A) [ (X2 \ B) ) X1 \ (A [ B) = X2 \ (A [ B) (la distributivité)
) X1 \ (E) = X2 \ (E) ) X1 = X2 ) f est injective.
(2) Montrer que f est surjective si et seulement si A \ B = ;.
") "hyp: f est surjective
Pb: A \ B = ;
"
" evident car l’ensemble vide est inclu dans chaque ensemble.
69
"
"Par l’absurde supposons que A\B n’est pas inclu dans ; alors: 9x 2 A\B ) fxg\A =
fxg = fxg \ B
Mais (fxg ; ;) 2 P (A)
P (B) alors 8Y 2 P (E) on a: f (Y ) = (Y \ A; Y \ B) 6= (fxg ; ;)
car x 2 B
) f n’est pas surjective:
" ( "hyp: A \ B = ;
Pb: f est surjective
Supposons que f n’est pas surjective) 9 (Y1 ; Y2 ) 2 P (A)
P (B) et (Y1 ; Y2 ) 6= f (X) ; 8X 2
P (E)
) (Y1 ; Y2 ) 6= (X \ A; X \ B) ; 8X 2 P (E) , en particulier si X = Y1 [ Y2
) (Y1 ; Y2 ) 6= ((Y1 [ Y2 ) \ A; (Y1 [ Y2 ) \ B),maisY1 2 P (A) ; Y2 2 P (B) et A \ B = ;
) (Y1 ; Y2 ) 6= (Y1 \ A; Y2 \ B) = (Y1 ; Y2 ) )contradiction) f est surjective.
(3) Donner une condition nécessaire et su¢ sante pour que f soit bijective.Déterminer f
1:
une condition nécessaire et su¢ sante pour que f soit bijective est: A [ B = E et A \ B =
; ) A = CEB :
On a: f (X) = (X \ A; X \ B) = (Y1 ; Y2 ) 2 P (A)
P (B)
) X \ A = Y1 et X \ B = Y2 et puisque A [ B = E ) f
70
1 (Y ; Y )
1 2
= X = Y1 [ Y2 :
Chapitre 4
Suites numériques.
4.1
DÉFINITIONS
On appelle suite d’éléments de E une application d’un sous ensemble A = fn0 ; n0 + 1;
de N vers E. On la note:
u
:
A!E
n 7! u (n) = un
un est appelé terme général de la suite u, que l’on note aussi (un )n
Considérons les deux suites (un )n
0 ; (vn )n 1 ,
un = 2 +
n0
:
dé…nies par:
p
5
; vn = n + 1:
n+1
On deux types de suites:
1. Une suite dé…nie par un terme général qui est dé…ni par un indice n.
Exemple 12
un =
n2
1
; vn = sin n:
+1
2. Une suite récurrente:
C’est une suite qui est dé…nie par une relation entre ces termes d’ordre n; n
71
1; n + 1;
g
Exemple 13
8
<
u0 = 2
: u = pu
n
n 1 + 1:
Remarque 14
(un )n2N = (vn )n , un = vn
8n 2 N
4.2
QUELQUES CARACTÈRES DES SUITES
4.2.1
Suites monotones
Pour étudier la monotonie d’une suite on calcul la valeur suivante:
un+1
un pour tout n 2 N:
Donc on a les cas suivants:
1) si un+1
un
0; 8 n 2 N alors la suite est dite croissante.
2) si un+1
un > 0; 8 n 2 N alors la suite est dite strictement croissante.
3) si un+1
un
4) si un+1
un < 0; 8 n 2 N alors la suite est dite strictement décroissante.
5) si un+1
un = 0; 8 n 2 N alors la suite est dite constante.
0; 8 n 2 N alors la suite est dite décroissante.
D’une autre manière on peut calculer la valeur:
un+1
= l pour tout n 2 N:
un
72
Alors on a:
1) si l
1; 8 n 2 N alors la suite est dite croissante.
2) si l > 1; 8 n 2 N alors la suite est dite strictement croissante.
3) si l
1 ; 8 n 2 N alors la suite est dite décroissante.
4) si l < 1 ; 8 n 2 N alors la suite est dite strictement décroissante.
5) si l = 1; 8 n 2 N alors la suite est dite constante.
Exemple 15
8
<
Alors on a:
un+1
un = 2
1
un
u0 = 2
: u =2
n
1
un
(un
1)2
un =
un
1
:
< 0; 8 n 2 N car un > 0:
donc la suite est décroissante.
4.2.2
Suites bornées
- Une suite (un ) est majorée s’il existe M 2 R tel que un
- Une suite (un ) est minorée s’il existe m 2 R tel que m
M; 8 n 2 N:
un ; 8 n 2 N:
- Une suite (un ) est bornée si elle est majorée et minorée à la fois.
Exemple 16
Montrons par récurrence que:
8
<
u0 = 2
: u =2
n
1
un
1
:
un > 1; 8 n 2 N
En e¤ et: pour n = 0, on a:u0 = 2 > 1:
Supposons que: un > 1 pour un n …xé et montrons que:un+1 > 1:
73
on a:
un+1 = 2
1
>2
un
1=1
Conclusion 17
un > 1; 8 n 2 N c’est à dire (un ) est minorée par 1:
4.3
4.3.1
NATURE D’UNE SUITE
Suites convergentes
Dé…nition 18 Une suite (un ) est dite convergente si sa limite l existe et elle est égale à une
constante unique.
Exemple 19
un =
4.3.2
1
) lim un = 0:
n!+1
n
Suites divergentes
Dé…nition 20 Une suite (un ) est dite divergente si sa limite l est égale à l’in…nie ou bien
deux limites ou plus.
Exemple 21
1) un = n ) lim un = +1:
n!+1
n
2) vn = ( 1)
8
<
1 si n = 2k
=
k2N
: 1 si n = 2k + 1
la limite n’existe pas car on a le cas d’indice pair et l’indice impair.
4.4
THÉORÈME FONDAMENTAUX
Proposition 22 1) Une suite croissante majorée est une suite convergente.
2) Une suite décroissante minorée est une suite convergente.
74
Exemple 23
8
<
u0 = 2
: u =2
n
1
un
1
:
Proposition 24 (un ) est décroissante minorée par 1 ou bien 0, alors elle est convergente.
Remarque 25 Si on a une suite décroissante minorée par une constante , ou bien croissante
majorée par
; alors la limite n’est pas nécéssairement
Exemple 26
8
<
:
u0 = 2
: u =2
n
1
un
1
:
(un ) est décroissante minorée par = 0, donc pour déterminer la limite passant à la formule
de récurrence:
un
=
2
1
un
1
) lim un = lim
n!+1
n!+1
2
1
) l2 2l + 1 = 0
) l=2
l
) (l 1)2 = 0 ) l = 1 6= :
4.5
PROPRIÉTÉ FONDAMENTALES
1) Si (un ) est convergente ) elle est bornée.
2)
Si
lim un = l alors lim jun j = jl j :
n!+1
n!+1
3)
lim un = 0 , lim jun j = 0:
n!+1
n!+1
75
1
un
1
4.6
THÉORÈME D’ENCADREMENT (RÈGLE DES DEUX
GENDARMES)
Soient (un ) et (vn ) deux suites convergentes vers la même limite et (wn ) une suite telle que:
un
wn
vn ou bien un < wn < vn
Alors la suite (wn ) est convergente sa limite est égale à l.
Exemple 27 Dans un cercle unité on a:
x cos x
sin x
x 1
sin x
x
) cos x
1
sin x
x!0
x!0 x
sin x
1
) 1 lim
x!0 x
sin x
) lim
= 1:
x!0 x
)
4.7
lim cos x
lim
1
SOUS-SUITES
On appelle une sous-suite (suite extraite ou bien suite partielle) d’une suite (un )n2N , la
suite (vk ) dé…nie par:
vk = u(s(k)) ; 8k 2 N
avec:
s
:
N!N
k 7! s (k)
est une application d’indice strictement croissante.
Exemple 28 La suite (u2k )k2N ; resp (u2k+1 )k2N est une sous suite de (un )n2N :
76
4.8
Suites adjacentes:
(Un )n2N et (Vn )n2N sont dites deux suites adjacentes si et seulement si:
1) (Un )n2N est une suite croissante,
2) (Vn )n2N est une suite décroissante,
3) limn!+1 (Vn
4) Un
4.9
Un ) = 0;
Vn ; 8n 2 N:
Exercices:
Exercice 01: Calculer U1 ; U2 et U3 dans les cas suivants:
1)Un =
1
n+1
sin n 2
2) Un =
5 7 9
4 7 10
(5+2n)
(4+3n)
3)Un =
1
n3
Exercice 02: Calculer les limites suivantes:
1)
1
1:2
lim
n !+1
+
1
2:3
+ ::: +
Pn
k=1 k
3
n
p +7 ; 3) lim
2 n2 +1
n
n !+1
n !+1
1
n:(n+1)
; 2) lim
2:
p
n2 + 9
p
n2 + 4
p
2
3
sin n 2 ; 6) lim n + 3 1 n3 ; 7) lim sin n n cos n
n !+1
n !+1
n !+1
p
n
2n +3n
n3 +2n
2
8) lim
3 sin n; 10) lim
an ; a 2 R; 9) lim
3n .
4) lim
1
1
n2
n3
1
n5
1
n6
n
n !+1 2
; 5) lim
n !+1
n !+1
n !+1
Exercice 03: (Un ) est dé…nie par: Un = ln (1 + Un
1)
avec U0 i 0 .Chercher la limite de Un :
Exercice 04: a) Soit (Un ) une suite croissante, montrer que la suite (Vn ) =
U1 +U2 +::::+Un
n
b) Si (Un ) est une suite convergente peut-on en déduire que (Vn ) l’est aussi.
Exercice 05: Posons U1 = 41 ; U2 =
Montrer l’inégalité
Exercice 06 : Soient (Un )n
2
1:3
42 2!
Un+1
Un
et 8n
3; Un =
< 12 : En déduire la limite de la suite (Un ) .
et (Vn )n
1
deux suites telles que:
Un =
(1) Montrer que (Vn )n
1
1:3:5::::(2n 1)
4n :n!
n+7
n 1
et Vn =
est une sous-suite de (Un )n
77
n+2
n
2
.
est croissante.
(2) Soit (bn )n 2 N une suite dé…nie par bn =
2 5n
3:5n +1
trouver une suite (an )n 2 N telle que bn en
soit extraite.
Exercice 07 : Soit q un nombre réel tel que jqj h 1:1) Montrer que:
2) Soit Sn = q + q 2 + q 3 + ::: + q n ; calculer (1
q) Sn
lim q n = 0.
n !+1
puis
lim
n !+1
Sn .
Exercice 08 : On considère la suite dé…nie par:
8
<
(1) Montrer que Un i
(2) Calculer
p
U0 = 2
: U
1
n+1 = 2 Un +
2 pour tout n
1
Un
n2N
0 et que (Un ) est strictement décroissante:
lim Un .
n !+1
(3) On pose Vn = Un
p
2: Montrer que: Vn+1 =
(Vn )2
2Un
et en déduire que: Vn+1 <
8n 2 N:
(4) Montrer que: 0 < Vn <
1
2 2n
1
8n 2 N:
Exercice 09 : Soit a 2 R et (Un )n 2 N une suite dé…nie par:
8
<
: U
n+1 =
U0 = a
4Un + 2
Un + 5 ;
n 2 N:
(1) Pour quelles valeurs dea la suite (Un )n 2 N est-elle constante ?
(2) Montrer que s’il existe n0 2 N tel que Un0 =
(3) En déduire que si U0 6=
(4) On suppose que U0 6=
2; alors Un0
2 , alors 8n 2 N; Un 6=
2:
2 et on pose : 8n 2 N; Vn =
Un
1
Un + 2
a) Véri…er que (Vn )n 2 N est une suite géométrique.
En déduire l’expression de Un en fonction de n et de V0 :
Etudier alors la convergence de la suite (Un )n 2 N :
78
.
1
=
2.
(Vn )2
2
Exercice 10:
On considère la suite dé…nie par:
8
<
U0 = 1
: U
1
n+1 = 2 Un +
(1) Montrer que Un i 0 pour tout n
3
2Un
n2N
0:
(2) On suppose que la suite Un est convergente, quelle est la valeur l
(3) Montrer que Un
l i0 pour tout n
1:( Remplacer l
de sa limite ?
par sa valeur).
(4) En déduire que (Un ) est décroissante.
(5) Conclure.
Exercice 11 :
Posons:
8n
1 Xn = 1 +
1
1
1
+ + ::: +
1! 2!
n!
et
Yn = Xn +
1
n!
Montrer que les suites (Xn )n 2 N et (Yn )n 2 N sont adjacentes et que leur limite commune
est un nombre irrationnel.
·
Exercice 12 : Etant
donné les nombres a et b véri…ant 0 ha h b, on considère les deux suites:
Un =
p
Un
1 Vn 1
et Vn =
Un
1
+ Vn
2
1
avec U0 = a
et
Montrer que ces deux suites convergent et admettent même limite.
4.10
Solutions des exercices:
Exercice 01: Calculer U1 ; U2 et U3 dans les cas suivants:
1)Un =
2) Un =
3)Un =
1
n+1
sin n 2 ) U1 = 21 ; U2 = 0 et U3 =
5 7 9
4 7 10
n
1 P 2
k
n3
k=1
(5+2n)
(4+3n)
) U1 =
) U1 = 1; U2 =
5
8
5 7
4 7 ; U2
=
et U3 =
79
1
4
5 7 9
4 7 10
14
27
et U3 =
5 7 9 11
4 7 10 13
V0 = b
Exercice 02: Calculer les limites suivantes:
1)
=
1
1:2
lim
n !+1
lim
1
2
1
n !+1
1
2:3
+
+
3
n
p +7
2 n2 +1
n
n !+1
2) lim
3) lim
n !+1
p
+ ::: +
1
2
=
1
3
n3 1+ 73
q n
n !+1 n3 1+ 12
p
4) lim
n !+1
1
n6
n
n !+1 2
5) lim
=
1
n
1
n+1
1
1:2
) lim
1
n+1 )
lim (1
n !+1
n !+1
+
1
2:3
+ ::: +
1
n:(n+1)
=1
=1
lim
=
lim
n !+1
p
5p
n2 +9+ n2 +4
1
1 n3
1
1
2
1
n5
1
n6
1
5
n2
p
lim
n !+1
1
1
n5
=
=
p
p
2
2
pn +9 pn +4
2
n !+1 n +9+ n2 +4
n2 + 4 =
2
2
pn +9 n
p 4
2 +9+ n2 +4
n
n !+1
n3
1
n+1
lim
= lim
1
1
n
+ ::: +
1
n:(n+1)
, on a:
n
n2 + 9
n2
1
n:(n+1)
1
n2 + 9 +
n2 + 4
=0
1
=
p
n2
lim
=
1
n5
n !+1
1
lim n 2
1
5
n !+1
= +1
sin n 2 n’existe pas car pour les deux sous suites:
Xk = 4k ! +1 quand k ! +1 et Yk = 4k + 1 ! +1 quand k ! +1
mais:
lim Xk
n !+1 2
sin Xk
= 0 6=
2
elle est unique
sin Yk
p
3
1 n3 on a: a3 + b3 = (a + b) a2
p
n3 +1 n3
lim n+ 3 1 n3 = lim
1
6) lim n +
n !+1
alors:
lim Yk
n !+1 2
n !+1
= +1 par contre si la limite existe
2
ab + b2 ) (a + b) =
=
2
n !+1 n2 n(1 n3 ) 3 +(1 n3 ) 3
a3 +b3
(a2 ab+b2 )
1
lim
n !+1
n2
1
1
n3
1
1
3
0
7) lim
sin2 n
cos3 n
n
n !+1
( on utilise:
9) lim
p
n
( on utilise:
3
=
lim
n !+1
sin2 n =
3n
an
=
1
n3
n
n !+1 3
lim
=
=0
lim Un = 0 et Vn est bornée)
8
>
n’existe pas si a = 3
>
>
>
>
>
<
1 si a = 3
+1 =
;a 2 R
>
>
0
si
jaj
>
3
>
>
>
>
:
1si jaj < 3
lim e n ln(3
n !+1
cos3 n
n
n !+1
2n
3n
lim Un Vn = 0 si
n !+1
n3 +2n
n
n !+1 3
10) lim
sin2 n
n
lim Un Vn = 0 si
2n +3n
an
n !+1
lim
n !+1
n !+1
8) lim
n !+1
=
sin2 n)
=1
lim Un = 0 et Vn est bornée)
n !+1
lim e3 ln(n)
n !+1
Exercice 03: (Un ) est dé…nie par: Un = ln (1 + Un
1)
n ln 3
=
n 3
lim e
n !+1
avec U0 i 0 .
80
ln(n)
n
ln 3
= 0.
+
1
n3
1
2
3
!
=
Chercher la limite de Un :
x
1+x
x ) f 0 (x) =
on pose: f (x) = ln (1 + x)
< 0 ) 8n 2 N ; Un < Un
1
) Un est
décroissante
puisque elle est minorée par 0) (Un ) est convergente)
lim Un =
lim ln (1 + Un
n !+1
n !+1
Exercice 04: a) Soit (Un ) une suite croissante, montrer que la suite (Vn ) =
U1 +U2 +::::+Un
n
) l = ln (1 + l) ) l = 0:
Vn+1
U1 +U2 +::::+Un+1
n+1
(U1 +U2 +::::+Un )
> 0 car:
n(n+1)
U1 +U2 +::::+Un
n
Vn =
= nUn+1
=
1)
est croissante.
n(U1 +U2 +::::+Un+1 ) (n+1)(U1 +U2 +::::+Un )
n(n+1)
Un+1 > Uk , 8k 2 f1; :::; ng ) Vn est croissante.
b) Si (Un ) est une suite convergente peut-on en déduire que (Vn ) l’est aussi.
Si (Un ) est une suite convergente) (Un ) est majoée par M car elle est croissante
) (Vn ) =
U1 +U2 +::::+Un
n
M +M +::::+M
n
=M
conclusion: Vn est croissante majorée par M ) (Vn ) converge.
Exercice 05: Posons U1 = 41 ; U2 =
Montrons l’inégalité
Un+1
Un
1
2
=
(2n+1)
4(n+1)
1
2
1:3
42 2!
et 8n
Un+1
Un
< 12 :
=
1:3:5::::(2n 1)
4n :n!
3; Un =
(2n+1) 2(n+1)
4(n+1)
=
1
4(n+1)
<0)
Un+1
Un
< 21 :
En déduire la limite de la suite (Un ) .
Un+1
Un
<
1
2
< 1 ) (Un ) est décroissante et puisque (Un ) est minorée par 0
) (Un ) converge. Par suite on pose:
si
6= 0 ) 1 <
1
2
Exercice 06 : Soient (Un )n
contradiction)
2
et (Vn )n
1
= 0 car:
Si Vn = U'(n) )
n+2
n
1
=
0:
n+7
n 1
et Vn =
est une sous-suite de (Un )n
'(n)+7
'(n) 1
)
lim Un+1
n !+1 U n
<
lim 1
n !+1 2
)
<
1
2
deux suites telles que:
Un =
(1) Montrer que (Vn )n
lim Un =
n !+1
) (n + 2) (' (n)
n+2
n
2
.
1) = n (' (n) + 7) ) ' (n) =
8n+2
2
=
4n + 1
qui est une sous suite croissante en fonction de n ) (Vn )n
81
1
est une sous-suite de (Un )n
2:
(2) Soit (bn )n 2 N une suite dé…nie par bn =
2 5n
3:5n +1
trouver une suite (an )n 2 N telle que bn en
soit extraite.
an =
2 n
3:n+1 ; n
2 N:
Exercice 07 : Soit q un nombre réel tel que jqj h 1:1) Montrons que:
lim q n = 0:
Si q = 0 )
n !+1
Si q 6= 0
Montrons que: 8" > 0; 9
" ) jqjn
jq n j
2 N tel que: 8n
"
"
) jq n j
"
q) Sn
puis
ln "
ln " ) n ln(jqj)
car: ln (jqj) < 0
h
i
ln "
= max 0; ln(jqj)
:
" ) n ln (jqj)
Alors il su¢ t de poser:
"
(1
q) Sn = (1
q) q + q 2 + q 3 + ::: + q n = q
)
lim
Sn =
q3
+ ::: + q n ; calculer (1
2) Soit Sn = q +
q2
n !+1
lim q n = 0.
n !+1
+
lim
n !+1
q 11
qn
q
=
q n+1 = q (1
lim
n !+1
qn)
Sn .
q
1 q:
Exercice 08 : On considère la suite dé…nie par:
8
<
(1) Montrons que Un i
p
U0 = 2
: U
1
n+1 = 2 Un +
2 pour tout n
Par récurrence: U0 = 2i
p
1
Un
0
n2N
(Rn )n2N
2 ) R0 est vraie
Supposons que: (Rn ) est vraie pour un n 2 N et montrons que: (Rn+1 ) est vraie ç-à-d:
p
Un+1 i 2?
p 2
p
p
p
2
(Un 2)
En e¤et: Un+1
2 = 21 Un + U1n
2 = Un +22Un 2Un =
>0.
2Un
Montrons que: (Un ) est une suite décroissante.
Un+1
Un = 12 Un +
1
Un
Un =
1
Un
1
2
Un =
) (Un ) est une suite décroissante.
(2) Calculons:
lim Un .
n !+1
82
2 Un2
2Un
< 0 car: Un i
p
2
p
(Un ) est une suite décroissante minorée par:
On a: Un+1 = 12 Un +
p
car: Un i 2
1
Un
)
p
(3) On pose Vn = Un
lim Un+1 =
n !+1
2, donc c’est une suite convergente.
1
2 Un
lim
n !+1
2: Montrer que: Vn+1 =
1
Un
+
(Vn )2
2Un
)
=
1
2
+
1
)
=
et en déduire que: Vn+1 <
p
2
(Vn )2
2
8n 2 N:
Vn+1 = Un+1
) Vn+1 =
p 2
p
(Un 2)
1
1
2 = 2 Un + Un
2=
2Un
2
(Vn )
(Vn )2
< 2p2 ) Vn+1 < 2 8n 2 N:
p
2
(Vn )
2Un
(4) Montrons que: 0 < Vn <
Puisque: Un i
) Vn <
(Vn
1)
2
p
2
1
2 2n
1
(Vn )2
2Un
=
et puisque: Un i
p
2
8n 2 N:
2
2 ) Vn > 0 et parsuite: Vn+1 < (Vn2 ) 8n 2 N:
(Vn
<
2)
2
2
2
=
2
(Vn 2 )4
2 22 1
<
(Vn n )2
22n 1
<
n
<
1
2 2n
car: V0 < 1:
1
Exercice 09 : Soit a 2 R et (Un )n 2 N une suite dé…nie par:
8
<
U0 = a
: U
n+1 =
4Un + 2
Un + 5 ;
n 2 N:
(1) Pour quelles valeurs dea la suite (Un )n 2 N est-elle constante ?
(Un ) est une suite constante, 8n 2 N; Un+1 =
) 4Un + 2 = Un (Un + 5) ) Un2 + Un
4Un + 2
Un + 5
2 = 0 ) Un =
(2) Montrer que s’il existe n0 2 N tel que Un0 =
s’il existe n0 2 N tel que Un0 =
(3) En déduire que si U0 6=
2)
= Un
4Un0
Un0
1
1
+2
+ 5
2 , alors 8n 2 N; Un 6=
2; alors Un0
=
1
=
2)
) U0 =
donc contrdiction car: U0 6=
(4) On suppose que U0 6=
1
2 ) Un0
1
2:
Par l’absurde supposons qu’il existe n 2 N;tel que Un =
) Un
2 ou Un = 1 ) a = 1 ou a =
2
2 (d’après (2))
2 ) 8n 2 N; Un 6=
2:
2 et on pose : 8n 2 N; Vn =
83
Un
1
Un + 2
.
=
2.
=
2:
2
Remarque:
Vn est bien dé…nie car (3)) 8n 2 N; Un 6=
2:
a) Véri…er que (Vn )n 2 N est une suite géométrique.
Vn+1
Vn
=
Un+1
1
Un+1 + 2
Un
1
Un + 2
=
1
2
) (Vn )n 2 N est une suite géométrique de raison 21 .
En déduire l’expression de Un en fonction de n et de V0 :
Vn =
1
2n V 0
et Vn =
Un
1
Un + 2
) Un =
2Vn +1
1 Vn
2 21n V0 +1
1 21n V0
=
=
2V0 +2n
2n V0
c) Etudier alors la convergence de la suite (Un )n 2 N :
Si U0 = a = 1 ) 8 n 2 N; Vn = 0 ) 8n 2 N; Un = 1
Si U0 = a 6= 1 ) 8 n 2 N; lim Un = 1 .
n !+1
Exercice 10 (supp):
On considère la suite dé…nie par:
8
<
U0 = 1
: U
1
n+1 = 2 Un +
(1) Montrer que Un i 0 pour tout n
3
2Un
n2N
0:
Montrons par récurrence que: 8n 2 N : Un > 0::::: (An )
Pour n = 0 on a: U0 = 1 > 0 ) (A0 ) est vraie. Supposons que (An ) est vraie pour un
n2N.
et montrons que(An+1 ) est vraie ç-a-d:Un+1 > 0?
en e¤et: :Un+1 = 12 Un +
3
2Un
>0
D’où Un > 0:8n 2 N:
(2) On suppose que la suite Un est convergente, quelle est la valeur l
Si Un est convergente) lim Un+1 = lim
n !+1
n !+1
p
car l =
3 ne convient pas.
(3) Montrer que Un
l i0 pour tout n
p
1
2 Un
+
3
2Un
1:( Remplacer l
3i 0 pour tout n
) l = 12 l +
84
3
2l
par sa valeur).
1:::: (Bn )
p
Montrons par récurrence que: 8n 2 N : Un
3 > 0::::: (Bn )
Montrer que Un
de sa limite ?
)l=
p
3
Pour n = 1 on a: U1 = 2 >
p
3 ) (B1 ) est vraie. Supposons que (Bn ) est vraie pour un
n 2 N:
p
3 > 0?
et montrons que(Bn+1 ) est vraie ç-a-d:Un+1
p 2
p
(Un 3)
en e¤et: :Un+1 = 12 Un + 2U3n
3=
>0
2Un
p
D’où Un > 3:8n 2 N:
(4) En déduire que (Un ) est décroissante.
Un+1
Un =
1
2 Un
+
3
2Un
Un =
p
(
p
3+Un ) ( 3 Un )
2Un
< 0 car: Un >
p
3:8n 2 N ) (Un ) est
décroissante.
(5) Conclure.
Puisque (Un ) est une suite décroissante minorée par:
p
et lim Un = 3 .
p
3, donc c’est une suite convergente
n !+1
Exercice 11 :
Posons:
8n
1 Xn = 1 +
1
1
1
+ + ::: +
1! 2!
n!
et
Yn = Xn +
1
n!
Montrer que les suites (Xn )n 2 N et (Yn )n 2 N sont adjacentes et que leur limite commune
est un nombre irrationnel.
(1) Montrons que les suites (Xn )n 2 N
(a) On a: Yn
(b) Xn+1
(c) Yn+1
) Yn+1
Xn =
Yn =
Yn
Conclusion: (Xn )n 2 N
lim Yn =
n !+1
Xn =
1
n!
1
(n+1)!
1
(n+1)!
) Yn
et (Yn )n 2 N sont adjacentes?
Xn ; 8n 2 N; et
lim (Yn
> 0 ) Xn est croissante.
1
n!
+
1
(n+1)!
=
2
(n+1)!
0 ) Yn est décroissante.
Xn ) = 0
n !+1
1
n!
=
8
<
:
0 si n = 1
2 n
(n+1)!
et (Yn )n 2 N sont deux suites adjacentes avec:
lim Xn =
n !+1
et Xn <
< Yn ; 8n 2 N:
85
< 0 si n
2
(2) Supposons par l’absurde que
2 Q ) 9a; b 2 N et b 6= 0 avec
=
a
b
) Xn <
a
b
<
Yn ; 8n 2 N:
) Xb <
a
b
< Yb (n = b)) b!Xb < b! ab < b!Yb ) M < (b
1)!a < M + 1 avec M = b!Xb 2 N
Donc contradiction car on a un entier naturel compris entre deux entiers consécutifs)
2
=
Q:
·
Exercice 12 : Etant
donné les nombres a et b véri…ant 0 ha h b, on considère les deux suites:
p
Un =
Un
1 Vn 1
et Vn =
Un
1
+ Vn
2
1
avec U0 = a
et
V0 = b
Montrer que ces deux suites convergent et admettent la même limite.
(1) Montrons que: Un > 0 et Vn > 0; 8n 2 N:
Par récurrence: U0 = a > 0
et
(<n )
V0 = b > 0 ) <0 est vraie. Supposons que (<n ) est
vraie pour un n 2 N:
et montrons que (<n+1 ) est vraie ç-à-d: Un+1 > 0 et Vn+1 > 0?
p
n
> 0 ) Un > 0 et Vn > 0; 8n 2 N:
Un+1 = Un Vn > 0 et Vn+1 = Un +V
2
(2) Montrons que: Vn
On a: Vn
Un =
Un
Un ; 8n 2 N
p
1 +Vn 1
2
Un
1 Vn 1
=
p
Un
1
p
Vn
2
1
0; 8n 2 N:
2
(3) Etudions la monotonie de chaque suite:
On a: Vn
Un2 )
Un ) Un Vn
p
Un Vn
Un ) Un+1
Un ; 8n 2 N ) Un est une suite
croissante.
Par suite: Vn
Un ) 2 Vn
Vn +Un ) Vn
Vn+1 ; 8n 2 N ) Vn est une suite décroissante.
(4) On a: Un est une suite croissante et majorée par b alors elle converge, et Vn est une suite
décroissante
et minorée par a alors elle converge.
(5) Si on pose:
lim Vn =
n !+1
)
=
p
lim Un =
n !+1
lim
Un
=
1 +Vn 1
lim Vn =
n !+1
)
lim Un =
n !+1
lim
n !+1
2
n !+1
et
et
+
2
)
=
donc les deux suites sont adjacentes.
86
p
Un
1 Vn 1
et
Partie IV
Fonctions numériques
d’une variable réelle.
87
4.10.1
1.1 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
1) On appelle fonction numérique réelle, sur un ensemble E, toute application de E dans
R: Et on note l’ensemble de ces fonctions par: F (E; R) :
2) Deux fonctions f et g de E dans R sont égales si f (x) = g (x) pour tout x élément de
E.
3) Pour chaques deux fonctions de F (E; R) et
2 R on a:
(f + g) (x) = f (x) + g (x) et ( f ) (x) = f (x) :
4) Une fonction f est dite majorée dans E s’il existe une constante M 2 R qui véri…e:
8x 2 E; f (x)
M:
5) Une fonction f est dite minorée dans E s’il existe une constante m 2 R qui véri…e:
8x 2 E; m
f (x) :
6) Une fonction f est dite bornée dans E si elle est majorée et minorée à la fois.
7) Une fonction f est dite croissante dans E si et seulement si:
8x1 ; x2 2 E; x1
x2 ) f (x1 )
et elle est strictement croissante si au lieu de
f (x2 )
on a < :
8) Une fonction f est dite décroissante dans E si et seulement si:
8x1 ; x2 2 E; x1
x2 ) f (x1 )
et elle est strictement décroissante si au lieu de
f (x2 )
on a > :
9) Une fonction monotone (resp. strictement monotone) est une fonction qui est ou
bien croissante ou bien décroissante (resp. strictement croissante ou bien strictement décroissante).
88
10) Une fonction f est dite constante dans E si et seulement si:
8x1 ; x2 2 E; x1 6= x2 ) f (x1 ) = f (x2 )
11) Une fonction f est dite périodique dans E de période T si et seulement si:
9T > 0; 8x 2 E; f (x + T ) = f (x)
Exemple 29 f (x) = cos x est une fonction périodique de période 2 :
4.10.2
1.2 LIMITE ET CONTINUÉTÉ
Theorem 30 La limite d’une fonction f en un point x0 si elle existe alors elle est unique et
elle est égale à la limite à droite et la limite à gauche. Et on écrit:
lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = l:
x!x0
x!x+
0
x!x0
1.2.1 CONTINUÉTÉ
Soit f une fonction dé…nie en un point x0 de E. On dit que f est continue en x0 si et seulement
si f est continue à droite et à gauche de x0 c’est à dire:
lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = f (x0 )
x!x0
x!x+
0
x!x0
Exemple 31
f
:
R!R
x ! f (x) =
alors puisque :
8
<
:
sin x
x
si x 6= 0
1 si x = 0
sin x
= 1 = f (0) alors f est continue en 0:
x!0 x
lim
et elle est continue dans R; car le seul problème est le point 0:
89
1.2.2 PROPRIÉTÉS SUR LES FONCTIONS CONTINUES
Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné [a; b] :
1) est bornée dans [a; b] :
2) atteint son minimum m = inf f (x)et son maximum M = max f (x) pour x 2 [a; b].
3) atteint au moins une fois toute valeur strictement comprise entre m et M:
1.2.3 Lien entre les fonctions discontinues et les suites
Soient f une fonction dé…nie sur une partie E de R et a un point de E:
Alors on a le résultat suivant:
si f est continue en a ) 8xn une suite avec xn ! a qd n ! +1 on a f (xn ) ! f (a)
Le contraire s’il existe xn ! a qd n ! +1 on a f (xn ) 9 f (a) alors la fonction est dite
discontinue.
Exemple 32 Soit f la fonction de R dans Z dé…nie par: f (x) = E [x] où E [x] désigne la
partie entière de x (E [x] = max (y) ;y 2 Z avec y
x).
Montrons que f n’est pas continue en tout point de Z:
Soit a 2 Z, et considérons la suite(xn )n dé…nie par:xn = a
1
n:
On a:
lim xn
n!+1
=
a et f (xn ) = a
)
n!+1
lim
1
f (xn ) = a
1 6= a = E [a] = f (a)
donc f est discontinue en a 2 Z:
4.10.3
1.3 THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIARES
Le théorème des valeurs intermédiares est un outil pour résoudre les équations de type:
f (x) = 0
90
Theorem 33 ( théorème des valeurs intermédiares) Soit f une fonction continue dans
un intervalle [a; b] avec a; b 2 R, telle que:
f (a)
f (b) < 0
c’est à dire f (a) et f (b) ont deux signes opposés. Alors il existe une constante
2 ]a; b[ tel
que:
f ( )=0
Exemple 34 Soit f :R ! R dé…nie par f (x) = cos
p
x
Montrons que l’équation: f (x) = 0 admet une solution dans ]0; 10[ :
En e¤ et: la valeur qui est prés de 10 tel que sont cos est connu est:
alors on a: f
2
=
2
1 et f (0) = 1 ) f
2:
f (0) < 0 de plus f est continue.
D’après le théorème des valeurs intermédiares, il existe une constante
2 0;
2
]0; 10[
tel que:
f ( ) = cos
Remarque 35 On la même chose si a =
f (a)
f (b) < 0 on a:
lim f (x)
x! 1
p
= 0:
1 ou b = +1 sauf au lieu de:
lim f (x)
x! 1
b < 0 , ou bien a
lim
x!+1
lim
x!+1
f (x) < 0 ou bien
f (x) < 0:
par suite on trouve le même résultat.
4.10.4
1.4 Le PROLONGEMENT PAR CONTINUÉTÉ
Supposons que f est une fonction dé…nie dans R fag : Alors comme question peut-on prolonger
par continuété la fonction f sur R? C’est à dire; existe elle une autre fonction qui dépend de
la fonction f et qui est dé…nie sur R?
Pour répondre à cette question on suit les démarches suivantes:
1) On calcul la limite de la fonction f au point a, par suite on a les cas suivants:
91
a) La limite est égale à l’in…ni, ç-à-d:
lim f (x) =
x!a
Exemple 36 f:R
1 ou bien lim f (x) = +1:
f0g ! R avec f (x) =
x!a
1
x
b) La limite à gauche est di¤érente à la limite à droite:
lim f (x) 6= lim f (x) :
x!a+
x!a
Exemple 37 f:R
8
< x ln x si x > 0
f0g ! R avec f (x) =
: sin x si x < 0
x
0 = lim f (x) 6= lim f (x) = 1:
x!0+
x!0
c) Dans le calcul de lalimite on trouve deux limite ou plus.
Exemple 38 f:R
f0g ! R avec f (x) = cos
1
x
. La fonction cos est périodique et cos (1)
n’existe pas, car:
si xn = 2n et yn = 2n +
mais
lim f (xn ) 6=
n!+1
lim
n!+1
alors
lim xn = lim
n!+1
n!+1
yn = +1
f (yn ) et la limite d’une fonction si elle existe elle est unique.
d) On trouve une limite constante unique:
lim f (x) = lim f (x) = :
x!a
x!a+
2) En déduire le prolongement par continuété s’il existe?
Dans les cas a),b) et c) le prolongement par continuété n’existe pas et là on termine la
preuve.
Mais dans le cas d) le prolongement par continuété de la fonction f existe et il est de la
92
forme:
F
:
R
8! R
< f (x) si x 6= a
:
x 7!
:
si x = a
Alors dans ce cas la fonction F est dé…nie dans R et elle est continue.
Exemple 39 f:R
f0g ! R avec f (x) =
sin x
x
sin x
=1
x!0 x
lim
le prolongement par continuété de la fonction f existe et il est de la forme:
F
4.10.5
2.1 DÉRIVATION
:
R
8! R
< sin x si x 6= 0
x
x 7!
:
: 1 si x = 0
2.1.1 Dé…nition
Soient I un intervalle de R, x0 un point de I, et une fonction f : I ! R: On dit que f est
dérivable en x0 , s’il existe un nombre réel unique
lim
x!x0
f (x)
x
tel que:
f (x0 )
=
x0
est appelé dérivée de f au point x0 est noté f 0 (x0 ) :
La fonction est dérivable dans tout l’intervalle I quand elle est dérivable en tout point x0
de I:
D’autre part si on pose: x
x0 = h alors on a:
f (x0 + h)
h!0
h
lim
93
f (x0 )
=
Exemple 40 Trouver la dérivée de f (x) = sin x en utilisant la dé…nition de la dérivée.
En un point x0 :
sin x
f (x) f (x0 )
= lim
x!x0
x x0
x
x x0
x+x0
sin 2 cos 2
= lim 2
x!x0
x x0
x x0
sin 2
x + x0
= lim
cos
x x0
x!x0
2
2
f 0 (x0 ) =
lim
x!x0
= cos x0 , car: lim
sin
x!x0
x x0
2
x x0
2
sin x0
x0
=1
Alors 8x 2 R; (sin x)0 = cos x:
Proposition 41 (1) Si f n’est pas continue en un point x0 , alors elle n’est pas dérivable en
ce point.
Proposition 42 (2) Une fonction f : I ! R est dérivable en point x0 si et seulement si elle
admet en ce point des dérivées à droite
f (x)
lim
+
x
x!x0
f (x0 )
x0
!
et à gauche
f (x)
lim
x
x!x0
f (x0 )
x0
!
égales à
:
2.1.2 Quelques propriétés sur les fonctions dérivables
Proposition 43 Etant donnés un intervalle I et deux fonctions f : I ! R et g : I ! R
dérivables en un point x0 de I, alors:
1) f + g est dérivable en x0 et (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) :
2) a f est dérivable en x0 et (a f )0 (x0 ) = a f 0 (x0 ) ; 8a 2 R:
3) f g est dérivable en x0 et (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) g (x0 ) + f (x0 ) g 0 (x0 ) :
4) Si g (x0 ) 6= 0; donc
f
g
est dérivable en x0 et
f
g
0
(x0 ) =
f 0 (x0 ) g(x0 )
f (x0 ) g 0 (x0 )
:
(g(x0 ))2
2.1.3 Dérivée d’une fonction composée
Proposition 44 Soient f : I ! J et g : J ! R et x0 un point de I:
Si la fonction f est dérivable en x0 et si g est dérivable en f (x0 ) alors g
94
f est dérivable
en x0 et on a:
(g f ) 0 (x0 ) = f 0 (x0 )
g 0 (f (x0 ))
Exemple 45
[sin (f (x))]0 = f 0 (x) cos (f (x))
2.1.4 Dérivée d’une fonction réciproque
Proposition 46 Soient f : I ! J une fonction bijective, x0 un élément de I et y0 = f (x0 )
1
l’élément de J. Pour que f
est dérivable en y0 il faut et il su¢ t que:
f est dérivable en x0 ; f 0 (x0 ) non nul et f
f
1 0
(y0 ) =
1
f
0 (x )
0
1
est continue en y0 : Alors:
=
1
(f
0
f
1 ) (y
0)
Exemple 47 On note la fonction réciproque de sin x par arcsin x alors la dérivée de est:
(arcsin x)0 =
1
1
1
=p
=p
0 =
cos
y
(sin y)
1
1 sin2 y
1
2
sin (arcsin x)
=p
1
1
x2
Remarque 48 Toujours on donne le résultat en fonction de la première variable de la fonction
réciproque donnée.
