Récurrence. Logique. Ensembles. Applications.

I. Récurrence et Logique
II. Ensemble et applications.
Récurrence. Logique. Ensembles. Applications.
Cours N˚5.
Mathieu Gourcy. TSI1 Lycée La Fayette
Récurrence. Logique. Ensembles. Applications.
I. Récurrence et Logique
II. Ensemble et applications.
L’ordinateur a l’intelligence de celui qui s’en sert ! !
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I. Récurrence et Logique
II. Ensemble et applications.
1.
2.
3.
4.
Raisonnement par récurrence.
Assertions et connecteurs logiques.
Quantificateurs.
Techniques ou modes de raisonnement.
Soit n0 ∈ N un entier. On veut mq :
∀n ∈ N avec n ≥ n0 , Pn est vraie
1ère étape : Initialisation. On montre que la propriété est vraie au rang n0 :
Pn0 est vraie.
2ème étape : Hérédité.
∀n ≥ n0
Pn est vraie =⇒ Pn+1 est vraie.
3ème étape : Conclusion
On a démontré :
∀n ∈ N avec n ≥ n0 , Pn est vraie.
Penser aux symbolisme des dominos !
Exemple
On a vu dans un chapitre précédent (un résultat déjà vu en terminale) que :
∀n ∈ N, ∀a ∈ R,
(ea )n = ena .
Démontrer sur le poly cette propriété à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
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Raisonnement par récurrence.
Assertions et connecteurs logiques.
Quantificateurs.
Techniques ou modes de raisonnement.
Exercice d’application 1
Sur le poly. Démontrer que pour tout n ∈ N∗ ,
n
X
k × k! = (n + 1)! − 1.
k=1
Exercice d’application 2
Démontrer que :
∀n ∈ N ,
2n ≥ n + 1
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Raisonnement par récurrence.
Assertions et connecteurs logiques.
Quantificateurs.
Techniques ou modes de raisonnement.
Quelques rappels sur la divisibilité.
Exercice d’application 3
Pour tout entier naturel n on considère la propriété :
Pn : ”10n + 1 est divisible par 9”
1
Montrer que Pn est héréditaire à partir du rang 0.
2
Justifier que la propriété Pn est fausse pour tout entier naturel n.
Savoir conjecturer avant de prouver. Rappels sur les dérivées multiples.
Exercice d’application 4
Soit f la fonction définie sur R∗ par
f : x 7→
1
x
Pour tout entier naturel n, déterminer la dérivée n-ième f (n) (x) de la fonction f (x).
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Raisonnement par récurrence.
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Techniques ou modes de raisonnement.
Définition 1.1
On appelle assertion tout énoncé mathématique (ou propriété) à laquelle on attribue
l’une de deux valeurs logiques le vrai (V) ou le faux (F).
2 + 2 = 4 est une assertion vraie.
π ∈ N est une assertion fausse.
Les théorèmes et propositions sont des assertions vraies.
Les valeurs vrai (V) ou faux (F) sont appelées valeurs booléennes.
Au cours d’un raisonnement, on peut décider du caractère vrai ou faux :
”Soit x > 0”
cela provoque parfois des contradictions.
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Raisonnement par récurrence.
Assertions et connecteurs logiques.
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Définition 1.2
Les cinq connecteurs logiques de base. Compléter le tableau.
Négation. A toute assertion P, on peutassocier une autre assertion appelée
négation de P et notée
non (P) ou P qui prend la valeur inverse de P.
P
Les deux possibilités sont consignées dans une table de vérité : V
F
Disjonction: le OU
L’assertion P ou Q
est vraie.
non P
F
V
est vraie lorsque l’une au moins des deux assertions P, Q
Conjonction : le ET
L’assertion P et Q
est vraie lorsque les deux assertions P et Q sont vraie.
Implication.
L’assertion P ⇒ Q est vraie lorsque (non P) ou Q est vraie.
Equivalence.
L’assertion P ⇔ Q est vraie lorsque (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P) est vraie,
c-à-d lorsque les propositions P et Q ont la même valeur logique.
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Le ou n’est pas exclusif.
P ⇒ Q se lit aussi
”Si P (sous-entendu vraie) alors Q (vrai)”
”P est une condition suffisante pour Q”
”Q est une condition nécessaire pour P”
P ⇔ Q se dit aussi
”P si et seulement si Q”
”P est une condition nécessaire et suffisante pour Q”.
