Devoir surveillé 6 La machine est interdite. La machine est interdite.

MPSI 2013-2014
Devoir surveillé 6
La présentation ainsi que la rédaction seront prises en compte dans la notation de la copie.
Bien lire le sujet il y a des questions indépendantes.
Dans le cas d’utilisation d’abréviations merci de les définir en 1ère page.( pas plus de 5)
Je ne lis pas le crayon à papier, les résultats doivent être soulignés : +1 si cette consigne est
vérifiée et si votre copie est propre, -1 dans le cas contraire.
La machine est interdite.
Rappel : Soit (G,+) et (G’,+) 2 groupes. Soit f :G→ G’.
On dit que f est un morphisme de groupes si ∀(x,y)∈G², f(x+y)=f(x)+f(y).
On rappelle que f(0ீ )=0ீᇱ et que f est injectif ssi ∀x∈G (f(x)=0ீᇱ ⟹x=0ீ )
Exercice « arithmétique »
1. Montrer que ∀(x,y)∈ℤ² x∧y=1 alors x²+y² n’est pas divisible par 3
2. En déduire que ∀(x,y)∈ℤ²-{(0,0)} vଷ (x ଶ + y ଶ )est pair
3. Résoudre l’équation x²+y²=3z² d’inconnue (x,y,z)∈ℤଷ
Exercice « autour des DL »
On définit l’application f par :
1
1 + x + x²
1. Justifier que f admet un DL à tout ordre n au voisinage de 0. On écrira
∀x∈ℝ, f(x) =
௡
݂(‫ = )ݔ‬෍ ܽ௞ ‫ ݔ‬௞ + ‫݋‬ை (‫ ݔ‬௡ )
௞ୀ଴
2.
3.
4.
5.
Calculer effectivement le DL à l’ordre 2 en 0
Montrer que ∀n∈ℕ, ܽ௡ାଶ + ܽ௡ାଵ + ܽ௡ = 0 (On pourra faire un produit…)
Donner le DL à l’ordre 6 en 0.
En déduire l’allure locale ,au voisinage de 0, de sa courbe représentative
(tangente et position relative).
6. Prouver que la suite (ܽ௡ ) est périodique de période 3. (ie ∀n∈ℕ, ܽ௡ାଷ = ܽ௡ ). En
déduire les coefficients ܽ௡ suivant la valeur de n.
Exercice groupes
A.Première
A.Première partie
Soit (G,+) un groupe abélien. Soit (x,y)∈G².
On note Vect(x) l’ensemble {nx, n∈ℤ} et Vect(x,y) l’ensemble {nx+my,(n,m)∈ℤ²}
1.
2.
3.
4.
Montrer que Vect(x) est un sous groupe de G
Soit H un sous groupe de G qui contient x. Montrer que Vect(x)⊂ H
Montrer que Vect(x,y) est un sous groupe de G.
Soit H un sous groupe qui contient x et y. Montrer que Vect(x,y) ⊂ H
MPSI 2013-2014
On dira qu’un sous groupe K de G est engendré pas l’élément x lorsque K=Vect(x), on
dira aussi que K est monogène lorsqu’il existe x de G tel que K est engendré par x, on
dira enfin qu’un sous groupe K de G est engendré par x et y lorsque K=Vect(x,y)
B Cas de ℤ et ℤ²
On rappelle que (ℤ,+) et (ℤ²,+) est un groupe commutatif. (pour la deuxième loi, c’est la
loi usuelle qui somme des couples). On utilisera les notations suivantes : les minuscules
désignent les éléments de ℤ, les majuscules les éléments de ℤ².