2.1.5 Dérivées d’ordre supérieure
On note les dérivées d’ordre supérieure d’une fonction f qui est dérivable dans I un intervalle
de R par: f
i) f
ii) f
4.10.6
(0)
(n)
: I ! R véri…ant:
= f:
(k+1)
0
= f (k) , pour tout k = 0; 1; :::; n
1:
2.2 FONCTION DE CLASSE C n
Proposition 49 Une fonction de classe C n , est une fonction continue et admet des dérivées
continues jusqu’à l’ordre n. Et on dit également que f est n fois continûement dérivable.
Nous alons envisager ici la méthode pratique pour étudier la classe d’une fonction.
1) Si n = 0 :
95
dans ce cas on a pas une fonction de classe C 0 mais on écrit une fonction de classe C (I)
c’est les fonctions continues dans un intervalle I:
2) Si n = 1 (fonction de classe C 1 (I)):
Une fonction de classe C 1 (I) est une fonction continue et la première dérivée de cette
fonction existe et continue en tout point de I.
a) Existence
Pour étudier l’existence de la première dérivée on utilise la dé…nition de la dérivée en tout
point x0 de I ç’est à dire on calcul:
lim
x!x0
f (x)
x
f (x0 )
=
x0
Alors on les cas suivants:
i) Si
=
1 ou bien
est égale deux limites ou plus ou bien la limite à gauche est di¤érente
à la limite à droite, alors la limite n’existe pas et donc la fonction n’est pas de classe C 1 :
ii) Si
est égale à une constante unique alors la limite existe et on passe à l’étude de la
continuété de la dérivée.
b) Continuété de la première dérivée
Pour étudier la continuété de la première dérivée en x0 on calcul f 0 (x) ensuite on calcul:,
lim f 0 (x) =
alors si
x!x0
6=
Donc la première dérivée n’est pas continue ce qui permet de dire que f n’est pas de classe C 1 :
Par contre si:
=
Alors la première dérivée est continue ce qui permet de dire que f est de classe C 1 :
3) Si n = 2 (fonction de classe C 2 (I)):
Une fonction de classe C 2 (I) est une fonction telle que ça dérivée est de classe C 1 (I) : Donc
on fait le même travail que le deuxième cas mais on utilise f
0
au lieu de f .
Remarque 50 Si f n’est pas de classe C n (I), alors elle n’est pas de classe C k (I), 8k
96
n + 1:
Exemple 51 Soit la fonction f , dé…nie sur R par:
8
< x2 sin 1 si x 6= 0
x
f (x) =
:
0 si x = 0
Etudier la classe de f ?
1) La continuété de f ?
La fonction est continue dans R :
Et en x = 0, on a:
lim x2 sin
x!0
1
x
= 0 car lim x2 = 0 et sin
x!0
1
est bornée.
x
= f (0) :
Donc f est continue dans R:
2) f est elle de classe C 1 ?
La fonction f est dérivable dans R , mais le seul problème est le point 0.
i) Existence de la 1ère dérivée en 0?
lim
x!0
f (x)
x
1
f (0)
= lim x sin = 0 ) existe.
x!0
0
x
ii) La continuété de la 1ère dérivée en 0?
f 0 (x) = 2x sin
1
1
cos ) lim f 0 (x) n’existe pas, donc la 1ère dérivée n’est pas continue en 0.
x!0
x
x
Conclusion: f n’est pas de classe C 1 :
4.10.7
4.10.8
2.3 THÉORÈME DE ROLLE
Theorem 52 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], dérivable sur ]a; b[
et telle que: f (a) = f (b) :
Alors il existe une constante c 2 ]a; b[ telle que: f 0 (c) = 0:
97
Exemple 53 Pour montrer que l’équation sin x + cos x = 0 admet au moins une solution
dans l’intervalle ]0; [. On utilise la fonction f (x) = ex sin x
dérivable dans ]0; [ et f (0) = f ( ) =
0 (c)
1 qui est continue dans [0; ],
1 : Donc d’après ROLLE 9c 2 ]0; [ telle que: f
= 0 ) ec sin c + ec cos c = 0 ) sin c + cos c = 0:
4.10.9
2.4 THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS
Theorem 54 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], dérivable sur ]a; b[ : Alors il
existe une constante c 2 ]a; b[ tel que:
f (b)
f (a) = (b
a) f 0 (c) :
Exemple 55 Montrons l’inégalité suivante:
8x 2 ]0; 1[ , arcsin x < p
x
1
x2
.
On applique le théorème des accroissements …nis sur la fonction arcsin x dans [0; x]
[0; 1] :
Alors il existe une constante c 2 ]0; x[ tel que:
f (x)
4.10.10
f (0)
=
(x
Mais
:
p
0) f 0 (c) ; :f 0 (c) = p
1
<p
1
1 x2
x
) arcsin x < p
:
1 x2
1
c2
1
1
c2
:
car:c < x:
2.5 THÉORÈME DE L’HÔPITAL
Theorem 56 Soient f et g deux fonctions dérivables au voisinage de x0 2 ]a; b[ :
Si lim f (x) = A et lim g (x) = B où A; B sont tous les deux nuls
x!x0
x!x0
ou tous les deux in…nis, g 0 (x) 6= 0 pour x voisin de x0 , et si lim
x!x0
lim
x!x0
f (x)
g (x)
=
lim
x!x0
0 (x)
f
:
g 0 (x)
98
f 0 (x)
existe alors:
g 0 (x)
Exemple 57
e2x 1
2e2x
= lim
= 2:
x!0
x!0 1
x
lim
99
Formules de Taylor.
100
Chapitre 5
Développements limités.
On peut généraliser le théorème des accroissements …nis par une formule dite de Taylor, qui est
un outil surtout dans le calcul des limites des fonctions ou on a des formes indéterminées.
5.1
5.1.1
1 Formules de Taylor
1.1 Théorème des acroissement …nis
Theorem 58 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b], dérivable sur ]a; b[ : Alors il
existe une constante c 2 ]a; b[ tel que:
f (b)
5.1.2
f (a) = (b
a) f 0 (c) :
1.2 Théorème des acroissement …nis généralisés
Theorem 59 Soient f et g deux fonctions continues sur [a; b], dérivables sur ]a; b[ avec g 0 ne
s’annule pas sur ]a; b[, alors il existe une valeur c de ]a; b[ telle que:
f (b)
g (b)
f 0 (c)
f (a)
= 0
:
g (a)
f (c)
101
5.1.3
1.3 Formule de Taylor-Lagrange
Soit f de classe C n sur [a; b], n + 1 fois dérivable sur ]a; b[, alors il existe une valeur c de ]a; b[
telle que:
f (b) =
n
X
(b
p=0
a)p
f
p!
(p)
(a) +
(b a)n+1
f
(n + 1)!
a) f 0 (a) + ::: +
= f (a) + (b
(b
(n+1)
a)n
f
n!
(c) :
(n)
(a) +
(b a)n+1
f
(n + 1)!
(n+1)
(c) :
Cette formule est connue par la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre n. De plus le terme
(b a)n+1 (n+1)
(c)
(n+1)! f
est appelé reste de Lagrange.
Remarque 60 Si on pose: n = 0 dans la formule de Taylor-Lagrange, on trouve l’égalité des
accroissements …nis.
5.1.4
1.4 Formule de Taylor-Young
Soit f dé…nie sur un intervalle I, admettant en un point a 2 I des dérivées jusqu’à l’ordre n.
Alors il existe un voisinage V de a et une fonction " : V ! R tels que:
8x 2 V; f (x) =
= f (a) + (x
n
X
(x
p=0
a)p
p!
f
(p)
(a) + (x
a) f 0 (a) + ::: +
(x
a)n " (x) et lim " (x) = 0:
a)n
f
n!
x!a
(n)
(a) + (x
C’est la formule de Taylor avec un reste de Young ((x
5.1.5
a)n " (x) et lim " (x) = 0:
x!a
a)n " (x) ) :
1.5 Formule de Maclaurin
C’est la formule de Taylor-Lagrange avec b = x; a = 0 et c = x avec 0 <
8x 2 I, f (x) =
n
X
xp
p=0
p!
f
(p)
(0) +
xn+1
f
(n + 1)!
102
(n+1)
< 1, c’est à dire:
( x) avec 0 <
< 1:
5.2
2. Développements limités
Dé…nition 61 Soit f une fonction dé…nie au voisinage d’un point x0 , sauf peut-être en x0 .
On dit que f admet un développement limité (D.L) d’ordre n au voisinage de x0 s’ils existes
des nombres réels a0 ; a1 ; ..., an et une fonction " tels que pour tout élément x 2 I
f (x) = a0 + a1 (x
avec lim " (x
x!x0
x0 ) + ::: + an (x
x0 )n + (x
x0 )n " (x
R:
x0 ) ,
x0 ) = 0:
on pose
:
P (x) = a0 + a1 (x
x0 ) + ::: + an (x
x0 )n
c’est la partie régulière du D.L, et elle est unique.
(x
o ((x x0 )n )
avec lim
x!x0 (x
x0 )n
x0 )n " (x
x0 ) est le reste du D.L, on peut l’écrire o ((x
x0 )n ) ;
= 0
- Si x0 = 0 on a:
f (x) = a0 + a1 x + ::: + an xn + xn " (x) , avec lim " (x) = 0:
x!0
-Si x0 =
1 on pose dans la formule du D.L au voisinage de 0; X = x1 , et on aura:
f (x) = a0 + a1
avec
lim "
x! 1
1
x
1
1
1
+ ::: + an n + n "
x
x
x
1
x
,
= 0:
On peut déterminer la formule du D.L à l’aide de la formule de taylor-Young, alors sous les
hypothèses de la formule de Taylor on a:
f (x) = a0 + a1 (x
avec lim " (x
x!x0
x0 ) + ::: + an (x
x0 )n + (x
x0 )n " (x
x0 ) = 0:
avec
:
a0 = f (0) et ak =
103
f
(k) (x )
0
k!
où 1
k
n:
x0 ) ,
5.2.1
2.1 Principaux développement limité
Les fonctions suivantes admettent un D.L au voisinage de 0:
ex = 1 +
o (xn )
x!0 xn
lim
= 0; 8x 2 R: (ordre n)
sin x = x
o x2p+1
x!0 x2p+1
lim
o x2p
x!0 x2p+1
x3 x5
x2p+1
+
+ ::: + ( 1)p
+ o x2p+1
3!
5!
(2p + 1)!
avec
= 0; 8x 2 R: (ordre 2p+1)
cos x = 1
lim
x
x2
xn
+
+ ::: + +
+ o (xn ) avec
1!
2!
n!
x2 x4
x2p
+
+ ::: + ( 1)p
+ o x2p
2!
4!
(2p)!
avec
= 0; 8x 2 R: (ordre 2p)
m (m 1) 2
m (m
x + ::: +
2!
8x 2 ] 1; +1[ ; m 2 R N
m
X
k
et si m 2 N alors: (1 + x)m =
Cm
xk :
(1 + x)m = 1 + mx +
1) ::: (m
p!
p + 1)
xp + o (xp ) ;
k=0
ln (1 + x) = x
5.2.2
x2
2
+
x3
3
+ ::: + ( 1)n
1
xn
+ o (xn )
n
2.2 Propriétés des développements limités
2.2.1 Parité
Si f est une fonction paire (resp impaire) alors dans la partie régulière du D.L on a que les
puissances paires (resp impaires).
2.2.2 Continuité
Si f admet un D.L d’ordre n de partie régulière a0 + a1 x + ::: + an xn alors
lim f (x) = a0 d’où f est continue en 0 ou est prolongeable par continuité en 0.
x!0
104
2.2.3 Dérivabilité
Si f admet un D.L d’ordre n de partie régulière a0 +a1 x+:::+an xn (n
1) alors f est dérivable
en 0 et f 0 (0) = a1 :
5.2.3
2.3 Opérations sur les développements limités
Soit f une fonction qui admet un D.L à l’ordre n de partie régulière Pn et g une autre fonction
qui admet un D.L à l’ordre m de partie régulière Qm avec c = min (n; m) alors:
1) Somme:
f + g admet un D.L à l’ordre c de partie régulière Pc + Qc :
2) Produit:
f
Pn
g admet un D.L à l’ordre c de partie régulière Rc , obtenue en ne conservant dans
Qm que les monômes de degré p avec p
c:
3) Produit par un scalaire:
f admet un D.L à l’ordre n de partie régulière
Pn :
4) Quotient:
f
g
admet un D.L à l’ordre s de partie régulière RS qui est la division suivant les puissances
croissantes de f par g:
5) composée:
f g admet un D.L à l’ordre c de partie régulière Rc , obtenue en ne conservant dans Pn Qm
que les monômes de degré p avec p
5.3
c:
Exercice:
Exercice 01: Calculer les limites suivantes:
p
1
ln 1 + x2
ln x 2) lim x e x 3) lim (ln (sin x) ln x)
x!+1 2
x!+1
x!0+
x
x
1
cos x cos a
sin nx
4) lim n
5) lim
6) lim
x!a
x!0 sin mx
x
x a
x!0+
p
p
p
p
p
x
a+ x a
1 + xn
1 xm
p
7) lim
8)m; n 2 N étudier lim
x!+1
x!0
xn
x2 a2
1) lim
105
Exercice 02 :
Trouver le domaine de dé…nition des fonctions suivantes: f (x) =
p
ln (4x + 3) ; h (x) = x2 2x 5
Exercice 03: Soient:h (x) =
p
x2 + 1;
(1) Montrer que:h (x) >
g (x) = ln (x + h (x)) ; f (x) =
q
2+3x
5 2x ;
g (x) =
g (x)
x :
x 8x 2 R, en déduire Df :
(2) Calculer g (x) + g ( x) et en déduire que g est impaire et que f est paire.
(3) Véri…er que:
p
p
x2 + 1h 0 (x) + x h (x) = x + x x2 + 1:
Exercice 04: Soit f : R+ ! Rune fonction dé…nie par: f (x) =
ln(1+x)
si
x
x 6= 0 et f (0) = 1
Montrer que f est continue en 0.
Exercice05: Soit f : R ! Rune fonction dé…nie par: f (x) =
cos x 1
si
x
x 6= 0 et f (0) = 0
Montrer que f est continue en 0.
Exercice06: Soit f : R ! Rune fonction dé…nie par: f (x) = x
[x] ; [] est la partie entière.
Montrer que f est discontinue en tout point de Z.
Exercice 07:
Peut-on prolonger par continuité sur R les fonctions suivantes:
1
f (x) = sin x sin ;
x
g (x) =
1
1
2
x
1
1
; h (x) = ln
2
x
x
Exercice 08: Soit f : ]0; +1[ ! R une fonction dé…nie par: f (x) =
1
x
ex + e
2
x
ln x:
L’équation f (x) = 0 admet-elle une solution?
Exercice 09:(supp) Soit f : [0; 2 ] ! R une fonction dé…nie par: f (x) =e
x sin x
x cos x:
L’équation f (x) = 0 admet-elle une solution dans ]0; 2 [?
Exercice 10: En utilisant la dé…nition de la dérivée, trouver la dérivée f 0 de f dans les cas suivants
(préciser sur quel ensemble f est dérivable):
a)f (x) =
2
(x
3)2
b) (supp) g (x) =
106
p
1 + x2 c)h (x) = sin 2x:
Exercice 11: Démontrer qu’entre deux racines réelles de ex sin x = 1, il existe au moins une racine réelle
de ex cos x =
1:
Exercice 12:(supp) Calculer en utilisant la règle de l’hôpital les limites suivantes:
e2x 1
1 + cos x
ln (cos 3x)
; lim 2
; lim
x!1 x
x!0
x
2x + 1 x!0 ln (cos 2x)
lim
Exercice 13: Soit la fonction :
8
< x2 log jx j si x 6= 0
f :R ! R; x 7! f (x) =
:
0 si x = 0
(1) Etudier la continuité de la fonction f sur R:
(2) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:
(3) La fonction f est-elle de classe C 1 ? de classe C 2 ? Justi…er.
Exercice 14:(supp)
Soit la fonction :
8
< x sin 1 si x 6= 0
x
f :R ! R; x 7! f (x) =
:
0 si x = 0
(1) Etudier la continuité de la fonction f sur R:
(2) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:
(3) Les mêmes questions pour la fonction:
8
< x2 sin 1 si x 6= 0
x
g :R ! R; x 7! g (x) =
:
0 si x = 0
b) g est-elle de classe C 2 ?
107
Exercice 15: Soient:
f
:
R!R
et
x 7! sin x5
g :R ! R
p
x 7! sin 5 x
Montrer que f est dérivable en 0 et que g ne l’est pas .
Exercice 16: Déterminer f
f (x) =
(n) (x)
dans les cas suivants: a) f (x) = cos x; b) f (x) = sin x; c)(supp)
1
1 x:
Exercice 17:
(1) Soit n 2 N : Appliquer le théorème des accroissements …nis à la fonction:
fn
:
[n; n + 1] ! R
x 7! log x
(2) En déduire la nature de la suite de terme général: Un = 1 +
1
2
+
1
3
+ ::: +
Exercice 18:(supp) (1) Etudier la dérivabilité de la fonction:
f (x) = x
p
x2 2x + 1
si x 6= 1 , f (1) = 1
x 1
(2) Determiner a; b tels que: la fonction f dé…nie sur R+ par:
f (x) =
p
x si 0
x
0; x
x2
2
1 , f (x) = ax2 + bx + 1 si non
soit dérivable sur R+ :
Exercice20:
(1) Montrer que:
8x
log (1 + x)
x
x2 x3
+
2
3
(on ne calculera qu’une seule dérivée pour chaque inégalité).
108
1
n
(2) En déduire que :
log (1 + x)
= 1:
x !0
x
lim
Exercice 21: (supp) Soit f : R ! Rune fonction périodique de période T > 0:
(1) On suppose que f a une limite en +1, montrer que f est constante.
(2) On suppose que f monotone, montrer que f est constante.
5.4
Solutions des exercices:
Exercice 01: Calculer les limites suivantes:
109
1)
p
2) lim x e
x
x!+1
3) lim (ln (sin x)
!
p
2)
(1
+
x
1
1) lim
ln 1 + x2
ln x = lim ln
x!+1 2
x!+1
x
0 q
1
s
!
1
x
+1
1
x2
A = lim ln
=
lim ln @
+1
=0
x!+1
x!+1
x
x2
=
ln x) =
x!0+
lim e
x!+1
x!0+
x!0
xx
x
x!0+
6) lim
x!a
1
cos x
x
=
car
:
cos a
a
=
8) lim
1 + xn
x!0
Exercice 02 :
1
xn
xm
x
= lim e
ln x
p
x
x!+1
p
= lim e
x
p
ln x
p
x
2
= 0 car: lim
x!0+
sin x
x
sin nx
nx
sin mx
mx
ex ln x 1
=
0 et 5
=0
=1
sin y
n2
car:
! 0 qd: y ! 0
m
y
ln x
ex ln x 1
= lim
= lim ln x = 1
x
x ln x
x!0+
x!0+
x!0+
x
ln
x
y
e
1
(e
1)
lim
= lim
= e0 = 1 par dé…nition de la dérivée
(5.1)
+
y!0
x ln x
y
x!0
sin a par dé…nition de la dérivée.
lim
x!+1
p
x
p
p
a+ x
p
x2 a2
a
p 1
x
= lim
x!+1 x
p
pa
x
q
+
1
p
1
2x < 0
110
a
x
a2
x2
(5.2)
x!+1
q
2+3x
Trouver le domaine de dé…nition des fonctions suivantes: f (x) =
g (x) =
5 2x ;
p
ln (4x + 3) ; h (x) = x2 2x 5
n
o
1) Df = x 2 R= 52+3x
0
et
5
2x
=
6
0
alors: 52+3x
0 , 2 + 3x 0 et 5 2x > 0 ou
2x
2x
2 + 3x
1
x!+1
1
lim p = 0
x
p
p
p
p
1 + xn
1 xm
1 + xn + 1 xm
p
p
=
lim
x!0
xn
1 + xn + 1 xm
xn xm
1 xm n
p
p
p
= lim n p
=
lim
x!0 x
x!0
1 + xn + 1 xm
1 + xn + 1
8
1
>
>
si m > n
>
< 2
=
0 si m = n
>
>
>
: 1 si m < n
=
p
p
sin nx
nx
= lim n
x!0
sin mx
mx
lim
7)
p
e
sin x
x
lim ln
4) lim n
5) lim
ln x
(5.3)
xm
(5.4)
(5.5)
,x
2
3
et x <
5
2
2
3
ou x
et x >
2) Dg = fx 2 R=4x + 3 > 0g , x 2
3) Dh = x 2 R=x2
Exercice 03: Soient:h (x) =
p
2x
5
x2 + 1;
(1) Montrer que:h (x) >
Soit x 2 R; h (x) + x =
5
2
3
4 ; +1
0 ,x2
2 5
3; 2
,x2
:
1; 1
p
6 [ 1+
p
6; +1
g (x)
x :
g (x) = ln (x + h (x)) ; f (x) =
x 8x 2 R, en déduire Df :
p
x2 + 1 + x > 0 si x
1
0 et h (x) + x = px2 +1
x
> 0 si x < 0
Alors: 8x 2 R; h (x) + x > 0 ) Df = R :
(2) Calculer g (x) + g ( x) et en déduire que g est impaire et que f est paire.
g (x) + g ( x) = ln (x + h (x)) + ln ( x + h ( x)) = ln
ln 1 = 0
) g (x) =
x2 + 1 + x
p
x2 + 1
x
i
=
g ( x) ) g est impaire.
(3) Véri…er que:
p
h p
p
p
x2 + 1h 0 (x) + x h (x) = x + x x2 + 1:
x2 + 1h 0 (x) + x h (x) =
p
x x2 + 1
p
x2 + 1h0 (x) + xh (x) =
Exercice 04: Soit f : R+ ! Rune fonction dé…nie par: f (x) =
p
p
x2 + 1 2p2x
+ x x2 + 1 = x +
x2 +1
ln(1+x)
si
x
x 6= 0 et f (0) = 1
Montrer que f est continue en 0.
ln (1 + x)
ln (1 + x) ln (1 + 0)
= lim
x!0
x
x 0
1
ln (1 + x)
1
=
car la dérivée de
est
1+0
x
1+x
= 1 = f (0) ) f est continue en 0:
lim f (x) =
x!0
lim
x!0
Exercice05: Soit f : R ! Rune fonction dé…nie par: f (x) =
111
cos x 1
si
x
x 6= 0 et f (0) = 0
Montrer que f est continue en 0.
cos x cos 0
cos x 1
= lim
x!0
x
x 0
sin 0 car la dérivée de cos x est sin x
lim f (x) =
lim
x!0
x!0
=
= 0 = f (0) ) f est continue en 0:
Exercice06: Soit f : R ! Rune fonction dé…nie par: f (x) = x
Par dé…nition: [x] = max
avec
x et
[x] ; [] est la partie entière.
2 Z:
Montrer que f est discontinue en tout point de Z.
Théorème: Si
lim f (x)
x!x0
=
avec:
est une constante unique
) 8Xn une suite avec xn ! x0 qd n ! +1
alors
lim
n!+1
f (xn )
=
Pour notre problème soit x0 2 Z, on f (x0 ) = x0
Mais si on pose: xn = x0
1
n
[x0 ] = 0
qui ont des valeurs à gauche de x0 ) [xn ] = x0
1
et on a:
lim
n!+1
Exercice 07:
f (xn )
1
x0
n!+1
n!+1
n
) f est discontinue en tout point de Z:
=
lim xn
[xn ] = lim x0
1 = 1 6= f (x0 )
Peut-on prolonger par continuité sur R les fonctions suivantes:
1
f (x) = sin x sin ;
x
g (x) =
1
1
2
x
1
1
; h (x) = ln
2
x
x
ex + e
2
x
1) f : R ! R et f (x) = sin x sin x1
lim f (x) = lim sin x sin
x!0
x!0
1
= 0 car lim sin x = 0 et
x!0
x
112
1
sin
1
x
1
Alors le prolongement par continuité sur R existe et il est de la forme:
F
2) g : R
R!R 8
< sin x sin 1 si x 6= 0
x
x 7! F (x) =
:
0 si x = 0
f1; 1g ! R
:
lim g (x) = lim
x! 1
2
1
x! 1
1
x
x2
1
=
1
Alors le prolongement par continuité n’existe pas.
3) h : R ! R
ex + e
2
1
lim h (x) = lim ln
x!0
x!0 x
e0
=
e
= lim
x
ex
= 0 car:
0
x
+e
2
e0 +e
2
ln
x
x!0
0
2
ex +e
2
ln
x
=
0
ex
e
2
Alors le prolongement par continuité sur R existe et il est de la forme:
H
:
R!R 8
<
x !
7
H (x) =
:
1
x
ln
ex +e
2
x
si x 6= 0
0 si x = 0
Exercice 08: Soit f : ]0; +1[ ! R une fonction dé…nie par: f (x) =
1
x
ln x:
L’équation f (x) = 0 admet-elle une solution?
lim f (x) = lim
x!0
x!0
1
(1
x
x ln x) = +1 et
lim
x!+1
Alors la fonction f est continue dans ]0; +1[ en plus:
h
i
lim f (x)
x!0
lim
x!+1
113
f (x) < 0
f (x) =
1
x
0
d’après le théorème des valeurs intermédiare: 9c 2 ]0; +1[ tel que: f (c) = 0:
Exercice 09:(supp) Soit f : [0; 2 ] ! R une fonction dé…nie par: f (x) =e
x sin x
x cos x:
L’équation f (x) = 0 admet-elle une solution dans ]0; 2 [?
On a: f ( ) =
et f (2 ) =
2 ; Alors la fonction f est continue dans [0; 2 ] en plus:
[f ( )] [ f (2 )] < 0
d’après le théorème des valeurs intermédiare: 9c 2 ]0; 2 [ tel que: f (c) = 0:
Exercice 10: En utilisant la dé…nition de la dérivée, trouver la dérivée f 0 de f dans les cas suivants
(préciser sur quel ensemble f est dérivable):
a)f (x) =
2
(x
b) (supp) g (x) =
2
3)
p
1 + x2 c)h (x) = sin 2x:
Par dé…nition:
f 0 (x0 ) = lim
x!x0
f (x)
x
f (x0 )
f (x0 + h)
= lim
h!0
x0
h
f (x0 )
En un point x0 on a:
1)
f (x0 + h)
f (x0 ) = lim
h!0
h
0
f (x0 )
=
Alors: 8x 2 R
lim 2
2
(x0 3) (x0 +h 3)
(x0 +h 3)2 (x0 3)2
h
h!0
h!0
4
(x0
3)3
f3g on a : f 0 (x) =
= lim 2
4
:
(x 3)3
114
2
(x0 3)2
h
h!0
2
=
= lim
2
(x0 +h 3)2
2(x0 3)h+h2
(x0 +h 3)2 (x0 3)2
h
2)
p
p
2
1
+
x
1 + x20
f
(x)
f
(x
)
0
= lim
f 0 (x0 ) = lim
x!x0
x!x0
x x0
x x0
p
p
2
2
1+x
1 + x0
x2 x20
= lim
= lim
p
p
x!x0
x!x0
x x0
x x0
1 + x2 + 1 + x20
=
lim
x!x0
p
Alors: 8x 2 R on a : g 0 (x) =
x + x0
p
1 + x2 + 1 + x20
x0
=p
1 + x20
p x
:
1+x2
3)
f (x) f (x0 )
sin 2x sin 2x0
= lim
x!x
x x0
x x0
0
2x+2x0
2x 2x0
cos
sin
2
2
= lim 2
x!x0
x x0
sin (x x0 )
cos (x + x0 )
= lim 2
x!x0
x x0
sin (x x0 )
= 2 cos 2x0 , car: lim
=1
x!x0
x x0
f 0 (x0 ) =
lim
x!x0
Alors: 8x 2 R on a : h 0 (x) = 2 cos 2x
Exercice 11: Démontrer qu’entre deux racines réelles de ex sin x = 1, il existe au moins une racine réelle
de ex cos x =
1:
ex sin x = 1 , sin x = e
x.
Alors si on pose: f (x) = sin x
e
x
la fonction est continue
et dérivable dans R.
Donc si on deux racines de f (x) ) f (a) = f (b) = 0, d’aprés le théorème de Rolle,
9c 2 R telle que: f 0 (c) = 0 ) cos c + e
c
= 0 ) cos c =
e
c
) ec cos c =
1 d’où
l’existence de la racine.
Exercice 12:(supp) Calculer en utilisant la règle de l’hôpital les limites suivantes:
1 + cos x
ln (cos 3x)
e2x 1
; lim 2
; lim
x!1
x!0
x!0
x
x
2x + 1
ln (cos 2x)
lim
e2x 1
2e2x
1 + cos x
sin x
= lim
= 2; lim 2
= lim
= lim
x!0
x!0 1
x!1 x
x!1
x
2x + 1 x!1 2x 2
lim
115
2 cos
2
x
2
=
2
ln (cos 3x)
= lim
x!0 ln (cos 2x)
x!0
lim
3 sin 3x
cos 3x
2 sin 2x
cos 2x
=
3
lim
2 x!0
3x sin 3x
3x
2x sin 2x
2x
9
= :
4
Exercice 13: Soit la fonction :
8
< x2 log jx j si x 6= 0
f :R ! R; x 7! f (x) =
:
0 si x = 0
(1) Etudier la continuité de la fonction f sur R:
Remarque: Dans R la fonction est bien dé…nie et elle est de classe C 2 :
Pour x = 0 :
lim x2 log jx j = 0 = f (0)
x!0
Alors f est une fonction continue en 0.
(2) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:
Pour x = 0 :
lim
x!0
f (x)
x
f (0)
= lim x log jx j = 0
x!0
0
Alors la fonction est dérivable en 0.
(3) La fonction f est-elle de classe C 1 ? de classe C 2 ? Justi…er.
8
< 2x log x + x si x > 0
f 0 (x) =
= 2x log jx j + jx j si x 6= 0
: 2x log x x si x < 0
lim f 0 (x) =
x!0
f (x)
x!0
x
lim 2x log jx j + jx j = 0 = lim
x!0
f (0)
0
Alors la première dérivée existe et elle est continue, donc f est de classe C
la classe C 2 ?
f 0 (x)
x!0
x
lim
f 0 (0)
jx j
= lim 2 log jx j +
=
x!0
0
x
Ce qui implique que f n’est pas de classe C
116
2
dans R:
1
1
(5.6)
dans R: Pour
Exercice 14:(supp)
Soit la fonction :
8
< x sin 1 si x 6= 0
x
f :R ! R; x 7! f (x) =
:
0 si x = 0
(1) Etudier la continuité de la fonction f sur R:
Remarque: Dans R la fonction est bien dé…nie et elle est dérivable:
Pour x = 0 :
lim x sin
x!0
1
= 0 = f (0)
x
car:
1
sin
1
x
1 et lim x =0
x!0
Alors f est une fonction continue en 0.
(2) :
Pour x = 0 :
f (x)
x!0
x
lim
1
f (0)
= lim sin n’existe pas.
x!0
0
x
Alors la fonction n’est pas dérivable en 0.
(3) Les mêmes questions pour la fonction:
8
< x2 sin 1 si x 6= 0
x
g :R ! R; x 7! g (x) =
:
0 si x = 0
(1) Etudier la continuité de la fonction g sur R:
Remarque: Dans R la fonction est bien dé…nie et elle est de classe C 2 :
Pour x = 0 :
lim x2 sin
x!0
1
= 0 = f (0)
x
car:
Alors g est une fonction continue en 0.
(2) :
117
1
sin
1
x
1 et lim x2 =0
x!0
Pour x = 0 :
lim
x!0
f (x)
x
1
f (0)
= lim x sin = 0.
x!0
0
x
car:
1
sin
1
x
1 et lim x =0
x!0
Alors la fonction est dérivable en 0.
b) g est-elle de classe C 1 ?
f 0 (x) = 2x sin
1
x
sin
1
) lim f 0 (x) n’existe pas
x!0
x
Donc g n’est pas de classe C 1 , alors elle n’est pas de classe C 2 :
Exercice 15: Soient:
f
:
R!R
et
x 7! sin x5
g :R ! R
p
x 7! sin 5 x
Montrer que f est dérivable en 0 et que g ne l’est pas .
f (x)
x!0
x
lim
f (0)
sin x5
= lim
lim x4
x!0
0
x x!0
sin x5
x5
=0
Alors f est dérivable en 0:
g (x)
lim
x!0
x
1
g (0)
sin x 5
= lim
lim x
x!0
0
x x!0
1
4
5
sin x 5
1
x5
!
= +1
Alors g n’est pas dérivable en 0:
Exercice 16: Déterminer f
(n) (x)
dans les cas suivants: a) f (x) = cos x; b) f (x) = sin x; c)(supp)
118
f (x) =
1
1 x:
a) f 0 (x)
00
(x) = cos x; f (3) (x) = sin x; f (4) (x) = cos x
8
>
cos x si n = 4k; k 2 N
>
>
>
>
>
< sin x si n = 4k + 1; k 2 N
) f (n) (x) =
:
= cos x + n
>
2
> cos x si n = 4k + 2; k 2 N
>
>
>
>
: sin x si n = 4k + 3; k 2 N
b) f 0 (x)
(x) = sin x; f (3) (x) = cos x; f (4) (x) = sin x
8
>
sin x si n = 4k; k 2 N
>
>
>
>
>
< cos x si n = 4k + 1; k 2 N
) f (n) (x) =
:
= sin x + n
>
2
> sin x si n = 4k + 2; k 2 N
>
>
>
>
: cos x si n = 4k + 3; k 2 N
=
=
sin x; f
cos x; f
c) f 0 (x) =
00
1
(1
2;
x)
f
00
(x) =
2
(1
3;
x)
f
(3)
(x) =
2 3
;
(1 x)4
Donc par récurrence on trouve:
f (n) (x) =
n!
:
(1 x)n+1
Exercice 17:
(1) Soit n 2 N : Appliquer le théorème des accroissements …nis à la fonction:
fn
:
[n; n + 1] ! R
x 7! log x
La fonction: log x est continue dans [n; n + 1] et dérivable dans ]n; n + 1[ alors d’après le
119
théorème des accroissement …nis, il existe un c 2 ]n; n + 1[ tel que:
fn (n + 1)
fn (n)
=
1) fn 0 (c)
(n + 1
1
log (n) = ; 8n 2 N :
c
) log (n + 1)
(2) En déduire la nature de la suite de terme général: Un = 1 +
log (2)
log (1) =
log (3)
log (2) =
log (n + 1)
log (n) =
1
c1
1
c2
1
cn
1
2
+
1
3
+ ::: +
1
n
1; c1 2 ]1; 2[
1
; c2 2 ]2; 3[
2
1
; cn 2 ]n; n + 1[
n
Par la somme des deux membres on obtient:
log (n + 1)
n
X
1
log (1) =
ck
k=1
n
X
1
= Un
k
k=1
Passant à la limite on trouve:
lim log (n + 1) = +1
lim Un ) lim Un = +1:
n!+1
n!+1
n!+1
Exercice 18:(supp) (1) Etudier la dérivabilité de la fonction:
f (x) = x
p
x2 2x + 1
si x 6= 1 , f (1) = 1
x 1
Si x 6= 1 alors la fonction est dérivable. Pour x = 1
f (x)
lim
x
x!1+
f (1)
1
=
lim
x
p
x2 2x+1
x 1
1
= lim
x 1
x!1+
x (x 1) 1
= lim
= +1
x 1
x!1+
x!1+
Alors f n’est pas dérivable au point 1.
120
x
p
(x 1)2
x 1
x
1
1
(2) Determiner a; b tels que: la fonction f dé…nie sur R+ par:
f (x) =
p
x si 0
x
1 , f (x) = ax2 + bx + 1 si non
soit dérivable sur R+ : Le seul problème est le point 1
f (1)
ax2 + bx + 1 a
= lim
1
x 1
x!1+
f (x)
x
lim
x!1+
f (x)
lim
x
x!1
f (1)
= lim
1
x!1
b
1
= lim
x!1+
ax2 + bx a
x 1
b
= lim
(x
x!1+
p
x 1
1
1
= lim p
=
x 1
2
x+1
x!1
Alors pour que f soit dérivable au point 1, en particulier sur R+ : il su¢ t que: 2a + b = 21 :
Exercice19:
(1) Montrer que:
8x
0; x
x2
2
log (1 + x)
x
x2 x3
+
2
3
(on ne calculera qu’une seule dérivée pour chaque inégalité).
En e¤et si on pose:
f (x) = x
x2
2
log (1 + x) et g (x) = log (1 + x)
x+
x2
2
x3
3
On trouve:
f 0 (x)
(1 + x) (1 x) 1
x2
1
=
=
0 si x 0
1+x
1+x
1+x
) f est une fonction décroissante ) f (x) f (0) = 0; 8x 0
=
1
x
et:
g 0 (x)
1 + (1 + x) 1 + x x2
1
x3
1 + x x2 =
=
1+x
1+x
1+x
) g est une fonction croissante ) g (x) g (0) = 0; 8x 0
=
121
0
1) (ax + b +
(x 1)
Conclusion:
8x
0; x
x2
2
log (1 + x)
x2 x3
+
2
3
x
(2) En déduire que :
lim
x !0
log (1 + x)
= 1:
x
On a:
8x
0; x
) 8x
x2
2
log (1 + x)
x
2
0; 1
x
log (1 + x)
x
x2 x3
+
2
3
x x2
1
+
2
3
d’après la régle d’encadrement on trouve:
lim
x !0
log (1 + x)
= 1:
x
Exercice 20: (supp) Soit f : R ! Rune fonction périodique de période T > 0:
(1) On suppose que f a une limite en +1, montrer que f est constante.
On a:
f (x + T ) = f (x) ; 8x 2 R
On pose:
lim f (x) =
x!+1
Supposons par l’absurde qu’il existe a 2 R tel que: f (a) 6= ;la suite an = a + nT tend vers
+1 et f (an ) = f (a) ce qui donne:
lim f (an ) = f (a) =
n!+1
contradiction avec: f (a) 6=
) 8a 2 R; f (a) = :
(2) On suppose que f monotone, montrer que f est constante.
1) Si f est strictement croissante) 8x < y ) f (x) < f (y) mais il existe un n 2 N tel que:
x + nT > y ) f (y) < f (x + nT ) = f (x) ) f (x) < f (y) < f (x) d’où la contradiction.
122
2) Si f est strictement décroissante) 8x < y ) f (x) > f (y) mais il existe un n 2 N tel
que: x + nT > y ) f (y) > f (x + nT ) = f (x) ) f (x) > f (y) > f (x) d’où la contradiction.
Donc la fonction est constante.
123
Partie V
Les nombres complexes.
124
Les propriétés essentielles des nombres complexes ont été étudiées en terminale. On se
limitera à quelques rappels et des techniques de calcul.
5.4.1
1.1 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
1) Soient x et y deux nombres réels quelconques, le couple (x; y) est appelé nombre complexe,
et on le note par: z = x + iy ( c’est l’écriture algébrique de z). Le x désigne la partie réelle
du nombre complexe z, par contre le y est la partie imaginaire,
et le i est le nombre imaginaire qui véri…e (i)2 =
1. L’ensemble des nombres complexes
est noté C:
2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, le point M d’abscisse x et d’ordonnée y
est l’image du nombre complexe z.
On dit encore que M a pour a¢ xe z:
3) Module. Argument
Le nombre complexe z étant di¤érent de (0; 0), l’angle
est un argument de z. Il est dé…ni
à 2k près. On note:
arg (z) = 2k
(2 )
Le module de z est la norme du vecteur OM: On le désigne par:
= jzj = jjOM jj
et on a:
x =
ce qui donne
:
z =
cos et y = sin
p
= x2 + y 2 d’où l’écriture trigonométrique:
ei =
(cos + i sin ) :z 6= 0:
125
4) Par suite on a les propriétés suivantes:
1) jz1 z2 j = jz1 j jz2 j et arg (z1 z2 ) = arg (z1 ) + arg (z2 ) (2 )
jz1 j
z1
z1
= arg (z1 ) arg (z2 ) (2 )
=
et arg
2)
z2
jz2 j
z2
3) jz n j = jzjn et arg (z n ) = n arg (z) (2 )
5) Nombres complexes conjugués
Le conjugué d’un nombre complexe z = x + iy est dé…ni par: z = x
jzj = jzj et arg (z) =
iy et on a:
arg (z) (2 ) si z est non nul.
et comme propriété on a:
z1 + z2 = z1 + z2 , z1 z2 = z1 z2 et z z = x2 + y 2 :
5.4.2
1.2 CALCUL D’UN MODULE ET L’ARGUMENT D’UNE PUISSANCE D’UN NOMBRE COMPLEXE
Pour calculer le module et l’argument d’une puissance d’un nombre complexe, on calcul d’abord
le module et l’argument de ce nombre, puis on écrit ce nombre sous la forme trigonométrique,
et on l’élève à la puissance voulue.
p
Exemple 62 Calculer le module et l’argument du nombre complexe z = 1 + i 3
On a:
p
1+i 3
d0 où z
p !