Exercice d’application 5
”Vrai” ou ”Faux” ? Ici x est un réel et n un entier. Attention dans vos copies !
1
(x ≥ 1) ⇒ (x > 0)
2
(x > 0) ⇒ (x ≥ 1)
3
(n > 0) ⇒ (n ≥ 1)
4
Une condition suffisante pour qu’un nombre réel soit supérieur ou égal à 2 est
qu’il soit strictement supérieur à 3.
5
Une condition nécessaire pour qu’un entier soit pair est qu’il soit multiple de 4.
6
Pour qu’un réel soit supérieur ou égal à 1, il suffit que son carré le soit.
7
sin(x) > 0
8
Si Napoléon est américain alors Napoléon est vivant !
9
(1 > 2) ⇒ (2 > 3)
⇔
0 < x < π.
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Proposition 1.3
Si (P ⇒ Q) est vraie et si (Q ⇒ R) est vraie
alors
(P ⇒ R) est vraie.
Il faut savoir écrire la négation des connecteurs logiques.
Proposition 1.4
”non (non P)”
=
P
”non (P et Q)”
=
”non (P ou Q)”
=
”(non P) ou (non Q)”
”(non P) et (non Q)”
”non (P ⇒ Q)”
=
”(P) et (non Q)”
Preuve : tables de vérité. Exemple avec le 2ème point.
Exercice d’application 6
Soit (x, y) ∈ R2 . Ecrire les négations de :
1
x≥0
2
1≤x<y
3
”Pour être admissible à centrale, il faut être doué ou chanceux.”
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Soit E un ensemble, soit x ∈ E et soit P(x) un prédicat.
Définition 1.5
∀x ∈ E , P(x)
signifie que P(x) est vrai pour toute valeur de x prise dans E
le quantificateur existentiel ”il existe” noté ∃x ∈ E , P(x)
le quantificateur universel ”quelque soit” noté
signifie que P(x) est vrai pour au moins une valeur de x prise dans E
Attention. On ne peut inverser que deux quantificateurs de même nature.
∀x ∈ E , ∀y ∈ F , P(x, y)
∀y ∈ F , ∀x ∈ E , P(x, y)
équivaut à
Exercice d’application 7
Les assertions suivantes sont-elles vraies ? fausses ?
(1) ∀x ∈ R , ∃n ∈ N , x ≤ n
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(2) ∃n ∈ N , ∀x ∈ R , x ≤ n
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Proposition 1.6
Négation des quantificateurs.
” non ( ∃x ∈ E , P(x) ) ”
=
” ∀x ∈ E , non(P(x)) ”
” non ( ∀x ∈ E , P(x) ) ”
=
” ∃x ∈ E , non(P(x)) ”
Exercice d’application 8
Ecrire les négations des assertions suivantes :
1
∀x > 0 , f (x) ≥ 0
2
∃M ∈ R , ∀x ∈ R ,
3
”Dans tout devoir surveillé, il y a toujours une question qu’aucun élève ne sait
faire.”
4
”Il existe des élèves de TSI qui n’aiment ni les maths ni la physique”.
5
∀x ∈ E, ∀y ∈ E,
f (x) ≤ M
f (x) = f (y)
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⇒
x=y
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Par contre-exemple. On veut démontrer qu’une assertion du type :
(∀x ∈ E , P(x)) est fausse
(∃x ∈ E , non P(x)) est vraie.
ce qui équivaut à
Il s’agit de trouver un élément x de E tel que P(x) soit fausse appelé contre-exemple.
Exercice d’application 9
Montrer que la propriété suivante est fausse :
”∀n ∈ N ,
n divisible par 6 et par 4
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⇒
n divisible par 24”
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Par contraposée. Raisonnement par récurrence.
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On appelle contraposée de ”P ⇒ Q” la proposition ”non(Q) ⇒ non(P)” .
La contraposée a même valeur logique que la proposition initiale.
Table de vérité
On deut donc démontrer ”P ⇒ Q” par contraposée en supposant que Q faux et en
déduisant que P est faux.
Exercice d’application 10
Soit p ∈ N un entier.
A l’aide d’un raisonnement par contraposée, montrer que si p2 est pair alors p est pair.
Attention !
