Récurrence. Logique. Ensembles. Applications.

I. R´ecurrence et Logique
II. Ensemble et applications.
R´ecurrence. Logique. Ensembles. Applications.
Cours N˚5.
Mathieu Gourcy. TSI1 Lyc´ee La Fayette R´ecurrence. Logique. Ensembles. Applications.

I. R´ecurrence et Logique
II. Ensemble et applications.
L’ordinateur a l’intelligence de celui qui s’en sert ! !
Mathieu Gourcy. TSI1 Lyc´ee La Fayette R´ecurrence. Logique. Ensembles. Applications.

I. R´ecurrence et Logique
II. Ensemble et applications.
1. Raisonnement par r´ecurrence.
2. Assertions et connecteurs logiques.
3. Quantificateurs.
4. Techniques ou modes de raisonnement.
Soit n0∈Nun entier. On veut mq :
∀n∈Navec n≥n0,Pnest vraie
1`ere ´etape : Initialisation. On montre que la propri´et´e est vraie au rang n0:
Pn0est vraie.
2`eme ´etape : H´er´edit´e.
∀n≥n0Pnest vraie =⇒ Pn+1 est vraie.
3`eme ´etape : Conclusion
On a d´emontr´e : ∀n∈Navec n≥n0,Pnest vraie.
Penser aux symbolisme des dominos !
Exemple
On a vu dans un chapitre pr´ec´edent (un r´esultat d´ej`a vu en terminale) que :
∀n∈N,∀a∈R,(ea)n=ena.
D´emontrer sur le poly cette propri´et´e `a l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence.
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I. R´ecurrence et Logique
II. Ensemble et applications.
1. Raisonnement par r´ecurrence.
2. Assertions et connecteurs logiques.
3. Quantificateurs.
4. Techniques ou modes de raisonnement.
Exercice d’application 1
Sur le poly. D´emontrer que pour tout n∈N∗,
n
X
k=1
k×k!=(n+ 1)! −1.
Exercice d’application 2
D´emontrer que : ∀n∈N,2n≥n+ 1
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I. R´ecurrence et Logique
II. Ensemble et applications.
1. Raisonnement par r´ecurrence.
2. Assertions et connecteurs logiques.
3. Quantificateurs.
4. Techniques ou modes de raisonnement.
Quelques rappels sur la divisibilit´e.
Exercice d’application 3
Pour tout entier naturel non consid`ere la propri´et´e :
Pn: ”10n+ 1 est divisible par 9”
1Montrer que Pnest h´er´editaire `a partir du rang 0.
2Justifier que la propri´et´e Pnest fausse pour tout entier naturel n.
Savoir conjecturer avant de prouver. Rappels sur les d´eriv´ees multiples.
Exercice d’application 4
Soit fla fonction d´efinie sur R∗par
f:x7→ 1
x
Pour tout entier naturel n, d´eterminer la d´eriv´ee n-i`eme f(n)(x)de la fonction f(x).
Mathieu Gourcy. TSI1 Lyc´ee La Fayette R´ecurrence. Logique. Ensembles. Applications.