1
3
= 2
+i
= 2 ei 3
2
2
p
p
) 1 + i 3 = 2 et arg 1 + i 3 =
=
219 ei
19
3
= 219 ei
18
3
) jzj = 219 et arg (z) =
126
+3
3
3
= 219 ei 3
[2 ] :
[2 ]
19
:
5.4.3
1.3 SIMPLIFICATION D’UN RAPPORT DE NOMBRES COMPLEXES
Pour simpli…er un rapport de nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur
par l’expression conjuguée du dénominateur.
Exemple 63 Simpli…er le nombre complexe z =
3+5i
(1 i)(2+3i)
Alors:
z =
=
=
5.4.4
3 + 5i
(3 + 5i) (1 + i) (2 3i)
=
(1 i) (2 + 3i)
(1 i) (2 + 3i) (1 + i) (2 3i)
(3 + 5i) (5 i)
(3 + 5i) (2 3i + 2i + 3)
=
2 13
26
(15 3i + 25i + 5)
20 + 22i
10 11i
=
=
+
:
26
26
13
13
1.4 NATURE D’UN NOMBRE COMPLEXE
Soit z = x + iy; x et y 2 R un nombre complexe.
1.4.1 Un nombre complexe réel
On dit que z est un nombre réel si l’un des cas suivants est véri…es:
1) Si la partie imaginaire est nulle.
2) Si z est égal à son conjugué.
3) L’argument de z est congru à 0 modulo :
Exemple 64 Soit z = i
1+ei
1 ei
avec
z
2
= 2 Z:En e¤ et:
1+e i
1 e i
ei
1+e i
=
i i
e
1 e i
1 + ei
= i
=z
1 ei
) z est un nombre réel.
=
i
127
1.4.2 Un nombre complexe non nul imaginaire pur
z 6= 0 est un nombre imaginaire pur si l’un des cas suivants est véri…es:
1) Si la partie réelle est nulle.
2) Soit z est égal à l’opposé de son conjugué.
3) L’argument de z est congru à
1
2i
Exemple 65 Soit z = i +
modulo :
on a alors:
1
= z
2i
) z est un nombre imaginaire pur.
z
5.4.5
2
=
i+
1.5 RACINES CARRÉES D’UN NOMBRE COMPLEXE
Pour déterminer les racines carrées d’un nombre complexe z = x + iy, on cherche les nombres
et
tels que:
( + i )2 = x + iy
d’où le système:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
2
2
+
ce qui permet de dé…nir
2
2
=
et
p
2
2
=x
x2 + y 2 (équation entre les deux modules)
2
puis ;
= y:
en utilisant le signe entre
Exemple 66 Calculer les racines carrées de z = 3
128
4i:
et :
On résout le système suivant:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
) 2
et
2
d’où les racines sont
5.4.6
2
2
2
+
2
2
=3
2
=5
=
4:
2
=8)
=4
=
1 mais
<0
:
z1 = 2
i et z2 =
2+i .
1.6 RACINES n-IÈMES D’UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL
Pour trouver l’ensemble des racines n-ièmes de z 6= 0, on commence d’abord par le mettre sous
forme trigonométrique, en suite on cherche une racine n-ième, puis on multiplie par les racines
n-ièmes de l’unité 1 = ei2k
uk = ei
2k
n
avec k = f0; 1; 2; :::; n
1g :
p
Exemple 67 Trouver les racines cubiques de z = 4 2 (1 + i) :
En e¤ et:
1) La forme trigonométrique de z est
:
p
z = 4 2 (1 + i) = 8
p !
2
2
+i
2
2
p
= 8 ei 4 :
2) Une racine n-ième de z est
:
1
z0 = (8) 3 ei 12 = 2 ei 12 :
3) d’où les racines cubiques de z
:
zk = z 0 u k
= 2 ei 12 ei
= 2 ei( 12 +
avec k = f0; 1; 2g :
129
2k
3
2k
3
)
5.4.7
1.7 FACTORISATION D’UN POLYNÔME RÉEL
Remarque 68 Quand on cherche à factoriser un polynôme réel P et qu’on a trouvé une racine
imaginaire z, alors z est aussi une racine de P:
Exemple 69 Factoriser le polynôme: P = z 3
Comme z1 = i est une racine alors z2 =
z2 + z
1:
i est aussi une racine et par suite par la méthode
d’identi…cation on trouve la troisième racine.
P = (z
5.4.8
i) (z + i) (z
1) :
1.8 LA FORMULE D’EULER
La formule d’Euler est l’écriture des deux fonction cos inus et sin us en fonction des fonctions
exponentielle qui est utile pour linéariser les expressions
sous la forme cosm x sinn x avec m; n 2 N et dans le chapitre des intégrales par exemple.
Alors on a:
8 2 R; cos =
ei + e
2
i
et sin =
ei
e
2i
i
:
Exemple 70 Linéariser cos x sin2 x:
cos x sin2 x =
=
=
5.4.9
eix + e ix
eix e ix
2
2i
1 i3x
e
eix e ix + e
8
1
(cos 3x cos x) :
4
2
i3x
1.9 LA FORMULE DE MOIVRE
Pour calculer cos (nx) et sin (nx) en fonction de puissances de cos x et sin x, on utilise la formule
de moivre:
8 2 R; 8n 2 Z; ei
130
n
= ein :
Exemple 71
cos 5x
=
Re e5ix
et sin 5x = Im e5ix
donc
:
(cos x + i sin x)5
cos5 x 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x + i 5 cos4 x sin x
8
< cos 5x = cos5 x 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x
:
)
: sin 5x = 5 cos4 x sin x 10 cos2 x sin3 x + sin5 x
10 cos2 x sin3 x + sin5 x
=
5.4.10
1.10 SIMPLIFICATION DE SOMMES DE COSINUS OU BIEN SINUS
Pour simpli…er une somme de cosinus (resp. de sinus) on introduit les fonctions exponentielles
qui est par suite une somme d’une suite géomérique.
Simpli…er:
Sn = 1 + cos x + cos 2x + ::: + cos nx:
En e¤et:
Sn =
n
X
cos kx = Re
k=0
n
X
i(kx)
e
= Re
k=0
n
X
e(ix)
k
k=0
c’est une suite géométrique dans le premier terme est 1 et de raison eix : Alors:
1) si x 2 2 Z ) Sn = n + 1
"
1
2)si x 2
= 2 Z ) Sn = Re
"
= Re ei(
= cos
De même:
n
X
k=0
nx
2
eix(n+1)
1 eix
#
(n+1)x
) sin 2
sin x2
sin (n+1)x
2
:
sin x2
nx
2
nx
sin kx = sin
2
131
sin (n+1)x
2
:
sin x2
#
5.5
Exercices:
Exercice 01: Déterminer le module et un argument des nombres complexes:
a)1 + i
p
(supp) b) 3 + i 3;
p
1 + i 3;
p
3; 2
1
1 + ip
3
2i:
6
; cos (
) + i sin
pour
2 R:
Exercice 02: Résoudre dans C :
z2
2z (cos + i sin ) + 2i sin
(cos + i sin ) = 0; étant un paramètre réel.
Exercice 03:
(1) Calculer les deux sommes:
a) Un = 1 + a cos + a2 cos 2 + ::: + an cos n :
b) Un = 1 + a sin + a2 sin 2 + ::: + an sin n :
et leurs limitesU et V lorsque n ! +1.
(2) Quelle condition faut-il imposer à z pour que:jz + 5j = jz
i j?
Exercice 04: a) Déterminer les racines cubiques de:
p
1+i 3
p
z1 = 1 + i, (supp)et z2 =
1 i 3
b) Si t 2 R, déterminer les racines niemes de z3 =
1+it
1 it :
Exercice 05: Résoudre dans C:
z 2 + z + 1 = 0; (supp)z 2 + z
1 = 0; (supp) 4z 2
z 4 = 1; (supp) z + 2 + z 2 = 3z; (supp)z 2
132
10z + 4 = 0; (supp) z 2 = z
z + 1 = 0; (supp)z 4 + z 2
2
12 = 0:
Exercice 06: Montrer que pour tout
z 2 C, existe-t-il
2 R, le nombre complexe z =
2 R tel que: z =
1+ i
1 i
133
1+ i
1 i
est de module1: Pour quels
Partie VI
Structures algébriques.
134
Les notions qui suivent présentent de l’intérêt sur le plan terminologique que structurel
avant d’aborder l’étude des espaces vectoriels.
5.5.1
1.1 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
1.1.1 Loi de composition interne
Soient E et F deux ensembles non vides, et f une application de E
E dans F . Si f (E
E)
est inclus dans E, alors f est une loi de composition interne sur E: Qu’on la note:
x y ou x | y ou x ? y:::
Exemple 72 L’addition et la multiplication sont des lois de composition internes sur N; Z; Q; R
et C mais la soustraction n’est pas interne sur N:
1.1.2 Commutativité
Une loi de composition interne
sur E est dite commutative si:
pour tout x; y 2 E; x y = y x:
Exemple 73 L’intersection et la réunion sont des lois de composition internes commutatives
sur l’ensemble des parties d’un ensemble.
1.1.3 Associativité
Soit
une loi de composition interne dé…nie sur un ensemble E.
est associative ssi:
pour tout x; y; z 2 E; x (y z) = (x y) z:
Exemple 74 La composition des applications est une loi de composition interne associative.
Par contre la loi de composition
dé…nie dans Q par:
x y=
x+y
n’est pas associative.
2
135
1.1.4 Elément neutre
Soit
une loi de composition interne dé…nie sur un ensemble E. e est un élément neutre
pour la loi
dans l’ensemble E ssi:
8x 2 E; x e = e x = x:
Si, on outre, la loi
est commutative, il su¢ t de montrer que:
8x 2 E; x e = x ou bien e x = x:
Exemple 75 1 est un élément neutre de la multiplication dans R:
Proposition 76 Si l’élément neutre existe alors il est unique.
Preuve:
Supposons par absurde qu’ils existent deux élément neutres e1 ; e2 avec e1 6= e2 :
Par dé…nition de l’élément neutre on a:
8x
2
E; x e1 = x ) e2 e1 = e2
et 8x
2
E; e2 x = x ) e2 e1 = e1
) e1 = e2 :
1.1.5 Elément symétrique
Soit
une loi de composition interne dé…nie sur un ensemble E et admettant un élément neutre
e.
Deux éléments x et x0 sont symétriques pour la loi
x x0 = x0 x = e:
136
si:
Si, on outre, la loi
est commutative, il su¢ t de trouver x0 2 E tel que:
x x0 = e ou bien x0 x = e
Exemple 77 Le symétrique de x dans Z muni de l’addition est:( x) :
Proposition 78 Si la loi
est associative, alors si l’élément symétrique existe il est unique.
1.1.6 Elément régulier
On dit que
est un élément régulier pour une loi
de composition interne dé…nie sur un
ensemble E s’il véri…e:
8x; y 2 E; (x
et 8x; y 2 E; (
Si, on outre, la loi
=y
x=
))x=y
y) ) x = y
est commutative, il su¢ t de véri…er l’un des deux implication.
Exemple 79 Dans C muni de l’addition, tout élément est régulier.
1.1.7 Distributivité
Soient
et 4 deux lois de composition internes sur un ensemble E. Alors
est distributive
par rapport à 4 ssi:
8x; y; z
2 E; x (y 4 z) = (x y) 4 (x z)
et (y 4 z) x = (y x) 4 (z x)
Si, on outre, la loi
est commutative, il su¢ t de montrer l’un des deux égalité.
Exemple 80 La multiplication est distributive par rapport à l’addition dans C.
1.1.8 Partie stable
Soit
une loi de composition interne dé…nie sur un ensemble E:
Une partie A est dite stable de E pour la loi , si pour tout x; y 2 A; x y 2 A:
137
Exemple 81 L’ensemble des entiers naturels pairs est stable pour l’addition, par contre l’ensemble
des entiers impairs n’est pas stable pour l’addition car:
(3) + (5) = 8 qui est pair.
1.1.9 Loi de composition externe
Soient E; F;
trois ensembles non vides, et f une application de
f est une loi de composition externe sur E à opérateurs dans
8
f ( ; x) est souvent notée
2
:
E dans F:
, ssi:
; x 2 E ) f ( ; x) 2 E:
x:
Exemple 82 Dans l’ensemble des vecteurs la multiplication par un scalaire est une loi de
composition externe.
5.5.2
1.2 Structure de groupe
1.2.1 Dé…nition d’un groupe
Un ensemble G muni d’une loi de composition interne est un groupe si on a les trois propriétés
suivantes:
1-
est associative.
2- G admet un élément neutre correspond à .
3- Chaque élément de G possède un symétrique par rapport à .
Si de plus:
est commutative alors le groupe est dit un groupe commutatif ou bien un
groupe abélien.
Exemple 83 (Z; +) est un groupe commutatif.
1.2.2 Propriétés des groupes
Les dé…nitions précédentes découlent les propriétés suivantes:
1- L’élément neutre d’un groupe est unique.
138
Preuve:
Par absurde supposons qu’ils existent deux élément neutre e1 et e2 alors:
e1 e2 = e1 car e2 est un élément neutre,
et e1 e2 = e2 car e1 est un élément neutre,
alors
:
e1 = e2 :
2- Le symétrique d’un élément est unique, noté x
1:
38x 2 G; 8y 2 G;
x
1
1
= x et (x y)
1
=y
1
x
1
:
1.2.3 Sous-groupe
Soit (G; ) un groupe. Une partie H non vide de G muni de la loi
est dite un sous-groupe
ssi:
1- H contient l’élément neutre.
28x 2 H; 8y 2 H; x y 2 H:
38x 2 H; x
1
2 H:
Exemple 84 On appelle le centre d’un groupe G l’ensemble dé…nie par:
C = fx 2 G tel que: 8y 2 G; x y = y xg :
Montrons alors que: (C; ) est un sous-groupe de G:
1- On a: 8x 2 G; x e = e x ) e 2 C:
139
2- 8x1 2 C; 8x2 2 C; alors:
8y
2
G; (x1 x2 ) y = x1 (x2 y) (l’associativité),
=
x1 (y x2 )
=
(x1 y) x2 (l’associativité),
=
(y x1 ) x2
( x1 2 C),
=
y (x1 x2 )
(l’associativité),
( x1 2 C),
) x1 x2 2 C:
38x 2 C; 8y 2 G; x
= y x
1
) x
1
1
y= y
1
x
1
= x y
1
1
( car: x 2 C)
2 C:
Conclusion: (C; ) est un sous-groupe de G:
1.2.4 Propriétés des sous-groupes
1- l’intersection des sous-groupes est un sous groupe, mais la réunion n’est pas un sous-groupe.
Pour la preuve il su¢ t d’utiliser les propriétés des sous-groupes. Mais pour le contre exemple:
On a:
(2Z; +) ; (3Z; +) sont deux sous-groupe de Z:
Par contre
:
car :
(2Z; +) [ (3Z; +) n’est pas un sous-groupe de Z
2; 3 2 (2Z; +) [ (3Z; +) mais 2 + 3 = 5 2
= (2Z; +) [ (3Z; +) :
140
1.2.5 Homomorphisme de groupes
Soient (G; ) et (G0 ; 4) deux groupes, un homomorphisme f de (G; ) vers (G0 ; 4) est une
application:
f
:
G ! G0
x 7! f (x) = x0
telle que:
8x 2 G, 8y 2 G
f (x y) = f (x) 4 f (y)
Exemple 85
f
:
R+ ;
! (R; +)
x 7! f (x) = ln x:
est un homomorphisme.
5.5.3
1.3 Structure d’anneau
(A; ; 4) est un anneau si:
1) (A; ) est un groupe commutatif.
2) 4 posséde un élément neutre et elle est associative.
3) La loi 4 est distributive sur la loi .
Si de plus la loi 4 est commutative, l’anneau est commutatif.
5.5.4
1.4 Corps
1.4.1 élément inversible
Un élément x 2 K est inversible par rapport à la loi 4 s’il existe un élément y 2 K telle que:
x 4 y = y 4 x = e2 ; (e2 est l’élément neutre par rapport à 4)
141
1.4.2 Structure d’un corps
On dit que (K; ; 4) est un corps si:
1) (K; ; 4) est un anneau.
2) Tout élément distinct de e (opération ) est inversible pour la loi 4.
Si de plus 4 est commutative, on parle de corps commutatif.
Exemple 86 (R; +; ) est un corps commutatif, mais (Z; +; ) n’est pas un corps.
5.6
Exercices
Exercice 01: Donner le D.L à l’ordre 3 et à l’ordre 4 au voisinage de 0 de f dans les cas suivants:
(1) f (x) = 2 + x2
(2) f (x) =
2x3 + 5 x4
1
1+x
(3) f (x) = ln 1 + 3x2
(4) f (x) = ex
4
x3
x
1
Exercice 02: (1) Calculer le développement limité à l’ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction f dans
les cas suivants:
a) f (x) = ex sin x; b) f (x) =
ln(1+x)
cos x
p
p
c) f (x) = (1 + cos x) x + 1 d) f (x) = x2 + e
(2) Calculer le développement limité à l’ordre 2 au point x=1 de la fonction g dé…nie par:
g (x) =
ln x
:
x2
Exercice 03:
(1) Calculer le développement limité à l’ordre 2 au point x=0 de la fonction f dé…nie par:
f (x) = ln (1 + x) +
142
p
3
1+x
x
(2) En utilisant la notion du D.L, calculer les limites suivantes:
lim (1 + x) ; lim
x!0
x!0+
1
(Supp) lim
x!+1
ex
1
q
p
9 3 1 + x + x2
; (Supp) lim
x!0
x3
cos
x
p
1
1+x
; (Supp) lim
x!0
x
tan x
1
x
1
x
cos x1
1
x2
1
3x
9
(3) Calculer le développement limité à l’ordre 3 au point 0 puis interpréter pour le prolongement par continuité, la dérivabilité, la position par rapport à la tangente dans les cas
suivants:
a) f (x) =
ex
1
b) (supp) f (x) =
x
ln (1 + x)
sin x
(4) (supp) Calculer le développement limité à l’ordre 2 au point 0 de la fonction f dé…nie par:
ln (1 + x) x +
f (x) =
x
x2
x
En déduire que f se prolonge en une fonction g continue et dérivable sur ] 1; +1[ : Donner
les valeurs de g (0) et g 0 (0) :
(5) Calculer le développement limité à l’ordre 3 au point 0 de la fonction g dé…nie par:
g (x) = 1 + x + x2
Exercice 04: Sur R
f1g on dé…nit la loi
1
x
comme suit:
x y = x + y + xy
(1) Véri…er que
est une loi de composition interne.
(2) Montrer que (R
f1g ; ) est un groupe commutatif.
(3) Résoudre l’équation: 2 3 x 5 = 5 3:
Exercice 05: Soit (G; ) un groupe, H1 ; H2 deux sous groupes de G.
143
(1) Montrer que H1 \ H2 est aussi un sous groupe de G:
(2) Donner un exemple où H1 [ H2 n’est pas un sous groupe de G:
(3) On note C = fx 2 G; 8y 2 G; x y = y xg le centre de G: Montrer que C est un sous
groupe de G:
Exercice 06:
(1) Exprimer sin 2x et cos 2x en fonction de tan x:
(2) calculer les réels x et y tels que arcsin x = 2 arctan 34 et arccos y = 2 arctan 34 :
Exercice 07: Simpli…er les expressions suivantes:
sin (2 arcsin x) ; cos (2 arcsin x) ; cos (3 arctan x) et cos2
1
arctan x
2
Exercice 08:
(1) Véri…er que: Si a + b 6=
(2)
Montrer que: 2 arctan
2
+ k ; k 2 Z; alors tan (a + b) =
p
1 + x2
tan a+tan b
1 tan a tan b :
x + arctan x = 2 :
Exercice 09: Montrer que pour tout x 2 R; sin (arctan x) =
p x
:
1+x2
Exercice 10: Montrer que si x et y 2 R avec xy 6= 1 :
x+y
+k
arctan x + arctan y = arctan
1 xy
8
>
>
0 si xy < 1
>
<
avec : k =
1 si xy > 1 , x > 0 et y > 0
>
>
>
: 1 si xy > 1 , x < 0 et y < 0
5.7
Le corrigé:
Exercice 01: Donner le D.L à l’ordre 3 et à l’ordre 4 au voisinage de 0 de f dans les cas suivants:
144
(1) f (x) = 2 + x2
2x3 + 5 x4
f (x) = 2 + x2
2x3 + x3 " (x) avec " (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 3).
f (x) = 2 + x2
2x3 + 5 x4
(2) f (x) =
1
1+x
f 0 (x) =
( le reste est nul)
on a:
1
;f
(1 + x)2
00
x + x2
Alors:f (x) = 1
:f (x) = 1
( à l’ordre 4).
x + x2
(x) =
2
;f
(1 + x)3
(3)
(x) =
2:3
et f
(1 + x)3
(4)
(x) =
2:3:4
(1 + x)5
x3 + x3 "1 (x) avec "1 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 3).
x3 + x4 + x4 "2 (x) avec "2 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 4).
(3) f (x) = ln 1 + 3x2
On a: ln (1 + u) = u
la notion du composé
1 2
2u
+ 13 u3
1 4
4u
+ u4 " (u) avec " (u) ! 0 qd u ! 0 ( à l’ordre 4).
) f (x) = 3x2 + x3 "1 (x) avec "1 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 3).
1
2
et f (x) = 3x2
3x2
2
x
1
1 2
2! u
+
9 4
2x
+ x4 "1 (x) = 3x2
+ x4 "1 (x) avec "2 (x) ! 0 qd x ! 0
(à
l’ordre 4).
(4) f (x) = ex
4
x3
On a: eu = 1 + u +
la notion du produit
1 3
3! u
+
1 4
4! u
4
+ u4 " (u) avec " (u) ! 0 qd u ! 0 ( à l’ordre 4).
) ex = 1 + x4 + x4 " (x) ! 0 qd u ! 0 ( à l’ordre 4).
) f (x) =
et f (x) =
x + x3 +x3 "1 (x) avec "1 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 3).
1
1
x + x3
x4 +x4 "2 (x) avec "2 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 4).
Exercice 02: (1) Calculer le développement limité à l’ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction f dans
les cas suivants:
a) f (x) = ex sin x; on a: ex = 1 + x +
1 2
2! x
+ x2 "1 (x) avec "1 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre
2).
et sin x = x + x2 "2 (x) avec "2 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 2).
) f (x) = x + x2 + x2 " (x) avec " (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 2).
145
ln(1+x)
cos x
b) f (x) =
1 2
2x
, on a: ln (1 + x) = x
+ x2 "1 (x) avec "1 (x) ! 0 qd x ! 0
(à
l’ordre 2).
1 2
2x
et cos x = 1
+ x2 "2 (x) avec "2 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 2),
alors après la division suivant les puissances croissantes on trouve:
1 2
2x
+ x2 " (x) avec " (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 2).
p
c) f (x) = (1 + cos x) x + 1 , on a: (1 + cos x) = 2 21 x2 + x2 "1 (x) avec "1 (x) ! 0 qd
f (x) = x
x ! 0 ( à l’ordre 2),
p
et x + 1 = 1 + 12 x
1 2
2
8 x + x "2 (x)
avec "2 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 2),
(la notion
du produit)
x2
4
) f (x) = 2 + x
x2
2
3x2
4
+ x2 " (x) = 2 + x
+ x2 " (x) avec " (x) ! 0 qd x ! 0
(à
+ u2 "1 (u) avec "1 (u) ! 0qd u ! 0
(à
l’ordre 2).
d) f (x) =
p
x;
x2 + e
on a: eu = 1 + u +
1 2
2! u
l’ordre 2).
)e
x
=1
x+
1 2
2! x
+ x2 "2 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 2)
) x2 + e x = 1 x + 23 x2 + x2 "2 (x) avec "2 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 2)
p
mais: 1 + u = 1 + 12 u 81 u2 + u2 "3 (x) avec "3 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 2),
la
notion du composé
f (x) = 1 + 21
x + 32 x2
1 2
2
8 x + x " (x)
x
2
= 1+
+ 85 x2 + x2 " (x) avec " (x) ! 0 qd x ! 0
( à l’ordre 2).
(2) Calculer le développement limité à l’ordre 2 au point x=1 de la fonction g dé…nie par:
g (x) =
ln x = (x
1
2
1)
1)2 + (x
(x
ln x
:
x2
1)2 "1 ((x
1)) avec "1 ((x
1)) ! 0 qd x ! 1 ( à
l’ordre 2).
et x2 = 1 + 2 (x
1) + (x
1)2 + (x
1)2 "2 ((x
1)) avec "2 ((x
1)) ! 0 qd x ! 1 ( à
l’ordre 2).
alors après la division suivant les puissances croissantes de (x
g (x) = (x
1)
5
2
(x
1)2 + (x
1)2 " ((x
2).
146
1)) avec " ((x
1) on trouve:
1)) ! 0 qd x ! 1 ( à l’ordre
Exercice 03:
(1) Calculer le développement limité à l’ordre 2 au point x=0 de la fonction f dé…nie par:
f (x) = ln (1 + x) +
p
3
1+x
On a: ln (1 + x) = x 12 x2 + x2 "1 (x) avec "1 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 2)
p
et 3 1 + x=1+1 3x 1 x2 +x2 " (x) avec "2 (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 2) ce qui implique
2
9
que:
f (x) = 1 + 34 x
11 2
18 x
+ x2 " (x) avec " (x) ! 0 qd x ! 0 ( à l’ordre 2)
(2) En utilisant la notion du D.L, calculer les limites suivantes:
lim (1 + x) ; lim
x!0
x!0+
1
ex
(Supp) lim
x!+1
q
1
p
9 3 1 + x + x2
; (Supp) lim
x!0
x3
cos
x
p
1
1+x
; (Supp) lim
x!0
x
tan x
1
x
1
x
cos x1
1
x2
1
3x
9
En e¤et:
1
1
1
lim (1 + x) x = lim e x ln(1+x) = lim e x [x
x!0
lim
x!0+
x!0
x!0
1
x
tan x
=
=
1 2
x +x2 "(x)
2
lim etan x
ln( x1 )
x!0+
= lim e
]=e
tan x ln x
x!0+
2
lim e (x+x "(x))
x!0+
ln x
=1
(3) Calculer le développement limité à l’ordre 3 au point 0 puis interpréter pour le prolongement par continuité, la dérivabilité, la position par rapport à la tangente dans les cas
suivants:
a) f (x) =
ex
1
x
=
1+x+
1 2
2! x
+
1 3
3! x
ex
+
x
1
x
1 4
4! x
b) (supp) f (x) =
+ x4 " (x)
147
1
ln (1 + x)
sin x
1
1
1
= 1+ x+ x2 + x3 +x3 " (x) avec " (x) ! 0 qd x
2!
3!
4!
Alors f est prolongeable par continuité avec:
F
:
R
8! R
< ex 1 si x 6= 0
x
x !
7
: 1 si x = 0
est le prolongement de f:
qui est dérivable dans R en particulier en 0 avec F 0 (0) =
1
2!
= 21 . En plus l’équation de
la tangente est: y = 12 x + 1 mais:
ex 1
x
= 1+
1
1 2
2! x+ 3! x
+
1 3
4! x
+ x3 " (x) avec " (x) ! 0 qd x ! 0 donc puisque le terme
d’ordre 2 est positif alors le graphe de la fonction est au-dessus de la tangente.
(4) (supp) Calculer le développement limité à l’ordre 2 au point 0 de la fonction f dé…nie par:
ln (1 + x) x +
f (x) =
x
x2
x
En déduire que f se prolonge en une fonction g continue et dérivable sur ] 1; +1[ : Donner
les valeurs de g (0) et g 0 (0) :
(5) Calculer le développement limité à l’ordre 3 au point 0 de la fonction g dé…nie par:
g (x) = 1 + x + x2
g (x) = 1 + x + x2
1
x
On a: ln (1 + u) = u
1
x
1
2
= e x ln(1+x+x )
1 2
2u
+ 31 u3
1 4
4u
+ u4 " (u) ! 0 qd u ! 0
( à l’ordre 4), donc si on
pose: u = x + x2
2
on trouve: ln 1 + x + x2 = x + x2
2 3
x4
3x + 4
+ x4 "1 (x) (on tronque que les termes d’ordre
4)
)
1
x
ln 1 + x + x2 = 1 + x2
2 2
3x
avec "2 (u) ! 0 qd u ! 0 ( à l’ordre 3).
1
x
2
) e x ln(1+x+x ) = e1+ 2
3
+ x4 + x3 "1 (x) mais: eu = 1 + u + 2!1 u2 + 3!1 u3 + u3 "2 (u)
2 2 x3
x + 4 +x3 "1 (x)
3
x
= e e2
2 2 x3
x + 4 +x3 "1 (x)
3
Donc il su¢ t de remplaçer dans le D.L de eu le u par
termes d’ordre
3)
148
x
2
2 2
3x
+
x3
4
(on tronque que les
) g (x) = e 1 +
Exercice 04: Sur R
x
2
13 2
24 x
1 3
16 x
f1g on dé…nit la loi
+ x3 " (x)
comme suit:
x y =x+y
(1) Véri…er que
est une loi de composition interne.
Montrons que: 8x; y 2 R
Si x + y
xy
f1g alors: x y 2 R
xy = 1 ) x + y
xy
f1g , x + y
1 = 0 ) (1
x) (y
xy 6= 1
1) = 0 ) x = 1 ou y = 1
(contradiction)
Alors
est une loi de composition interne.
(2) Montrer que (R
a) Montrons que
f1g ; ) est un groupe commutatif.
est associative, 8x; y; z 2 R
Soient x; y; z 2 R
f1g ; (x y) z = (x + y
et x (y z) = x (y + z
f1g; (x y) z = x (y z)?
xy) z = (x + y
yz) = x + (y + z
yz)
x (y + z
xy) + z
(x + y
xy) z
yz) (par identi…cation des
deux résultats)
) (x y) z = x (y z)
b) Montrons que
Soient x; y 2 R
Alors
est commutative, 8x; y 2 R
f1g ; x y = x + y
xy = y + x
f1g; x y = y x
yx = y x
est une loi commutative.
c) Montrons que
admet un élément neutre, 9e 2 R
f1g tel que 8x 2 R
f1g; x e =
e x = x?
Puisque
est commutative alors il su¢ t de montrer que: x e = x
x e=x,x+e
xe = x ) e (1
x) = 0 ) e = 0 car x 2 R
d) Montrons que chaque élément x 2 R
que: x x
1
=x
1
f1g
f1g admet un élément symétrique noté x
x=e=0
149
1
tel
Puisque
x
1
est commutative alors il su¢ t de résoudre l’équation x x
=0,x+x
1 (1
x) = 0 ) x
qui est bien dé…ni car x 2 R
Conclusion: (R
1
=
1
x
x 1
1
=0,x+x
x
f1g :
f1g ; ) est un groupe commutatif.
(3) Résoudre l’équation: 2 3 x 5 = 5 3:( utilisant la notion de l’élément symétrie)
2 3 x 5=5 3,3 x 5=2 5 3,x 5=
,x=
3
2
( 3) 3
5
4
,x=
3
2
9
5
4
, x = ( 3)
3
2
5
4
2 5 3,x=
3
2
2 5 3
5
4
=2
Exercice 05: Soit (G; ) un groupe, H1 ; H2 deux sous groupes de G.
(1) Montrer que H1 \ H2 est aussi un sous groupe de G:
a) Montrons que H1 \ H2 contient l’élément neutre?
H1 ; H2 sont deux sous groupes de G et l’élément neutre de G unique) e 2 H1 et e 2 H2 )
e 2 H1 \ H 2 .
b) Montrons que: 8x 2 H1 \ H2 ; 8y 2 H1 \ H2 ) x y 2 H1 \ H2 ?
Soient x; y 2 H1 \ H2 ) x; y 2 H1 et x; y 2 H2 ) x y 2 H2 et x y 2 H2 car H1 ; H2 sont
deux sous groupes de G ) x y 2 H1 \ H2 :
c)
2-Montrons que: 8x 2 H1 \ H2 ) x
1
2 H1 \ H2 ?
Soit x 2 H1 \ H2 ) x 2 H1 et x 2 H2 puisque l’élément symétrique est unique et H1 ; H2
sont deux sous groupes de G
alors: x
1
2 H1 et x
1
2 H2 ) x
1
2 H1 \ H2 :
Conclusion: H1 \ H2 est aussi un sous groupe de G:
(2) Donner un exemple où H1 [ H2 n’est pas un sous groupe de G:
Si on pose: G = Z; H1 = f2k; k 2 Zg et H2 = f3k; k 2 Zg : Alors: (G; +) est un groupe et
H1 , H2 sont deux sous groupes de G:
Alors: 22 H1 [ H2 et 32 H1 [ H2 mais: 2+3=52
= H1 [ H2 ) H1 [ H2 n’est pas un sous
groupe de G:
150
(3) On note C = fx 2 G; 8y 2 G; x y = y xg le centre de G: Montrer que C est un sous
groupe de G:
a) Montrons que: e 2 C?
8y 2 G; e y = y e = y ) e 2 C
b) Montrons que: 8x1 ; x2 2 C ) x1 x2 2 C?
Soient x1 ; x2 2 C et y 2 G ) (x1 x2 ) y = x1 (x2 y) car
est associative
= x1 (y x2 ) car x2 2 C
=(x1 y) x2 car
est associative
=(y x1 ) x2 car x2 2 C
=y (x1 x2 ) car
est associative) x1 x2 2 C
c) Montrons que: 8x 2 C ) x
1
utilisant le fait que: (a b)
x
1
y= y
=y x
1
1
)x
x
1
1
1
2 C?
1
=b
= x y
1
1
1
a
et a
1
1
=a
car x 2 C
2C
Conclusion: C est un sous groupe de G:
Exercice 06:
(1) Exprimer sin 2x et cos 2x en fonction de tan x:
sin 2x = 2 sin x cos x =
sin x
2 cos
x
=
1+
2
cos 2x = cos x
=
1
1+
sin2 x
cos2 x
=
2 sin x cos x
=
cos2 x + sin2 x
2 sin x cos x
cos2 x
cos2 x+sin2 x
cos2 x
2 tan x
1 + tan2 x
cos2 x sin2 x
sin x =
=
cos2 x + sin2 x
sin2 x
cos2 x
sin2 x
cos2 x
2
=
cos2 x sin2 x
cos2 x
cos2 x+sin2 x
cos2 x
1 tan2 x
1 + tan2 x
(2) calculer les réels x et y tels que arcsin x = 2 arctan 34 et arccos y = 2 arctan 34 :
151
3
2 tan arctan 34
4
=
2
3
9
1+tan2 arctan 4
1+ 16
3
9
2
1 tan arctan
1
= 1+tan2 arctan 43 = 1+ 16
9
4
16
arcsin x = 2 arctan 34 ) sin arcsin x = sin 2 arctan 34 =
=
24
25 :
arccos y = 2 arctan 43 ) cos arccos y = cos 2 arctan 43
=
7
25
Exercice 07: Simpli…er les expressions suivantes:
sin (2 arcsin x) ; cos (2 arcsin x) ; cos (3 arctan x) et cos2
1
arctan x
2
1) sin (2 arcsin x) = 2 (sin arcsin x) (cos arcsin x)
mais:
(cos arcsin x) =
p
1
sin2 arcsin x =
2) cos (2 arcsin x) =
q
1
p
1
p
x2 ) sin (2 arcsin x) = 2x 1
sin2 (2 arcsin x) =
3) cos (3 arctan x) on a: cos 3u = 4 cos3 u
p
1
4x2 (1
x2 )
3 cos u (formule de Moivre)
et
1 + tan2 u =
1
1
) cos u = p
2
cos u
1 + tan2 u
mais si on pose: u = arctan x est compris entre
cos arctan x
=
p
+1
1+
tan2 [arctan x]
2
et
=p
2:
Donc cos u > 0 d’où:
1
1 + x2
) cos (3 arctan x) = 4 cos3 (arctan x) 3 cos (arctan x )
4
1
1 3x2
=
3
=
3
1
3
(1 + x2 ) 2
(1 + x2 ) 2
(1 + x2 ) 2
pour:
cos2
1
arctan x
2
on a
:
cos2 z =
1
1 + cos (arctan x)
arctan x =
2
2
p
1
1 + p1+x2
1 + x2 + 1
= p
2
2 1 + x2
) cos2
=
1 + cos 2z
2
152
x2
Exercice 08:
(1) Véri…er que: Si a + b 6=
2
+ k ; k 2 Z; alors tan (a + b) =
tan (a + b) =
=
(2)
Montrer que: 2 arctan
p
tan a+tan b
1 tan a tan b
sin (a + b)
cos a sin b + sin a cos b
=
cos (a + b)
cos a cos b sin a sin b
cos a sin b+sin a cos b
cos a cos b
cos a cos b sin a sin b
cos a cos b
1 + x2
=
tan b + tan a
1 tan a tan b
x + arctan x = 2 :
p
1 + x2 x + arctan x
Calculons: la dérivée de: 2 arctan
p
0
px
0
p
2
( 1+x2 x)
2
2 arctan
1+x
x + arctan x = 2 p 2 2 = 2 p1+x 2
1+( 1+x x)
1+( 1+x
1
1+x2
p
2
p 1+x
1+x2
p
p
1+x2 ( 1+x2 x)
x
=
+
1
1+x2
avec = cste:(pour x = 0 )
=
1
1+x2
+
1
1+x2
= 0 ) 2 arctan
p
1
1 + x2
1
2 + 1+x2
x)
=2
x
1+x2
1+1+x2 +x2
x + arctan x =
= 2:
Exercice 09: Montrer que pour tout x 2 R; sin (arctan x) =
En e¤tet: posons y = arctan x, donc y 2
2; 2
p x
1+x2
et x = tan y
Il s’ensuit que
p
x
tan y
tan y
= jcos yj tan y = cos y tan y = sin y = sin (arctan x)
=p
=q
2
2
1
1+x
1 + tan y
2
cos y
Exercice 10: Montrer que si x et y 2 R avec xy 6= 1 :
x+y
arctan x + arctan y = arctan
+k
1 xy
8
>
>
0 si xy < 1
>
<
avec : k =
1 si xy > 1 , x > 0 et y > 0
>
>
>
: 1 si xy > 1 , x < 0 et y < 0
153
p
1
p
+
2x 1+x2
Il su¢ t de poser la fonction:
f
:
1
y
R
!R
x 7! arctan x + arctan y
arctan
x+y
1 xy
après calcul:
f 0 (x) = 0 si x 6=
1) Si x <
1;
1
1
[ ; +1
y
y
1
y
lim f (x) =
x! 1
=
donc:
1) Si x >
1
) f est constante dans
y
1
y
2
2
+ arctan y
+ arctan y
x!+1
donc:
Conclusion:
arctan
8
< 0 si xy < 1 et y > 0
f (x) =
:
si xy > 1 et y < 0
lim f (x) =
8
<
f (x) =
>
>
>
:
1
y
=
8
<
: 0 si y > 0
donc nécessairement x < 0
si y < 0
donc nécessairement x > 0
si xy > 1 et y < 0 et x < 0
0 si xy < 1
si xy > 1 et y > 0 et x > 0
154
si y < 0
: 0 si y > 0
8
< 0 si xy < 1 et y < 0
f (x) =
:
si xy > 1 et y > 0
8
>
>
>
<
1
y
arctan
Partie VII
Espaces vectoriels:
155
5.8
Introduction:
Sur les vecteurs, au sens de la géométrie élémentaire, c’est-à-dire tels qu’on les rencontre en
physique élémentaire, on a pu dé…nir deux types d’opération : l’addition et la multiplication
par un réel. Dans ce chapitre, nous allons généraliser ces notions en leur donnant une portée
plus abstraite, donc plus vaste.
5.9
Dé…nition d’un espace vectoriel:
On dit qu’un ensemble E est un espace vectoriel ( ou possède une structure d’espace vectoriel)
sur un corps commutatif | ( le plus souvent R ou C) si on peut dé…nir sur les éléments de E
(appelés vecteur) deux opérations, ou lois de composition:
5.9.1
L’addition: (notée +)
Cette opération interne fait de (E,+) un groupe abélien.
5.9.2
Une opération externe, la multiplication par un élément de | :
Cette loi externe (produit noté u) possédant les propriétés suivantes:
8 ;
2 |; 8u; v 2 E :
(u + v) =
u+ v
(distributivité sur E)
( + )u =
u+ u
(distributivité sur |)
( u) = (
1:u = u
5.10
)u
(1 étant l’élément unité de |)
Exemples:
Les ensembles suivants possèdent des structures d’espaces vectoriels sur R (éventuellement C):
l’ensemble des polynômes à une variable, de degré inférieur ou égal à n;
l’ensemble des fonctions continues sur un intervalle I;
l’ensemble des suites réelles ou complexes;
156
par contre l’ensemble des polynômes à une variable, de degré égal à n 2 N n’est plus un
espace vectoriel car le polynôme nul ( l’élément neutre) n’est plus de degré n.
5.11
Propriétés immédiates des opérations dans un espace vectoriel:
Des axiomes de dé…nition, il résulte:
1) 8u 2 E; 0:u = 0E :(0E est l’élément neutre de E).
