Devoir surveillé 6 La machine est interdite. La machine est interdite.

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Devoir surveillé
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Devoir surveillé 6
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6
La présentation ainsi que la rédaction seront prises en compte dans la notation de la copie.
Bien lire le sujet il y a des questions indépendantes.
Dans le cas d’utilisation d’abréviations merci de les définir en 1
ère
page.( pas plus de 5)
Je ne lis
Je ne lisJe ne lis
Je ne lis pas le crayon à papier, les résultats doivent être soulignés
pas le crayon à papier, les résultats doivent être soulignéspas le crayon à papier, les résultats doivent être soulignés
pas le crayon à papier, les résultats doivent être soulignés : +1 si cette consigne est
: +1 si cette consigne est : +1 si cette consigne est
: +1 si cette consigne est
vérifiée et si votre copie est propre,
vérifiée et si votre copie est propre, vérifiée et si votre copie est propre,
vérifiée et si votre copie est propre, -
--
-1 dans le cas contraire.
1 dans le cas contraire.1 dans le cas contraire.
1 dans le cas contraire.
La machine est interdite.
La machine est interdite.La machine est interdite.
La machine est interdite.
Rappel
RappelRappel
Rappel :
::
: Soit (G,+) et (G’,+) 2 groupes. Soit f :G→ G’.
On dit que f est un morphisme de groupes si ∀(x,y)∈G², f(x+y)=f(x)+f(y).
On rappelle que f(0
ீ
)=0
ீᇱ
et que f est injectif ssi ∀x∈G (f(x)=0
ீᇱ
⟹x=0
ீ
)
Exercice « arithmétique »
1. Montrer que ∀(x,y)∈ℤ² x∧y=1 alors x²+y² n’est pas divisible par 3
2. En déduire que ∀(x,y)∈ℤ²-{(0,0)} v
ଷ
(x
ଶ
+y
ଶ
)est pair
3. Résoudre l’équation x²+y²=3z² d’inconnue (x,y,z)∈ ℤ
ଷ
Exercice « autour des DL »
On définit l’application f par :
∀x∈ℝ, f(x)=1
1+x+x²
1. Justifier que f admet un DL à tout ordre n au voisinage de 0. On écrira
݂(ݔ)= ෍ܽ
௞
ݔ
௞
+݋
ை
(ݔ
௡
)
௡
௞ୀ଴
2. Calculer effectivement le DL à l’ordre 2 en 0
3. Montrer que ∀n∈ℕ, ܽ
௡ାଶ
+ܽ
௡ାଵ
+ܽ
௡
= 0 (On pourra faire un produit…)
4. Donner le DL à l’ordre 6 en 0.
5. En déduire l’allure locale ,au voisinage de 0, de sa courbe représentative
(tangente et position relative).
6. Prouver que la suite (ܽ
௡
) est périodique de période 3. (ie ∀n∈ℕ, ܽ
௡ାଷ
= ܽ
௡
). En
déduire les coefficients ܽ
௡
suivant la valeur de n.
Exercice groupes
A.
A.A.
A.Première partie
Première partiePremière partie
Première partie
Soit (G,+) un groupe abélien. Soit (x,y)∈G².
On note Vect(x) l’ensemble {nx, n∈ℤ} et Vect(x,y) l’ensemble {nx+my,(n,m)∈ℤ²}
1. Montrer que Vect(x) est un sous groupe de G
2. Soit H un sous groupe de G qui contient x. Montrer que Vect(x)⊂ H
3. Montrer que Vect(x,y) est un sous groupe de G.
4. Soit H un sous groupe qui contient x et y. Montrer que Vect(x,y) ⊂ H