Contraposée = Reformulation mais
Contraposée 6= réciproque Par exemple, pour x ∈ R, considèrer le théorème
(x = 1)
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⇒
(x2 = 1)
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Par l’absurde. On veut démontrer qu’une propriété P est vraie. On suppose alors qu’elle est fausse,
et on essaie de construire une propriété Q telle Q et son contraire (non Q) soient
vraies. Ce qui est contradictoire et démontre la véracité de P. En effet,
(non P) ⇒ [Q et (non Q)]
équivaut à
P ou [Q et (non Q)]
équivaut à
Exercice d’application 11
A l’aide de l’exercice précédent, montrer par l’absurde que
irrationnel.
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√
2 est un nombre
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P
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Par Analyse-synthèse. C’est une méthode de détermination de l’ensemble des solutions d’un problème en
deux étapes :
1 Analyse : on raisonne sur une hypothétique solution du problème et on accumule
des déductions de propriétés qu’elle doit vérifier, du seul fait qu’elle est solution.
2 Synthèse : on examine tous les objets vérifiant les conditions nécessaires
précédemment accumulées (ce sont les seuls candidats possibles à être des
solutions) et on détermine, parmi eux, lesquels sont réellement des solutions.
Exercice d’application 12
Trouver les fonctions f qui vérifient :
∀x ∈ R ,
f 0 (x) = f (2π − x)
Il arrive souvent que la phase d’analyse produise des conditions nécessaires si
restrictives qu’il ne reste plus qu’un candidat qui les vérifie....
Exercice d’application 13
Soit I centré par rapport à 0 et f ∈ F (I, R) une fonction. Démontrer que f peut se
décomposer en la somme f = g + h d’une fonction g paire et d’une fonction h
impaire, et que cette décomposition est unique.
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Par récurrence sur deux générations (ou récurrence double)
Symbolisme de l’escalier. Il se peut que l’hérédité prenne la forme :
( Pn et Pn+1 )
⇒
Pn+2
1ère
étape : Initialisation
On montre que la propriété est vraie aux rangs n0 et n0 + 1.
2ème étape : Hérédité
Soit n ≥ n0 entier fixé quelconque. On suppose que la propriété est vraie aux rangs n
et n + 1 et on montre que sous ces deux hypothèses, elle est alors vraie au rang n + 2.
3ème étape : Conclusion
On conclut que par le principe de récurrence double, la propriété est vraie pour tout
entier supérieur ou égal à n0 .
D’autres formes de récurrence sont envisageables....
Exercice d’application 14
Soit (un )n∈N une suite de nombres réels définie par :
u0 = 2 et u1 = 3
∀n ∈ N, un+2 = 3un+1 − 2un .
1
Calculer les termes u2 , u3 et u4 de cette suite.
2
Montrer que :
∀n ∈ N ,
un = 1 + 2n
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Par récurrence forte. Symbolisme de l’échelle en construction. L’hérédite s’écrit :
( Pn0 et Pn0 +1 et . . . et Pn )
⇒
Pn+1
1ère
étape : Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n0 .
2ème étape : Hérédité
Soit n ≥ n0 entier fixé quelconque.
On suppose que la propriété est vraie jusqu’au rang n (c’est-à-dire pour tout entier k
tel que n0 ≤ k ≤ n) et on montre qu’elle est alors vraie au rang n + 1.
3ème étape : Conclusion
Par récurrence forte, la propriété est vraie pour tout entier supérieur ou égal à n0 .
Exercice d’application 15
Soit (un )n∈N la suite définie par :
u0 = 1
P
∀n ∈ N, un+1 = n
k=0 uk .
1
Calculer u1 , u2 et u3 .
2
Montrer que :
∀n ∈ N∗ ,
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un = 2n−1
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Ensembles. Parties d’un ensemble.
Ensembles produits et Ensemble des parties d’un ensemble.
Applications. Image directe et réciproque d’un ensemble
Applications injectives, surjectives, bijectives.
Un ensemble est une collection d’objets (points, vecteurs, fonction, etc...).
Les objets ainsi rassemblés sont les éléments de l’ensemble.
x ∈ E lorsque x est un élément de E.
Dans le cas contraire, on note x ∈
/ E .
On note
On peut définir un ensemble de plusieurs façons :
1
En dressant la liste de ses éléments. Par exemple,
E1 = {A, B, C} ;
N = {0, 1, . . . , n, . . .}
2
Par une liste de règles (appelées axiomes).
3
A l’aide d’un ensemble de référence E0 et d’une propriété P(x). Ainsi,
E = {x ∈ E0 , P(x) }
Par exemple,
Np = {n ∈ N , ∃k ∈ N tel que n = 2k}
est . . .
Comment ”noter” l’ensemble des fonctions paires ?