2) 8 2 |; :0E = 0E :
3) 8 2 |; 8u 2 E; :u = 0E =)
4) 8u 2 E; ( 1) u =
5) 8 ( ; ) 2 |2
6) 8 2 |
5.12
= 0 ou u = 0E :
u:
8u 2 E
8 (u; v) 2 E 2
f0E g
u= u)
= :
u = v ) u = v:
Sous -espaces vectoriels:
On appelle sous-espace vectoriel (on note s.e.v)d’un espace vectoriel E, sur un corps |,
toute partie de E qui possède la structure d’espace vectoriel sur |. Pour qu’une partie non vide
F d’un espace vectoriel E soit un sous-espace de E, il faut et il su¢ t que toute combinaison de
deux vecteurs de F soit un vecteur de F , c’est à dire:
1) F
2) 8u; v
3)8
5.12.1
6= ?
2 F; u + v 2 F
2 |; 8u 2 F; u 2 F
Exemples:
1) l’ensemble des suites convergentes est un sous-espace de l’ensemble des suites réelles ou
complexes.
2) A = f(x; y; z) ; x = y = zg est un sous-espace de R3 :
157
3) B = f(x; y; 1)g n’est pas un sous-espace de R3 car (x; y; 1) 2 B mais 3 (x; y; 1) =
(3x; 3y; 3) 2
= B:
Proposition 87 Si F est un s.e.v de E alors il contient l’élément neutre de E.
Preuve:
F est un s.e.v de E ) F 6= ? ) 9u 2 F ) si
= 0 alors d’après 3) 0E 2 F:
Remarques:
0 est l’élément neutre de R:
(0; 0) est l’élément neutre de R2 :
(0; 0; 0) est l’élément neutre de R3 :
Le polynôme nul est l’élément neutre de l’ensemble des polynômes.
La fonction nulle est l’élément neutre de l’ensemble des fonctions.
Donc d’après la proposition pour montrer que F 6= ? c’est pratique de voir l’élément neutre
par exemple (0; 0; 0) 2
= B ) B n’est pas un s.e.v de R3 .
5.13
Intersection et la réunion de deux sous-espaces:
-L’intersection de deux sous-espaces vectoriels (et donc d’un nombre …ni) de E est un s.e.v de
E.
En e¤et: soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E alors:
1) 0E 2 F et 0E 2 G ) 0E 2 F \ G ) F \ G 6= ?:
2) 8u; v 2 F \ G ) u 2 F; v 2 F et u 2 G; v 2 G ) u + v 2 F et u + v 2 G car F et G sont
tous les deux des s.e.v de E ) u + v 2 F \ G:
3) 8 2 |; 8u 2 F \ G ) u 2 F et u 2 G ) u 2 F et u 2 G ) u 2 F \ G:
Conclusion: F \ G est un s.e.v de E:
-Par contre la réunion de deux sous-espaces vectoriels de E n’est plus un s.e.v de E:En e¤et:
Exemple1: Soient A = f(x; 0) ; x 2 Rg et B = f(0; y) ; y 2 Rg deux s.e.v de R2 car par
exemple pour l’ensemble A on a:
1) (0; 0) 2 A ) A 6= ?:
2) 8u; v 2 A ) u = (a; 0) ; v = (b; 0) ) u + v = (a + b; 0) 2 A:
158
3) 8 2 R; 8u 2 A ) u = (a; 0) ) u = ( a; 0) 2 A:
Conclusion: A est un s.e.v de R2 :
de même pour l’ensemble B:
Alors u = (1; 0) 2 A
A[B et v = (0; 2) 2 B
A[B mais u+v = (1; 2) 2
= A[B ) A[B
n’est pas un s.e.v de R2 :
Exemple2: Soient E = f2k; k 2 Zg et F = f3k; k 2 Zg deux s.e.v de Z car par exemple
pour l’ensemble E on a:
1) 0 2 E ) E 6= ?:
2) 8u; v 2 E ) u = 2k; v = 2k 0 ) u + v = 2 (k + k 0 ) 2 E:
3) 8 2 Z; 8u 2 E ) u = 2k ) u = 2 ( K) 2 E:
Conclusion: E est un s.e.v de Z:
de même pour l’ensemble F:
Alors u = 2 2 E
E [ F et v = 3 2 F
E [ F mais u + v = 5 2
= E[F )
E [ F n’est pas un s.e.v de Z:
5.14
Somme de sous-espaces. Somme directe:
5.14.1
Somme de sous-espaces:
Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E alors la somme de F et G est dé…ne par:
F + G = fu 2 E tel que u = u1 + u2 avec u1 2 F et u2 2 Gg
5.14.2
Somme directe:
On dit que la somme F + G est directe, ou encore que F et G sont supplémentaires vis-à-vis de
E, si la décomposition u = u1 + u2 d’un élément quelconque de E en somme de deux éléments
de F et G est unique. Et on note:
E=F
159
G
autrement on a:
E=F
G,
Exemple: Dans R3 les deux s.e.v suivants:
8
>
>
>
<
E =F +G
et
>
>
>
: F \ G = f0 g
E
F = f(x; y; z) ; x = y = zg et G = f(x; y; 0) ; x; y 2 Rg
sont supplémentaires. En e¤et:
a) On a:
R3 = F + G car
R3 et G
1) F
R3 ) F + G
R3 :
2)8u
2
R3 ; u = (x; y; z) = (z; z; z) + (x
b) 1) on 0E
2
F et 0E 2 G car F et G sont deux s.e.v de E ) 0E 2 F \ G ) f0E g
2) si u
2
F \ G ) u 2 F et u 2 G ) u = (x; x; x) et u = (x; y; 0) ) x = y et x = 0
)
u = (0; 0; 0) ) F \ G
z; y
z; 0) 2 F + G ) R3
Famille de vecteurs d’un espace vectoriel:
5.15.1
1) Dépendance:
i n de
dants s’il existe
1;
1 a1
+
2 a2
vecteurs d’un |-espace vectoriel (E; +; :) est liée ou linéairement dépen-
2 ; :::;
+ ::: +
F \ G:
f0E g :
5.15
Une famille (ai )1
F +G
n
n an
2 | non tous nuls tels que,
= 0E :
Exemple:
Dans E = R2 [x] (l’espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égale à 2
et à coe¢ cients réels), les fonctions f1 ; f2 ; f3
dé…nies pour tout x 2 R par:
f1 (x) = x2 + 1; f2 (x) = x2
1 et f3 (x) = x2 : sont liées.
160
En e¤et: soient
d’où
1
=
2
1;
=
2;
3
2 R tels que:
1 f1
+
2 f2
+
3 f3
=0)
il y a donc une in…nité de solutions
3
2
8
<
:
3
2
1
+
2
+
1
;
3
2
;
2
3
=0
=0
avec
3
3
réel
arbitraire par exemple:(1; 1; 2) :
5.15.2
2) Indépendance:
Une famille (ai )1
i n de
dépendants si pour tout
1 a1
+
2 a2
+ ::: +
vecteurs d’un |-espace vectoriel (E; +; :) est libre ou linéairement in1;
n an
2 ; :::;
n
2|,
= 0E =)
1
=
2
= ::: =
n
= 0:
Exemple:
Dans R3 les vecteurs A = (0; 1; 3) ; B = (2; 0; 1) et C = (2; 0; 1) sont libres car:
8 ; ;
5.15.3
2R A+ B+ C =0)
8
>
>
>
<
2 +2 =0
>
>
>
: 3
)
=0
+
=
=
=0
=0
3) Famille génératrice ou systéme générateur:
Une famille de vecteurs (a1 ; a2 ; :::; an ) d’un |-espace vectoriel (E; +; :) est dite génératrice de
E ou engendre E si tout élément u de E est combinaison linéaire de (a1 ; a2 ; :::; an ) c’est-à-dire:
8u 2 E; 9
1;
2 ; :::;
n
2 | tels que u =
1 :a1
+
2 :a2
+ ::: +
n :an :
Exemple:
Dans R2 les deux vecteurs u = (2; 3) et v = ( 1; 5) est une famille génératrice car:
8w
R2 9 1 ; 2 2 R tel que: w = (x; y) = 1 u + 2 v =
8
8
5x+y
< 2 1
<
2 =x
1 = 13
donc ( 1 ;
)
)
3x+2y
: 3 +5 =y
:
=
2
1
2
13
2
161
1 (2; 3)
2
+
2(
1; 5) = (2
1
2; 3 1
) existe pour tout (x; y) 2 R2 :
+5
2)
5.15.4
4) Base:
Une famille de vecteurs (a1 ; a2 ; :::; an ) d’un |-espace vectoriel (E; +; :) est une base de E si elle
est à la fois libre et génératrice.
Exemple:
Dans R3 les vecteurs u = (2; 3; 0) ; v = (1; 1; 1) et w = ( 1; 3; 5) forment une base de R3 :
5.15.5
5) Dimension d’un espace vectoriel:
La dimension …nie n d’un espace vectoriel E, est le nombre maximum de vecteurs que peut
renfemer un système libre extrait de E; et on note dim E = n; par convention on pose:
dim (f0E g) = 0: Autrement dit la dimension d’un espace vectoriel E est le nombre de vecteurs
qui forment la base de E. Si le nombre des éléments d’un système libre de E n’est pas majoré,
on dit que E est de dimension in…nie.
Remarque: si F est un s.e.v d’un espace vectoriel E de dimension n alors:
F
E ) dim F
dim E
Exemple: dim R2 = 2
5.15.6
6) Rang d’un système de vecteurs:
On appelle rang d’un système de p vecteurs (u1 ; u2 ; :::; up ) de E, avec dim E = n, la dimension
r du sous-espace vectoriel (u1 ; u2 ; :::; up ). En d’autres termes, r est le nombre maximum de
vecteurs que peut comporter un système libre extrait du système donné.
5.15.7
7) Lien entre la dimension et la somme directe:
Dans les espaces de dimensions …nies on a la formule:
dim (F + G) = dim F + dim G
162
dim (F \ G)
Dans le cas de la somme directe, F \ G = f0E g, donc:
dim (F
G) = dim F + dim G
En…n pour montrer que de sous espaces vectoriels de dimensions …nies sont supplémentaires
vis-à-vis de E, c’est à dire:
E=F
8
>
>
dim E = dim F + dim G
>
<
G,
et
>
>
>
:
F \ G = f0 g
E
Exemple: Dans R3 les deux s.e.v suivants:
F = f(x; y; z) ; x = y = zg et G = f(x; y; 0) ; x; y 2 Rg sont supplémentaires.
En e¤et:
(1; 0; 0) +
8u
2
F; u = (x; x; x) = x (1; 1; 1) ) (1; 1; 1) est une base de F ) dim F = 1
8v
2
F; v = (x; y; 0) = x (1; 0; 0) + y (0; 1; 0) ) f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0)g engendre G et libre ca
(0; 1; 0)
=
0)
=
= 0 ) f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0)g est une base de G
) dim G = 2 ) dim R3 = dim F + dim G = 3
Le reste de la preuve est déja fait.
5.16
Sous-espace engendré par un ensemble:
Dé…nition 88 Soit A une partie d’un espace vectoriel E. On dé…nis le sous-espace vectoriel
engendré par un ensemble A, le plus petit sous-espace vectoriel contenant l’ensemble A. Et on
le note: S (A).
Exemples:
1) si A est un s.e.v de E alors: S (A) = A:
163
2) S (?) = f0E g :
5.17
Exercice:
Exercice 01: Les sous-ensembles suivants sont-ils des s-ev de R2 ?
1) A =
3) C =
x; x2 ; x 2 R 1)
2) B = f(x; ax + b) ; x 2 Rg , a et b sont des paramètres réels.
(x; y) ; x 2 R; y 2 R x2 + y 2
1
Exercice 02: Soit:
E = (x; y; z) 2 R3 avec: x2 + 2y 2 + z 2 + 2y (x + z) = 0
E ainsi dé…ni est-il un sous espace vectoriel de R3 ? Si oui donner sa dimension.
Exercice 03: Soient:
E1 = (a; b; c) 2 R3 ; a = c
et E2 = (a; b; c) 2 R3 ; a + b + c = 0
et E3 = f(0; 0; c) ; c 2 Rg :
(1) Montrer que: Ei ; i = 1; 2; 3 sont des s.ev de R3 :
(2) Montrer que:R3 = E1 + E2
, R3 = E2 + E3 et R3 = E1 + E3 :
(3) Dans quel cas la somme est directe.
Exercice 04: Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
E1 = (a + b; b
3a; a) 2 R3 = a; b 2 R
et E2 = (c; 2c; c) 2 R3 = c 2 R :
avec E2 est un s-ev de R3 :
(1) Montrer que E1 est un s-ev de R3 :
(2) Déterminer une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
(3) En déduire dim E1 et dim E2 :
164
(4) Montrer que: R3 = E1 + E2 :
(5) Déduire si la somme est directe ou non.
5.18
Le corrigé:
Exercice 01: Les sous-ensembles suivants sont-ils des s-ev de R2 ?
x; x2 ; x 2 R
1) A =
(x; y) ; x 2 R; y 2 R x2 + y 2
3) C =
1) A =
2) B = f(x; ax + b) ; x 2 Rg , a et b sont des paramètres réels.
x; x2 ; x 2 R
1
n’est pas un sous espace vectoriel car (2; 4) ; (3; 9) 2 A mais
(2; 4) + (3; 9) = (5; 13) 2
= A:
2) B = f(x; ax + b) ; x 2 Rg
1er cas: Si b 6= 0 on a (0; 0) 2
= B alors B n’est pas un sous espace vectoriel car chaque s.e.v
contient l’élément neutre de l’espace.
2ème cas: Si b = 0
B = f(x; ax) ; x 2 Rg
a) (0; 0) 2 B ) B 6= ?
b) Si v1 ; v2 2 B ) v1 = (x1 ; ax1 ) et v2 = (x2 ; ax2 ) ) v1 + v2 = (x1 + x2 ; a (x1 + x2 )) 2 B
c) Si v1 2 B;
2 R ) v1 = ( x1 ; a ( x1 )) 2 B
Alors B est un sous espace vectoriel de R2 :
3) C = (x; y) ; x 2 R; y 2 R x2 + y 2
1 n’est pas un s.e.v de R2
Car: (1; 0) 2 C mais 4 (1; 0) = (4; 0) 2
= C:
Exercice 02: Soit:
E = (x; y; z) 2 R3 avec: x2 + 2y 2 + z 2 + 2y (x + z) = 0
E ainsi dé…ni est-il un sous espace vectoriel de R3 ? Si oui donner sa dimension.
x2 + 2y 2 + z 2 + 2y (x + z) = 0 , x2 + y 2 + 2yx + z 2 + y 2 + 2yz = 0 , (x + y)2 + (y + z)2 =
0,x=
y et z =
y
) E = ( y; y; y) 2 R3 avec: y 2 R
165
1) a) (0; 0; 0) 2 E ) E 6= ?
b) Si v1 ; v2 2 E ) v1 = ( y1 ; y1 ; y1 ) et v2 = ( y2 ; y2 ; y2 ) ) v1 +v2 = ( (y1 + y2 ) ; (y1 + y2 ) ;
E
c) Si v 2 E;
2 R ) v = ( ( y) ; ( y) ;
( y)) 2 E
Alors E est un s.e.v de R3 :
2) Si v 2 E alors v = ( y; y; y) = y ( 1; 1; 1) ce qui implique que le vecteur ( 1; 1; 1)
engendre E:
Puisque on a qu’un seul vecteur alors B = f( 1; 1; 1)g est une base de E ) dim E = 1:
Exercice 03: Soient:
E1 = (a; b; c) 2 R3 ; a = c
et E2 = (a; b; c) 2 R3 ; a + b + c = 0
et E3 = f(0; 0; c) ; c 2 Rg :
(1) Montrer que: Ei ; i = 1; 2; 3 sont des s.ev de R3 :
Pour E1 par exemple:
a) (0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ?
b) Si v1 ; v2 2 E1 ) v1 = (x1 ; y1 ; x1 ) et v2 = (x2 ; y2 ; x2 ) ) v1 +v2 = (x1 + x2 ; (y1 + y2 ) ; x1 + x2 ) 2
E1
c) Si v 2 E1 ;
2 R ) v = ( x; y; x) 2 E1
Alors E1 est un s.e.v de R3 :
De même pour les deux dernier cas.
(2) Montrer que: R3 = E1 + E2
, R3 = E2 + E3 et R3 = E1 + E3 :
a) Montrons que: R3 = E1 + E2 ?
On a: E1
R3 et E2
R3 ) E1 + E2
R3
3
8 Si v 2 R ) v = (x; y; z) = ( ; ; ) + ( ; ;
>
>
x= +
>
<
y= +
>
>
>
: z=
166
) = ( + ;
+ ;
) )
(y1 + y2 )
Il su¢ t de prendre par exemple:
=
1
2
(x
y
=0)
=y)
z)
D’où v = (x; y; z) =
1
2
8
<
x=
+
: z=
(x + y + z) ; 0; 12 (x + y + z) +
1
2
y
(x
y
)
z) ; y;
=
1
2
1
2
(x
(x + y + z) )
y
z)
y 2
E1 + E2
b) Montrons que: R3 = E1 + E3 ?
On a: E1
R3 et E3
R3 ) E1 + E3
R3
Si v 2 R3 ) v = (x; y; z) = (x; y; x) + (0; 0; z
x) 2 E1 + E3 :
c) Montrons que: R3 = E2 + E3 ?
On a: E3
R3 et E2
R3 ) E2 + E3
Si v 2 R3 ) v = (x; y; z) = (x; y; x
D’où R3 = E1 + E2
R3
y) + (0; 0; z + x + y) 2 E2 + E3 :
, R3 = E2 + E3 et R3 = E1 + E3 :
(3) Dans quel cas la somme est directe.
A) Il su¢ t de véri…er si on a E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g?
a) (0; 0; 0) 2 E1 \ E2 :
b) Si v 2 E1 \ E2 ) v 2 E1 et v 2 E1 ) v = (a; b; a) et v = (a; b; a
b=
b) ) a =
a
b)
2a
Donc par exemple (1; 2; 1) 2 E1 \ E2 ) E1 \ E2 6= f(0; 0; 0)g
ce qui implique que la somme n’est pas directe.
B) Il su¢ t de véri…er si on a E2 \ E3 = f(0; 0; 0)g?
a) (0; 0; 0) 2 E2 \ E3 :
b) Si v 2 E2 \ E3 ) v 2 E2 et v 2 E3 ) v = (a; b; a
b) et v = (0; 0; c) ) a = b = c =
0 ) v = (0; 0; 0)
) E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g
ce qui implique que la somme est directe.
C) Il su¢ t de véri…er si on a E1 \ E3 = f(0; 0; 0)g?
a) (0; 0; 0) 2 E1 \ E3 :
b) Si v 2 E1 \ E3 ) v 2 E2 et v 2 E3 ) v = (a; b; a) et v = (0; 0; c) ) a = b = c = 0 )
v = (0; 0; 0)
167
) E1 \ E3 = f(0; 0; 0)g
ce qui implique que la somme est directe.
Exercice 04: Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
3a; a) 2 R3 = a; b 2 R
E1 = (a + b; b
et E2 = (c; 2c; c) 2 R3 = c 2 R :
(1)( Montrons que E1 est un s-ev de R3 ?:
a) E1 6= ;?
(0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ;
b) 8 u1 ; u2 2 E1 ) u1 + u2 2 E1 ?
Soient u1 ; u2 2 E1 ) u1 = (a1 + b1 ; b1
3a1 ; a1 ) et u2 = (a2 + b2 ; b2
) u1 + u2 = ((a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) ; (b1 + b2 )
3a2 ; a2 )
3 (a1 + a2 ) ; (a1 + a2 )) 2 E1
c) 8 u 2 E1 ; 8 2 R ) u 2 E1 ?
Soient u 2 E1 et
2 R ) u = (a + b; b
) u = ( a + b; b
3a; a)
3 a; a) 2 E1
Conclusion: E1 est un s-ev de R3 :
(2)
Déterminons une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
a)
u 2 E1 ) u = (a + b; b
3a; a) = a (1; 3; 1) + b (1; 1; 0)
alors B1 = f(1; 3; 1) ; (1; 1; 0) g engendre E1 : mais:
(1; 3; 1) +
(1; 1; 0) = (0; 0; 0) )
=
=0
alors les deux vecteurs de B1 sont linéairements indépendants.
Ce qui implique que B1 = f (1; 3; 1) ; (1; 1; 0)g est une base de E1 :
b)
168
u 2 E2 ) u = (c; 2c; c) = c (1; 2; 1)
alors B2 = f (1; 2; 1)g engendre E2 : mais:
(1; 2; 1) = (0; 0; 0) )
=0
Ce qui implique que B2 = f (1; 2; 1)g est une base de E2 :
(3) En déduire dim E1 et dim E2 :
dim E1 = 2 et
(4)
dim E2 = 1:
Montrer que: R3 = E1 + E2 :
a)"
" E1
R3 et E2
R3 ) E1 + E2
R3 :
b) " " soit u 2 R3 ) u = (x; y; z) = (a + b; b 3a; a) + (c; 2c; c)
8
8
>
>
>
>
x
=
a
+
b
+
c
b=x z
>
>
<
<
)
y = b 3a 2c )
y = x z a 2z ) a = y + x 3z
>
>
>
>
>
>
:
: c = z a = z ( y + x 3z) = x + y + 4z
z =a+c
) u = (x; y; z) = (2x
y
4z; 2x + 3y
8z; y + x
3z) +
( x + y + 4z; 2 ( x + y + 4z) ; x + y + 4z)
2 E1 + E2 d’où: R3 = E1 + E2 :
(5)
On déduire que: R3 = E1
E2 :
(a)
dim E1
=
2 et
dim E2 = 1
) dim E1 + dim E2 = 3 = dim R3 = 3
ou bien on a
:
R3 = E1 + E2 ::
169
(b) :
E1 \ E2
=
f(0; 0; 0)g car: f(0; 0; 0)g
E1 \ E2
car E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels.
De plus si:
u 2 E1 \ E2 ) u = (a + b; b 3a; a) et u = (c; 2c; c)
8
8
>
>
>
>
a
+
b
=
c
b=0
>
>
<
<
)
b 3a = 2c )
a=0
>
>
>
>
>
>
:
: c=0
a=c
8
8
3
<
< dim E1 + dim E2 = dim R3
R = E 1 + E2
)
ou bien
: E \ E = f(0; 0; 0)g
:
E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g
1
2
la somme est directe R3 = E1
170
E2 :
Partie VIII
Méthodes d’intégration:
171
Si F (x) est une fonction dont la dérivée F 0 (x) = f (x) sur un certain intervalle de l’axe
des x, alors F (x) est appelée primitive ou intégrale indé…nie de f (x). L’intégrale indé…nie
d’une fonction donnée n’est pas unique; par exemple, x2 ; x2 + 4 et x2 + 7 sont toutes des
intégrales indé…nies de
f (x) = 2x, car elles sont décrites par la formule F (x) = x2 + C, où C est une constante
arbitraire, appelée constante d’intégration.
R
R
Le symbole f (x) dx désigne lintégrale indé…nie de f (x) : Ainsi, 2x dx = x2 + C:
172
5.19
Formules fondamentales d’intégration:
Un certain nombre des formules ci-dessous découlent immédiatement des formules courantes de
dérivation, donc on a les propriétés et les formules suivantes:
Z
d
[f (x)] dx = f (x) + C , C 2 R:
dx
Z
Z
Z
2: [f (x) + g (x)] dx =
[f (x)] dx + [g (x)] dx:
Z
Z
3:
[f (x)] dx =
[f (x)] dx; 2 R:
Z
xm+1
4: xm dx =
; m 6= 1:
m+1
Z
dx
= ln jxj + C:
5:
x
Z
6: ex dx = ex + C:
Z
Z
ax
x
7: a dx =
ex ln a dx =
+ C; a > 0; a 6= 1:
ln a
Z
8: sin x dx =
cos x + C:
Z
9: cos x dx = sin x + C:
Z
1
1
10: tan xdx = ln jsec xj + C:avec sec x =
et cos ecx =
cos x
sin x
Z
11: cot an x dx = ln jsin xj + C:
Z
1
12:
dx = tan x + C:
cos2 x
Z
1
13:
=
cot an x + C:
2 dx
sin
x
Z
dx
x
p
14:
= arcsin
+ C:
2
2
a
a
x
Z
dx
1
x
p
15:
=
arcsec
+ C:
2
2
a
a
x x
a
1:
173
Z
dx
16:
a2 + x2
Z
dx
p
17:
2
x + a2
Z
dx
p
18:
2
x
a2
5.19.1
1
x
arctan
+ C:
a
a
p
= ln x + x2 + a2
=
= ln x +
p
x2
a2
+ C:
+ C:
Formule de changement de variable:
R
Pour calculer une primitive
f (x) dx, il est souvent utile de remplacer la variable x par une
nouvelle variable u, et ce en écrivant x comme fonction g (u), ce qui nous ramènes à trouver une
formule fondamentale. Par substitution, nous avons x = g (u) et dx = g 0 (u) du: L’équation:
Z
f (x) dx =
Z
f (g (u)) g 0 (u) du:
s’applique et s’appelle la formule de changement de variable.
Exemple 5.1 Pour calculer l’intégrale
x=u
3 )dx = du )
Z
5.19.2
11
(x + 3) dx =
Z
R
(x + 3)11 dx, remplaçons x + 3 par u. Ce qui donne
(u)11 dx =
1
1 12
u +C =
(x + 3)12 + C:
12
12
Formule de réduction:
Deux formules simples nous permettent de calculer plus rapidement les primitives.
La première est donnée par:
Z
Exemple 5.2
La seconde est:
f 0 (x) [f (x)]m dx =
Z
(ln x)2
dx =
x
Z
Z
1
[f (x)]m+1 + C
m+1
m 6=
1
1
(ln x)2 dx = (ln x)3 + C
x
3
f 0 (x)
dx = ln jf (x)j + C
f (x)
174
1
Exemple 5.3
5.20
Z
cot an xdx =
Z
cos x
dx = ln jsin xj + C:
sin x
Intégration par parties:
Remarque 5.1 On utilise l’intégration par parties dans le cas où la fonction à intégrer est une
fonction élémentaire ou produit des fonctions élémentaires suivantes:
Fonctions trigonométriques, Polynômes,
Fonctions inverses des fonctions trigonométriques, ln(f (x)) ; e
f (x)
; :::
Ou bien dans les formules de réduction qui introduits pour chaque intégrale une nouvelle intégrale, de même forme que l’intégrale initiale, mais ayant un exposant réduit ou augmenté.
Exemple 5.4
2:
1:
Z
Z
5.20.1
2
x
2 m
a
dx =
cosm x sinn x dx =
Z
m
x x2 a2
2ma2
m
x2 a2
2m + 1
2m + 1
Z
cosm 1 x sinn 1 x m 1
+
cosm
m+n
m+n
1
2
dx;
m 6=
x sinn x dx,
Intégration par parties:
Si u et v sont des fonctions dérivables de x,
d (uv)
=
u dv + v du
) udv = d (uv)
Z
)
u dv = uv
v du
Z
v du
ou:
Z
Z
f (x) g 0 (x) dx
=
f (x) g (x)
avec
:
f (x) = u et g 0 (x) dx = dv
) du = f
175
0
f 0 (x) g (x) dx
(x) dx et v = g (x)
1
2
m 6=
n
C’est la formule de l’intégration par parties. Deux règles générales se dégagent:
1: La partie prise comme dv doit être aisément intégrable.
Z
Z
2: v du ne doit pas être plus complexe que
u dv:
Exemple 5.5 Calculer:
I=
Z
ln x2 + 2 dx
Par parties on pose:
f (x)
I
ln x2 + 1 et g 0 (x) = 1
2x
et g (x) = x
) f 0 (x) = 2
x +2
Z
=
=
=
=
=
0
f (x) g (x) dx = f (x) g (x)
Z
2x2
x ln x2 + 1
dx
x2 + 2
Z
4
2
x ln x + 1
2
dx
x2 + 2
Z
Z
1
x ln x2 + 1
2 dx + 2
2
px
2
=
x ln x2 + 1
Z
f 0 (x) g (x) dx
dx
+1
p
x
2x + 2 2 arctan p + C
2
176
5.21
Intégrales trigonométriques:
5.21.1
Les identités trigonométriques:
Dans ce chapitre, pour calculer les intégrales trigonométriques, on utilise les identités suivantes:
1:
sin2 x + cos2 x = 1;
3: 1 + cot an2 x =
5: cos2 x =
8: sin x sin y =
10: 1
cos x =
12: 1
sin x =
2: 1 + tan2 x =
1
sin2 x
1
1
4: sin2 x = (1 cos 2x)
2 ;
2
sin x
1
1
(1 + cos 2x) ,
6: sin x cos x = sin 2x
2
2
1
7: sin x cos y = [sin (x y) + sin (x + y)]
2
1
[cos (x y) + cos (x + y)]
2
1
9: cos x cos y = [cos (x y) + cos (x + y)]
2
2 1
2 sin x
2
1
11: 1 + cos x = 2 cos2 x;
2
1 cos
x
2
Par la suite on applique les deux règles:
1: Pour
2: Pour
Z
Z
cosm x sinn x dx
:
si m est impair, on pose u = cos x: Si n est impair, on pose u = sin x:
tanm x secn x dx
:
si n est pair, on pose u = tan x: Si m est impair, on pose u = sec x:
avec sec x =
1
:
sin x
Exemple 5.6 (A)
1er cas: les intégrales de types:
Z
sinn x dx ou
Z
cosn x dx avec n est un entier pair.
Dans ce cas on utilise la forme linéaire de sin2 x ou cos2 x c’est- à- dire: les deux formules
4 et 5, pour obtenir des formules fondamentales.
177
Exemple 5.7 (1)
Z
sin2 x dx =
Z
1
(1
2
1
cos 2x) dx = x
2
1
sin 2x + C
4
Exemple 5.8 (2)
Z
4
cos x dx =
Z
2
cos x
Z
2
dx =
Z
1
(1 + cos 2x)
2
2
dx
1
1 + 2 cos 2x + cos2 2x dx
4
Z
Z
Z
1
1
1
=
dx +
cos 2x dx +
cos2 2x dx
4
2
4
Z
1
x 1
cos2 2x dx
+ sin 2x +
=
4 4
4
Z
dt
mais dans
cos2 2x dx on pose : t = 2x ) dt = 2dx ) dx =
2
=
Z
Z
1
)
cos 2x dx =
cos2 t dt
2
Z
1
1
(1 + cos 2t) dt
=
2
2
Z
Z
1
1
=
dt +
cos 2tdt
4
4
t
1
=
+ sin 2t + C1
4 6
2x 1
+ sin 4x + C1
=
6
Z4
x 1
1 2x 1
)
cos4 x dx = + sin 2x +
+ sin 4x + C1
4 4
4 4
6
x 1
x
1
=
+ sin 2x + +
sin 4x + C
4 4
8 24
3x 1
1
=
+ sin 2x +
sin 4x + C
8
4
24
2
+ C2
Exemple 5.9 (B)
2eme cas: les intégrales de types:
Z
sinn x dx ou
178
Z
cosn x dx avec n est un entier impair.
Alors dans les deux cas on pose: n = n
sin2 x + cos2 x = 1 pour l’indice n
1 + 1 ensuite on utilise la 1ère formule c’est à dire:
1 qui est une puissance paire, ce qui permet de donner
une intégrale de type formule de réduction.
Z
f 0 (x) [f (x)]m dx:
Exemple 5.10 (1)
Z
3
sin x dx =
=
Z
2
sin x sin x dx =
cos x +
Z
1
2
cos x sin x dx =
1
cos3 x + C:
3
Z
sin x dx +
Z
cos2 x ( sin x) dx
Exemple 5.11 (2)
Z
5
Z
Z
2
sin x sin x dx =
1 cos2 x sin x dx
Z
Z
Z
4
=
sin x dx
cos x ( sin x) dx + 2 cos2 x ( sin x) dx
sin x dx =
=
4
cos x +
2
1
cos5 x + cos3 x + C:
5
3
Exemple 5.12 (C)
3eme cas: les intégrales de types:
Z
sinn x
cosm x dx avec
l’un des deux indices (n; m) est un entier impair.
C’est pratiquement la même chose comme l’exemple(B), on applique la même méthode pour
l’indice impair, mais si les deux
sont impairs alors le meilleurs choix est le plus petit.
179
Exemple 5.13 (1)
Z
sin3 x
cos4 x dx =
=
=
Z
Z
sin2 x cos4 x sin x dx =
1 cos2 x cos4 x sin x dx
Z
Z
cos4 x ( sin x ) dx + cos6 x ( sin x ) dx
1
1
cos5 x + cos7 x + C:
5
7
Exemple 5.14 (2)
Z
5
sin x
7
cos x dx =
=
=
Z
2
Z
2
1 cos2 x
cos7 x sin x dx
cos x sin x dx =
Z
Z
Z
7
11
cos x ( sin x ) dx
cos x ( sin x ) dx + 2 cos9 x ( sin x ) dx
2
sin x
1
cos8 x
8
7
1
2
cos12 x +
cos10 x + C:
12
10
Exemple 5.15 (D)
4
eme
Z
cas: les intégrales de types:
sinn x
cosm x dx avec
les deux indices (n; m) sont des entiers pairs.
On applique la forrmule suivante: sin x cos x =
1
2
sin 2x et la forme linéaire de cos inus ou sinus.
Exemple 5.16 (1)
Z
sin4 x
cos4 x dx
=
Z
Z
1
1
(sin 2x)4 dx =
sin4 t dx
16
32
qui est de type (A).
180
Exemple 5.17 (2)
Z
sin4 3x
cos2 3x dx
=
=
=
=
Z
1
sin2 6x (1
sin2 3x cos2 3x sin2 3x dx =
8
Z
Z
1
1
sin2 6x dx
sin2 6x cos 6x dx
8
8
Z
Z
1
1
(1 cos 12x) dx
sin2 6x cos 6x dx
16
8
1
1
1
x
sin 12x
sin3 x + C:
16
192
144
Z
cos 6x) dx
Remarque 89 On applique les mêmes méthodes dans le cas des intégrales qui contients les
fonctions: tan x; cot anx; sec x; cos ecx:
Exemple 5.18
Z
5
tan x dx =
=
=
=
5.22
Z
Z
Z
3
2
tan x tan xdx =
tan3 x sec2 xdx
3
2
tan x sec xdx
1
tan4 x
4
Z
Z
Z
tan3 x sec2 x
1 dx
tan3 x dx
tan x sec2 x
1 dx
1
tan2 x + ln jsec xj + C:
2
Subtitutions trigonométriques:
Quelques intégrales contient l’un des facteurs suivants:
p
a2
b2 x2 ;
p
p
a2 + b2 x2 ou b2 x2
a2
mais aucun autre facteur irrationnel, dont on peut la remplacer par une nouvelle intégrale qui
est trigonométrique après un chagement de variable.
p
1. Si la fonction à intégrer contient un facteur a2 b2 x2 , on pose x = ab sin z et on obtient:
p
a 1 sin2 z = a cos z:
p
2. Si la fonction à intégrer contient un facteur a2 + b2 x2 , on pose x = ab tan z et on obtient:
p
a 1 + tan2 z = a sec z:
p
3. Si la fonction à intégrer contient un facteur b2 x2 a2 , on pose x = ab sec z et on obtient:
181
p
a sec2 z
1 = a tan z:
Exemple 5.19 (1)
I1 =
on pose:x = 2 tan z )dx = 2 sec2 z dz,
I1 =
=
Z
p
dx
p
4 + x2
Z
Z
sec z
2 sec2 z dz
1
1
sin
=
dz =
4
4
(4 tan2 z) (2 sec z)
tan2 z
p
1
4 + x2
+C =
+ C:
4 sin z
4x
Z
I2 =
on pose:x = 2 sec z )dx = 2 sec z tan z dz,
I2
p
p
2
z cos z dz
x2
dx
x2 4
x2
4 = 2 tan z d’où:
Z
4 sec2 z (2 sec z tan z) dz
= 4 sec3 z dz
=
2 tan z
= 2 sec z tan z + 2 ln j2 sec z + tan zj + C
p
1 p 2
=
x x
4 + 2 ln x + x2 4 + C:
2
Z
Exemple 5.21 (3)
I3 =
3
2
x2
4 + x2 = 2 sec z d’où:
Exemple 5.20 (2)
on pose:x =
Z
sin z )dx =
I3
3
2
cos z dz,
p
9
Z p
4x2
9
x
dx
4x2 = 3 cos z d’où:
Z
Z
cos2 z dz
1 sin2 z
= 3
=3
dz
sin z
sin z
Z
Z
= 3 cos ec z 3 sin z dz
= 3 ln jcos ecz cot an zj + 3 cos z + C:
p
p
3
9 4x2
+ 9 4x2 + C
= 3 ln
x
182
5.23
Intégration par fractions partielles:
Théoriquement tout polynômes à coe¢ cients réels peut s’exprimer comme produit de facteurs
linéaires réels de la forme ax + b et d’autre quadratiques de la forme ax2 + bx + c:
Un polynôme quadratique ax2 + bx + c est réductible ssi 4 = b2
ac
0 et il est
irréductible ssi 4 < 0 ( Dans ce cas les racines ne sont pas réelles).
5.23.1
Fraction rationnelle:
Une fraction rationnelle est une fonction H (x) =
f (x)
g(x) ,
où f (x) et g (x) sont des polynômes. Si
le degré f (x) est inférieur au degré de g (x), on dit que H (x) est une fraction rationnelle propre,
autrement, on dit que H (x) est impropre. Dans ce cas on peut exprimer H (x) comme la somme
d’un polynôme et d’une fraction rationnelle propre par la méthode de la division euclidienne.
Alors pour intégrer une fraction rationnelle H (x) =
f (x)
g(x)
on suit les étapes suivantes:
La division euclidienne:
Il faut ramener l’intégrale à une intégrale d’une fraction propre si non on utilise la division
euclidienne si la fraction est impropre ce qui donne deux intégrales la 1ere est polynômiale et
l’autre est une intégrale d’une fraction propre.
Intégration des fractions rationnelles propres:
Si H (x) =
f (x)
g(x)
avec le degré f (x) est inférieur au degré de g (x).
1ere étape: La décomposition du dénominateur:
On décompose le dénominateur comme produit des facteurs qui sont parmis les types suivants:
1- Facteurs linéaires distincts:
Un facteur linéaire est de la forme: ax + b:
2- Facteurs linéaires répétés:
Un facteur linéaire répété qui est de la forme: (ax + b)n avec n 2 N et n
3-Facteurs quadratiques distincts:
C’est un facteur de la forme ax2 + bx + c en plus il est irréductible.
183
2:
4- Facteurs quadratiques répétés:
C’est un facteur de la forme ax2 + bx + c
n
avec n 2 N et n
2 de plus ax2 + bx + c est
irréductible.
2eme étape: La décomposition en éléments simples:
C’est l’écriture d’une fraction rationnelle propre comme somme d’éléments simples qui sont
en général de la forme:
A1
B1
1x + 1
2x + 2
;
, et
:
n;
2
2
a1 x + b1 (c1 x + d1 ) a2 x + b2 x + c2
(a3 x + b3 x + c3 )m
d’une façon que les dénominateurs des éléments simples sont tous les cas possibles tel que sont
dénominateur commun est g (x) :
Exemple 5.22
x
(x + 1) (x
2
1)
(x2
+x+
1) (x2
2
+ x + 3)
=
A2
A3
A1
+
+
x + 1 x 1 (x 1)2
ax + b
cx + d
ex + f
+ 2
+ 2
+
x + x + 1 x + x + 3 (x2 + x + 3)2
Remarque 5.2 Le nombre d’éléments simples est la somme des puissances des facteurs qui
forment le dénominateur. De plus il faut calculer les constantes (A1 ; ; A2 ; A3 ; a; b; c; d; e et f )
par la méthode du dénominateur commun et l’identi…cation avec le numérateur du fraction
rationnelle.
