Quelques cas de représentation des corpuscules en
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Séminaire L. de Broglie. Théories physiques G ÉRARD P ETIAU Quelques cas de représentation des corpuscules en interaction avec des champs extérieurs dans la nouvelle forme de la mécanique ondulatoire (Théorie de la double solution) Séminaire L. de Broglie. Théories physiques, tome 24 (1954-1955), exp. no 18, p. 1-13 <http://www.numdam.org/item?id=SLDB_1954-1955__24__A17_0> © Séminaire L. de Broglie. Théories physiques (Secrétariat mathématique, Paris), 1954-1955, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire L. de Broglie. Théories physiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 18-01 Faculté des Sciences de Paris Séminaire de Théories Physiques (Séminaire Louis de Année BROGLIE) 29 mars 1955 1954/55) Exposé n° 18 QUELQUES CAS DE REPRÉSENTATION EN INTERACTION AVEC DES CHAMPS LA NOUVELLE FORME DE LA (THÉORIE DES CORPUSCULES EXTÉRIEURS MÉCANIQUE DE LA DOUBLE DANS ONDULATOIRE. SOLUTION). par Gérard PETIAU Je me propose dans cet exposé de montrer comment il est tout possible, au particuliers, de déterminer complètement pour un corpuscule soumis à l’action d’un champ extérieur? des solutions de l’équation d’ondes de Schrodinger possédant une singularité ponctuelle localisée mobile décrivant une trajectoire. . moins dans certains Je considère 1.- décrivant un cas l’équation d’ondes de corpuscule chargé soumis à l’action d’un Suivant la méthode de L, de sous Schrodinger dépendant Broglie, du temps potentiel peut être écrite l’onde la forme les fonctions . a et L’équation (1) étant réelles. S donne alors le Si l’on considère S comme système connu, l’équation (3) est une équation vées partielles linéaire du premier ordre. La solution de celle-ci en recherchant les courbes me différentiel : caractéristiques. se aux déri- détermine Ces courbes sont solutions du systè- Si la fonction (3) la solution de S satisfait à la relation s’obtient simplement : En du que effet, il suffit alors de déterminer trois intégrales premières dépendant temps, solution des équations différentielles, écrivons nous Nous avons encore alors Il reste à résoudre le de variables système (2). Pour cela, on effectue le changement (5). Cette transformation étant linéaire, on aura D’autre part l’expression se transforme Il en résulte des et la fonction qui Hoit être indépendante déterminent les fonctions de t. 03C62 , 03C63 S . Si l’on n’admet pas complet.’ 03A6(03B , ,03BD,t) en une l’hypothèse ~ S = 0 , on est conduit au système (4) . On détermine d’abord trois intégrales premières dépendant du temps et réciproquement 03BB1 = 03C61(x,y,z,t) , et il reste outre à déterminer en une telle que quatrième intégrale première déduit on en Pour ... qu’une solution de ce type soit acceptable il faut des conditions supplé- mentaires : 1~) La fonction doit être fonction une régulière. réduit à fonction de t . La fonction d’ondes doit .présenter un caractère de permanence qui n’est compatible qu’avec certaines formes de la fonction f~ (par exemple fonction périodique de valeur moyenne sur une période non nulle, fonction dont la va- 2°) Sur les leur moyenne 2.- ÉTUDE DE trajectoires au cours du ~,~,u temps tend sont constants, vers une équations précédentes (2) et (3), spatial, pour lequel nous avons nous se valeur constante non une nulle, etc...). L’OSCILIATEUR HARMONIQUE. Les que f1 dans le cas de l’oscillateur harmoni- donnent Nous chercherons 2~) S est une une solution en admettant fonction linéaire de sur la fonction soit S les hypothèses Le système (4) s’écrit Nous écrivons les solutions de Nous définissons trois nous ce système sous la forme paramètres 03BB1 , 03BB2 , 03BB3 par donne alors Par le Cette changement de variable (5’), l’équation ~2t~ devient équation ne dépendra plus de t si nous avons Ces conditions vont déterminer les La solution en trajectoire coincide avec la déterminons ~. J t rajectoire classique si nous avons . En donc Pour les 2°) Pour la fonction trajectoires S . S0 , reportant les expressions des 1°) m v0 = Il reste à déterminer a Nous ~ donne ensuite et l’on vérifie que Ori et est immédiatement c~.