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Ensembles. Parties d’un ensemble.
Ensembles produits et Ensemble des parties d’un ensemble.
Applications. Image directe et réciproque d’un ensemble
Applications injectives, surjectives, bijectives.
Définition 2.1
Lorsque E et F sont ensembles, on dit que F est un sous-ensemble
(une partie) de E
si tout élément de F est aussi un élément de E. On note F ⊂ E L’égalité est une double inclusion :
E=F
⇔
E ⊂ F et F ⊂ E
Tout ensemble E non vide possède au moins deux sous-ensembles : ∅ et E.
Exercice d’application 16
Traduire à l’aide de quantificateurs et des éléments de E et F :
(1) F ⊂ E
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(2) F 6⊂ E
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Ensembles produits et Ensemble des parties d’un ensemble.
Applications. Image directe et réciproque d’un ensemble
Applications injectives, surjectives, bijectives.
Définition 2.2
Opérations sur les parties. Soit E un ensemble et A, B ∈ P(E).
1
L’intersection de A et B est l’ensemble :
A ∩ B = {x ∈ E ,
2
x ∈ A et x ∈ B}
La réunion de A et B est l’ensemble :
A ∪ B = {x ∈ E ,
3
x ∈ A ou x ∈ B}
La différence A moins B (ou A privé de B) est l’ensemble :
A \ B = {x ∈ E ,
x ∈ A et x ∈
/ B}
4
Le complémentaire de A dans E noté CE A ou E \ A ou Ā est :
Ā = {x ∈ E ,
x∈
/ A}
Exercice d’application 17
Soit E un ensemble et A, B deux parties de E. Montrer que :
A∩B =A∪B
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⇒
A=B
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Ensembles. Parties d’un ensemble.
Ensembles produits et Ensemble des parties d’un ensemble.
Applications. Image directe et réciproque d’un ensemble
Applications injectives, surjectives, bijectives.
Quelques propriétés :
Sur la réunion
Sur l’intersection
Sur le complémentaire
A∪∅= z
A∪A= z
A∪E = z
A∪B =B∪A
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A∪B =A ⇔ z
A∩∅= z
A∩A= z
A∩E = z
A∩B =B∩A
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A∩B =A ⇔ z
∅= z
E= z
A∪B =
A∩B =
A=
A\B =∅
z
z
z
⇔
z
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Comment prouver ces propriétés ? Exemple des lois de Morgan.
Remarques :
Distributivité des opérateurs ∩ et ∪ :
Union et intersection d’une suite de parties.
Notion de partition d’un ensemble.
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Ensembles. Parties d’un ensemble.
Ensembles produits et Ensemble des parties d’un ensemble.
Applications. Image directe et réciproque d’un ensemble
Applications injectives, surjectives, bijectives.
Définition 2.3
Ensembles produits. Soit E et F deux ensembles.
On appelle ensemble produit de E et F , noté
(x, y) où x ∈ E et y ∈ F . Ainsi ,
E×F
(x, y) ∈ E × F
Autrement dit, on a :
En× F l’ensemble des couples
o
=
(x, y) , x ∈ E , y ∈ F
⇔
x ∈ E et y ∈ F
Lorsque F = E on note E 2 pour E × E.
R2 =
De même,
n
(x, y) ,
o
x∈R , y∈R
∀ (x, y) ∈ R2
d’où la notation
Lorsque E = {A, B, C} et F = {1, 2} , écrire les ensembles : E × F, F 2 et E 2
Définition 2.4
Notion de p-liste. Soit E un ensemble. On définit de même :
Ep = E × E × · · · × E
Un élément
Ep
X∈E
(p fois) pour p ∈ N, p ≥ 1.
est appelé p-liste (ou p-uplet) d’éléments de E. Autrement dit,
p
⇔
X = (x1 , x2 , . . . , xp ) avec ∀i ∈ J1, pK ,
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xi ∈ E
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Applications. Image directe et réciproque d’un ensemble
Applications injectives, surjectives, bijectives.
Définition 2.5
Tous les sous-ensembles d’un ensemble E constituent un nouvel ensemble appelé
ensemble des parties de E et noté P(E). Autrement
dit , F ∈ P(E)
⇔
F ⊂E
Selon l’objet dont on parle, on note ainsi a ∈ E ou {a} ⊂ E
Exercice d’application 18
Ecrire l’ensemble P(E) lorsque E = {a, b, c}.