3eme étape: Le calcul de l’intégrale de chaque élément simple:
On a quatre types d’intégrales:
1-
2-
Z
Z
A1
A1
dx =
ln (a1 x + b1 ) + C; C 2 R
a1 x + b1
a1
B1
B1
(c1 x + d1 )
n dx =
(c1 x + d1 )
c1 ( n + 1)
n+1
+ C; C 2 R
3Z
1x + 1
dx =
a2 x2 + b2 x + c2
ln a2 x2 + b2 x + c2 +
184
arctan ( x + ) + C; C ; ; ; 2 R
Exemple 5.23 Calculer l’intégrale:
I =
=
=
=
=
Z
1
4x + 3
4x + 3
dx
dx
=
2x2 + x + 3
2
x2 + x2 + 23
Z
Z
x + 34
2x + 32
4
dx
=
dx
2
x2 + x2 + 23
x2 + x2 + 23
Z
2x + 21 + 1
dx
x2 + x2 + 32
Z
Z
2x + 21
1
dx
x
3 dx +
2
2
x +2+2
x + x2 + 23
Z
1
x 3
+
dx
ln x2 + +
2
2 2
x + x2 + 23
Z
pour l’intégrale:
J
=
=
=
Z
Z
16
23
1
x2
+
x+
Z
x
2
+
1
1 2
4
dx =
3
2
+
1
4x+1
p
23
2
23
16
Z
dx =
1
x2
16
23
+
Z
x
2
+
1
16
x+
+
1
1 2
4
1
16
+
+
23
16
3
2
dx
dx
dx
+1
p
23
4x + 1
) dx =
dx
on pose : y = p
4
23Z
4
4
1
) J=p
dy = p arctan y + C1 ; C1 2 R
2+1
y
23
23
4x + 1
4
+ C1 ; C1 2 R
= p arctan p
23
23
x 3
4
4x + 1
) I = ln x2 + +
+ p arctan p
+ C; C 2 R
2 2
23
23
4Z
2x
+ 2
1
a3 x2 + b3 x + c3
m dx =
2
(a3 x + b3 x + c3 )
m+1
m+1
Z
+
(a3 x2 + b3 x + c3 )m
dx avec m 6= 1 .
pour l’intégrale:
Z
(a3
x2
m dx
+ b3 x + c3 )
,
Z
(y 2
dy
avec m 6= 1 (Les substitutions trigonométriques).
+ 1)m
185
5.24
Divers changements de variable:
Si la fonction à intégrer contient des radicaux de la forme:
p
1- n ax + b, alors le changement de variable consiste à poser ax + b = z n pour obtenir une
fraction rationnelle.
p
2- x2 + ax + b avec un 4 < 0, alors le changement de variable consiste à poser x2 +ax+b =
(z
x)2 pour obtenir une fraction rationnelle.
p
3- (a + x) (b x), alors le changement de variable consiste à poser(a + x) (b
ou (a + x) (b
x) = (a + x)2 z 2
x)2 z 2 pour obtenir une fraction rationnelle.
x) = (b
4- Si la fonction à intégrer contient des facteurs cosinus ou sinus dans le numérateur ou bien
dans le dénominateur, alors on pose:
x = 2 arctan z ) dx =
avec
:
sin x =
2dz
1 + z2
1 z2
2z
et
cos
x
=
:
1 + z2
1 + z2
Remarque 5.3 On peut trouver des changements de variables qui sont suggérés par la forme
de la fonction à intégrer.
Exemple 5.24 (1)
I =
on pose
:
I =
=
Z
1
Z
x5
p
1
x3 dx
x3 = z 2 ) 3x2 dx =
Z
p
x3 1 x3 x2 dx =
2
3
z3
3
z5
5
+C =
186
2z dz
1
2
z dz
3
z2 z
2
1
45
x3
3
2
2 + 3x3 + C:
Exemple 5.25 (2) Dans l’intégrale:
J
=
on trouve
:
ensuite on pose
:
J
Z p
x x2
1
dx , on pose: x =
x4
z
Z
p
J=
z z 1 dz
z
=
2
1 = t2 :
"
5
(1 x) 2
5
+
(1
5x 2
3
x) 2
3
3x 2
#
+ C:
Pour les premiers changements de variables on propose les exemples suivants:
Exemple 5.26 (1)
I1 =
Z
(x
dx
p
2) x + 2
On pose: x + 2 = z 2 ) dx = 2z dz
I1 =
=
Z
1
z 2
2z dz
= ln
+C
2
z (z
4)
2
z+2
p
x+2 2
1
ln p
+C
2
x+2+2
Exemple 5.27 (2)
I2 =
Z
dx
p
2
x x +x+2
alors on pose:
x2 + x + 2
z2 2
1 + 2z
2
p
2 z +z+2
z2 + z + 2
2+x+2=
) dx =
dz
et
x
1 + 2z
(1 + 2z)2
p
p
p
1
z
1
2
x2 + x + 2 + x
2
p + C = p ln p
p +C
) I2 = p ln
2
2
z+ 2
2
x +x+2+x+ 2
=
(z
x)2 ) x =
Exemple 5.28 (3)
I3 =
Z
xdx
(5
4x
3
x2 ) 2
On pose:
5
4x
x2 = (5 + x) (1
187
x) = (1
x)2 z 2
Alors:
x=
p
12z dz
z2 5
, dx =
et 5
2
2
1+z
(1 + z 2 )
4x
x2 = (1
x) z =
D’où:
I3 =
1
18
z+
5
z
Exemple 5.29 (4)
I4 =
Z
5 2x
+C = p
+C
9 5 4x x2
dx
1 + sin x cos x
On pose:
x
avec
5.25
=
2 arctan z ) dx =
2dz
1 + z2
1 z2
2z
et
cos
x
=
:
sin x =
1 + z2
1 + z2
Z
dz
z
) I4 =
= ln
+C
z (1 + z)
1+z
tan x2
= ln
+C
1 + tan x2
:
Intégration des fonctions hyperboliques:
On a:
ch x =
avec
:
ex e
ex + e x
et sh x =
2
2
2
2
ch x sh x = 1
188
x
6z
1 + z2
D’où les formules d’intégration qui découlent directement des formules de dérivation.
1:
5:
7:
Z
3:
Z
Z
Z
sh x dx = ch x + C
th x dx =
sech2 x dx =
sech x th x dx =
Z
1
9: p
dx =
2
2
Z x +a
1
11:
dx =
2
a
x2
2:
Z
ch x dx = sh x + C
Z
ln ch x + C 4: coth x dx = ln jsh xj + C
Z
th x + C 6: cosech2 x dx = coth x + C
Z
sec h x + C 8: cosech x coth x dx = sh x + C
Z
1
x
1 x
sh
+ C 10: p
dx = ch 1 + C , x > a > 0
2
2
a
a
x
aZ
1
x
1
1
x
th 1 + C , x2 < a2 12:
dx =
coth 1 + C , x2 > a2
2
2
a
a
x
a
a
a
Remarque 5.4 On peut utiliser les deux formules exponentielles pour calculer les intégrales
qui contient ch x et sh x:
5.26
Exercice:
Exercice 01: Calculer les intégrales indé…nies suivantes:
Z
Z
Z 1
x+2
ex
3 cos 2x
p
dx
1:
dx
2:
e
sin
2x
dx
3:
2
x2
4x
x
Z
Z
Z
2
4: arcsin x dx
(supp)5: x sin x dx
(supp)6: x3 e2x dx
Z
Z
Z
Z
5
4
7
4
7: sin x dx
8: cos x dx 9: sin x cos x dx 10: sin2 x cos4 x dx
Z
Z
Z
x+1
2x 1
2x3 + x + 1
11:
dx
12:
dx
13:
dx
2
2
x
2x + 5
x2 x 2
(x 1) (x2 + 1)
Z
Z
1
1
dx
15.
dx
14:
1 + sin x cos x
5 + 4 sin x
Exercice 02:
189
(1) Calculer les intégrales dé…nies suivantes:
Z
I=:
4
0
cos x
dx
sin x + cos x
(2) Soit
et
0
Z
In =
Z
J =:
4
sin x
dx
sin x + cos x
1
dx .
(1 + x2 )n
Déterminer une relation entre In et In+1 :
Exercice 03: Soit:
Z
I=:
0
2
Z
2
cos2 x
sin2 x
dx et J = :
dx
sin x + cos x
0 sin x + cos x
(1) Sans calculerI et J, montrer que I = J:
(2) Véri…er que 8x 2 R, cos x + sin x =
Z
p
(3) En déduire que I + J = 2
4
p
2 cos x
4
dx
cos x :
0
(4) Calculer I + J. En déduire I et J:
Exercice 04: Soit f (x) =
2
3
(1
p
x) 1
(1) Véri…er que 8x < 1; f 0 (x) =
Z 1
p
(2) Soit In = : xn 1 x dx.
x
p
1
x:
0
a) Calculer I0 :
b) Déterminer une relation entre In et In
1
pour n 2 N
c) En déduire In en fonction de n:
Exercice 05:(supp)
(1) Calculer l’intégrale indé…nie suivante:
A=
Z
cos2 x sin4 x dx
190
(2) Soient les intégrales dé…nies:
I =
Z
2
2
x cos xdx ; J =
0
Calculer: I +J
et I
Z
x2 sin2 xdx
0
J (sans calcul de I et J). En déduire I
et J:
(3) Soit f une fonction continue sur [0; 1] :
(a) Montrer, en utilisant un changement de variable, que:
Z
x f (sin x) dx =
0
(b) En déduire la valeur de:
I=
Z
0
5.27
2
Z
f (sin x) dx
0
x sin x
dx
1 + cos2 x
Le corrigé des exercices:
R
ex (ex + 1)4 dx on pose: y = ex + 1
R
) dy = ex dx ) I1 = y 4 dy = 51 y 5 + c = 15 (ex + 1)5 + c:
2
R
R
p
2
1
p
p
2) I2 = (1+x)
dx
on
pose:
y
=
x
)
dy
=
dx
)
I
=
2
1 + y 2 dy =
2
x
2 x
R
2 1 + 2y 2 + y 4 dy = 2y + 43 y 3 + 25 y 5 + c
1. 1)I1 =
p
p 3
p 5
= 2 x + 43 ( x) + 25 ( x) + c:
p
R
R
R
3) I3 = px+3
dx = 21 p1 2xx2 dx +3 p11 x2 dx =- 1 x2 + 3 arcsin x + c.
1 x2
R
R
4) I4 = (1 + tan x)2 dx =
1 + tan2 x dx
R
R sin x
+2 tan xdx = tan x 2 cos
2 ln jcos xj + c:
x dx = tan x
R
5) I5 = arctan x dx; par parties on pose: f (x) = arctan x et g 0 (x) = 1
R 0
1
d’où: f 0 (x) = 1+x
f (x) g (x) dx
2 dx et g (x) = x ) I5 = f (x) g (x)
R x
R 2x
1
2
= x arctan x
dx = x arctan x 12 1+x
2 dx = x arctan x
2 ln 1 + x :
1+x2
R
6) I6 = x2 sin x dx; par parties on pose: f (x) = x2 et g 0 (x) = sin x
191
R 0
d’où: f 0 (x) = 2xdx et g (x) = cos x ) I6 = f (x) g (x)
f (x) g (x) dx
R
= x2 cos x + 2 x cos xdx , calculons la 2eme intégrale par parties:
on pose: h (x) = x et k 0 (x) = cos x ) h 0 (x) = dx et k (x) = sin x
R
R 0
R
) x cos xdx = h (x) k (x)
h (x) k (x)dx =x sin x
sin xdx
) I6 =
7) I7 =
x2 cos x + 2 (x sin x + cos x) + c:
R
cos 4x e2x dx on pose: y = 2x )dy = 2dx ) I7 =
1
2
R
cos 2y ey dy
par parties on pose: f (y) = cos 2y et g 0 (y) = ey ) f 0 (y) = -2sin 2ydy et g (y) = ey
R 0
R
f (y) g (y) dy = 12 ey cos 2y + 2 ey sin 2ydy
) I7 = 21 f (y) g (y)
calculons la 2eme intégrale par parties:
On pose: h (y) = sin 2y et k 0 (y) = ey ) h 0 (y) = 2 cos 2y dy et k (y) = ey
R
R 0
R
) ey sin 2ydy = h (y) k (y)
h (y) k (y)dy = ey sin 2y -2 ey cos 2y dy
= ey sin 2y -4 I7 ) I7 =
1
5
1
2
[ey cos 2y + 2 (ey sin 2y
4I7 )]
1
2
(ey cos 2y) + (ey sin 2y) :
R
R
R
R
2
2
8) I8 = cos5 x dx = cos4 x cos xdx =
cos2 x cos xdx =
1 sin2 x cos xdx
R
R
R
R
=
1 2 sin2 x + sin4 x cos xdx = cos xdx 2 sin2 x cos xdx + sin4 x cos xdx
) I7 =
sin3 x + 15 sin5 x + c:
R
R
R 1
R
2
2
9) I9 = sin4 x dx =
sin2 x dx =
cos 2x) dx = 41
1 2 cos 2x + cos2 2x dx
2 (1
R
R
R
R
= 14 dx 14 2 cos 2xdx + 14 cos2 2xdx = x4 14 sin 2x + 41 cos2 2xdx
R
R
R
R 1
On pose dans cos2 2xdx, y = 2x )dy = 2dx ) cos2 2xdx = 21 cos2 ydy = 12
2 (1 + cos 2y) dy
R
R
= 41 dy + 14 cos 2ydy = y4 + 81 sin 2y + c = x2 + 81 sin 4x + c
2
3
=sin x
x
4
1
4
sin 2x +
1
4
x
2
1
+ 81 sin 4x + c = 38 x 41 sin 2x + 32
sin 4x + c:
R
R
R
4
10) I10 = sin9 x cos4 xdx = sin8 x cos4 x sin xdx =
1 cos2 x cos4 x sin xdx
R
R
2
2
= 1 2 cos2 x + cos4 x cos4 x sin xdx =
1 2 cos2 x + 2 1 2 cos2 x cos4 x + cos8 x
) I9 =
cos4 x sin xdx
R
= 1 4 cos2 x + 4 cos4 x + 2 cos4 x
4 cos6 x + cos8 x cos4 x sin xdx
192
R
R
R
R
R
= cos4 x sin xdx 4 cos6 x sin xdx+6 cos8 x sin xdx 4 cos10 x sin xdx+ cos12 x sin xdx
4
1
cos5 x + 47 cos7 x 69 cos9 x + 11
cos5 x 13
cos13 x + c:
R
R
R 1
2 1
11) I11 = cos2 x sin4 x dx = cos2 x sin2 x sin2 xdx =
cos 2x) dx
2 sin 2x
2 (1
R
R
R
1
1
1
3
= 81 sin2 2xdx 16
sin2 2x (2 cos 2x)dx = 18 sin2 2xdx 16
3 sin 2x
R
R
R
R 1
0n pose dans: sin2 2xdx, y = 2x )dy = 2dx ) sin2 2xdx = 21 sin2 ydy = 12
2 (1
R
R
= 14 dy 14 cos 2ydy = y4 81 sin 2y + c = x2 81 sin 4x + c
=
1
5
) I11 =
x
16
12) I12 =
R
1
64
1
48
sin 4x
p1
x2 4+x2
dx =
sin3 2x + c:
R
1
1
2
R
p1
) I12 =
4 tan2 y 1+tan2 y
R
1
sin 2 y cos y dy
2
=
1
2
q
2
1+( x2 )
2
dy= 12
cos2 y
13) I13 =
R
2
4 sin 2 Y
cos y
x + c:
R x2
p
1
2
R
x2
r
4
1
2
dx =
4
cos2 y
1
cos y
2
1
R
2
q x
x 2
2
et g (y) = tan y
R
) I13 = 4 cos
1
cos y
=4
h
p1
1+tan2 y
( )
dx, alors on pose:
1
R 4y
2 sin y
dy=4 cos
tan y
cos2 y
1
= tan y )dx =
2
dy
cos2 y
3
tan y
1
cos y
ydy = 4 f (y) g (y)
R (1
R
x
2
=
R
sin ydy = 4 cos
Calculons cette intégrales par parties: f (y) =
=4
x
2
dx, alors on pose:
=
1
2
R
2
dy
cos2 y
1
1
sin2 y cos
y
dy =
1
sin
) I13 =
x2
1
cos y
1
cos y
3
h
1
cos2 y
1
cos y
) f 0 (y) =
sin y
dy
cos2 y
R
i
tan y
R (1 cos2 y)
=4 cos1 y tan y
dy
cos3 y
i
h
i
R 1
R 1
1
1
I
+
dy
)
2I
=
4
tan
y
+
dy
13
13
4
cos y
cos y
cos y
cos2 y )
dy
cos3 y
2 sin y
dy
cos2 y
ydy
et g 0 (y) =
f 0 (y) g (y) dy = 4
)dx =
sin2 y
dy
cos3 y
tan y
R
R 1
2
1 z2
Calculons: cos1 y dy on pose: y = 2 arctan z )dy = 1+z
2 dz et cos y = 1+z 2 )
cos y dy
R 1+z 2
2
= 1 z 2 1+z
2 dz
R
R
R 1
=2 1 1z 2 dz = 1 1 z dz + 1+z
dz = ln (1 z) + ln (1 + z) + c = ln 1 tan y2 +
ln 1 + tan y2 + c
h
) 2I13 = 4 cos1 y tan y +
) I13
q
=x
x 2
2
ln 1
1 + 2 ln 1
i
tan y2 + ln 1 + tan y2 + c
!
q
q
2
2
arctan ( x2 ) 1
arctan ( x2 )
tan
+
2
ln
1
+
tan
2
2
193
1
!
+c
cos 2y) dy
R
ou bien dans:
q
) I13 = x
1
cos y dy
x 2
2
=
R
1+sin y
cos2 y
1+sin y
cos y
x
2
1 + ln
+
dy = ln
q
x 2
2
1+sin y
cos y
+c ) 2I13 = 4
h
1
cos y
tan y + ln
1+sin y
cos y
i
+c
1 + c:
q
q
x 2
x
Remarque: On peut trouver par la première méthode I13 = x
1
+
ln
+
2
2
i
h
En e¤et: 2I13 = 4 cos1 y tan y + ln (1 z) + ln (1 + z) + c
h
i
h
i
2
) I13 = 2 cos1 y tan y + ln 11+zz + c = 2 cos1 y tan y + ln 1+2z+z
+
c
1 z2
i
h
2
2
=2 cos1 y tan y + ln 11+zz 2 + 1 2zz 2 + c mais: tan y = 1 2zz 2 et cos1 y = 1+z
1 z2
q
q
x
x 2
x 2
) I13 = x
1
+
ln
+
1 + c:
2
2
2
x 2
2
1 + c:
R
R
2
2
14) I14 = p2xx x2 dx = p x
dx on pose: x 1 = sin y )dx = cos ydy et
1 (x 1)2
q
1 (x 1)2 = cos y
R
R
R
R
y+1)2
) I14 = (sincos
cos y dy = dy + 2 sin y dy + 21 (1 cos 2y)dy = 32 y 2 cos y
y
1
4
sin 2y + c
= 32 arcsin (x
1)
= 32 arcsin (x
R
15) I15 =
R
1
6
1)
2x2 2x+5
4
= 14 ln 2x2
p
2 2x
p
2 2x
1
2
x2
dx
sin y cos y + c
p
x2 12 (x 1) 2x x2 + c:
R
R
dx = 41 2x24x+4
dx = 14 2x4x2
2x+5
2x + 5 +
6
8
x+1
2x2 2x+5
) x2 x+ 52 = x2 x+ 41
R
1
x2 x+ 52
1
5
4+2
x+
5
2
) I15 =
1
4
dx; de plus:x2
= x
1 2 9
2 +4
1
dx =
2+6
2x+5
dx =
1
4
R
4x 2
2x2 2x+5
=0)4<0
ln 2x2
2x + 5 + 43
dx
= 14 ln 2x2
pose: y =
)dy =
1
2
2x + 5 +
3
4 94
2x 1
3
2
3 dx
) I15 =
R
1
4
4
9
(x
1 2
+1
2
)
ln 2x2
2x + 5 +
arctan y + c
= 14 ln 2x2 2x + 5 + 21 arctan
R
1
16) I16 = x2 (x 2x
dx
1)2 (x2 +1)
2x 1
3
1
4
ln 2x2
1
3
3
2
R
2x + 5 +
1
y 2 +1
dy =
1
3
1
4
R
R
1
2
ln 2x2
1 2 9
+4
2
)
(x
1
( 2x3 1 )
dx +
+1
dx; on
2x + 5 +
+ c:
La décomposition en éléments simples )
2x 1
x2 (x 1)2 (x2 +1)
194
=
a
x
+
b
x2
+
c
x 1
+
d
(x 1)2
+
ex+f
x2 +1
2x 1
x2 (x 1)2 (x2 +1)
)
=
=
a
x
+
b
x2
+
c
x 1
+
d
(x 1)2
+
ex+f
x2 +1
ax(x 1)2 (x2 +1)+b(x 1)2 (x2 +1)+cx2 (x 1)(x2 +1)+dx2 (x2 +1)+(ex+f ) x2 (x 1)2
x2 (x 1)2 (x2 +1)
Par identi…cation si on pose: x = 0 ) b =
1, x = 1 ) 2d = 1 et si x = i )
2e =
et 2f = 2
pour x = 2 ) 3 = 10a
pour x =
) I16 =
) I16 =
1
x
) I16 =
1
x
1)
R 1
5 + 20c + 10 + 8 ) a + 2c =
1
8a 8 4c + 1 + 2 ) 4a 2c = 1 ) a = 0 et c =
R 1
R 1
R 12 x+1
1
1
dx
dx
+
dx
+
dx
2
2
2
x 1
2
x
x2 +1
(x 1)
R
R
1
1) + 12 (x 1) + 14 x22x+1 dx + x21+1 dx
2 ln (x
1
2
3=
1) + 12 (x
ln (x
1) + 14 ln x2 + 1 + arctan x + c:
R 3 +x+1
3 +x+1
17) I17 = 2x
dx ) 2x
= 2x + 2 + x27x+5
x2 x 2
x2 x 2
x 2
R
R
dx = x2 + 2x + 27 x22x x 1 2 dx +
) I17 =
2x + 2 + x27x+5
x 2
R
1
=x2 + 2x + 27 ln x2 x 2 + 17
2
(x 2)(x+1) dx
1
R 31
R
17
3
=x2 + 2x + 27 ln x2 x 2 + 17
2
(x 2) dx + 2
(x+1) dx
17
2
R
1
dx
x2 x 2
2j 17
=x2 + 2x + 27 ln x2 x 2 + 17
6 ln jx
6 ln jx + 1j + c:
R
2
18) I18 = 5+41cos x dx;on pose: x = 2 arctan z )dx = 1+z
2 dz et cos x =
R
R 2
R
1
2
1
z
) I18 =
dz = 92
2
2 dz =
2 dz on pose: y = 3
9+z 2
1+( z3 )
5+4 1 z2 1+z
1+z
R 1
2
)dy = 31 dz ) I17 = 23 1+y
2 dy = 3 arctan y + c
= 23 arctan
z
3
+c=
2
3
arctan
1
2
tan
3
x
2
1 z2
1+z 2
+ c:
2z
19) Le même changement de variable que l’intégrale 18) avec: sin x = 1+z
2
2
R
R
R
R
2
1+z 2
dz = 1+z 2 +2z=(1
dz = 2z 22+2z dz
) I19 = 1+sin x1 cos x dx =
1 z2
2z
z2 )
1+
R
=
1+z 2
=
1+z 2
R
R
R 1
R 1
1
z+1 dz = z dz
z+1 dz = ln jzj
z(z+1) dz = z dz +
R
sin x
20) I = sin x+cos
x dx on peut appliquer la méthode 18)
R
x
2eme méthode: on pose J = sin cos
x+cos x dx
) I + J = x et J
I = ln jsin x + cos xj ) I =
195
1
2
(x
ln jz + 1j + c:
ln jsin x + cos xj) + c:
1
Exercice 02:supp 1) I1 =
R1
arctan x
1+x2
1
x=1)y=
1
1+x2
dx si on pose: y = arctan x ) dy =
R
) I1 = 4 y dy = 21 y 2 4 = 0
4
4
dx et si: x =
1)y=
4;
4
Remarque: On a une symétrie dans l’intégrale I1 et puisque I1 = 0 alors la fonction est
impaire
) arctan ( x) = arctan x:
R1
x
4) I4 = 1 psin
dx puisque la fonction à intégrer est impaire) I4 = 0:
3+x2
R 3 sin5 x
R (1 cos2 x)2 sin x
R (1 2 cos2 x+cos4 x) sin x
2) I2 =
dx = 3
dx = 3
dx
cos
x
cos
x
cos x
R 34
R 3 ( 4sin x)
R 34 3
=
cos x ( sin x) dx
cos x ( sin x) dx
dx + 2
cos x
4
=
4
ln (cos x) +
cos2 x
1
4
4
R
1 1
=3 0
cos2
ln cos 4 +
R1 1
3) I3 = 0 3+x
2 dx
4
1
4
cos4 x
3
=
cos4
x
p
3
ln +
=
4
1
1+
1
2
2
=
p1
3
arctan yj0
=
p1
3
I=
Z
1
4
p1
3
) I3 =
cos2 x sin2 x
sin x+cos x dx
R
px
3
p1
3
R
1
4
cos4
ln
) dy =
1
p
3
0
Z
2
0
1
1+y 2
p
2
2
3
+
1
2
1
4
1
4
:
p1 dx
3
dy
sin2 x
dx
sin x + cos x
sin x)dx = sin x + cos xj02 = 1 1 = 0 ) I = J
p
2) Véri…ons que: 8x 2 R; cos x + sin x = 2 cos x 4
p
p
p
p
p
En e¤et: 8x 2 R; 2 cos x 4 = 2 cos x cos 4 + sin x sin 4 = 2 cos x 22 + sin x 22
1) I J =
0
=
2
3
1
16
cos2 x
dx et J =
sin x + cos x
2
0
2
1
4
+ cos2
arctan p13 :
Exercice 03: On a:
R
3
dx on pose: y =
avec: x = 0 ) y = 0 et x = 1 ) y =
1
p
3
ln cos
4
0
(cos x
=cos x + sin x:
p R
dx
3) En déduire que: I + J = 2 04 cos
x
R
R2
R2
2 x+sin2 x
1
I + J = 02 cos
sin x+cos x dx = 0 sin x+cos x dx = 0
)I +J =
R
= p22 04
p R
= 2 04
p1
2
R
1
cos y dy
2
0
1
cos(x
4)
dx on pose: y = x
4
p
1
2 cos(x
4
)
dx d’après 2)
) dy =dx ) I + J =
p1
2
car la fonction est paire
R
4
4
1
cos y dy
1
cos x dx
4) I + J =
p R4
2 0
1
cos x dx
on pose: x = 2 arctan z )dx =
196
2
dz
1+z 2
et cos x =
1 z2
1+z 2
et quand: x = 0 ) z = 0 et si x = 4 ) z = tan 8
R
R tan
R tan
R tan
2
2
) 04 cos1 x dx= 0 8 1+z
dz=2 0 8 1 1z 2 dz = 0 8
1 z 2 1+z 2
tan
tan
ln (1 z) + ln (1 + z)j0 8 = ln 1+z
1 z 0
8
<
I J =0
Alors:
)I=J =
: I + J = p2 ln 1+tan 8
1 tan
=
8
= ln
p1
2
ln
1
1 z dz
1+tan
1 tan
1+tan
1 tan
8
+
8
R tan 8
0
1
1+z dz
8
:
8
8
Exercice 04: Soit f (x) =
2
3
(1
p
x) 1
x
p
3
1) 8x < 1; f (x) = 32 (1 x) 1 x = 23 (1 x) 2 ) f 0 (x) =
p
1 x:
R1 p
2) Soit In = 0 xn 1 x dx
R1p
p
1
a) I0 = 0 1 x dx = 32 (1 x) 1 x 0 = 32
2
3
3
2
p
D’autre part par parties dans In on pose: k (x) = xn et h0 (x) = 1 x
p
) k 0 (x) = nxn 1 et h (x) = 23 (1 x) 1 x
R1 0
) In = k (x) h (x)j10
0 k (x) h (x) dx
R1
p
p
1
) In = nxn 1 23 (1 x) 1 x 0 + 23 n 0 xn 1 (1 x) 1 x dx
R1
R1 p
p
= 32 n 0 xn 1 1 x dx 23 n 0 xn 1 x dx = 23 n (In 1 In )
) 1 + 32 n In = 23 nIn
b) On a: 1 +
2
3
1:
I1 = 23 I0
1 + 23 2 I2 = 23 2I1
1 + 23 3 I3 = 23 3I2
1 + 23 (n
et
) 1+
2
3
1) In
1
=
1 + 23 n In = 32 nIn
1
2
3
(n
I1 1 + 23 2 I2 1 + 23 3 I3
1) In
2
1 + 23 (n
197
1) In
1
1 + 23 n In
( 1) (1
1
x) 2 =
= 23 I0 23 2I1 23 3I2
) 1+
2
3
2
3
1 + 32 2
= 32 I0 23 2 23 3
2
3
579
333
2n+1
3 In
)
(n
2
2 3 nIn 1
1) In
1 + 23 3
1 + 23 (n
2 n+1
n!
3
1) 32 n =
(n
2 n+1
n!
3
=
1 + 23 n In
1)
I0
I0 ) 5 7 9
(2n + 1) In =
1
9
2n+1 n!
Exercice 02:
(1) Calculer les intégrales dé…nies suivantes:
Z
I=:
4
0
cos x
dx
sin x + cos x
(2) Soit
Z
In =
Z
J =:
et
0
4
sin x
dx
sin x + cos x
1
dx .
(1 + x2 )n
Déterminer une relation entre In et In+1 :
Exercice 05:(supp)
(1) Calculer l’intégrale indé…nie suivante:
A=
Z
cos2 x sin4 x dx
(2) Soient les intégrales dé…nies:
I =
Z
2
2
x cos xdx ; J =
0
Calculer: I +J
et I
Z
x2 sin2 xdx
0
J (sans calcul de I et J). En déduire I
(3) Soit f une fonction continue sur [0; 1] :
(a) Montrer, en utilisant un changement de variable, que:
Z
x f (sin x) dx =
0
198
2
Z
0
f (sin x) dx
et J:
(b) En déduire la valeur de:
I=
Z
0
x sin x
dx
1 + cos2 x
199
Partie IX
Applications linéaires:
200
5.28
Application linéaire:
Dé…nition 90 Soient E, F deux |-espaces vectoriels et f une application de E dans F . Alors
f est linéaire, si les propriétés suivantes sont satisfaites:
1) 8x; y 2 E on a f (x + y) = f (x) + f (y) :
2)8x 2 E , 8 2 | on a f ( x) =
f (x) :
ou encore:
8x; y 2 E; 8 ;
2 | on a f ( x + y) =
f (x) +
f (y) :
Exemple: l’application de R3 dans R2 dé…nie par:
f (x; y; z) = (x
y; y + 2z)
est une application linéaire.
5.29
Noyau d’une application linéaire:
Dé…nition 91 Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans
F . Alors pour trouver le noyau de f , on résout l’équation f (x) = 0F :
Ainsi:
ker f = fx 2 E; f (x) = 0F g
qui est un sous-espace vectoriel de E.
Exemple: l’application de R3 dans R2 dé…nie par:
f (x; y; z) = (x
y; y + 2z)
est une application linéaire. Alors le noyau de f est:
ker f = fu 2 E; f (u) = 0R2 g
201
Soit u = (x; y; z) 2 R3 . On a:
u
2
ker f , f (u) = (0; 0) , (x y; y + 2z) = (0; 0)
8
8
< x y=0
< x=y
() u = y 1; 1;
()
,
: y + 2z = 0
: z= y
2
et donc ker f est le s.e.v engendré par le vecteur 1; 1;
ker f = V ect
5.30
1; 1;
1
2
1
2
noté:
1
2
Injectivité d’une application linéaire:
Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F . Notons que
f est injective si et seulement si:
8x1 ; x2 2 E; x1 6= x2 ) f (x1 ) 6= f (x2 ) : ou bien f (x1 ) = f (x2 ) ) x1 = x2
Mais pour les applications linéaires, il su¢ t de montrer que: ker f = f0E g :
En fait on a:
f est injective , ker f = f0E g :
Exemple:
Soit f l’application linéaire de R2 dans R2 dé…nie par:
f (x; y) = (x
y; y + x)
Alors f est injective car:
u
=
(x; y) 2 ker f , f (u) = 0R2 : , (x
8
< x y=0
,
,x=y=0
: y+x=0
donc ker f = f(0; 0)g, et par suite f est injective.
202
y; y + x) = (0; 0)
5.31
Image d’une application linéaire:
Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F . L’image de f
est l’ensemble de toutes les images des éléments de E par f . Ainsi:
Im f = ff (u) , u 2 Eg :
De plus si (e1 ; e2 ; :::; en ) est une base de E, alors Im f = V ect ff (e1 ) ; f (e2 ) ; :::; f (en )g c’est
à dire le sous-espace engendré par les vecteurs f (e1 ) ; f (e2 ) ; :::; f (en ) :
Exemple:
Soient E un R-espace vectoriel de dimension 3, B =
~i; ~j; ~k
une base de E et f
l’endomorphisme de E dé…ni par:
f
~i =
~i + ~k; f
~j = ~j + ~k , f
~k = ~i + ~j:
Alors l’image de f est dé…nie comme suit:
Im f
5.32
n
V ect f
~i ; f
n
) Im f = V ect f
=
~j ; f
~i ; f
~k
~j
o
o
mais f ~k = f ~j
f
n
~i + ~k + y ~j + ~k
= x
~i
; x; y 2 R
o
Rang d’une application linéaire:
Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F . Le rang d’une
application linéaire est la dimension de l’iimage de cette application. On a:
rg f = dim (Im f ) :
de plus si E est de dimension …nie, on a le théorème du rang:
dim E = rg f + dim (ker f ) :
Exemple:
203
Soit f : R2 ! R2 l’application linéaire dé…nie par: f (x; y) = (4x
2y; 6x
3y) : Alors on
a:
Im f
= ff (x; y) ; x; y 2 Rg = f(4x
= f(2x
2y; 6x
3y) ; x; y 2 Rg
y) (2; 3) ; x; y 2 Rg = f (2; 3) ;
2 Rg
= V ect f(2; 3)g
le vecteur (2; 3) est une base de Im f , et par suite rg f = 1:
5.33
Endomorphisme, Isomorphisme, Automorphisme:
Soient E; F deux |-espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F .
Si f est bijective, alors f est dite un isomorphisme.
Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E.
Un automorphisme est une isomorphisme de E dans E.
Exemple:
Soit f : R2 ! R2 l’application dé…nie par: f (x; y) = (x
y; x + y) : Alors f est un
automorphisme.
5.34
Projecteur:
Soit f un endomorphisme d’un | espace vectoriel. On dira que f est un projecteur, si l’on a:
f
f
ou bien
= f
:
Im f et ker f sont supplémentaires et que: 8x 2 Im f ,f (x) = x:
On dira que f est la projection sur Im f parallèlement à ker f .
Exemple:
Soit f : R2 ! R2 l’application linéaire dé…nie par: f (x; y) = (4x
204
2y; 6x
3y) : Alors on
a:
(f
f ) (u) =
f (f (u)) = f (x; y) = f (4x
= (4x
2y; 6x
2y; 6x
3y)
3y) = f (u)
et par suite f est un projecteur.
5.35
Symétrie:
Soit f un endomorphisme d’un | espace vectoriel. On dira que f est une symétrie, si l’on a:
f
f
ou bien
= IdE
:
ker (f
IdE ) et ker (f + IdE ) sont supplémentaires :
On dira que f est la symétrie de E par rapport à ker (f
IdE )et parallèlement à ker (f + IdE ).
Exemple:
Soit f : R2 ! R2 l’application linéaire dé…nie par: f (x; y) = (y; x) : Alors on a :
(f
f ) (u) = f (f (u)) = f (y; x) = (x; y)
et par suite f est une symétrie.
5.36
Exercice:
Exercice 01:
(1) On considère les applications suivantes dé…nies de R2 dans R2 . Lesquelles sont linéaires?
a) f : (x; y) 7! (x + 2y; 2x
y) ;
b) g : (x; y) 7! (x + 2y; 2x
y + 1) ;
c) h : (x; y) 7! (x + y; 2xy) ;
d) k : (x; y) 7! x + y; x
y2 :
205
(2) Soit f l’application de R [X] dans R [X] dé…nie par: f (P ) = P (1);
montrer que f est une application linéaire. ( R [X] : est l’espace vectoriel des polynômes
à coe¢ cients réels et dans le cas général Rn [X] : est l’espace vectoriel des polynômes de
degré inférieur ou égal à n et à coe¢ cients réels ).
Exercice 02:
(1) Trouver les noyaux des applications linéaires suivantes:
a) f (x; y) = (4x
3y; 5x + 4y) :
b) g (x; y) = (6x
4y; 9x
6y) :
(2) La même question pour les applications de R3 dans R3 dé…nies par:
a) h (x; y; z) = (x + y + z; y; z) :
b) k (x; y; z) = (y + z; x + y + z; x) :
Exercice 03:
(1) Soit f l’application linéaire de R3 dans R2 dé…nie par:
f (x; y; z) = (x
2y; x + y + 2z)
f est-elle injective?
(2) La même question pour les applications de R3 dans R3 dé…nies ci-dessous:
a) h (x; y; z) = (x + y + z; y; z) :
b) k (x; y; z) = (y + z; x + y + z; x) :
Exercice 04:
(1) Déterminer les images des applications linéaires de R2 dans R2 suivantes:
a) f (x; y) = (4x
3y; 5x + 4y) :
b) g (x; y) = (6x
4y; 9x
6y) :
206
(2) Soit f l’application de R3 [X] dans R3 [X] dé…nie par: f (P ) = P + (1
X) P 0 .
Déterminer l’image de cette application linéaire.
Exercice 05:
(1) Soit E un espace vectoriel de dimension 3 dont ~i; ~j; ~k
est une base. On considère
l’endomorphisme f de E dé…ni par:
f
~i + 2~k; f
~i =
~j = ~j + 2~k; f
~k = 2 ~i + 2 ~j:
Déterminer le rang de f:
(2) Soit E3 le R-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, et soit f
l’application dé…nie sur E3 par:
f (P ) = X 2 P 00
4X P 0 + 6P:
Déterminer le rang de f:
Exercice 06: Le plan vectoriel V2 étant rapporté à une base ~i; ~j , on considère l’application linéaire
de V2 dans V2 dé…nie par:
f
~i = 1 ~i
2
1~
j; f
4
~j =
~i + 1 ~j:
2
(1) Démontrer que f est un projecteur.
(2) Déterminer l’image et le noyau de f .
(3) Véri…er que Im f et ker f sont supplémentaires dans V2 et que:
8x 2 Im f; f (x) = x:
Exercice 07: Soient E un R-espace vectoriel de dimension 2, (e1 ; e2 ) une base de E et f l’endomorphisme
de E dé…ni par:
f (e1 ) = 2e1
e2 ; f (e2 ) = 3e1
207
2e2 :
(1) Démontrer que f est une symétrie.
(2) Trouver E1 = ker (f
IdE ) et E2 = ker (f + IdE ) :
208
Partie X
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
209
Dans ce chapitre nous allons apprendre à résoudre les cas les plus élémentaires des équations
di¤érentielles du premier ordre et du second ordre à coe¢ cients constantes
Dé…ntion:
De nombreux problèmes d’origine physique, économique, etc. Conduisent à rechercher une
fonction y d’une variable réelle x sachant qu’il existe une relation entre x, y et les dérivées y (n)
avec n
1. Une telle relation est dite équation di¤érentielle d’ordre n et elle est de la forme:
f
5.37
x; y; y 0 ; y 00 ; :::; y (n) = 0 où f est une fonction.
1-ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE 1:
Une équation di¤érentielle d’ordre 1 est une équation de la forme:
f
x; y; y 0 = 0 avec y 0 =
dy
:
dx
A-ÉQUATIONS Á VARIABLES SÉPARABLES
( OU SÉPARÉES) :
Soient I et J deux intervalles de R, f : I ! R et g : J ! R deux fonctions continues. Une
équation di¤érentielle à variables séparables est du type:
y0 =
f (x)
:
g (y)
Ce qui implique que:
dy
dx
f (x)
) g (y) dy = f (x) dx
g (y)
Z
Z
)
g (y) dy = f (x) dx + c, c 2 R:
=
Exemple:
y 0 x2
)
dy 2
x
dx
1
2xy = 0
1
210
2xy = 0
dy
2x
= 2
dx
y
(x
1)
Z
Z
2x
dy
=
dx
)
2
y
(x
1)
)
) ln jyj = ln x2
) y = c1 x2
1 + ln c; c 2 R+
1 où c1 2 R
B-ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES HOMOGÈNE EN X ET Y:
C’est une équation du type:
y0 = f
y
x
On introduit la fonction auxiliaire x 7! t = xy ; on a y = t x et y 0 = t0 x+t: Finallement on a une
équation à variables séparables:
t0
=
)
f (t) t
dt
=
dx
x
dt
dx
=
f (t) t
x
Exemple:
211
(2x + y) dx
(4x
y) dy
=
0
dy
(2x + y)
)
=
dx
(4x y)
2 + xy
dy
) y0 =
=
dx
4 xy
y
on pose :t = ) y = t x ) y 0 = t0 x + t
x
(2 + t)
) t0 x + t =
(4 t)
t2 3t + 2
(2 + t)
t=
) t0 x =
(4 t)
(4 t)
(4 t)
dx
) 2
dt =
x
t
3t + 2
(t 2)2
après résolution on a : ln jxj + ln c = ln
; c 2 R+
jt 1j3
(t
jt
)
) (y
2)2
= k x où k 2 R
1j3
2x)2 = k (y
x)3 où k 2 R
Ainsi toutes les solutions de l’équation donnée sont dé…nies par:
(y
2x)2 = k (y
x)3 où k 2 R
C-ÉQUATION LINÉAIRE:
C’est une équation de la forme:
y 0 = a (x) y + b (x)
(1)
où a (x) et b (x) sont deux fonctions continues sur un intervalle I:
L’équation:
y 0 = a (x) y
(2)
est l’équation -homogène- ou -sans second membre- associée à (1).