1. a. Montrer que ℤ est monogène
b. Soit H un sous groupe de ℤ, différent de {0} (sauf dans iii)
i. Justifier que H∩ ℕ ∗ est non vide et qu’il admet un plus petit élément a
ii. Montrer que H est monogène
iii. ici H={0} . Est-il monogène ?
c. On fixe ܺ଴=(a,b)∈ℤ². Décrire géométriquement Vect(ܺ଴)
d. En déduire que ℤ² n’est pas monogène.
e. Montrer que ℤ² est engendré par deux éléments de ℤ² que l’on déterminera
f. Soit f :ℤ→ℤ² un morphisme de groupes. Montrer que f ne peut être surjectif. On
notera ܺ଴ = ݂(1)
2. Soit g : ℤ²⟶ ℤ un morphisme de groupes.
a. Montrer que : ∃(a,b)∈ℤ²/ ∀X=(x,x’)∈ℤ², g(X)=ax+bx’ (*)
b. Réciproquement , vérifier que toute application g de la forme (*) est un
morphisme de groupes.
c. Montrer que g ne peut pas être injectif.
d. Déterminer g(ℤ²) en fonction de a et b puis en fonction de a∧b.
3. Soit ߶: ℤ² ⟶ ℤ² un morphisme de groupes.
a. Montrer que : ∃(a,b,c,d)∈ℤସ / ∀X=(x,x’)∈ℤ² ߶(ܺ) = (ܽ‫ ݔ‬+ ܾ‫ ݔ‬ᇱ , ܿ‫ ݔ‬+ ݀‫ ݔ‬ᇱ )
b. Montrer que ߶ est injectif ssi ad-bc≠ 0 (on pourra utiliser ߶(−ܾ, ܽ) et ߶(−݀, ܿ))
4. Soit H un sous groupe de ℤ². On note K={x∈ℤ/∃y∈ℤ tel que (x,y)∈H}
et L={(0,y)∈ℤ²/(0,y)∈H}
a. Montrer que K est un sous groupe de ℤ
b. En déduire que :∃a∈ℤ/ K=Vect(a) et ∃b∈ℤ tel que U=(a,b)∈H
c. Montrer que L est un sous groupe monogène de ℤ². On notera V=(0,c)∈ℤ² tel
que L=Vect(V)
d. Montrer que H=Vect(U,V)
e. Montrer que H est monogène ssi ac=0
Exercice d’analyse :
Dans le cas où g est bornée sur ℝ, la borne supérieure de {|g(x)|, x∈ℝ} sera notée M(g)
Partie I
Soit f∈C² ([a,b],ℝ) .
MPSI 2013-2014
Le but de cette question est de démontrer l’égalité de Taylor-Lagrange :
(௕ି௔)²
∃ c∈]a,b[ tel que f(b) =f(a)+(b-a)f’(a)+
ଶ
Pour cela on pose :g(t)= f(b)-f(t)-(b-t)f ’(t) -
f’’(c)
(௕ି௧)²
ଶ
‫ ܣ‬où A est une constante « bien
choisie » (On choisit A tel g(a) = 0). Montrer que ∃ c∈]a,b[ /A= f ‘’(c)
Partie II
Soit f∈C²(ℝ,ℝ) non constante telle que f et f ’’ soient bornées sur ℝ.
On note ‫ܯ‬଴ = ‫|{݌ݑݏ = )݂(ܯ‬C(D)|, D∈ℝ } et uA = u(C 66 ) = vwx{|C′′(D)|, D∈ℝ }
Soit x∈ℝ et h>0.
1. Etablir que 2h|f’(x)|≤|-f(x+h)+f(x)+hf’(x)|+|f(x-h)-f(x)+hf’(x)|+|f(x+h)|+|f(x-h)|
2. En appliquant l’égalité de Taylor Lagrange montrer que :
∀(u,v)∈ℝ², |f(u)-f(v)-f’(v)(u-v)|≤ uA
En déduire que ∀(x,h)∈ℝ×
ℝ∗N
(|p})²
|f’(x)|≤
A
€ 
A
+
‚

3. Justifier alors que f’ est bornée sur ℝ et que M(f’)≤ ƒ2uL uA
On pourra étudier la fonction g définie par ∀h>0, g(h)=
€ 
A
+
‚