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On dira qu’un sous groupe K de G est engendré pas l’élément x lorsque K=Vect(x), on
dira aussi que K est monogène lorsqu’il existe x de G tel que K est engendré par x, on
dira enfin qu’un sous groupe K de G est engendré par x et y lorsque K=Vect(x,y)
B
BB
B Cas de
Cas de Cas de
Cas de ℤ et
et et
et ℤ ²
²²
²
On rappelle que (ℤ,+) et (ℤ²,+) est un groupe commutatif. (pour la deuxième loi, c’est la
loi usuelle qui somme des couples). On utilisera les notations suivantes : les minuscules
désignent les éléments de ℤ, les majuscules les éléments de ℤ².
1. a. Montrer que ℤ est monogène
b. Soit H un sous groupe de ℤ, différent de {0} (sauf dans iii)
i. Justifier que H∩ ℕ ∗ est non vide et qu’il admet un plus petit élément a
ii. Montrer que H est monogène
iii. ici H={0} . Est-il monogène ?
c. On fixe ܺ
଴
=(a,b)∈ℤ². Décrire géométriquement Vect(ܺ
଴
)
d. En déduire que ℤ² n’est pas monogène.
e. Montrer que ℤ² est engendré par deux éléments de ℤ² que l’on déterminera
f. Soit f :ℤ→ℤ² un morphisme de groupes. Montrer que f ne peut être surjectif. On
notera ܺ
଴
= ݂(1)
2. Soit g : ℤ²⟶ ℤ un morphisme de groupes.
a. Montrer que : ∃(a,b)∈ℤ²/ ∀X=(x,x’)∈ℤ², g(X)=ax+bx’ (*)
b. Réciproquement , vérifier que toute application g de la forme (*) est un
morphisme de groupes.
c. Montrer que g ne peut pas être injectif.
d. Déterminer g(ℤ²) en fonction de a et b puis en fonction de a∧b.
3. Soit ߶: ℤ ² ⟶ ℤ ² un morphisme de groupes.
a. Montrer que : ∃(a,b,c,d)∈ ℤ
ସ
/ ∀X=(x,x’)∈ℤ² ߶(ܺ)= (ܽݔ +ܾݔ
ᇱ
,ܿݔ +݀ݔ
ᇱ
)
b. Montrer que ߶ est injectif ssi ad-bc≠ 0 (on pourra utiliser ߶(−ܾ,ܽ) et ߶(−݀,ܿ))
4. Soit H un sous groupe de ℤ². On note K={x∈ℤ/∃y∈ℤ tel que (x,y)∈H}
et L={(0,y)∈ℤ²/(0,y)∈H}
a. Montrer que K est un sous groupe de ℤ
b. En déduire que :∃a∈ℤ/ K=Vect(a) et ∃b∈ℤ tel que U=(a,b)∈H
c. Montrer que L est un sous groupe monogène de ℤ². On notera V=(0,c)∈ℤ² tel
que L=Vect(V)
d. Montrer que H=Vect(U,V)
e. Montrer que H est monogène ssi ac=0
Exercice d’analyse :
Dans le cas où g est bornée sur ℝ, la borne supérieure de {|g(x)|, x∈ℝ} sera notée M(g)
Partie I
Soit f
∈ C² ([a,b],ℝ) .

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Le but de cette question est de démontrer l’égalité de Taylor-Lagrange :
∃ c∈]a,b[ tel que f(b) =f(a)+(b-a)f’(a)+
(௕ି௔)²
ଶ
f’’(c)
Pour cela on pose :g(t)= f(b)-f(t)-(b-t)f ’(t) -
(௕ି௧)²
ଶ
ܣ où A est une constante « bien
choisie » (On choisit A tel g(a) = 0). Montrer que ∃ c∈]a,b[ /A= f ‘’(c)
Partie II
Soit f∈C²(ℝ,ℝ) non constante telle que f et f ’’ soient bornées sur ℝ.
On note ܯ
଴
= ܯ(݂)= ݏݑ݌{  ∈ℝ ∈ℝ
∈ℝ
∀∈ℝ 
∀∈ℝ ℝ
 ℝ 
∀