Ainsi, la solution générale de (1) est la somme d’une solution particulière de cette équation
212
(1) et de la solution générale de l’équation homogène associée (2). Si on ne connaît aucune
solution apparente de (1): on résout (2) , et on obtient sa solution générale y = y1 , où
est
une constante et y1 = eA , A étant une primitive de a (x) sur I. Par suite on fait varier la
constante. Posant, dans (1),
0
y (x)
=
(x) y1 (x) + (x) y10 (x)
=
(x) y1 (x) on obtient:
a (x) (x) y1 (x) + b (x)
0
)
(x) y1 (x) = b (x)
car y1 est une solution de (2).
d’ou la connaissance de
0
, et celle de
par intégration.
Cette technique est connue sous le nom, de méthode de variation de le constante.
Exemple1: ( la solution particulière)
L’équation:
y 0 cos x + y sin x = 1
x2
i
;
2 2
h
, est linéaire.
(1)
Une solution évidente de étant x 7! y0 (x) = sin x et une solution apparente de l’équation
homogène étant x 7! y1 (x) = cos x; la solution générale de (1) est:
i
;
2 2
h
! R
x 7! sin x + cos x ( 2 R)
Remarquons que ces solutions sont valables sur R:
Exemple2: ( la méthode de la variation de la constante)
L’équation:
y 0 + 2x y = 2x e
x2
x 2 R, est linéaire.
(1)
Une solution de l’équation homogène y 0 +2x y = 0 étant x 7! y1 (x) = e
213
x2
. Employons la
méthode de de la variation de la constante et reportons dans (1) y (x) =
(x) e
x2
0
)
(x) = 2x
Z
(x) = 2xdx
)
(x) = x2 + k
)
où k 2 R
Ainsi
x2
y = x2 + k e
où k 2 R
est une solution générale de l’équation (1).
D-ÉQUATION DE BERNOULLI:
Une équation de la forme:
y 0 = a (x) y + b (x) y
(x 2 I) où
2R
(1)
où a (x) et b (x) sont deux fonctions continues sur un intervalle I:
Cette équation est linéaire pour
y0y
donc si on pose: z = y 1
= 0 et
= 1. Dans le cas général, en l’écrivant:
= a (x) y 1
+ b (x)
; on est alors ramené à une équation linéaire:
z 0 = (1
) [a (x) z + b (x)]
Exemple:
xy 0 + y = y 2 ln x
y
2
xy 0 + y
1
= ln x
214
(E)
c’est une équation de Bernoulli, alors on fait le changement: z = y
z0 =
1
d’où
y0
y2
En remplaçant dans l’équation (E), on obtient
1
z=
x
z0
ln x
x
qui est une équation di¤érentielle linéaire d’ordre 1 avec seconde membre.
La résolution de l’équation sans seconde membre
z0
1
z=0
x
donne
z (x) = c x où c 2 R
Par suite, en utilisant la méthode de la variation de la constante, on obtient pour c (x), l’équation
c0 (x) =
ln x
x2
En intégrant par partie, on trouve:
c (x) =
1
1
ln x + + k
x
x
où k 2 R
Ainsi la solution générale de l’équation linéaire est donnée par
z (x) =
et puisque z = y
1
1
1
ln x + + k x
x
x
alors la solution générale de (E) est
y (x) =
1
ln x + kx + 1
215
où k 2 R
E-ÉQUATION DE RICCATI:
elle est de la forme:
y 0 = a (x) y 2 + b (x) y + c (x)
(x 2 I) où
2R
(1)
où a (x), b (x) et c (x) sont trois fonctions continues sur un intervalle I:
On ne peut la résoudre que si on en connaît a priori une solution particulière y1 :on pose
alors y = y1 + z; z étant une nouvelle fonction inconnue, d’où
(1) , z 0 = a (x) z 2 + d (x) z
C’est une équation de Bernoulli qui se ramène à une équation linéaire en posant
5.37.1
1
z
= u:
Exemple:
x3
1 y 0 = y 2 + x2 y
2x
1-ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE 2 à COEFFICEINTS
CONSTANTS:
Une équation di¤érentielle d’ordre 2 à coe¢ cients constants est une équation de la forme
ay 00 + by 0 + cy = f (x)
(1* )
où a; b et c sont des constantes réelles, et f : I ! R une fonction dé…nie et continue dans un
intervalle I de R:
L’équation (1* ) est dite une équation di¤érentielle d’ordre 2 à coe¢ cients constants avec
second membre ( f (x) ). A lors pour résoudre l’équation (1* ) il faut suivre les deux étapes
suivantes:
1ère étape: la résolution de (1* ) sans second membre:
Soit l’équation
ay 00 + by 0 + cy = 0
(2* )
Comme remarque la résolution des équations linéaires sans seconde membre donne toujours une
216
seule solution y1 ; par contre pour les équation de type (2* ) on trouve deux solutions y1 et y2 :
En e¤et pour résoudre (2* ) il faut trouver au premier lieu une équation équivalente à (2* ) dite
équation caractéristique associée à (2* ) en remplace y (n) par rn :
(3* )
ar2 + br + c = 0
Par suite on calcul le 4 et on trouve l’un des cas suivants
Le signe de 4
les solutions de (3* )
Les solutions de (2* )
4>0
deus solutions réelles r1 et r2
y1 + y2 = c1 er1 x + c2 er2 x = c1 z1 + c2 z2
4=0
une racine double r0
y1 + y2 = (c1 x + c2 ) er0 x = c1 z1 + c2 z2
4<0
deus solutions complexes r1 et r2
y1 + y2 = c1 cos xe
avec r1 =
= c1 z1 + c2 z2
+ i et r1 =
+i
x
+ c2 sin xe
x
2ème étape: la résolution de (1* ) avec second membre:
Il reste à trouver la troisième solution de l’équation (1* ), pour cela on peut appliquer l’un
des deux méthodes suivantes:
1ère Méthode: Méthode de la solution particulière.
On peut utiliser cette méthode dans le cas où le second membre est l’un des fonctions suivantes: polynôme, sinus, cosinus, exponentielle, ou somme ou produit entre ces quatre fonctions.
D’où les régles suivantes:
Le type du seconde membre
La solution particulière
polynôme
polynôme
sinus
contient le cosinus ainsi que le sinus
cosinus
contient le cosinus ainsi que le sinus
exponentielle
exponentielle
2ème Méthode: Méthode de la variation de la constante.
On remarque que chaque solution de l’équation sans seconde membre est de la forme: c1 z1 +
c2 z2 , alors la recherche de la solution de l’équation avec seconde membre par cette méthode est
de la forme y3 = c1 (x) z1 + c2 (x) z2 où c1 (x), c2 (x) sont des fonctions inconnues, dérivables
217
véri…ant la condition supplémentaire
c01 (x) z1 + c02 (x) z2 = 0
On utilise le fait que y3 est une solution de (1* ) on obtient l’équation
c01 (x) z10 + c02 (x) z20 = f (x)
D’où le système
8
<
c01 (x) z1 + c02 (x) z2 = 0
: c0 (x) z 0 + c0 (x) z 0 = f (x)
1
1
2
2
ce qui permet de trouver c01 (x) et c02 (x) : Par intégration on trouve c1 (x) et c2 (x), ce qui donne
le y3 :
Conclusion: La solution générale est:
Y = y1 + y 2 + y 3
5.38
Exercice:
Exercice 01: Résoudre les équations suivantes:
(1)
0
x y ln x = (3 ln x + 1) y
0
0
(3) x2 y = x2 + y 2
(2) y = x tan y
0
(tan y) xy + 2x2
(4) (supp)
(6) (supp ) x y
0
y=x
1
xy
2
1 = 0; (5) (supp ) 1 + x2
e
y 0 + 2x + 2x y 2 = 0
y
x
Exercice 02: Résoudre les équations suivantes:
(1)
0
y + y = cos x + sin x
(3) (supp)
0
(2) y
y + (tan x) y =
1
cos x
218
0
1
x
y=
x
1+x2
0
(4) (supp) x y + y = arctan x
Exercice 03: Résoudre les équations suivantes:
y
0
"
5 y + 6 y = x2 + e3x
y
0
"
y + y = sin x
0
"
( la solution particulière)
x
y + 2 y + y = xe
( par la méthode de la variation de la constante ).
(par la méthode de la variation de la constante).
Exercice 04:(supp) Résoudre les équations suivantes:
0
x y + y = x y3
0
3y cos x
x2
y4 = 0
y sin x
0
y + y 2 = xy
1 sachant que
1
x
est une solution particulière.
Exercice 05: (supp) Résoudre les équations suivantes:
y
0
"
6 y + 6 y = (x + 1 ) e3x ( par la méthode de la variation de la constante ).
y
"
"
0
y + y = x sin x
(par la méthode de la variation de la constante).
0
y + 2 y + y = x2 + sin xe
5.39
3x
( la solution particulière)
Le corrigé des éxercices:
Exercice 01: Résoudre les équations suivantes:
(1)
0
x y ln x = (3 ln x + 1) y
0
(2) y = x tan y
(4) (supp)
0
(3) x2 y = x2 + y 2
0
(tan y) xy + 2x2
(6) (supp ) x y
0
y=x
1
xy
1 = 0; (5) (supp ) 1 + x2
e
y
x
219
2
y 0 + 2x + 2x y 2 = 0
Solution:
(1)
0
x y ln x
=
(3 ln x + 1) y , x
dy
ln x = (3 ln x + 1) y
dx
dy
3 ln x + 1
=
dx , c’est une équation à variables séparables
y
x ln x
Z
Z
dy
3
1
,
=
dx +
dx
y
x
x ln x
, ln jyj = 3 ln jxj + ln jln jxjj + c; c 2 R
,
, jyj = ec jxj3 ln jxj , y = k jxj3 ln jxj ; k 2 R
(2) y
0
=
x tan y ,
, jsin xj = ec e
0
(3) x2 y = x2 + y 2
cos y
x2
dy
= xdx ,
dy = xdx , ln jsin xj =
+c
tan y
sin y
2
x2
2
xy,
, x = arcsin ke
y
dy
=1+
dx
x
2
x2
2
; k 2 R et
1
ke
x2
2
y
c’est une équation homogène.
x
y
) y = t x ) y 0 = t 0x + t
x
) t 0 x + t = 1 + t2 t
Z
Z
dt
dt
dx
dt
dx
)
x = 1 + t2 2t )
=
)
=
2
dx
1 + t2 2t
x
x
(1 t)
1
1
= ln jxj + c; c 2 R , t = 1
; c 2 R:
)
1 t
ln jxj + c
on pose
:
t=
Exercice 02: Résoudre les équations suivantes:
(1)
1:
0
y + y = cos x + sin x
(3) (supp)
(2) y
0
y + (tan x) y =
(1)
1
cos x
0
0
1
x
y=
x
1+x2
y + y = cos x + sin x
220
0
(4) (supp) x y + y = arctan x
1ere - étape: La solution de l’équation sans seconde membre.
y0 + y
y1
dy
=y
dx
Z
Z
dy
dy
)
= dx )
=
dx
y
y
) ln jyj = x + c; c 2 R
=
0)
=
ke
x
; k 2 R solution de l’équation sans seconde membre.
2eme - étape: La solution de l’équation avec seconde membre.
y0
y = cos x + sin x (1)
par la méthode de la solution particulière:
y2
=
c1 cos x + c2 sin x est une solution particulière de (1) :
) y20 + y2 = cos x + sin x
)
c sin x + c2 cos x + c1 cos x + c2 sin x = cos x + sin x
81
< c1 + c2 = 1
)
) c2 = 1 et c1 = 0 ) y2 = sin x
: c +c =1
1
2
conclusion: la solution générale est dé…nie par:
y=k e
y
0
x
+ sin x; k 2 R:
x
1
y=
x
1 + x2
1ere - étape: La solution de l’équation sans seconde membre.
y0
1
y
x
=
0)
dy
y
=
dx
xZ
Z
dy
dx
dy
dx
)
=
)
=
y
x
y
x
) ln jyj = ln jxj + c; c 2 R
y1
=
k x ; k 2 R solution de l’équation sans seconde membre.
221
2eme - étape: La solution de l’équation avec seconde membre.
y
0
x
1
y=
: (1)
x
1 + x2
par la méthode de la variation de la constante:
y2
=
k (x) x est une solution particulière de (1) :
1
x
) y20
y2 =
x
1 + x2
x
) k 0 (x) x + k (x) x
k (x) x =
1 + x2
1
) k 0 (x) =
1
+
xZ2
Z
1
)
k 0 (x) dx =
dx ) k (x) = arctan x
1 + x2
) y2 = x arctan x
conclusion: la solution générale est dé…nie par:
y = y1 = k x + x arctan x ; k 2 R:
Exercice 03: Résoudre les équations suivantes:
y
0
"
5 y + 6 y = x2 + e3x
y
"
"
0
y + y = sin x
0
y + 2 y + y = xe
y
"
0
x
5 y + 6 y = x2 + e3x
( par la méthode de la variation de la constante ).
( la solution particulière)
(par la méthode de la variation de la constante).
( par la méthode de la variation de la constante ).
222
1ere - étape: La solution de l’équation sans seconde membre.
5 y 0+6 y
=
0 (5)
l’équation caractéristique est donnée par
:
r2
y
00
5r + 6 = 0 ) 4 = 1
) r1 = 2 et r2 = 3
d’où la solution de (5) est dé…nie par
:
y1 = c1 e2x + c2 e3x ; c1 ; c2 2 R
2eme - étape: La solution de l’équation avec seconde membre. (2points)
1ére méthode: la méthode de la solution particulière:
y2
ax2 + bx + c; est une solution de (4)
=
) y2 00
2 y2 0 + y2 = x2 + 1
) (2a)
)
8
>
>
>
<
>
>
>
: c
2 (2ax + b) + ax2 + bx + c = x2 + 1
a=1
b
4a = 0
2b + 2a = 1
) y2 = x2 + 4x + 7
223
) fa = 1; b = 4 et c = 7
2ème méthode: la méthode de la variation de la constante:
y2
=
(c1 (x) x + c2 (x)) ex est une solution de (4)
) y2 00 2 y2 0 + y2 = x2 + 1
8
<
(c01 (x) x + c02 (x)) ex = 0
)
: c0 (x) xex + c0 (x) ex + c0 (x) ex = x2 + 1
1
1
2
8
< c0 (x) = x2 + 1 e x
1
)
: c0 (x) =
x x3 e x
2
8
< c1 (x) = 3 2x x2 e x
des intégrations par parties : )
: c (x) = x3 + 3x2 + 7x + 6 e x
2
) y2 = x2 + 4x + 7
224
Partie XI
Les Matrices.
225
Le but de ce chapitre est de trouver un moyen pour résoudre un système de n équation où
n est un entier naturel assez grand, c’est la notion des matrices.
Dans le cas général on repésente une matrice M par:
0
a11
a12
B
B
B a21 a22
B
B
B :
:
M =B
B
B :
:
B
B
B :
:
@
am1 am2
: : :
: : :
: : :
: : :
: : :
: : :
a1n
1
C
C
a2n C
C
C
: C
C 2 Mm;n
C
: C
C
C
: C
A
amn
qu’on peut la simpli…er par:
0
:
B
B
:
B
B
B
B
:
B
B
M = B : : : aij
B
B
B
:
B
B
B
:
@
:
1
C
C
C
C
C
C
C
C
: : : C 2 Mm;n
C
C
C
C
C
C
A
où Mm;n est l’ensemble des matrices qui contient m lignes et n colonnes, de plus chaques
aij represente le coe¢ cient de la matrice M qui se trouve dans la i
eme ligne et la j
colonne. Dans le cas où i = j , les aii sont les éléments de la diagonale de M:
226
eme
5.40
Matrices associées à une application linéaire dans le cas
des espaces de dimensions …nies.
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions …nes avec: dim E = n et dim F = m:
Choisissons dans E une base BE ; dans F une base BF dé…nies par:
BE = (e1 ; e2 ; :::; en )
BF
= (f1 ; f2 ; :::; fm )
Soit ' une application linéaire de E dans F . Alors la matrice associée à ' par rapport à BE et
BF qu’on note M ('; BE ; BF ) est obtenue comme suit:
la i
eme colonne de M ('; BE ; BF ) représente les coordonnées de ' (ei ) dans la base
BF = f1 ; f2 ; :::; fm ; en e¤et:
0
' (e1 ) ' (e2 ) :::::::' (en )
a11
a12
B
B
B a21 a22
B
B
B :
:
M ('; BE ; BF ) = B
B
B :
:
B
B
B :
:
@
am1 am2
: : :
a1n
: : :
a2n
: : :
:
: : :
:
: : :
:
: : : amn
1
f1
C
C
C f2
C
C
C :
C
C
C :
C
C
C :
A
fm
car:
' (e1 ) = a11 f1 + a21 f2 + ::: + am1 fm
' (e2 ) = a12 f1 + a22 f2 + ::: + am2 fm
:::
' (en ) = a1n f1 + a2n f2 + ::: + amn fm
Exemple 5.30 Soit'l’application linéaire de R3 dans R2 qui à (x; y; z) associe (x
227
2y + z; 2x + y + 3z),
alors la matrice de f relativement aux bases canoniques de R3 et R2 est:
0
M =@
1
2
2
1
1
1
A
3
f1
f2
' (e1 ) ' (e1 ) ' (e1 )
car:
e1 = (1; 0; 0) ; e2 = (0; 1; 0) ; e3 = (0; 0; 1) ; f1 = (1; 0) et f2 = (0; 1)
de plus
:
' (e1 ) = (1; 2) = 1:f1 + 2:f2 ,' (e2 ) = ( 2; 1) =
2:f1 + 1:f2
et ' (e3 ) = (1; 3) = 1:f1 + 3:f2 :
5.41
Propriétés des matrices:
Soit M une matrice dé…nie par:
0
a11
a12
B
B
B a21 a22
B
B
B :
:
M =B
B
B :
:
B
B
B :
:
@
am1 am2
: : :
a1n
: : :
a2n
: : :
:
: : :
:
: : :
:
1
: : : amn
1- Une matrice est nulle si 8 (i; j) ; aij = 0 avec 1
C
C
C
C
C
C
C 2 Mm;n
C
C
C
C
C
A
i
m et 1
j
n de plus c’est la
matrice associée à l’application nulle (8u 2 E; ' (u) = 0F ) :
2- Deux matrices A et B sont égales si: aij = bij avec 1
i
m et 1
j
n avec les aij
(resp. bij ) représentent les coe¢ cients de A (resp. B).
3- La matrice unité notée I est la matrice dont les aij = 0 si i 6= j et aij = 1 si i = j:
4- Le transposée d’une matrice A noté t A est la matrice dont les lignes sont les colonnes de
A et les colonnes sont les lignes de A:
5- Une matrice est dite triangulaire supérieure (resp. inférieure) si: aij = 0 si i > j
228
(resp. aij = 0 si i < j) :
6- Une matrice diagonale est une matrice qui est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure dont les éléments de la diagonales s’appelles les pivots.
Exemple 5.31 Si:
0
1 2 3
B
B
A=B 4 5 6
@
7 8 9
De plus on a:
5.42
t
tA
1
0
1 4 7
C
B
C t
B
C) A=B 2 5 8
A
@
3 6 9
1
C
C
C:
A
= A:
Opérations sur les matrices:
Soient A et B deux matrices dé…nies par:
0
:
1
B
C
B
C
:
B
C
B
C
B
C
B
C
:
B
C
B
C
A = B : : : aij : : : C 2 Mm;n
B
C
B
C
B
C
:
B
C
B
C
B
C
:
@
A
:
1
0
:
C
B
C
B
:
B
C
C
B
C
B
C
B
:
C
B
C
B
et B = B : : : bij : : : C 2 Mk;l
B
C
C
B
C
B
:
C
B
C
B
C
B
:
A
@
:
229
1- La somme de ces deux matrices est dé…nie si: m = k et n = l et elle est donnée par:
0
B
B
B
B
B
B
B
B
A + B = B : : : aij
B
B
B
B
B
B
@
1
:
:
:
+ bij
:
:
:
C
C
C
C
C
C
C
C
: : : C 2 Mm;n
C
C
C
C
C
C
A
Exemple 5.32
0
1
1 1 1
0
2 2 2
B
C
B
B
C
B
A = B 4 4 4 C et B = B 3 3 3
@
A
@
6 6 6
8 8 8
0
1
3 3 3
B
C
B
C
alors : A + B = B 7 7 7 C :
@
A
14 14 14
2- Le produit d’une matrice A par un scalaire
0
:
B
B
:
B
B
B
B
:
B
B
A = B : : : aij
B
B
B
:
B
B
B
:
@
:
avec:
1
C
C
C
C
C
C
C
C
: : : C 2 Mm;n
C
C
C
C
C
C
A
230
1
C
C
C
A
est la matrice:
0
B
B
B
B
B
B
B
B
A=A=B : : :
B
B
B
B
B
B
@
1
:
C
C
C
C
C
C
C
C
: : : C 2 Mm;n
C
C
C
C
C
C
A
:
:
aij
:
:
:
Exemple 5.33 Si:
0
1
0
1 1 5
B
C
B
B
C
B
A=B 4 6 2 C) A=B 4
@
A
@
3 1 0
3
De plus on a: t (A + B) =t A +t B et t ( A) =
t
5
6
2
0
1
C
C
C:
A
A:
3- La multiplication de deux matrices A et B dé…nie par:
0
:
1
B
C
B
C
:
B
C
B
C
B
C
B
C
:
B
C
B
C
A = B : : : aij : : : C 2 Mm;n
B
C
B
C
B
C
:
B
C
B
C
B
C
:
@
A
:
1
0
:
C
B
C
B
:
C
B
C
B
C
B
C
B
:
C
B
C
B
et B = B : : : bij : : : C 2 Mk;l
C
B
C
B
C
B
:
C
B
C
B
C
B
:
A
@
:
231
est possible c’est-à-dire: A B si n = k autrement dit le nombre de colonnes de la première
matrice A est égale le nombre de lignes de la deuxième matrice B:
Alors on a:
0
:
B
B
:
B
B
B
B
:
B
B
A B = C = B : : : cij
B
B
B
:
B
B
B
:
@
:
1
C
C
C
C
C
C
C
C
: : : C 2 Mm;l
C
C
C
C
C
C
A
c’est-à-dire le nombre de lignes de la matrice C est le nombre de lignes de A et le nombre de
colonnes de C est le nombre de colonnes de B; avec chaque cij est la multiplication de la ieme
ligne de A par la j eme colonne de B mais terme à terme d’où:
cij
= ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + ::: + aim bmj
m
X
=
aik bkj :
k=1
Exemple 5.34 Si:
A
=
0
1 1 1
B
B
B 2 4 3
@
6 1 3
0
B
B
) A B=B
@
Et on a: t (A B) =t B
t
1
0
2 1
1
B
C
C
C
B
C
C 2 M3;3 et B = B 3 3 C 2 M3;2
A
@
A
0 1
1
5 5
C
C
16 17 C 2 M3;2 :
A
15 12
A et dans le cas général la multiplication n’est pas permutative (
A B 6= B A) car des fois A B existe mais B A n’existe pas:
232
5.43
Inverse d’une matrice carrée:
On peut représenter un système d’équation sous la forme matricielle d’où:
8
>
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ::: + a1n xn = y1
>
>
>
>
>
< a21 x1 + a22 x2 + a13 x3 + ::: + a2n xn = y2
, AX = Y
>
>
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::
>
>
>
>
: a x + a x + a x + ::: + a x = y
n1 1
n2 2
n3 3
nn n
n
avec:
0
a11
a12
B
B
B a21 a22
B
B
B :
:
A=B
B
B :
:
B
B
B :
:
@
an1 an2
: : : a1n
: : : a2n
: : :
:
: : :
:
: : :
:
: : : ann
1
0
x1
1
0
y1
1
C
B
C
B
C
C
B
C
B
C
C
B x2 C
B y2 C
C
B
C
B
C
C
B
C
B
C
C
B : C
B : C
C;X = B
C et Y = B
C:
C
B
C
B
C
C
B : C
B : C
C
B
C
B
C
C
B
C
B
C
C
B : C
B : C
A
@
A
@
A
xn
yn
Alors pour chercher X il su¢ t d’inverser la matrice A et on a:
AX = Y , X = A
1
Y car: A A
1
= I:
Pour cela les deux questions qui doit se poser sont l’existence et la méthode de la recherche
de l’inverse de la matrice carrée A noté A
1:
Dans un premier pas si A est la matrice associée à une application ' alors:
A inversible , ker (') = f0E g , ker (A) = f0E g :
ou bien:
A inversible ,
les vecteurs colonnes de A sont indépendants
, les vecteurs lignes de A sont indépendants.
De plus on a:
(A B)
1
=B
1
A
1
et
233
t
A
1
=t A
1
:
5.43.1
Inversion d’une matrice par la méthode de GAUSS:
Pour déterminer l’inverse de la matrice A par la méthode de GAUSS il su¢ t d’appliquer des
combinaisons linéaires simultanément à A et I qui transforment A en I et I en A
Exemple 5.35 Calculer l’inverse de la matrice:
1
0
1 2 1
C
B
C
B
A=B 3 1 2 C
A
@
1 4 2
234
1:
En e¤ et:
Le type d’opération sur
la ligne (L)
L1
L2
3
1
L1
1
1
L1
2
5
L2
1 0 0
3
1 2
0 1 0
1 4 2
0 0 1
2
0
3
5
9
5
1
9
5
1
1
5
0 0
3
1
2
5
0
0
6
3
1
L2
1
0
3
5
1
5
4
25
0
3
2
5
0
13
5
12
25
1
0
16
15
0
1
3
5 0
58
15
14
25
1
3
9
5
13
5
12
25
1
0
6
5
L3
2 1
L1
L2
L1
I!
1
1
L3
L3
A!
5
L2
0
0
L3
1
0
L3
0
0
1
9
5
0
0 1
L1
1
1 0 0
16
15
0
1
3
L2
5
0 1 0
58
75
14
125
1
15
L3
0 0 1
13
9
12
5
9
9
5
d’où:
"
A
I
1
045
B
B
=B
@
16
15
0
1
3
58
75
14
125
1
15
13
9
12
45
5
9
1
C
C
C
A
Alors le principe est de rendre les constantes qui se trouvent en dehors de la diagonale est
égales à zéro colonne par colonne, donc pour la constante 3 qui se trouve dans la deuxième
ligne et la première colonne on a l’opération:
L2
3
1
L1
la ligne ou se trouve la constante moins la constante sur le pivot (a11 ) fois la ligne du pivot
235
donc dans la première étape on élimine les deux constantes de la première colonne en utilisant le
premier pivot, par contre dans la deuxième étape on élimine les deux constantes de la deuxième
colonne en utilisant le deuxième pivot, dans la troisième étape on élimine les deux constantes de
la troisième colonne en utilisant le troisième pivot, et dans chaque cas on utilise l’étape l’avant
dernière. Finalement pour trouver I il su¢ t de diviser chaque ligne sur la constante qui se
trouve dans la ligne.
5.43.2
Inversion d’une matrice par la notion du déterminant:
Les déterminants:
Le déterminant d’ordre 2:
Si A est une matrice d’ordre 2 dé…nie par:
0
A=@
a b
Alors le déterminant de A noté det A=
a b
c d
1
A
est donné par la formule: ad
cb:
c d
Le déterminant d’ordre 3:
Si A est une matrice d’ordre 3 dé…nie par:
0
a11 a12 a13
B
B
A = B a21 a22 a23
@
a31 a32 a33
1
C
C
C
A
a11 a12 a13
Alors le déterminant de A noté det A= a21 a22 a23
est donné par la formule: a11 a22 a33 +
a31 a32 a33
a11 a22 a33 + a11 a22 a33
a11 a22 a33
a11 a22 a33
a11 a22 a33 :
On peut obtenir ce développement par deux méthodes:
236
1- La règle de SARRUS:
a11 a12 a13
alors la règle de SARRUS consiste à répéter, au-dessous du
Si det A= a21 a22 a23
a31 a32 a33
tableau précédent, les deux premières lignes, et à a¤ecter du signe + les produits obtenus
a11
parallèlement à la diagonale principale
, du signe - ceux obtenus parallèlement
a22
a33
a13
à la diagonale non principale
:
a22
a31
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
2- Le développement d’un déterminant suivant une rangée:
Dans le cas général c’est-à-dire: A 2 Mn;n on a:
0
:
B
B
:
B
B
B
B
:
B
B
A = B : : : aij
B
B
B
:
B
B
B
:
@
:
1
C
C
C
C
C
C
C
C
: : : C ) det A = 4 =
C
C
C
C
C
C
A
:
:
:
: : : aij
: : : :
:
:
:
Donc chaque déterminant d’ordre n est donné par une somme de n déterminant d’ordre n
237
1,
et il peut donc être développé de 2n façons suivant une de ses rangées, sous la forme:
det A =
n
X
aij Xij
développement suivant la ligne i:
j=1
ou bien:
det A =
n
X
aij Yij
développement suivant la colonne j:
i=1
avec:
Xij = ( 1)i+j 4ij , qui est le cofacteur de aij :
4ij étant le mineur de aij , déterminant d’ordre n
1 obenu en supprimant dans 4 la ligne et
la colonne contenant aij :
La répartition des signes à prendre devant les mineurs est alternée à partir du signe + de
a11 ; par exemple un déterminant d’ordre 6:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
:
+
+
+
+
Exemple 5.36 Calculer le déterminant de
0
1
2 1
B
B
A = B 3 1 2
@
1 4 2
det A =
1
2 1
3
1 2
1
C
C
C
A
= +1
1 2
3
2 1
4 2
4 2
+ ( 1)
2 1
1 2
1 4 2
c’est un développement suivant la première colonne.
= 2
8
12 + 12
4+1=
238
9:
Remarque
l’étape l’avant dernière de la méthode GAUSS. A est sous la forme
0 5.5 Dans 1
1 0 0
C
B
C
B
diagonaleB 0
5 0 C
A
@
9
0 0 5
donc on trouve le même résultat det A = 9 on multipliant les éléments de la diagonale.
3- Propriétés des déterminants:
A est dite singulière si et seulement si det A = 0
A est dite régilière si et seulement si det A 6= 0
det (A) ; det t A = det A , det (A B) = det A det B
1
det (A B) = det (B A) et det A 1 =
:
det (A)
det ( A) =
n
Inversion d’une matrice:
Pour qu’une matrice A est inversible il su¢ t que: det A 6= 0 de plus on a:
A
1
1
det A
=
t
(com A)
avec (com A) est la comatrice de A obtenue en remplaçant chaque élément de A par son
cofacteur (Xij =( 1)i+j 4ij , est le cofacteur de aij ):
Exemple 5.37 (1) Dans le cas d’ordre 2:
0
@
a c
b d
1
A
1
=
1
ad
239
bc
0
@
d
b
c
a
1
A
Exemple 5.38 (2) Soit la matrice:
0
1
2 1
1
C
B
C
B
A = B 3 1 2 C d’après les calculs qu’on fait: det A = 9
A
@
1 4 2
1
1
0
0
6 0
3
6
8 13
C
C
B
B
C
C t
B
B
com A = B 0
1 C
3
6 C ) comA = B 8 3
A
A
@
@
13
6
5
3
1
5
0
1
6
3
0
9 C
B 9
1
B 8 3
1
t
1 C
) A =
(com A) = B 9
C:
9
9 A
det A
@
13
9
5.44
6
9
5
9
Changement de base. Matrices semblables:
Soit, dans un espace vectoriel E de dimension n, deux bases:
B = (e1 ; e2 ; :::; en ) et B 0 = e01 ; e02 ; :::; e0n
On veut étudier le lien entre les coordonnées d’un vecteur u de E dans les deux bases B et B 0
en utilisant les propriétés des matrices.
Si les vecteurs e0j sont dé…nies dans la base B par la formule: e0j =
i=1
de passage de la base B à la base B 0
est donnée par:
0
B
B
B
B
B
B
P =B
B
B
B
B
B
@
n
P
11
12
: : :
1n
21
22
: : :
2n
:
:
: : :
:
:
:
: : :
:
:
:
: : :
:
n1
n2
: : :
nn
240
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
ij ei ;
alors la matrice
Alors si on pose:
0
x1
1
0
y1
C
B
B
C
B
B
B y2
B x2 C
C
B
B
C
B
B
C
B
B
0
C
B
B
X=B
C et X = B
C
B
B
C
B
B
C
B
B
C
B
B
A
@
@
yn
xn
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
les deux matrices d’un vecteur u dans B et B 0 : D’où les résultats suivants:
X=P X
0
ou bien X 0 = P
1
X
Exemple 5.39 Soit l’espace R3 muni de deux bases:
B = (e1 ; e2 ; e3 ) et B 0 = e01 ; e02 ; e03
avec:
e1 = (1; 0; 0) ; e2 = (0; 1; 0) ; e3 = (0; 0; 1) ; e01 = (2; 3; 0) ; e02 = (1; 1; 1) et e03 = ( 1; 3; 5)
)
P
0
2
B
B
= B 3
@
0
1
1
1
1
1
e
C 1
C
0
3 C e2 (c’est la matrice de passage de B à B :
A
5
e3
e01 e02 e03
car par exemple: e01 = (2 e1 ) + (3 e2 ) + (0 e3 ) ; alors il su¢ t de poser les vecteurs e01 ; e02 ; e03
sous la forme vertical.
0
1
1
B C
B C
Alors si le vesteur X1 = B 5 C dans la base B ) dans B 0 ; X10 = P
@ A
7
241
1X
1:
Et si le vecteur X
0
2
En e¤ et:
det P
= 2
0
1
C
B
C
B
= B 2 C dans la base B 0 ) dans B; X2 = P X20 :
A
@
4
1 3
1
et
P
1
=
0
8
1 B
B
B 15
34 @
3
1
8
6
0
1
1
1
3
=
34
0
8
6
15
10
3
2
3
C
B
C t
B
)
comA
=
C
B
2
A
@
5
9
1
0
1
C
C
9 C
A
5
C
C
10 9 C
A
2
5
0
8
6
1 B
B
B 15
34 @
3
0
2
B
B
X2 = P X20 = B 3
@
0
5.45
5
10
0
1
+0
15
6
X1 =
et:
1
1
Alors:
X10 = P
1
3
5
0
B
B
comA = B
@
:
1
0
10
1
1
0
CB C B
CB C B
10 9 C B 5 C = B
A@ A @
2
5
7
1
1
10
1
1
0
38
34
28
34
48
34
4
1
C
C
C
A
1
CB
C B
C
CB
C B
C
3 CB 2 C = B 7 C
A@
A @
A
5
4
22
1
1
La matrice associée dans un changement de base:
Dans un endomorphisme:
Soit A1 la matrice associée à un endomorphisme f dans la base B1 : Alors la matrice associée
à f dans un changement de base B2
est donnée par la formule:
A2 = P
1
A1 P
où P est la matrice de passage de la base B1 à la base B2 :
242
1. Exemple 5.40 On considère l’application linéaire dé…nie par:
f
:
R3 ! R 3
(x; y; z) 7! f (x; y; z) = (2x
y + z; 3x
y
3z; 3x + y + z)
(1) Déterminer la matrice M associée à f relativement a la base canonique de R3 .
(2) Soient B1 = fu1 ; u2 ; u3 g une base de R3 avec u1 = (2; 1; 2) ; u2 = (1; 0; 1) et u3 =
(3; 1; 2) :
a) Trouver la matrice de passage P de la base canonique de R3 à la base B1 :
b) Trouver la matrice de passage Q de la base B1 à la base canonique de R3 .
0
1
1
B
C
B
C
c) Si V est de composante B 1 C dans la base canonique, déterminer alors les composantes
@
A
3
de V dans la base B1 :
d) Trouver la matrice N associée à f relativement a la base B1 .
Solution:
(1) La base canonique de R3 est: B = fe1 ; e2 ; e3 g avec e1 = (1; 0; 0) ; e2 = (0; 1; 0) et e3 =
(0; 0; 1)
alors:
f (e1 ) = f (1; 0; 0) = (2; 3; 3)
f (e2 ) = f (0; 1; 0) = ( 1; 1; 1)
f (e3 ) = f (0; 0; 1) = (1; 3; 1)
243
ce qui implique que:
0
M
e
C 1
C
3 C e2
A
e3
1
1
1
2
B
B
= B 3
@
3
1
1
1
f (e1 ) f (e1 ) f (e1 )
(2) Soient B1 = fu1 ; u2 ; u3 g une base de R3 avec u1 = (2; 1; 2) ; u2 = (1; 0; 1) et u3 =
(3; 1; 2) :
a) la matrice de passage P de la base canonique de R3 à la base B1 :
P
0
2
B
B
= B
@
1
1
2
3
1
e
C 1
C
0 1 C e2
A
1 2
e3
u1 u2 u3
b) la matrice de passage Q de la base B1 à la base canonique de R3
Q=P
suivant la 2eme ligne on a
:
1
=
1
det P
det P =
t
(comP )
( 1)
1
3
1 2
= 5
244
1
2
2
1
1
et
0
1
0
1
1
C
C
0 C
A
1
5 1
1
0
1
5 1
C
B
C
B
t
(comP ) = B 0 10
5 C
A
@
1 0
1
0
1
1 15
B 5
B
) Q=B 0 2
1
@
1
1
0
5
5
comP
0
B
B
c) Si VB = B
@
1
B
B
B
@
=
5
10
1
C
C
C
A
1
C
C
1 C dans la base canonique, déterminons alors les composantes de VB1
A
3
dans la base B1 :
V B1
= Q VB
0
1
5
B
B
= B 0
@
0
B
B
= B
@
1
5
9
5
1
2
0
1
C
C
5 C
A
4
5
245
1
5
1 0
C
C
1 C
A
1
5
B
B
B
@
1
1
C
C
1 C
A
3
d) Trouvons la matrice N associée à f relativement a la base B1 :
on a:
N =Q M P
0
1 0
1
1
1 5
2
B 5
C B
B
C B
= B 0 2
1 C B 3
@
A @
1
1
0
3
5
5
0
1 0
1
1 15
3
B 5
C B
B
C B
= B 0 2
1 C B 13
@
A @
1
1
3
0
5
5
0
1
B
B
= B
@
1
1
1
1
6
2
1
1 0
C
C
3 C
A
1
1
7
C
C
2 C
A
12
B
B
B
@
2
1
2
1
3
1
C
C
0 1 C
A
1 2
C
C
C
A
Dans une application linéaire dé…nie de E dans F:
Soit A1 la matrice associée à une application linéaire f dé…nie de E muni d’une base B1 dans
F qui est muni de la base B2 .
Alors après le changement de base dans E par B10 et dans F par B20 : On a les deux matrices
de passages de B1 vers B10 qu’on
la note par P et de B2 vers B20 notée Q Alors la matrice associée à f dans ces changements
de bases
est donnée par la formule:
A2 = Q
1
A1 P
1. Exemple 5.41 On considère l’application linéaire dé…nie par:
f
:
R3 ! R 2
(x; y; z) 7! f (x; y; z) = (2x
y + z; 3x
y
z)
(1) Déterminer la matrice M1 associée à f relativement aux bases canoniques de R3 et R2 .
(2) Soient B10 = fu01 ; u02 ; u03 g une base de R3 avec u01 = (2; 1; 2) ; u02 = (1; 0; 1) et u03 =
246
(3; 1; 2)
et B20 = fe01 ; e02 g avec e01 = (1; 3) et e02 = (2; 5) une base de R2 :
a) Trouver la matrice de passage P de la base canonique de R3 à la base B10 :
b) Trouver la matrice de passage Q de la base canonique de R2 à la base B20 :
c) Trouver la matrice de passage P
1
de la base B10 à la base canonique de R3 .
d) Trouver la matrice de passage Q 1 de la base B20 à la base canonique de R2 .
0
1
1
B
C
B
C
e) Si V1 est de composante B 1 C dans la base canonique, déterminer alors les com@
A
3
posantes de V1 dans la base B10 :
0 1
1
f) Si V2 est de composante @ A dans la base B20 , déterminer alors les composantes de V2
7
dans la base canonique :
g) Trouver la matrice M2 associée à f relativement aux bases B10 et B20 .
5.46
Exercice:
Exercice 01: On considère l’application de R3 dans R3 dé…nie par:
f (x; y; z) = (2x
6z; y + 5z; x
3z)
(1) Montrer que f est une application linéaire.
(2) trouver le noyau de f (ker f ) :
(3) Déduire dim (ker f ) et dim (Im f ) :
Exercice 02: Répondre par vrai ou faux et justi…er votre réponse:
1) A2 = I ) A =
I 2) A2 = 0 ) A = 0 3) A2 = A ) A = I ou A = 0:
4) supp A diagonale ) A B = B A 5) supp A B = B A ) A
247
t
B =t B A
6) supp A B = B A et A
1 existe)
1
A
1
B=B A
Exercice 03: Soit A une matrice carrée
1) Montrer que: si A4 = 0 alors (I
A)
1
= I + A + A2 + A3 . Dans ce cas (I + A) est-elle
inversible?