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Applications injectives, surjectives, bijectives.
Définition 2.6
Soit E et F deux ensembles. Une application f de E dans F est un procédé qui à
chaque élément x dans E associe un unique élément de F que l’on note f (x).
L’ensemble E s’appelle l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée. On dit que
f (x) est l’image de x, et que x est un antécédent de f (x).
On note F (E, F ) l’ensemble des applications de E dans F .
On appelle graphe de f le sous-ensemble de E × F défini par :
n
n
Gf =
(x, f (x)) ,
x ∈ E} =
(x, y) ∈ E × F ,
o
y = f (x)
Par exemple, pour f : R → R, c’est l’ensemble des points de sa courbe ...
L’application identité de E dans E, notée IdE : x 7→ x qui associe à chaque
élément de E lui-même est un exemple important.
Composée. Si f : E → F et g : F → G, alors on définit g ◦ f : E →
G
l’application que à tout x ∈ E associe l’élément g ◦ f (x) = g f (x)
Si f est une application de E dans F et si I est une partie de E, alors on peut
construire f|I appelée restriction de l’application f à l’ensemble I.
Dessins et exemples.
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Applications injectives, surjectives, bijectives.
Définition 2.7
Image et image réciproque d’une partie. Soit f ∈ F (E, F ).
Soit A ⊂ E. L’image (directe) de A par f est le sous-ensemble de F défini par
f hAi = {f (x) , x ∈ A} = {y ∈ F , ∃x ∈ A , y = f (x)}
C’est l’ensemble des images par f des éléments de la partie A. Ainsi f hAi ⊂ F .
Soit B ⊂ F . Limage réciproque de la partie B est le sous-ensemble de E :
f −1 hBi = {x ∈ E , f (x) ∈ B}
C’est l’ensemble des antécédents par f des éléments de B. Ainsi
Dessins... Attention, la notation
f −1
Exercice d’application 19
R
N → N
f :
g:
n 7→ n + 1
x
f −1 hBi ⊂ E
peut prêter à confusion...
→
7
→
R
x2
et h :
R2
(x, y)
→
7→
R2
(x − y, y − x)
1
Déterminer les ensembles f h{0, 1}i, f hNi, gh[−1, 2]i, ghRi.
2
Déterminer f −1 hNi, f −1 hJ6, 9Ki, g −1 h{4}i, g −1 hR− i, g −1 h[0, 2]i, h−1 h{(0, 0)}i.
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Applications. Image directe et réciproque d’un ensemble
Applications injectives, surjectives, bijectives.
Notion intuitive d’ensemble en bijection et formalisation.
Définition 2.8
Soit f : E → F une application. On dit que :
1
f est surjective si tout élément de F admet au moins un antécédent par f soit
∀y ∈ F ,
2
∃x ∈ E ,
ou
f hEi = F
f est injective si tout élément de F admet au plus un antécédent par f soit
∀x1 , x2 ∈ E ,
3
y = f (x)
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
f est bijective si tout élément de F admet un et un seul antécédent par f soit
∀y ∈ F ,
∃!x ∈ E ,
y = f (x) càd f injective et surjective
Exercice d’application 20
Discuter
des applications :
de l’injectivité et de la surjectivité
R
N → N
Z → Z
f1 :
f2 :
g1 :
n 7→ n + 1
n 7→ n + 1
x
R → R+
R2
→ R2
g2 :
h
:
x 7→ x2
(x, y) 7→ (x − y, x + y)
Mathieu Gourcy. TSI1 Lycée La Fayette
→
7
→
R
x2
Récurrence. Logique. Ensembles. Applications.
I. Récurrence et Logique
II. Ensemble et applications.
1
3
Ensembles. Parties d’un ensemble.
Ensembles produits et Ensemble des parties d’un ensemble.
Applications. Image directe et réciproque d’un ensemble
Applications injectives, surjectives, bijectives.
On peut montrer que f : EtoF est bijective si et seulement si il existe une
application g de F dans E telle que l’on ait :
g ◦ f = IdE
2
1.
2.
3.
4.
et
f ◦ g = IdF
L’application g est alors notée f −1 et s’appelle l’application réciproque de f
−1
L’application f −1 est alors bijective de F dans E et on a f −1
= f.
Soient E un ensemble et soient f et g deux bijections de E dans E. Alors f ◦ g
est une bijection et (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .
Mathieu Gourcy. TSI1 Lycée La Fayette
Récurrence. Logique. Ensembles. Applications.