~t~ h J La nous S. J J parle système S! J et nous , et S! dans S’. on obtient : a~~ ,~ ,~ ~ La fonction est alors déterminée par On voit que la condition = 0 ramène les trajectoires classiques et l’équation d’ondes à l’équation nous de trajectoires l’oscillateur harmonique transpoaux ~~ ~~ ~i~ ~ . sée dans l’espace Nous d’ondes l’équation placerons La résolution de cette maintenant dans ce équation s’effectue cas. sans Il reste l’équation difficulté : On pose et l’on obtient par séparation des nant a(p) : cette équation identique teur variables l’équation différentielle détermi- à celle que l’on rencontre dans la théorie de l’oscilla- harmonique admet la solution générale La solution en La solution en Pour que à l’infini C1 C2 ces correspond à l’onde à l’onde régulière, au voisinage de p = 0 ; singulière. fonctions soient convenable, . acceptables, c’est-à-dire les fonctions doivent se aient réduire à des un comportement polynômes. Ceci nous donne les conditions 1°) Pour l’onde régulière 20) Pour l’onde singulière Par suite y intervient dans la B La valeur propre pour qu’il ait guidage y phase S. commune, il faut que l’on par ait Or les valeurs de les valeurs B1 communes sont toutes seront positives, acceptables. Nous poserons Nous devons alors distinguer deux cas : mais non pas celles de Seules 2°) Pour La solution N impair complète du de l’oscillateur problème harmonique est donc obtenue ° par 3.- l’expression des fonctions Je vais maintenant S considérer et a ~i~ 9’’~ ,~ ) . comme second électron soumis à l’interaction d’un champ H x . magnétique le cas constant du mouvement d’un H = H~ = Cte = H = 0 . y Ce champ magnétique peut être considéré L’indétermination correspondante dans la exemple, cornme H1 dérivant du et jauge. Nous poserons J’introduirai en outre une constante ~ en posant H~ potentiel correspond au vecteur choix de de telle sorte que L’équation le Schrodinger donne, sur encore la chercher trajectoire Je vais chercher Le en écrivant système Je vais le de une en solution introduisant une solution du terme ôxy ~c~, ô constantes) choix quelconque de la jauge en dépendant l’hypothèse ne que de la système (2) , (3) en position du corpuscu- posant permettra de rapporter la solution à un partant d’une jauge déterminée pour le champ exténous rieur. Introduisant les nombres Les caractéristiques du kl et k2 système (3) Nous écrivons les solutions de ce système définis précédemment, sont solutions du sous la forme le système système différentiel : Nous avons alors Nous poserons Nous aurons Le alors équation et il reste devant ne l’équation Nous allons On l’équation (4) : équations Les a a(~~~) de variable changement donne alors dans Cette = dépendre aux alors : devons avoir : dérivées partielles s ci-dessus déterminent préciser nous que ce complètement calcul dans le cas simplifié où S , S2 ’ S... l’on a Al A2 = = 0 . et par R élimination, posant et 03C60 Les désignant deux nouvelles constantes. trajectoires x = par l’électron dans le ~.~(t) ? ~ ~ ~(t) champ magnétique H = sont les cercles classiques décrits H . Posant La devait On pulsation 03C9 = eH me s’y attendre. a alors sans est indépendante difficulté : du choix de la jauge ainsi que l’on Nous avons Nous donc déterminé sommes 0 = un àe l’équation choix convenable du facteur k~=k ~ phase amenés maintenant à chercher les solutions à singularités locali- sées Par et la SO’ S. S~ S~ nous pouvons nous ramener à k. le problème 0 = d’où - équation est, transposée en 03BB , celle l’électron dans un champ magnétique constant Cette Cette équation est dans la direction à laquelle on ramène et obtenue par Landau C~ en celle d’un oscillateur de 1929. harmonique linéaire, Mais la solution de la mécanique ondulatoire "orthodoxe" par séparation des variables 03BB , , v n’est pas acceptable En effet la recherche des solutions méthode de séparation des variables aux ici. singulières limite l’application de la systèmes de coordonnées dans lesquels il existe des surfaces de valeurs d’une des coordonnées constantes plètement le point voisinage de singulière ,~ ~ ~ _ v - o , l’équation au ca.s de l’oscillateur Pour mettre ceci d’où l’équation en évidence, se avec harmonique. nous poserons voit ici immédiatement ci-dessus de Helmholtz dont la solution est bien connue, mais respondant com- singulier. Toutefois l’existence de la solution car au enveloppant encore se ramène à l’équation les valeurs de B cor- 18-13 n’y Il che a une p 2014~ B évidemment plus séparation des solution a( , ~ ) 9 la solution on a ( ~, ~ ) variables et 8 , voit que se au voisinage de mais si l’on cher- 6=0 (cos ~ : 1 ) 9 raccordera à celle de précédemment, détermine La résolution de.cette celle considérée des valeurs pour que la fonction décroisse équation, qui est quantifiées B N acceptables A --~ blement. pour Au à contraire, l’équation convena- oo . pour 6 = de Helrnholtz mais ‘‘- ~ ~ ~ ~ avec -~ 0 un l’équation d’ondes les valeurs de la constante singularités localisées champ magnétique constant Les fonctions d’ondes à ment d’un électron dans et BN ramène ci-dessus. mobiles décrivant le sont donc se mouve- complètement déter- minées. champ électrique constant la même méthode. Le cas du se traite également sans difficulté par