Si oui donner son inverse.
2) Supp: Montrer que: si An+1 = 0 alors (I
A)
1
+ An . Dans ce cas (I + A) est-elle
= I +A+
inversible?
Si oui donner son inverse.
0
B
B
Exercice 04: 1) Calculer l’inverse de la matrice A = B
@
1
2
1 2
4
5
par la notion de la comatrice.
1
1
C
C
3 C par la méthode de GAUSS et
A
2
2) Déterminer le rang de la matrice suivante:
0
1 1 3 5
B
B
C=B 1 2 5 9
@
2 3 8 14
1
C
C
C
A
Exercice 05: On considère l’application linéaire dé…nie par:
f
:
R2 ! R2
(x; y) 7! f (x; y) = (2x
y; 3x
5y)
(1) Trouver la matrice M associée à f relativement à la base canonique
B de R2 :
(2) Soit B1 = fu1 ; u2 g une base de R2 avec u1 = (2; 1) ; u2 = (5; 3) :
a) Trouver la matrice de passage P de la base canonique de R2 à la base B1 :
248
b) Trouver la matrice de passage Q de la base B1 à la base canonique de R2 :
0 1
2
c) Si V1 est de composante @ A dans la base canonique, déterminer alors les composantes
7
de V dans la base B1 :
d) Déduire la matrice N associée à f relativement à la base B1 :
Exercice 05: On considère l’application linéaire dé…nie par:
f
:
R3 ! R3
(x; y; z) 7! f (x; y; z) = (2x
y + z; 3x
y
z; 4x + y + z)
(1) Trouver la matrice M associée à f relativement à la base canonique B de R3 :
(2) Soit B1 = fu1 ; u2 ; u3 g une base de R3 avec u1 = (2; 1; 2) ; u2 = (1; 0; 1) et u3 =
(3; 1; 2) :
a) Trouver la matrice de passage P de la base canonique de R3 à la base B1 :
0
1
1
B
C
B
C
b) Si V est de composante B 1 C dans la base canonique, déterminer alors les composantes
@
A
3
de V dans la base B1 :
c) Trouver la matrice N associée à f relativement à la base B1 :
Exercice 06: On considère l’application linéaire dé…nie par:
f
:
R2 ! R3
(x; y) 7! f (x; y) = (x; y; x + y)
Soient B2 = fe1 ; e2 g et B3 = fu1 ; u2 ; u3 g les bases canoniques
de R2 et R3 :
(1) Donner la matrice M associée à f relativement aux bases B2 et B3 :
249
(2) Soient C2 = fv1 ; v2 g une base de R2 avec v1 = (1; 1) ; v2 = ( 1; 0) et C3 = fw1 ; w2 ; w3 g
une base de R3
avec w1 = (0; 1; 3) ; w2 = ( 1; 0; 1) et w3 = ( 2; 1; 0) :
a) Trouver la matrice de passage P de la base B2 à la base C2 :
b) Déterminer la matrice de passage Q de la base B3 à la base C3 .
0 1
1
B C
B C
c) Si V est de composante B 5 C dans la base B3 , déterminer alors les composantes de V
@ A
2
dans la base C3 :
d) Trouver la matrice N associée à f relativement aux bases C2 et C3 :
5.47
Université de Tlemcen
AnnéeUniversitaire
: 2010 - 2011.
Faculté des sciences
Le: 17 - 02- 2011
Tronc Commun LMD ST-SM
Epreuve Finale
Sujet n 1
Module: MATH 1
Durée: 1h 30
Exercice 01: (9pts) Soient (Un ) et (Vn ) deux suites dé…nies par:
8
<
U0 = 3
: U
n+1 =
et
Un +Vn
2
(1) (1 pt) Montrer par récurrence que: 8n 2 N, Vn
8
<
V0 =
: V
n+1 =
1
2
Un+1 +Vn
2
Un :
(2) (1 pt) (Un ) est-elle croissante ou décroissante? justi…er votre réponse.
(3) (1 pt) (Vn ) est-elle croissante ou décroissante? justi…er votre réponse.
(4) (1 pt) En déduire que les suites (Un ) et (Vn ) sont convergentes.
250
(5) (1 pt) En déduire que les suites (Un ) et (Vn ) sont adjacentes.
(6) On dé…nit la suite (Wn ) par: Wn = Vn
Un :
a) (1 pt) Montrer que (Wn ) est une suite géométrique.
b) (1 pt) calculer la limite de (Wn ) par deux méthodes di¤érentes.
(7) Soit la suite (Tn ) dé…nie par:
Tn =
Un + 2Vn
2
a) (1 pt) Etudier la monotonie de la suite (Tn )n2N :
b) (1 pt) En déduire:
lim Un
n!+1
et
lim Vn :
n!+1
EXERCICE 02: (7pts) Soit la suite (Un ) dé…nie par:
1
U0 = ;
2
Un+1 =
r
1 + Un
2
pour tout n
0:
(1) (1 pt+1 pt) Montrer que: 8n 2 N : Un i 0 et Un h 1:
(2) (1 pt) (Un ) est-elle croissante ou décroissante? justi…er votre réponse.
(3) (0.5 pt) En déduire que la suite (Un ) est convergente.
(4) (1 pt) Démontrer que, pour tout n 2 N, on a:
jUn+1
1
jUn
2
1j
1j
(5) (1 pt) En déduire que, pour tout n 2 N, on a:
jUn
1j
1
2
n
jU0
1j
(6) (1.5 pt) En déduire de (5) la limite de la suite (Un )n2N :
251
EXERCICE 03: (4pts) Soit f une fonction dé…nie par:
8
<
x2 ln x
x+1
: sin x
si x > 0
x si x
0
(1) (1 pt) Donner l’ensemble de dé…nition de la fonction f:
(2) (1.5 pt) Cette fonction est-elle continue pour x = 0?
(3) (1.5 pt) Est-elle dérivable pour x = 0?
UniversitédeTlemcen
AnnéeUniversitaire :
2010 - 2011.
Faculté des sciences
Commun LMD ST-SM
Epreuve Finale
Sujet n 1 "Le corrigé"
Module: MATH 1
Exercice 01: Soient (Un ) et (Vn ) deux suites dé…nies par:
8
<
U0 = 3
: U
n+1 =
et
Un +Vn
2
(1) Montrons par récurrence que: 8n 2 N, Vn
Pour n = 0 on a:
1
2
Un+1 =
V0 =
: V
n+1 =
1
2
Un+1 +Vn
2
Un :
< 3 ) V0 < U0 : (0.25 pt)
Supposons que: Vn
Vn+1
8
<
Un pour un n 2 N et montrons que: Vn+1
Un+1 +Vn
2
Un+1 =
Vn Un+1
2
=
Vn
2
Un +Vn
4
=
Vn Un
4
Un+1 :
0 d’après l’hypothèse
de récurrence. (0.75 pt)
Conclusion: 8n 2 N, Vn
Un :
(2) (1 pt) (Un ) est-elle croissante ou décroissante?
Un+1
Un =
Un +Vn
2
Un =
Vn Un
2
0 d’après (1)) (Un ) est décroissante.
(3) (1 pt) (Vn ) est-elle croissante ou décroissante?
252
Vn+1
Vn =
Un+1 +Vn
2
Vn =
Un+1 Vn
2
=
Un +Vn
4
Vn
2
=
Un Vn
4
0 d’après (1)) (Vn ) est
croissante.
(4) (1pt) En déduire que les suites (Un ) et (Vn ) sont convergentes.
- (Un ) est une suite décroissante minorée par V0 ) (Un ) est convergente
(on pose: l1 sa limite).
- (Vn ) est une suite croissante majorée par U0 ) (Vn ) est convergente (on pose: l2 sa limite).
(5) En déduire que les suites (Un ) et (Vn ) sont adjacentes.
- On a: 8n 2 N, Vn
Un :(0.25pt)
- En plus: (Un ) est une suite décroissante et (Vn ) est une suite croissante . (0.25pt)
- Dans la relation de récurrence on a: (0.5pt)
Un+1 =
l1 =
Un + Vn
Un + Vn
) lim Un+1 = lim
n!+1
n!+1
2
2
l1 + l2
) l1 = l2 :
2
Alors les deux suites sont adjacentes.
(6) On dé…nit la suite (Wn ) par: Wn = Vn
Un :
a) (1pt) Montrons que (Wn ) est une suite géométrique.
Wn+1
Wn
=
=
Vn+1
Vn
Un+1
=
Un
Vn Un+1
2
Vn
Un
Vn
=
Un+1 +Vn
2
Vn
Un+1
Un
Un +Vn
2
2
Vn
Un
=
Vn Un
4
Vn
1
= :
Un
4
Alors (Wn ) est une suite géométrique de raison 41 :
b) calculer la limite de (Wn ) par deux méthodes di¤érentes.
a) (0.5pt)
lim Wn = lim (Vn
n!+1
n!+1
Un ) = l1
253
l2 = 0 car: l1 = l2
b) (0.5pt)
1
4
Wn =
n
W0 ) lim Wn = 0:
n!+1
(7) Soit la suite (Tn ) dé…nie par:
Tn =
Un + 2Vn
2
a) (1pt) Etudier la monotonie de la suite (Tn )n2N :
Tn+1
=
Tn =
Un +Vn
+2
2
Un+1 +2Vn+1
2
Un +Vn +V
n
2
2
Un +2Vn
2
Un +2Vn
2
2
=
U
+Vn
Un +Vn
+2 n+12
2
2
Un +2Vn
2
= 0; 8n 2 N
Alors Tn est une suite constante.
b) (1pt) En déduire:
lim Un
n!+1
On a: Tn = T0 =
U0 +2V0
2
=
3+2
2
1
2
et
lim Vn :
n!+1
=2)
Un + 2Vn
l1 + 2l1
4
=
= 2 ) l1 = l2 = :
n!+1
2
2
3
lim
EXERCICE 02: Soit la suite (Un ) dé…nie par:
1
U0 = ;
2
Un+1 =
r
1 + Un
2
pour tout n
1:
(1) Montrer que: 8n 2 N : Un i 0 et Un h 1:
a) Un > 0::::: (An )
Pour n = 0 on a: U0 =
1
2
> 0 ) (A0 ) est vraie....(0.25). Supposons que (An ) est vraie
pour un n 2 N:
et montrons que(An+1 ) est vraie ç-a-d:Un+1 > 0?
q
n
en e¤et: :Un+1 = 1+U
> 0 (0.75pt)
2
D’où Un > 0, 8n 2 N:
254
b) Un < 1::::: (Bn )
1
2
Pour n = 0 on a: U0 =
< 1 ) (B0 ) est vraie....(0.25). Supposons que (Bn ) est vraie
pour un n 2 N:
et montrons que(Bn+1 ) est vraie ç-a-d:Un+1 < 1?
q
Un 1
n
q 2
en e¤et: :Un+1 1 = 1+U
1
=
<0 (0.75pt)
2
1+U
2
n +1
D’où Un < 1::8n 2 N:
(2) (1pt) (Un ) est-elle croissante ou décroissante?
(Un )n 2N est croissante, car:
Un+1
Un =
=
r
1 + Un
2
1+Un
2
Un = q
2U 2 + Un + 1
q n
1+Un
+ Un
2
Un2
1+Un
2
+ Un
0 car 0<Un < 1: (après l’étude du polynôme)
(3) (0.5 pt) En déduire que la suite (Un ) est convergente.
La suite (Un )n 2N est convergente car elle est croissante majorée par 1:
(4) (1 pt) Démontrer que, pour tout n 2 N, on a:
jUn+1
jUn+1
1j =
car:
r
q
1 + Un
2
1 = q
1
1+Un
2
1
jUn
2
1j
1j
Un 1
2
1+Un
2
+1
1:
+1
(5) (1 pt) En déduire que, pour tout n 2 N, on a:
jUn
1j
255
1
2
n
jU0
1j
1
jUn
2
1j
D’après (4)
jUn
1j
1
jUn
2
1
2
1j
1
2
jUn
2
1
2
1j
n
jUn
n
1j =
1
2
n
jU0
(6) (1.5 pt) En déduire de (5) la limite de la suite (Un )n2N :
jUn
1 n
jU0
2
lim jUn
1j
)
n!+1
EXERCICE 03: Soit f une fonction dé…nie par:
8
<
1 n
1j ) lim jUn 1j
lim
jU0 1j = 0
n!+1
n!+1 2
1j = 0 ) lim Un 1 = 0 ) lim Un = 1
n!+1
x2 ln x
x+1
: sin x
n!+1
si x > 0
x si x
0
(1) (1pt) L’ensemble de dé…nition de la fonction f est: Df = R:
(2) (1.5pt) Cette fonction est-elle continue pour x = 0?
lim
x!0+
x2 ln x
x+1
=
0 et lim
x!0
)
(sin x
lim f (x) =
x!0+
x) = f (0) = 0
lim f (x) = f (0) = 0
x!0
Alors f est continue en 0.
(3) (1.5pt) Est-elle dérivable pour x = 0?
La dérivée à droite:
lim
x!0+
f (x)
x
f (0)
x ln x
= lim
=0
0
x!0+ x + 1
La dérivée à gauche:
lim
x!0
f (x)
x
f (0)
0
sin x x
sin x
= lim
1=0
x
x
x!0
x!0
f (x) f (0)
f (x) f (0)
) lim
= lim
x 0
x 0
x!0+
x!0
=
lim
Alors f est dérivable en 0.
Université de Tlemcen
Année Universitaire : 2007-2008
256
1j :
Faculté des sciences
MATH 2
Tronc Commun LMD ST-SM
Contrôle continu
Mai 2008 –Durée : 1 h 30.
N-B : Inscrire le numéro de groupe sur la copie d’examen.
****************************************************
de cours: ( sur 6 points) (1) Donner la forme générale d’une équation di¤érentielle linéaire du premier ordre.
(2) Résoudre l’équation :
0
x y + y = arctan x
(3) Donner la forme générale d’une équation di¤érentielle linéaire du 2ème ordre à coef…cients constants.
(4) Résoudre l’équation :
0
"
y + 2 y + y = 4 x2 :
ice 01: ( sur 5.5 points) Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
F = f(x; y; z) ; x = y = zg
G = f(x; 0; z) ; x 2 R , z 2 Rg
(1) Montrer que F et G sont des s-ev de R3 :
(2) F et G sont-ils supplémentaires?:
cice 02:( sur 8.5 points) Calculer les intégrales indé…nies suivantes:
1)
2)
Z
Z
1
dx.
1)2 (x2 + 1)
x (x
cos x
dx
sin x + 1
257
Z
3)
x2
dx
+ 2x + 2
1. (1) Donner la forme générale d’une équation di¤érentielle linéaire du premier ordre.
0
A(x) y + B(x) y = C(x) .....(0.25).
avec A(x) ; B(x) et C(x) sont des fonctions continues sur I
R
..........(0.25).
(2) Résoudre l’équation :
0
x y + y = arctan x
Sans seconde membre:......(1 point).
Avec seconde membre:......(1.25 point).
Conclusion..........(0.25)
(3) Donner la forme générale d’une équation di¤érentielle linéaire du 2ème ordre à coef…cients constants.
"
0
"
0
Ay + B y + C y = f (x) : ou y + B y + C y = f (x) : .....(0.25).
avec A ; B et C sont des constantes (A 6= 0 ....(0.25)) et f (x) est une fonction
continue sur I
R
..........(0.25).
(4) Résoudre l’équation :
0
"
y + 2 y + y = 4 x2 :
Sans seconde membre:......(1 point).
Avec seconde membre:......(1 point).
Conclusion..........(0.25)
ice 01: ( sur 5.5 points) Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
F = f(x; y; z) ; x = y = zg
258
G = f(x; 0; z) ; x 2 R , z 2 Rg
(1)
F
6= ?........(0.25) + (0.25) sur la preuve
:::u1 + u2 ......(0.25)+ (0.25) sur la preuve
:::: u..........(0.25)+ (0.25) sur la preuve, de même pour G:
(2)
F \ G = f(0; 0; 0)g ........(0.25)
"
" ......(0.25) + "
"......(0.5)
R3 = F + G........(0.25)
"
" ......(0.25) + "
"......(0.5)
Conclsion: la somme est directe......(0.25) ) F et G sont supplémentaires.....(0.25)
259
cice 02:( sur 8.5 points) Calculer les intégrales indé…nies suivantes:
Z
1
dx.
x (x 1)2 (x2 + 1)
la décomposition en éléments simples.....(0.25 + 0.25 + 0.25 +0.25)
1)
calcul des 4 constantes.......(0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 +0.25)
calcul des 3 intégrales......(0.25 + 0.25 + 0.25+0.25+0.25 )+ ( 0.25 sur
2)
Z
Z
cos x
dx
:
sin x + 1
x
t = tan ...........(0.25)
2
x = 2 arctan z............(0.25)
2
dx =
dz............(0.25)
1 + z2
1 z2
cos x =
............( 0.5 )
1 + z2
2z
sin x =
................(0.5 )
1 + z2
Z
2
dz
2dz
1+z 2
=
= :la réponse en z = :la réponse en x
2
z2
2z
1
z
2z + 1 + z 2
2.
2 + 1
1
1+z
1+z
(0.25
+ 0.5
+ 0.25) + ( 0.25 sur la cste)
Z
dx
:
(x2 + 2x + 2)
dx
...........(0.25)
2
(x + 2x + 1 + 1)
Z
dx
...........(0.25)
(x + 1)2 + 1
y = x + 1 ) dx = dy..........(0.25) + (0.25)
3)
Z
Z
+ 0.25
On pose :
dy
= arctan y + c ,
c 2 R..........(0.25)
y2 + 1
= arctan (x + 1) + c ,
c 2 R..........(0.25)
Université de Tlemcen
Faculté des sciences
Commun LMD ST-SM
Année Universitaire : 2010-2011
MATH 1
Contrôle continu (Le rattrapage)
260
19 Janvier 2011 –Durée : 1 h 30.
Exercice 01:
(1) Soit E un ensemble sur lequel est dé…nie une relation binaire < qui est:
transitive et 8x 2 E, x n’est pas en relation avec lui même par la relation <:
1. On dé…nit sur E une autre relation
a
dé…nie par::
b , a <b
ou a = b
est-elle une relation d’ordre?
(2) Dans Z on dé…nit la relation = par:
x = y , a divise b ou b divise a:
caractériser l’ensemble quotient Z == s’il existe?
(3) Dans P (N), ensemble des parties de N, on dé…nit la relation d’ordre
8 (A; B) 2 P (N)
P (N) ; A
B,B
par:
A
(a) Cet ordre est-il total ? Just…er.
(b) Montrer que P (N) admet un majorant et un minorant relativement à l’ordre
(4) Soit
.
la relation d’ordre dé…nie sur N par:
x
y , 9 n 2 N tel que : x
n
= y.
Soit l’ensemble A = f1; 4; 8g : Déterminer s’ils existent, M ax A et M in A pour l’ordre
Exercice 02:
261
:
Soit la fonction: f : R ! ] 1; 1[ dé…nie par:
x 7! f (x) =
x
:
1 + jxj
f est-elle injective? surjective? bijective? Justi…er et si oui déterminer la fonction inverse
(réciproque).
Exercice 03: Soient a et x des nombres réels. Montrer par l’absurde que:
Si [a 6= 0 et que l’on a jx
aj < a] alors [x 6= 0 et le signe de x est le signe de a]:
.
Barème: Ex 01 : 11 pts ; Ex 02: 5 pts ;
Ex 03: 4 pts .
Université de Tlemcen
Année Universitaire : 2010-2011
Faculté des sciences
Commun LMD ST-SM
MATH 2
Contrôle continu
Le rattrapage" Le corrigé"
04 Juin 2011 –Durée : 1 h 30.
Exercice 01: (5points) Calculer les intégrales indé…nies suivantes:
1)I1 =
On pose
Z
1
dx
.
2 sin x + cos x
2
2z
1 z2
x
x = 2 arctan z ) dx =
dz;
sin
x
=
,
cos
x
=
et z = tan
2
2
2
1+z
1+z
1+z
2
Z
Z
Z
2
dz
dz
dz
1
1+z 2
) I1 =
=
=
+ c; c 2 R
2 =
2
2z
1 z2
z
2z
+
1
z
1
(z 1)
1 2 1+z 2 + 1+z 2
1
) I1 =
+ c; c 2 R
x
tan 2 1
:
262
2) I2 =
=
=
=
=
=
on pose: t =
6x+1
p
11
Z
Z
Z
2x + 6
1
6x + 18
1 6x + 1 + 17
dx
=
dx
=
dx
3x2 + x + 1
3 3x2 + x + 1
3 3x2 + x + 1
Z
Z
1
6x + 1
17
1
dx +
dx
3 3x2 + x + 1
3
3x2 + x + 1
Z
1
17
1
dx
ln 3x2 + x + 1 +
2
3
9
x + x3 + 13
Z
1
17
1
2
ln 3x + x + 1 +
x
1
1
1 dx
2
3
9
x + 3 + 36
36 + 3
Z
1
17
1
dx
ln 3x2 + x + 1 +
2
3
9
x + 61 + 11
36
Z
1
17 36
1
2
dx
ln 3x + x + 1 +
2
3
9 11
6x+1
p
+1
11
) dt =
I2 =
=
p6 dx
11
)
p
17 36
6x + 1
1
11
2
+ c; c 2 R
ln 3x + x + 1 +
arctan p
3
9 11
6
11
1
6x + 1
34
+ c; c 2 R
ln 3x2 + x + 1 + p arctan p
3
3 11
11
Exercice 02: (15 points)
(1) Soit f : R ! R tel que: f (x) = x + ex une fonction bijective.
On note g son application réciproque qui est indé…niment dérivable sur R:
a) (3 points) Sans calculer g trouver les valeurs de g (1) ; g 0 (1) et g 00 (1) :
On remarque que: f (0) = 1 ) g (1) = 0: En plus on a: g 0 (y) =
1
f 0 (0)
1
f 0 (x)
= 12 :
De même: g 00 (y) =
f 00 (g(y)) g 0 (y)
(f 0 (g(y)))2
) g 00 (1) =
f 00 (0)
(f 0 (0))3
=
8
b) (1point) En déduire le développement limité de g au point 1 à l’ordre 2.
Le Dl est:
1
2
(x
1)
4 (x
1)2 + o (x
1)2 :
263
=
1
f 0 (g(y))
) g 0 (1) =
(2) (3points) Déterminer a; b 2 R pour qu’au voisinage de 0:
x ax3
= o x5
1 + bx2
arctan x
x3
3
On a: arctan x = x
5
+ x5 + o x5 et
x ax3
1+bx2
=x
(a + b) x3 + b (a + b) x5 + o x5 par
la division suivant les puissances croissantes.
8
< a+b 1 =0
3
3
ax
5 ,
=
o
x
)a=
arctan x x1+bx
2
: b (a + b) 1 = 0
4
15
et b = 35 :
5
(3) Soit f une fonction de classe C 2 sur [0; 1], f (0) = 0:
a) (1point) Ecrire la formule de Mac-Laurin de f à l’ordre 1:
f (x) = f (0) + f 0 (0) x +
b) (3points) En déduire la limite de la suite (Un )n
Un =
1
n
X
x2
f
2
00
( x) ; 0 <
< 1; 8x 2 [0; 1] :
dé…nie par le terme général:
f
k=1
k
n2
;n
1:
On:
0
<
k
n2
1; 8n
k
n2
) f
)
n
X
f
k=1
f 0 (0)
1 et 8k 2 f0; 1; :::; ng
k 0
k 2 00
k
f
(0)
+
f
2
4
n
2n
n
n
n
k X
00
0
f
k
f (0) X
n
=
k
+
k2
n2
n2
2n4
=
n (n + 1) f
+
2
f 0 (0)
:
)
lim Un =
n!+1
2
=
Indication:
n
X
k=1
n2
k=
k=1
k
00
n
2n4
k=1
n (n + 1) (2n + 1)
6
n
X
n (n + 1)
n (n + 1) (2n + 1)
et
k2 =
:
2
6
k=1
264
(4) (2points+2points) Calculer les limites suivantes en utilisant la notion du développement limité.
a)
ax + bx
2
lim
x!+1
lim
x!+1
1
x
= e
1
x
ln
ax +bx
2
=
= max (a; b) :
b
x
x!1
4
tan(
) b = lim e
=
lim tan
1
x
ax + bx
2
tan
x
2
y
+2
2
, b) lim tan
x!1
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
lim e
1
x
y
+4
4
x
2
tan
:
a si b = a
( )
!
b x
1+ a
ax
2
x!+1
ln a
= lim e
= lim e
x!+1
x
ln 2+ x1 ( ab )
=
x!+1
1
x
1
x
ln ax
!
b x
1+ a
2
( )
a si b < a
= b si a < b
on pose: y = x
) ln(tan(
ln
x
4
1
))
y!0
=
=
lim e
cot an(
y
2
) ln
y
1+tan 4
y
1 tan 4
y!0
lim e
2
y
y
1+tan 4
y
1 tan 4
1
= lim e
y!0
y
4 tan 4
y
y!0
=e
1
car: tan
w
au V (0) :
Barème: Ex 01 : 5pts ; Ex 02: 15pts.
Université de Tlemcen
Année Universitaire : 2010-2011
Faculté des sciences
Commun LMD ST-SM
MATH 2
Contrôle continu
Le rattrapage
04 Juin 2011 –Durée : 1 h 30.
Exercice 01: (5points) Calculer les intégrales indé…nies suivantes:
Z
1)
1
dx
.
2 sin x + cos x
265
2)
Z
2x + 6
dx :
+x+1
3x2
Exercice 02: (15 points)
(1) Soit f : R ! R tel que: f (x) = x + ex une fonction bijective.
On note g son application réciproque qui est indé…niment dérivable sur R:
a) (3 points) Sans calculer g trouver les valeurs de g (1) ; g 0 (1) et g 00 (1) :
b) (1point) En déduire le développement limité de g au point 1 à l’ordre 2.
(2) (3points) Déterminer a; b 2 R pour qu’au voisinage de 0:
x ax3
= o x5
1 + bx2
arctan x
(3) Soit f une fonction de classe C 2 sur [0; 1], f (0) = 0:
a) (1point) Ecrire la formule de Mac-Laurin de f à l’ordre 1:
b) (3points) En déduire la limite de la suite (Un )n
Un =
1
n
X
dé…nie par le terme général:
k
n2
f
k=1
Indication:
n
X
k=1
k=
;n
1:
n
X
n (n + 1)
n (n + 1) (2n + 1)
et
k2 =
:
2
6
k=1
(4) (2points+2points) Calculer les limites suivantes en utilisant la notion du développement limité.
a)
lim
x!+1
ax + bx
2
1
x
, b) lim tan
x!1
x
4
tan
Barème: Ex 01 : 5pts ; Ex 02: 15pts.
266
x
2
:
Université de Tlemcen
Année Universitaire : 2010-2011
Faculté des sciences
Commun LMD ST-SM
MATH 2
Contrôle continu
Le rattrapage" Le corrigé"
04 Juin 2011 –Durée : 1 h 30.
Exercice 01: (5points) Calculer les intégrales indé…nies suivantes:
1)I1 =
On pose
Z
1
dx
.
2 sin x + cos x
2z
1 z2
x
2
dz;
sin
x
=
,
cos
x
=
et z = tan
x = 2 arctan z ) dx =
2
2
2
1+z
1+z
1+z
2
Z
Z
Z
2
dz
dz
dz
1
1+z 2
) I1 =
=
=
+ c; c 2 R
2 =
2
2z
1 z2
z
2z
+
1
z
1
(z 1)
1 2 1+z 2 + 1+z 2
1
+ c; c 2 R
) I1 =
x
tan 2 1
:
2) I2 =
=
=
=
=
=
Z
Z
Z
2x + 6
1
6x + 18
1 6x + 1 + 17
dx =
dx =
dx
3x2 + x + 1
3 3x2 + x + 1
3 3x2 + x + 1
Z
Z
1
6x + 1
17
1
dx
+
dx
2
2
3 3x + x + 1
3
3x + x + 1
Z
1
17
1
2
ln 3x + x + 1 +
dx
2
3
9
x + x3 + 13
Z
1
17
1
ln 3x2 + x + 1 +
dx
x
1
1
2
3
9
x + 3 + 36
+ 31
36
Z
1
17
1
2
ln 3x + x + 1 +
dx
2
1
3
9
x + 6 + 11
36
Z
17 36
1
1
2
ln 3x + x + 1 +
dx
2
3
9 11
6x+1
p
+
1
11
267
on pose: t =
6x+1
p
11
) dt =
p6 dx
11
)
p
1
17 36
11
6x + 1
2
ln 3x + x + 1 +
arctan p
+ c; c 2 R
3
9 11
6
11
6x + 1
1
34
+ c; c 2 R
ln 3x2 + x + 1 + p arctan p
3
3 11
11
I2 =
=
Exercice 02: (15 points)
(1) Soit f : R ! R tel que: f (x) = x + ex une fonction bijective.
On note g son application réciproque qui est indé…niment dérivable sur R:
a) (3 points) Sans calculer g trouver les valeurs de g (1) ; g 0 (1) et g 00 (1) :
On remarque que: f (0) = 1 ) g (1) = 0: En plus on a: g 0 (y) =
1
f 0 (0)
1
f 0 (x)
=
1
f 0 (g(y))
= 12 :
f 00 (g(y)) g 0 (y)
(f 0 (g(y)))2
De même: g 00 (y) =
) g 00 (1) =
f 00 (0)
(f 0 (0))3
=
) g 0 (1) =
8
b) (1point) En déduire le développement limité de g au point 1 à l’ordre 2.
Le Dl est:
1
2
(x
1)
1)2 + o (x
4 (x
1)2 :
(2) (3points) Déterminer a; b 2 R pour qu’au voisinage de 0:
x ax3
= o x5
1 + bx2
arctan x
On a: arctan x = x
x3
3
5
+ x5 + o x5 et
x ax3
1+bx2
=x
(a + b) x3 + b (a + b) x5 + o x5 par
la division suivant les puissances croissantes.
8
< a+b 1 =0
3
ax3
5 ,
arctan x x1+bx
=
o
x
)a=
2
: b (a + b) 1 = 0
4
15
et b = 35 :
5
(3) Soit f une fonction de classe C 2 sur [0; 1], f (0) = 0:
a) (1point) Ecrire la formule de Mac-Laurin de f à l’ordre 1:
f (x) = f (0) + f 0 (0) x +
x2
f
2
268
00
( x) ; 0 <
< 1; 8x 2 [0; 1] :
b) (3points) En déduire la limite de la suite (Un )n
Un =
1
n
X
dé…nie par le terme général:
k
n2
f
k=1
;n
1:
On:
0
<
k
n2
1; 8n
k
n2
) f
)
n
X
f
k=1
f 0 (0)
1 et 8k 2 f0; 1; :::; ng
k 0
k
k 2 00
f
(0)
+
f
2
4
n
2n
n
n
n
k X
00
f
f 0 (0) X
k
n
=
k
+
k2
n2
n2
2n4
=
n (n + 1)
+
2
f 0 (0)
)
lim Un =
:
n!+1
2
=
Indication:
n
X
k=1
f
n2
k=1
k
00
n
2n4
k=1
n (n + 1) (2n + 1)
6
n
X
n (n + 1)
n (n + 1) (2n + 1)
k=
et
k2 =
:
2
6
k=1
(4) (2points+2points) Calculer les limites suivantes en utilisant la notion du développement limité.
a)
lim
x!+1
ax
+
2
bx
1
x
lim
x!+1
1
= ex
ln
1
x
ax + bx
2
ax +bx
2
= max (a; b) :
=
, b) lim tan
x!1
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
lim e
1
x
ln
tan
x
2
:
a si b = a
( )
!
b x
1+ a
x
a
2
x!+1
269
x
4
ln a
= lim e
= lim e
x!+1
x
ln 2+ x1 ( ab )
=
x!+1
1
x
= b si a < b
1
x
ln
ax
!
b x
1+ a
2
( )
a si b < a
b
x
x!1
4
tan(
) b = lim e
=
x
2
tan
lim tan
y
+2
2
on pose: y = x
y
+4
4
) ln(tan(
1
))
y!0
=
=
lim e
cot an(
y
2
y
1+tan 4
y
1 tan 4
) ln
y!0
lim e
y
1+tan 4
y
1 tan 4
2
y
1
= lim e
y!0
y
4 tan 4
y
y!0
=e
1
car: tan
w
au V (0) :
Barème: Ex 01 : 5pts ; Ex 02: 15pts.
Université de Tlemcen
Année Universitaire : 2010-2011
Faculté des sciences
MATH 2
Commun LMD ST-SM
Contrôle continu
Sujet 1
21 Mai 2011 –Durée : 1 h 30.
Exercice 01: Calculer les intégrales indé…nies suivantes:
Z
1)
2)
3)
Z
dx
.
2 sin x + cos x
1
sin4 x cos2 x dx :
Z
x2
x+6
dx .
+x+1
Exercice 02: Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
E1 = (a; b; b
a) 2 R3 = a; b 2 R
avec E2 est un s-ev de R3 :
(1) Montrer que E1 est un s-ev de R3 :
270
et E2 = (a; b; a) 2 R3 = a; b 2 R :
(2) Déterminer une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
(3) En déduire dim E1 et dim E2 :
(4) Est ce que: R3 = E1 + E2 ? justi…er votre réponse.
(5) Déterminer E1 \ E2 :
(6) Déduire si la somme est directe ou non.
Exercice 03: (1) Citer les développements limités à l’ordre 4 au voisinage de 0 des fonctions suivantes:
(1) f (u) = sin u
, (2) g (u) = ln (1 + u)
(2) Déduire les développements limités à l’ordre 3 au voisinage de 0 des fonctions:
sin x
k (x) = ln (1 + sin x) ; h (x) = e
et L (x) =
sin x
x
1
x2
:
Barème: Ex 01 : pts ; Ex 02: pts ; Ex 03: pts.
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Année Universitaire : 2010-2011
MATH 2
Faculté des sciences
Contrôle continu
Tronc Commun LMD ST-SM
Sujet 1
21 Mai 2011 –Durée : 1 h 30.
Exercice 01: (8 points) Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
E1 = (a; b; b
a) 2 R3 = a; b 2 R
et E2 = (a; b; 2a) 2 R3 = a; b 2 R :
avec E2 s-e-v de R3 :
(1) (1point) Montrer que E1 est un s-e-v de R3 :
(2) (2points) Déterminer une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
271
(3) (1point) En déduire dim E1 et dim E2 :
(4) (2points) A-t-on: R3 = E1 + E2 ? Justi…er votre réponse.
(5) (1point) Déterminer E1 \ E2 :
(6) (1point) Déduire si la somme est directe ou non.
Exercice 02: (12 points) (1) (1.5 point+1.5 point) Citer les développements limités à l’ordre 4 au voisinage de
0 des fonctions suivantes:
(1) f (u) = sin u
(2) g (u) = ln (1 + u) :
(2) (2points+2 points) Calculer les développements limités à l’ordre 3 au voisinage de
0 des fonctions suivantes:
k (x) = ln (1 + sin x)
h (x) = esin x
(3) (3points) Calculer le développement limité à l’ordre 3 au point 0 de la fonction M
dé…nie par:
M (x) = 1 + x + x2
1
x
:
(4) (2points) Calculer l’intégrale indé…nie suivante:
Z
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xdx
:
(2 x)2
Année Universitaire : 2010-2011
MATH 2
Contrôle continu - Sujet 1 - Le Corrigé.
21 Mai 2011 –Durée : 1 h 30.
272
Exercice 01: (8 points) Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
a) 2 R3 = a; b 2 R
E1 = (a; b; b
et E2 = (a; b; 2a) 2 R3 = a; b 2 R :
avec E2 s-e-v de R3 :
(1) (1point) Montrons que E1 est un s-e-v de R3 :
a) E1 6= ;?
(0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ;:
b) 8 u1 ; u2 2 E1 ) u1 + u2 2 E1 ?
Soient u1 ; u2 2 E1 ) u1 = (a1 ; b1 ; b1
a1 ) et u2 = (a2 ; b2 ; b2
) u1 + u2 = ((a1 + a2 ) ; (b1 + b2 ) ; (b1 + b2 )
a2 )
(a1 + a2 )) 2 E1
c) 8 u 2 E1 ; 8 2 R ) u 2 E1 ?
Soient u 2 E1 et
2 R ) u = (a; b; b
) u = ( a; b; b
a)
a) 2 E1
Conclusion: E1 est un s-ev de R3 :
(2) (2points) Déterminons une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
a)
u 2 E1 ) u = (a; b; b
a) = a (1; 0; 1) + b (0; 1; 1)
alors B1 = f(1; 0; 1) ; (0; 1; 1) g engendre E1 : mais:
(1; 0; 1) +
(0; 1; 1) = (0; 0; 0) )
=
=0
alors les deux vecteurs de B1 sont linéairements indépendants.
Ce qui implique que B1 = f (1; 0; 1) ; (0; 1; 1)g est une base de E1 :
b)
273
u 2 E2 ) u = (a; b; 2a) = a (1; 0; 2) + b (0; 1; 0)
alors B2 = f (1; 0; 2) ; (0; 1; 0)g engendre E2 : mais:
(1; 0; 2) +
(0; 1; 0) = (0; 0; 0) )
=
=0
alors les deux vecteurs de B2 sont linéairements indépendants.
Ce qui implique que B2 = f (1; 0; 2) ; (0; 1; 0)g est une base de E2 :
(3) (1 point) En déduire dim E1 et dim E2 :
dim E1 = 2 et
dim E2 = 2:
(4) A-t-on: R3 = E1 + E2 ? Justi…er votre réponse.
a) (0,5 point) "
R3 et E2
" E1
R3 ) E1 + E2
R3 :
b) (1.5 point) " " soit u 2 R3 ) u = (x; y; z) = (a; b; b a) + ( ; ; 2 )
8
8
>
>
>
>
x
=
a
+
= x z
>
>
<
<
)
) pour b = 0 par exemple on trouve
y =b+
a = 2x + z
>
>
>
>
>
>
: z=b a 2
:
=y
) u = (x; y; z) = (2x + z; 0; 2x
z) + ( x
z; y; 2x + 2z)
2 E1 + E2 d’où: R3 = E1 + E2 :
(5) (1point) Déterminons E1 \ E2 :
si
b
:
a =
u 2 E1 \ E2 ) u = (a; b; b
2a ) a =
a) et u = (a; b; 2a)
b ) E1 \ E2 = f( b; b; 2b) ; b 2 Rg = fb ( 1; 1; 2) ; b 2 Rg
(6) (1point) Déduire si la somme est directe ou non.
274
dim E1
=
2 et
dim E2 = 2
) dim E1 + dim E2 = 4 6= dim R3 = 3
ou bien
E1 \ E2 6= f(0; 0; 0)g
ce qui implique que la somme n’est pas directe.
Exercice 02: (12 points) (1) (1.5 point+1.5 point) Citer les développements limités à l’ordre 4 au voisinage
de 0 des fonctions suivantes:
(1) f (u) = sin u
(2) g (u) = ln (1 + u) :
En e¤et:
f (u) = sin u = u
u3
6
+ u4 "1 (u) avec lim "1 (u) = 0
u!0
u2
2
g (u) = ln (1 + u) = u
+
u3
3
u4
4
+ u4 "2 (u) avec lim "2 (u) = 0
u!0
(2) (2points+2points) Calculer les développements limités à l’ordre 3 au voisinage de
0 des fonctions suivantes:
k (x) = ln (1 + sin x) ; h (x) = esin x
En e¤et:
k (x) = ln (1 + sin x) =
= x
x
x3
6
x2 x3
+
+ x3 "3 (x) avec lim "2 (x) = 0
x!0
2
3
x2 x3
+
+ x3 "3 (x) avec lim "2 (x) = 0
x!0
2
6
275
et
h (x)
u2 u3
+
+ u3 "4 (u) avec lim "4 (u) = 0
u!0
2
6
2
3
x
x
+
+
+ x3 "5 (x) avec lim "5 (u) = 0
u!0
2
6
esin x on a: eu = 1 + u +
=
x3
6
) esin x = 1 + x
=
1+x+
x2
+ x3 "5 (x) avec lim "5 (u) = 0
u!0
2
(3) (3points) Calculer le développement limité à l’ordre 3 au point 0 de la fonction M
dé…nie par:
M (x) = 1 + x + x2
1
x
M (x) = 1 + x + x2
1 2
2u
On a: ln (1 + u) = u
1
x
:
1
2
= e x ln(1+x+x )
+ 31 u3
1 4
4u
+ u4 " (u) ! 0 qd u ! 0
( à l’ordre 4), donc si on
pose: u = x + x2
2 3
x4
3x + 4
2
on trouve: ln 1 + x + x2 = x + x2
+ x4 "1 (x) (on tronque que les termes d’ordre
4)
)
1
x
ln 1 + x + x2 = 1 + x2
2 2
3x
3
+ x4 + x3 "1 (x) mais: eu = 1 + u + 2!1 u2 + 3!1 u3 + u3 "2 (u)
avec "2 (u) ! 0 qd u ! 0 ( à l’ordre 3).
1
x
2
) e x ln(1+x+x ) = e1+ 2
2 2 x3
x + 4 +x3 "1 (x)
3
x
= e e2
2 2 x3
x + 4 +x3 "1 (x)
3
Donc il su¢ t de remplaçer dans le D.L de eu le u par
termes d’ordre
x
2
2 2
3x
+
x3
4
(on tronque que les
3)
) M (x) = e 1 +
x
2
13 2
24 x
1 3
16 x
+ x3 " (x)
1. (4) (2points) Calculer l’intégrale indé…nie suivante:
Z
Z
xdx
=
(2 x)2
Z
x
Université de Tlemcen
2 + 2dx
=
(2 x)2
Z
xdx
:
(2 x)2
Z
dx
dx
+2
= ln jx
(x 2)
(2 x)2
Année Universitaire : 2009-2010
276
2j+
2
2
x
+c; c 2 R
Faculté des sciences
MATH 2
Commun LMD ST-SM
Contrôle continu
08 Mai 2010 –Durée : 1 h 30.
Exercice 01: (1) Ecrire en fonction de x les deux fonctions: cos (arcsin x) et sin (arccos x) :
(2) Résoudre dans R l’équation:
arcsin x = arcsin
4
3
+ arcsin
5
5
(3) Montrer que:
arccos x + arcsin x =
2
:
Exercice 02: Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
E1 = (a + b; b
3a; a) 2 R3 = a; b 2 R
et E2 = (c; 2c; c) 2 R3 = c 2 R :
avec E2 est un s-ev de R3 :
(1) Montrer que E1 est un s-ev de R3 :
(2) Déterminer une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
(3) En déduire dim E1 et dim E2 :
(4) Montrer que: R3 = E1 + E2 :
(5) Déduire si la somme est directe ou non.
Exercice 03: Calculer les intégrales indé…nies suivantes:
1) I1 =
2) I2 =
Z
Z
x2
sin2 3x dx .
x+3
dx:
x+5
277
3) I3 =
Z
dx
1 + sin x
cos x
en utilisant le changement de variable: x = 2 arctan z:
4) I4 =
Barème: Exercice 01: 5pts ;
Université de Tlemcen
Z
cos 2x e3x dx .
Exercice 02: 7pts ;
Exercice 03: 8pts.
Année Universitaire : 2009-2010
Faculté des sciences
MATH 2
Tronc Commun LMD ST-SM
Contrôle continu ( Le corrigé)
Exercice 01: (1) (2points) Ecrire en fonction de x les deux fonctions: cos (arcsin x) et sin (arccos x) :
on a
puisque
:
cos2 y + sin2 y = 1 ) cos y =
sin2 y
) cos (arcsin x) 0
2 q
p
) cos (arcsin x) = 1 sin2 (arcsin x) = 1 x2
p
p
de même : sin y =
1 cos2 y ) sin (arccos x) = 1 cos2 arccos x
p
) sin (arccos x) = 1 x2 car: 0 (arccos x)
2
(arcsin x)
q
1
(2) (2points) Résoudre dans R l’équation:
4
3
+ arcsin
5
5
On a : sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
4
3
) sin arcsin x = x = sin arcsin + arcsin
5
5
4
3
4
3
= sin arcsin
cos arcsin
+ cos arcsin
sin arcsin
5
5
5
5
r
r
4
9
16 3
16
9
=
1
+ 1
=
+
= 1 ) x = 1:
5
25
25 5
25 25
arcsin x
=
arcsin
278
(3) (1point) Montrer que:
:
2
Si on pose : f (x) = arccos x + arcsin x
1
1
+p
=0
) f 0 (x) = p
1 x2
1 x2
arccos x + arcsin x
=
) f (x) = c, c est une constante, mais f (0) =
) f (x) = arccos x + arcsin x =
2
2
:
Exercice 02: Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
E1 = (a + b; b
3a; a) 2 R3 = a; b 2 R
et E2 = (c; 2c; c) 2 R3 = c 2 R :
avec E2 est un s-ev de R3 :
(1)(1 point) Montrons que E1 est un s-ev de R3 ?:
a) E1 6= ;?
(0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ;
b) 8 u1 ; u2 2 E1 ) u1 + u2 2 E1 ?
Soient u1 ; u2 2 E1 ) u1 = (a1 + b1 ; b1
3a1 ; a1 ) et u2 = (a2 + b2 ; b2
) u1 + u2 = ((a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) ; (b1 + b2 )
3a2 ; a2 )
3 (a1 + a2 ) ; (a1 + a2 )) 2 E1
c) 8 u 2 E1 ; 8 2 R ) u 2 E1 ?
Soient u 2 E1 et
2 R ) u = (a + b; b
) u = ( a + b; b
3a; a)
3 a; a) 2 E1
Conclusion: E1 est un s-ev de R3 :
(2) (2 points) Déterminons une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
a)
u 2 E1 ) u = (a + b; b
3a; a) = a (1; 3; 1) + b (1; 1; 0)
279
alors B1 = f(1; 3; 1) ; (1; 1; 0) g engendre E1 : mais:
(1; 3; 1) +
(1; 1; 0) = (0; 0; 0) )
=
=0
alors les deux vecteurs de B1 sont linéairements indépendants.
Ce qui implique que B1 = f (1; 3; 1) ; (1; 1; 0)g est une base de E1 :
b)
u 2 E2 ) u = (c; 2c; c) = c (1; 2; 1)
alors B2 = f (1; 2; 1)g engendre E2 : mais:
(1; 2; 1) = (0; 0; 0) )
=0
Ce qui implique que B2 = f (1; 2; 1)g est une base de E2 :
(3) (1 point) En déduire dim E1 et dim E2 :
dim E1 = 2 et
dim E2 = 1:
(4) (1.5 point) Montrer que: R3 = E1 + E2 :
a)"
" E1
R3 et E2
R3 ) E1 + E2
R3 :
b) " " soit u 2 R3 ) u = (x; y; z) = (a + b; b 3a; a) + (c; 2c; c)
8
8
>
>
>
>
b=x z
x
=
a
+
b
+
c
>
>
<
<
)
y = x z a 2z ) a = y + x 3z
y = b 3a 2c )
>
>
>
>
>
>
:
: c = z a = z ( y + x 3z) = x + y + 4z
z =a+c
) u = (x; y; z) = (2x
y
4z; 2x + 3y
8z; y + x
3z) +
( x + y + 4z; 2 ( x + y + 4z) ; x + y + 4z)
2 E1 + E2 d’où: R3 = E1 + E2 :
(5)
On déduire que: R3 = E1
E2 :
280
(a) (0.5)
dim E1
=
2 et
dim E2 = 1
) dim E1 + dim E2 = 3 = dim R3 = 3
ou bien on a
:
R3 = E1 + E2 ::
point) sur l’intersection:
E1 \ E2
=
f(0; 0; 0)g car: f(0; 0; 0)g
E1 \ E2
car E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels.
De plus si:
u 2 E1 \ E2 ) u = (a + b; b 3a; a) et u = (c; 2c; c)
8
8
>
>
>
>
a
+
b
=
c
b=0
>
>
<
<
)
b 3a = 2c )
a=0
>
>
>
>
>
>
:
:
a=c
c=0
8
8
3
<
< dim E1 + dim E2 = dim R3
R = E1 + E2
)
ou bien
: E \ E = f(0; 0; 0)g
:
E1 \ E2 = f(0; 0; 0)g
1
2
la somme est directe R3 = E1
E2 :
Exercice 03:
(1) (2 points)
I1
Z
sin2 3x dx on pose: y = 3x ) dy = 3dx
Z
1
sin2 y dy
) I1 =
3
Z
1 1
(1 cos 2y) dy
=
3 2
Z
1
=
(1 cos 2y) dy
6
Z
Z
1
1
=
dy
cos 2y dy
6
6
1
1
1
1
=
y
sin 2y + c = x
sin 6x + c
6
12
2
12
=
281
(2) (2 points)
Z
x+3
dx:
x+5
1
2x + 6
dx
2
x2 x + 5
Z
1
2x 1 + 7
dx
2
x2 x + 5
Z
Z
2x 1
7
1
dx +
2
x2 x + 5
2
x2
2) I2 =
=
=
=
x2
Z
1
dx
x+5
mais:
Z
1
dx
=
x2 x + 5
x2
Z
1
=
dx
2
x 12 + 19
4
Z
4
1
=
dx
4 2x 1 2
19
+
1
2
Z 19
4
1
=
dx
2
19
2x
p 1
+1
19
k =
Z
p 1 = y )dx =
on pose : 2x
19
1
x+
1
4
1
4
+5
dx
p
19
2 dy
p Z
19
4
1
) k=
dy
2
19
2
y +1
2
= p arctan y + c1
19
2
2x 1
= p arctan p
+ c1
19
19
conclusion:
I2 =
1
log x2
2
x+5
7
+ p arctan
19
282
2x 1
p
19
+ c; ; c 2 R
(3) (2points)
3) I3
=
on pose
:
Z
dx
1 + sin x
cos x
en utilisant le changement de variable: x = 2 arctan z
x = 2 arctan z ) z = tan
x
2
dz
) dx =
2
1 + z2
2z
1 z2
et
cos
x
=
:
1 + z2
1 + z2
Z
Z
2
1
1+z 2
dz
) I3 =
dz
=
2
2z
1 z2
2z
+
2z 2
1 + 1+z 2 1+z 2
Z
Z
Z
1
1
1
=
dz =
dz
dz
z (1 + z)
z
(1 + z)
tan x2
z
= ln jzj ln j1 + zj + c = ln
+ c = ln
+c
1+z
1 + tan x2
sin x
=
(4) (2 points)
I4
=
Par parties on pose
:
Z
cos 2x e3x dx
f (x) = cos 2x et g 0 (x) = e3x
1
2 sin 2x dx et g (x) = e3x
3
Z
) I4 = f (x) g (x)
f 0 (x) g (x) dx
Z
1
2
3x
) I4 = cos 2x e +
sin 2x e3x dx
3
3
Une autre fois par parties on pose : h (x) = sin 2x et k 0 (x) = e3x
1
) h 0 (x) = 2 cos 2x dx et k (x) = e3x
3
) f
1
3
) I4 =
) I4 =
) I4 =
) I4 =
cos 2x e3x +
1
3
cos 2x e3x +
1
3
cos 2x e3x + 92 sin 2x e3x
1
3
cos 2x
R
h (x) k (x)
1
3
9
13
2
3
2
3
sin 2x e3x
2
3
4
9 I4
R
0
(x) =
h 0 (x) k (x) dx
cos 2x e3x dx
e3x + 29 sin 2x e3x + c
Université de Tlemcen
Année Universitaire:2008-2009
283
Faculté des sciences
Le: 13 - 09- 2009.
Commun LMD ST-SM
Examen de Rattrapage
Module: MATH 2
Durée: 1h.30
Exercice 01: (1) Déterminer le développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction:
f (x) = ln (1 + x) :
(2) La même question pour la fonction:
g (x) = ln (cos x ) :
(3) Déduire le développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction:
k (x) = e
ln(cos x )
:
Exercice 02: Calculer les intégrales indé…nies suivantes:
I1 =
Z
x2
Z
et I2 = :
1
dx
2x + 5
1
dx
3 + cos x
Exercice 03: Résoudre l’équation suivante:
y
0
y = ex arctan x .
Exercice 04: On considère l’application linéaire dé…nie par:
f
:
R3 ! R3
(x; y; z) 7! f (x; y; z) = (2x
y + z; 3x
y
z; 4x + y + z)
(1) Trouver la matrice M associée à f relativement à la base canonique B de R3 :
284
(2) Soit B1 = fu1 ; u2 ; u3 g une base de R3 avec u1 = (2; 1; 2) ; u2 = (1; 0; 1) et u3 =
(3; 1; 2) :
a) Trouver la matrice de passage P de la base canonique de R3 à la base B1 :
1
0
1
C
B
C
B
b) Si V est de composante B 1 C dans la base canonique, déterminer alors les composantes
A
@
3
de V dans la base B1 :
c) Trouver la matrice N associée à f relativement à la base B1 :
Barème: EX1: 4 pts
EX2: 4 pts
EX3: 4 pts
Université de Tlemcen
Année Universitaire : 2008-2009
Faculté des sciences
EX4: 8 pts.
MATH 2
Tronc Commun LMD ST-SM
Rattrapage ( Le corrigé)
Exercice 01: (1) (1 point)
ln (1 + x)
aveco x3
x2 x3
+
+ o x3
2
3
! 0 qd x ! 0
=
x
(2) (0.5pt +1pt)
on a
x2
+ o x3
2
x2
) ln (cos x) =
+ o x3 :
2
:
cos x = 1
285
(3) (0.5pt + 1pt)
on a
:
eu = 1 + u +
u2 u3
+
+ o x3
2
6
) k (x) = e ln(cos x )
x2
= 1
+ o x3
2
Exercice 02:
(1) (2 points)
I1 =
=
=
=
Z
Z
1
dx =
x2 2x + 5
x2
Z
1
dx
(x 1)2 + 4
Z
1
1
dx
1
4 4 (x 1)2 + 1
Z
1
1
dx
2
x
1
4
+1
1
dx
2x + 1 + 4
2
on pose :
x 1
2
= y )dx = 2dy
Z
2
1
) k=
dy
2
4 y +1
1
=
arctan y + c1
2
1
x 1
arctan
+ c1 ; c1 2 R
=
2
2
(2) (2 points)
286
I2
=
on pose
:
Z
1
dx
3 + cos x
x = 2 arctan z ) z = tan
x
2
1 z2
2
dz
et
cos
x
=
1 + z2
1 + z2
Z
2
1+z 2
) L=
2 dz
3 11+zz 2
Z
2
=
dz
2
3 (1 + z ) 1 + z 2
Z
Z
1
2
dz =
dz
=
p 2
2
4z + 2
2z + 1
p
1
= p arctan
2z + c; c 2 R
2
p
1
x
= p arctan
+ c; c 2 R
2 tan
2
2
) dx =
Exercice 03:
1)
y0
y = ex arctan x: c’est une équation linéaire du premier ordre.
1ere - étape: La solution de l’équation sans seconde membre. (1point)
y0
y
y1
dy
=y
dx
Z
Z
dy
dy
)
= dx )
= dx
y
y
) ln jyj = x + c; c 2 R
=
0)
=
k ex ; k 2 R solution de l’équation sans seconde membre.
2eme - étape: La solution de l’équation avec seconde membre. (3points)
y0
y = ex arctan x: (1)
287
par la méthode de la variation de la constante:
y2
k (x) ex est une solution particulière de (1) :
=
) y20
y2 = ex arctan x
) k 0 (x) ex +k (x) ex -k (x) ex =ex arctan x
Z
Z
0
0
) k (x) = arctan x ) k (x) dx = arctan x dx
par partie on pose:
0
f (x)
=
arctan x ! f
g 0 (x)
=
1 ! g (x) = x
1
1 + x2
(x) =
Z
) k (x) = x arctan x
x
dx
1 + x2
1
ln 1 + x2 + ;
2
) k (x) = x arctan x
1
ln 1 + x2 +
2
) y2 = x arctan x
2R
ex ;
2R
conclusion: la solution générale est dé…nie par:
y = x arctan x
1
ln 1 + x2 +
2
ex ;
2 R:
Exercice 04: On considère l’application linéaire dé…nie par:
f
:
R3 ! R3
(x; y) 7! f (x; y; z) = (2x
y + z; 3x
Soient B = fe1 ; e2 ; e3 g la base canonique de R3 :
288
y
z; 4x + y + z)
(1)(1.5point) Donner la matrice M associée à f relativement à la base B:
f (e1 )
=
(2; 3; 4) ; f (e2 ) = (
0
2
1 1
B
B
) M =B 3
1
1
@
4 1
1
1; 1; 1) ; f (e3 ) = (1; 1; 1)
1
e
C 1
C
C e2
A
e3
f (e1 ) f (e2 ) f (e3 )
(2) Soient B1 = fu1 ; u2 ; u3 g une base de R3 avec u1 = (2; 1; 2) ; u2 = (1; 0; 1) et u3 =
(3; 1; 2) :
a)(1point) Trouver la matrice de passage P de la base B à la base B1 :
P
0
B
B
b)(3.5points) Si V est de composante B
@
dans la base B1 :
1
0
B
B
= B
@
2
1
3
1
e
C 1
C
1 0 1 C e2
A
2
1 2
e3
u1 u2 u3
1
C
C
1 C dans la base B, déterminer alors les composantes de V
A
3
V B1 = P
289
1
VB
calculons alors la matrice inverse de P :
det P
=
1
2
1
1
la comatrice
:
V B1
=
1
0
1
B
B
com P = B
@
) P
P
1
1
3
+1
5
1
4
1
0
1
= 0 + 7 + 7 = 14
1
1
0
1
C
B
C t
B
0 C ) (com P ) = B 0
A
@
1
5 1
0
10
1
0
1
4
1 t
(com P ) ) P
det P
=
3
+1
5
14
1
14
B
B
VB = B 0
@
5
14
10
14
1
14
1
14
1
14
0
1
14
1
B
B
=B 0
@
10
CB
CB
CB
A@
1
14
1
5
14
5
10
0
1
14
10
14
1
14
0
1
5
14
0
9
14
C B
C B
1 C=B
A @
3
25
14
4
14
1
1
1
C
C
5 C
A
1
C
C
C
A
1
C
C
C
A
c)(2points) Trouver la matrice N associée à f relativement à la base B1 :
N
= P
0
1
0
1
14
B
B
MP = B 0
@
1
14
5
14
1
B 14
B
= B 0
@
1
14
10
14
0
1
14
5
14
1
14
5
14
1
14
Commun LMD ST-SM
2
1
CB
CB
CB 3
1
A@
1
0
4 1
14
10
1 0
3 1 7
CB
C B
CB
C B
CB 9 4 6 C = B
A@
A @
5 3 15
10
14
5
14
Université de Tlemcen
Faculté des sciences
10
1
10
CB
CB
1 CB
A@
1
37
14
16
14
65
14
25
14
8
14
4
14
2
1
1
8
14
15
14
22
14
1
C
C
1 C
A
1 2
1
0
2
3
C
C
C
A
Année Universitaire:2009-2010
Le: 26 - 09- 2010.
Examen de Rattrapage
Module: MATH 2
Durée: 1h.30
290
Exercice 01: Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
E1 = (3a + b; b
a; a) 2 R3 = a; b 2 R
et E2 = (c; 2c; 5c) 2 R3 = c 2 R :
avec E2 est un s-ev de R3 :
(1) Montrer que E1 est un s-ev de R3 :
(2) Déterminer une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
(3) En déduire dim E1 et dim E2 :
(4) Déduire si la somme est directe ou non.
Exercice 02: Calculer les intégrales indé…nies suivantes:
I1 =
Z
x2
Z
1
dx , I2 = : cos4 x dx
4x + 7
Z
et I3 = :
sin x
dx
sin x + cos x
Exercice 03: 1) Répondre par vrai ou faux et justi…er votre réponse:
(1pt) 1) A2
(1pt)
=
A ) A = I ou A = 0
2) A diagonale ) A B = B A
(1pt) 3) A B
=
B A et A
1
existe ) A
2)(2pts) Calculer l’inverse de la matrice:
0
B
B
X=B
@
1
2
1
2x
arctan x .
C
C
3 C
A
2
1 7
4
1
5
Exercice 03: Résoudre les équations suivantes:
(1)
(2) y
00
y 0+2 y = e
+ 2y 0 + y =
291
x2 + 1 : cos x
1
B=B A
1
Barème: EX1: 4 pts
EX2: 5 pts
Université de Tlemcen
EX3: 5 pts
EX4: 6 pts.
Année Universitaire:2009-2010
Faculté des sciences
Le: 26 - 09- 2010.
Commun LMD ST-SM
Examen de Rattrapage (Le corrigé)
Module: MATH 2
Durée: 1h.30
Exercice 01: Dans R3 on considère les sous ensembles suivants:
E1 = (3a + b; b
a; a) 2 R3 = a; b 2 R
et E2 = (c; 2c; 5c) 2 R3 = c 2 R :
avec E2 est un s-ev de R3 :
(1)(1 point) Montrons que E1 est un s-ev de R3 ?:
a) E1 6= ;?
(0; 0; 0) 2 E1 ) E1 6= ;
b) 8 u1 ; u2 2 E1 ) u1 + u2 2 E1 ?
Soient u1 ; u2 2 E1 ) u1 = (3a1 + b1 ; b1
a1 ; a1 ) et u2 = (3a2 + b2 ; b2
) u1 + u2 = (3 (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) ; (b1 + b2 )
a2 ; a2 )
(a1 + a2 ) ; (a1 + a2 )) 2 E1
c) 8 u 2 E1 ; 8 2 R ) u 2 E1 ?
Soient u 2 E1 et
2 R ) u = (3a + b; b
) u = (3 a + b; b
a; a)
a; a) 2 E1
Conclusion: E1 est un s-ev de R3 :
(2) (1 points) Déterminons une base B1 de E1 et une base B2 de E2 :
a)
u 2 E1 ) u = (3a + b; b
a; a) = a (3; 1; 1) + b (1; 1; 0)
292
alors B1 = f(3; 1; 1) ; (1; 1; 0) g engendre E1 : mais:
(3; 1; 1) +
(1; 1; 0) = (0; 0; 0) )
=
=0
alors les deux vecteurs de B1 sont linéairements indépendants.
Ce qui implique que B1 = f (3; 1; 1) ; (1; 1; 0)g est une base de E1 :
b)
u 2 E2 ) u = (c; 2c; 5c) = c (1; 2; 5)
alors B2 = f (1; 2; 5)g engendre E2 : mais:
(1; 2; 5) = (0; 0; 0) )
=0
Ce qui implique que B2 = f (1; 2; 5)g est une base de E2 :
(3) (1 point) En déduire dim E1 et dim E2 :
dim E1 = 2 et
(4) (1pt) On déduire que: R3 = E1
dim E2 = 1:
E2 :
(a)
dim E1
=
2 et
dim E2 = 1
) dim E1 + dim E2 = 3 = dim R3 = 3
293
(b) :
E1 \ E2
=
f(0; 0; 0)g car: f(0; 0; 0)g
E1 \ E2
car E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels.
De plus si:
u 2 E1 \ E2 ) u = (3a + b; b
8
8
>
>
>
>
3a
+
b
=
c
b=0
>
>
<
<
)
b a = 2c )
a=0
>
>
>
>
>
>
:
: c=0
a = 5c
8
< dim E1 + dim E2 = dim R3
)
:
E \ E = f(0; 0; 0)g
1
a; a) et u = (c; 2c; 5c)
2
la somme est directe R3 = E1
E2 :
Exercice 02: Calculer les intégrales indé…nies suivantes:
I1 =
Z
x2
Z
1
dx , I2 = : cos4 x dx
4x + 7
1) (1.5 pt)I1 =
on pose :
xp 2
3
Z
x2
= y )dx =
p
Z
1
dx =
4x + 7
(x
Z
et I3 = :
1
1
dx=
2
3
2) + 3
3dy
Z
1
1
) I1 = p
dy
2
3 y +1
1
= p arctan y + c1
3
1
x 2
= p arctan p
+ c1
3
3
294
sin x
dx
sin x + cos x
Z
1
xp 2
3
2
dx=
+1
(2) (2 points)
I
=
=
=
=
Z
Z
cos4 x dx =
Z
cos2 x
1
(1 + cos 2x)
2
Z
2
2
dx
dx
1
1 + 2 cos 2x + cos2 2x dx
4
Z
Z
Z
1
1
1
dx +
cos 2x dx +
cos2 2x dx
4
2
4
mais:
Z
2x dans: cos2 2x dx
Z
Z
1
2
)
cos 2x dx =
cos2 t dt
2
Z
1
1
=
(1 + cos 2t) dt
2
2
1
1
=
t + sin 2t + c1
4
8
1
1
=
x + sin 4x + c1
2
8
si on pose t
=
alors:
I =
=
1
x+
4
3
x+
8
1
sin 2x +
4
1
sin 2x +
4
1 1
1
x + sin 4x + c; c 2 R
4 2
8
1
sin 4x + c; c 2 R
32
(3) (1.5 point)
I3
=
Si on pose
:
alors
:
Z
:
sin x
dx
sin x + cos x
Z
cos x
I4 = :
dx
sin x + cos x
8
<
I3 + I4 = x
: I
I = ln (sin x + cos x)
4
) I3 =
3
1
[x
2
295
ln (sin x + cos x)] :
Exercice 03: Répondre par vrai ou faux et justi…er votre réponse:
1) A2 = A ) A = I ou A = 0 (1pt)
0
C’est faux car pour A = @
1
1 0
A on a:A2 = A maisA 6= I et A 6= 0
0 0
2) A diagonale ) A B = B A (1 pt)
0
C’est faux car si: A = @
A B
=
1
a 0
A et B = @
0 b
0
@
0
1
0
1
a a
b
1 1
1
A on a:
0
A et B A = @
0
a b
a
0
1
A
) A B 6= B A avec A est une matrice diagonale.
3) A B = B A et A
Si A B = B A et A
1
existe) A
1
1
existe ) A
B=A
1
0
2
1
B=B A
B A A
1
=A
1
1
(1pt)
A B A
cqfd.
2)(2pts) Calculer l’inverse de la matrice:
B
B
X=B
@
det X =
7 3
1 7
4
2
+
5
5 2
X
1
1
=
5
1
1
1
C
C
3 C
A
2
+4
2
1 t
comX
det X
296
2
7
1
3
= 60
1
=B A
1
0
B
B
comX = B
@
1
)X
=
1
14
9
6
13
0
33
C
C
1 C
A
9
2
1
9
1 B
B
B 14
60 @
33
1
13
1
C
C
2 C
A
9
6
1
Exercice 03: Résoudre les équations suivantes:
(1)
(2) y
00
y 0+2 y = e
2x
arctan x .
+ 2y 0 + y = cos x
(1)
y 0+2 y =e
2x
arctan x .
1ere - étape: La solution de l’équation sans seconde membre. (1point)
y 0 + 2y
y1
=
0)
dy
=
dx
2y
Z
dy
dy
)
= 2dx )
=
y
y
) ln jyj = 2x + c; c 2 R
=
k
e
2x
Z
2dx
; k 2 R solution de l’équation sans seconde membre.
2eme - étape: La solution de l’équation avec seconde membre. (1.75point)
y 0+2 y =e
297
2x
arctan x : (1)
par la méthode de la variation de la constante:
y2
=
k (x) e
) y20
2x
est une solution particulière de (1) :
2y2 = e
) k 0 (x) e
2x
arctan x
2x
-2k (x) e 2x + 2k (x) e 2x =e 2x arctan x
Z
Z
0
0
) k (x) = arctan x ) k (x) dx = arctan dx
par partie on pose:
0
f (x)
=
arctan x ! f
g 0 (x)
=
1 ! g (x) = x
1
1 + x2
(x) =
) k (x) = x arctan x
Z
1
ln 1 + x2 + ;
2
) k (x) = x arctan x
) y2 = x arctan x
x
dx
1 + x2
1
ln 1 + x2 +
2
2R
e
2x
;
2R
conclusion (0.25 pt): la solution générale est dé…nie par:
y = x arctan x
1
ln 1 + x2 +
2
e
2x
;
2 R:
(2)
y
00
+ 2y 0 + y = cos x . (3)
1ere - étape: La solution de l’équation sans seconde membre. (1point)
+2 y 0+ y
=
0 (4)
l’équation caractéristique est donnée par
:
r2 + 2r + 1 = 0 ) 4 = 0
y
00
) r0 =
d’où la solution de (4) est dé…nie par
y1 = (c1 + c2 x) e
298
:
x
; c 1 ; c2 2 R
1 est une racine double
2eme - étape: La solution de l’équation avec seconde membre. (1.75point)
la méthode de la solution particulière:
y2
=
(a cos x + b sin x) ; est une solution de (3)
) y2 00 + 2 y2 0 + y2 = cos x
) ( a + 2b + a) cos x + (b
1
) b = ;a = 0
2
1
) y2 = sin x
2
2a + b) sin x = cos x
Conclusion: (0.25) la solution générale est dé…nie par:
y = y1 + y2 :
Université de Tlemcen
Faculté des sciences
Commun LMD ST-SM
Année Universitaire:2009-2010
Le: 23 - 09- 2010
Examen de Rattrapage
Module: MATH 1
Durée: 1h 30
Exercice 01: soit S la relation dans R dé…nie par:
a S b , a3
b3 = a
b
(1) (1.5pt) Montrer que S est une relation d’équivalence.
(2) (2.5pts) Discuter suivant la valeur de m le nombre d’éléments contenus dans la classe
de m .
Exercice 02:
Soit la fonction :
8
< x2 sin 1 si x 6= 0
x
g :R ! R; x 7! f (x) =
:
0 si x = 0
(1) (1.5pt) Etudier la continuité de la fonction f sur R:
299
(2) (1.5 pt) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:
(3) (1.5pt) f est-elle de classe C 1 ?
Exercice 03:
(1) (2pts) Montrer que: si n 2 N ; 2n
1 est un nombre premier alors n est premier:
(2) Soit g : ]0; +1[ ! R une fonction dé…nie par: g (x) =
1
x
ln x:
a) (1.5 pt) L’équation g (x) = 0 admet-elle une solution?
b) (1.5 pt) Cette solution est-elle unique? justi…er votre réponse.
Exercice 04: Soit a 2 R et (Un )n 2 N une suite dé…nie par:
8
<
U0 = a
: U
n+1 =
4Un + 2
Un + 5 ;
n 2 N:
(1) (1.5 pt) Pour quelles valeurs dea la suite (Un )n 2 N est-elle constante ?
(2) (1.5 pt) Montrer que s’il existe n0 2 N tel que Un0 =
2; alors Un0
(3) (1.5 pt) En déduire que si U0 6=
2 , alors 8n 2 N; Un 6=
(4) ( 2pts) On suppose que U0 6=
2 et on pose : 8n 2 N; Vn =
1
2:
Un
1
Un + 2
.
Véri…er que (Vn )n 2 N est une suite géométrique.
EX1:4 pts
EX2: 4.5 pts
EX3: 5pts
EX4: 6.5 pts.
Examen de Rattrapage (solution)
Exercice 01: soit S la relation dans R dé…nie par:
a S b , a3
b3 = a
(1) Montrons que S est une relation d’équivalence.
a) S est-elle ré‡exive? (0.5pt)
300
b
=
2.
S est ré‡exive, 8a 2 R;
a S a:
8a 2 R; ) a3
a3 = a
a = 0 ) a Sa ) S est ré‡exive
1. b) S est-elle symétrique? (0.5pt)
S est symétrique, 8 (a; b) 2 R
8 (a; b)
2
R
a < b ) b < a:
R,
a <b ) a3
R;
) b3
a3 = b
b3 = a
b)
a ) b Sa ) S est symétrique.
1. c) S est-elle transitive? (0.5pt)
S est transitive, 8 (a; b; c) 2 R
8 (a; b; c)
2
R
R
R; aSb et bSc ) a Sc:
R
R;
a <b ) 8a 2 R; ) a3
b3 = a
b
et bSc ) 8a 2 R; ) b3
c3 = b
c
) a3
c3 = a
c ) a Sc ) S est transitive
1. (2) Discuter suivant la valeur de m le nombre d’éléments contenus dans la classe de m .
cl (m) =fa 2 R= mSag(0.25 pt)
mSa ,
) (m
) (a
8
<
m3
a3 = m
a (0.25 pt)
a) (m2 + am + a2 ) = (m
m) (a2 + ma + m2 ) = (a
a)
m) )
a=m
: ou a2 + ma + m2 = 1 ) a2 + ma + m2
pour 4 = m2 4 m2
p
p
3m
2 + 3m
3m2 = 2
conclusion:(2 pts)
=4
1/ Si 4 = 0 ) m =
p2
3
ou
m=
de m.
301
p2
3
1=0
1
alors on a deux éléments dans la classe
2/ Si 4 < 0 ) m 2
i
3/ Si 4 > 0 ) m 2
de m.
Exercice 02:
i
p2 ; p2
3
3
1;
h
alors on a un élément unique dans la classe de m.
h i
h
p2
p2 ; +1
[
alors on a 3 éléments dans la classe
3
3
Soit la fonction :
8
< x2 sin 1 si x 6= 0
x
g :R ! R; x 7! f (x) =
:
0 si x = 0
(1) Etudier la continuité de la fonction f sur R:
f est continue et dérivable dans R car f est bien dé…nie. (0.5)
f est continue en 0 ssi:
lim f (x) = f (0) (0.5)
x!0
lim f (x) =
x!0
lim x2 sin
x!0
1
x
= 0 car lim x2 = 0 et sin
x!0
1
est bornée. (0.5)
x
= f (0)
(2) (1.5 pt) Etudier la dérivabilité de la fonction f sur R:
f est dérivable dans R
pour x = 0 on a:
f (x)
x!0
x
lim
f (0)
1
= lim x sin = 0 ) f est dérivable en 0.
x!0
0
x
(3) (1.5pt) f est-elle de classe C 1 ?
f 0 (x)
1
1
cos
x
x
lim f 0 (x) n’existe pas
=
2x sin
)
x!0
) f n’est pas de classe C 1 :
302
Exercice 03:
(1) (2 pts) Montrons que: si n 2 N ; 2n
1 est un nombre premier alors n est premier:
par l’absurde supposons que n n’est pas premier
) 9a; b 2 N avec a 6= 1 et a 6= n et n = a:b
1 = (2a )b
) 2n
1 = 2(a:b)
= (2a
1) : (2a )b
et X 6= 2n
1
1
+ ::: + 1 = X:Y avec X 6= 1 car a 6= 1
1 car a 6= n ) 2n
1 n’est pas premier.
(2) Soit g : ]0; +1[ ! R une fonction dé…nie par: g (x) =
1
x
ln x:
a) L’équation g (x) = 0 admet-elle une solution?
La fonction g (x) est continue dans]0; +1[ (0.5 pt)
lim g (x) = +1 et
x!0
lim g (x) =
x!+1
1
lim g (x) : lim g (x) < 0 (0.5 pt)
x!+1
x!0
d’après le théorème des valeurs intermédiares 9x0 2 ]0; +1[ = g (x0 ) = 0 (0.5 pt)
b) (1.5 pt) Cette solution est-elle unique? justi…er votre réponse.
g 0 (x) =
1
x2
1
x
< 0 ) g est strictement décroissante) la solution est unique.
Exercice 04: Soit a 2 R et (Un )n 2 N une suite dé…nie par:
8
<
: U
n+1 =
U0 = a
4Un + 2
Un + 5 ;
n 2 N:
(1) (1.5 pt) Pour quelles valeurs dea la suite (Un )n 2 N est-elle constante ?
(Un )n 2 N est une suite constante, 8n 2 N; Un+1 = Un = a
,
4a + 2
= a , a = 1 ou a =
a+5
303
2
(2) (1.5 pt) Montrer que s’il existe n0 2 N tel que Un0 =
2; alors Un0
2; alors Un0 =
Supposons qu’il existe n0 2 N tel que Un0 =
) Un0
1
=
1
=
4Un0
Un0
2.
1
1
+2
+ 5
=
2
2:
(3) (1.5 pt) En déduire que si U0 6=
2 , alors 8n 2 N; Un 6=
par l’absurde supposons 9n 2 N; Un =
(4) On suppose que U0 6=
2:
2 ) Un
1
2 et on pose : 8n 2 N; Vn =
=
2 ) ::: ) U0 =
Un
1
Un + 2
2 (d’après (2))
.
Véri…er que (Vn )n 2 N est une suite géométrique bien dé…nie.
1) (1 pt) (Vn )n 2 N est une suite qui est dé…nie car d’après (3)
U0 6=
2 , alors 8n 2 N; Un 6=
2:
2) (1 pt)
Vn+1
Vn
Un+1
1
Un+1 + 2
Un
1
Un + 2
3(Un
1)
6(Un + 2)
Un
1
Un + 2
=
=
4Un
Un
4Un
Un
=
+ 2
+ 5
+ 2
+ 5
1
+2
Un
1
Un + 2
=
1
2
donc c’est une suite géométrique de raison 12 :
EX1: 4 pts
EX2: 4.5 pts
EX3: 5pts
Université de Tlemcen
Faculté des sciences
EX4: 6.5 pts .
Année Universitaire:2008-2009
Le: 07 - 05- 2009
Commun LMD ST-SM
Examen de Rattrapage
Module: MATH 1
Durée: 1h 30
Inscrire le numéro du groupe s.v.p.
*********************************
Exercice 01: (1) a) Montrer par récurrence que:8n 2 N :
b) Sachant que:
n
X
k=
n (n +1)
2
k=0
304
n
X
k=0
k2 =
n (n +1)(2n +1)
6
déduire la somme: Sn =
n
X
k (n
k).
k=0
(2) Calculer la limite suivante:
1
1
sin
x!0 x
x
p
(3) Calculer les racines cubiques de: z = 1 + i 3
lim
Exercice 02: On dé…nit dans R la relation R par:
x R y () x2
x = y2
y
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence.
_
(2) Donner 0_ et 1:
(3) Déterminer la classe d’équivalence de a 2 R.
Exercice 03: On considère la suite réelle dé…nie par:
U0 = 2;
Un+1 =
1
(2Un + 5)
3
8 n 2 N:
(1) Calculer: U1 ; U2 :
(2) Montrer que:
8n 2 N :
Un < 5 .
(3) (Un ) est-elle croissante ou décroissante? justi…er votre réponse.
(4) En déduire que (Un )n 2N est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 04: Soit f (x) = x
e
x:
on donne e
1
' 0:37
a) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle]0; 1[ :
b) Cette solution est-elle unique? justi…er votre réponse.
1. Barème: EX1: 7 pts
EX2: 5.5 pts
305
EX3: 4.5pts
EX4: 3pts.
Université de Tlemcen
Année
Universitaire:2006-2007
Faculté des sciences
Le: 03 - 09- 2007
Tronc Commun LMD ST-SM
Examen de Rattrapage
Module: MATH 1
Durée: 2h
Exercice 01: (1) Soient E un ensemble,A; B 2 P (E) :Résoudre dans P (E) l’équation suivante:
X \ A = B:
(2) Soit A1 et A2 deux parties de E .
a) Montrer que:
f (A1 \ A2 )
f (A1 ) \ f (A2 ) :
b) Donner un exemple qui prouve que le sens de l’inclusion est stricte. i.e:
f (A1 ) \ f (A2 ) n’est pas inclu dans f (A1 \ A2 ) :
Exercice 02: (1) Déterminer le développement limité à l’ordre 2 au voisinage de 1 de ln x:
(2) En déduire lim x
1
x 1
x!1
(3) Calculer la dérivée de: h (x) = arctan x1 ; x 2 R :
Exercice 03: Soit f :[a; b] ! [a; b] une fonction continue.
(1) En considérant la fonction g : g (x) = f (x)
x, montrer que f admet un point …xe.
i.e:
9 x 2 [a; b] : f (x) = x
(2) Montrer que le point …xe est unique dans chacun des cas suivants:
a) f est décroissante.
306
b)
9k 2 [0; 1[ ; 8x; y 2 [a; b] : jf (x)
f (y)j
k jx
yj
Exercice 04: (1) Soit A =f(x; ax + b) ; x 2 Rg ; a et b sont des paramètres réels.
A est-il un sous-ev de R2 ?
1. (2) Soient E un K-ev, F et G deux s-ev de E:
F [ G est -il un s-ev de E ?
Barème: EX1: 5.5 pts
EX2: 3 pts
EX3: 6 pts
EX4:
5.5 pts.
Université de Tlemcen
Année Universitaire:2006-2007
Faculté des sciences
Le: 15 - 09- 2007
Tronc Commun LMD ST-SM
Examen de Rattrapage
Module: MATH 2
Durée: 2h
Exercice 01: (1) Calculer les intégrales indé…nies suivantes:
Z
1)
Z
2)
arctan x dx
x2
x+1
dx
2x + 5
(2) Calculer les intégrales dé…nies suivantes:
I =
Z4
cos x
dx
cos x + sin x
Z4
sin x
dx
cos x + sin x
0
J
=
0
307
Exercice 02:
Calculer l’intégrale K =
ZZ
ex + y dx dy sur le carré:
D = f(x; y) = jxj + jyj
1g
Exercice 03: Résoudre l’équation suivante:
y"
2 y 0+2 y = e
x
+ x
( utiliser la méthode de la solution particulière)
Exercice 04: Soit f : R2 ! R2 dé…nie par:
f (x; y) = (x + 3y ; 2x + 2y )
Considérons les vecteurs de R2 :
u1 = (1; 2) et u2 = ( 1; 3)
1) Véri…er que f est linéaire et que fu1 ; u2 g est une base de R2 :
2) Ecrire la matrice associée à f dans la base canonique de R2 :
3) Trouver la matrice associée à f dans la base fu1 ; u2 g :
1. Barème: EX1: 7 pts
EX2: 4 pts
308
EX3: 4 pts
EX4: 5 pts.