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Les probabilités
Guide pédagogique
Le présent guide sert de complément à la série d’émissions intitulée
Les probabilités produite par TFO.
Le guide – Édition 1988
Rédacteur (version anglaise) : Ron Carr
Traduction : Translatec Conseil Ltée
Le guide – Édition 2009
Responsable de projet : Annette Lalonde
Révision pédagogique : Karine Rozon
Pour obtenir des copies des émissions de la série Les probabilités :
• Vous pouvez enregistrer les émissions lors de leur diffusion sur les ondes de TFO.
• Consultez le site www.tfo.org/diffusion pour la date de la prochaine diffusion ou téléphonez
au 1.800.387.8435, poste 2388 pour une diffusion spéciale.
• Les écoles de langue française de l’Ontario peuvent visionner les émissions de cette série
directement sur le site web www.tfo.org/ressources
Pour obtenir des exemplaires supplémentaires de ce guide :
• Vous pouvez l’imprimer à partir du site www.tfo.org/guides
• Vous avez le droit d’en faire des photocopies à volonté.
• Vous pouvez l’acheter auprès du Centre franco-ontarien de ressources pédagogiques à Ottawa en
appelant au 1.877.742.3677, poste 228 (Ontario) ou au 1.877.747.8003, poste 228 (Canada).
Renseignements : [email protected]
TFO tient à remercier le Secrétariat d’État de sa participation financière.
© L’Office des télécommunications éducatives de langue française de l’Ontario, février 2009.
Table des matières
4
Description de la série
5
Émission 1 : Une certitude incertaine 596101
8
Émission 2 : Un modèle de probabilité uniforme 596102
11
Émission 3 : Des événements simples 596103
14
Émission 4 : Des événements moins simples 596104
17
Émission 5 : Les distributions de probabilités 596105
21
Émission 6 : Les épreuves de Bernoulli 596106
Description de la série
La théorie des probabilités joue un rôle important dans pratiquement tous
les aspects de la vie quotidienne.
Les prévisions météorologiques, les loteries, le jeu, les percées médicales,
les sondages et les politiques sociologiques sont des domaines qui exigent tous
une connaissance des principes fondamentaux de cette branche des mathématiques
en pleine expansion. La présente série, intitulée Les probabilités, comprend
six émissions qui présentent les concepts de base des probabilités, tant sur
le plan théorique qu’expérimental.
Nous avons recours aux concepts fondamentaux de l’espace-échantillon et de
l’événement pour définir la probabilité d’un événement. Nous révisons ensuite
les méthodes qui servent à compter les éléments d’un ensemble, y compris
les principes fondamentaux du dénombrement qui portent sur les permutations
et les combinaisons. Nous fournissons une définition des événements mutuellement
exclusifs, ou incompatibles, et déterminons la probabilité de la réalisation
d’un événement ou d’un autre événement. A l’aide du concept des événements
indépendants, nous découvrons la probabilité de la réalisation d’un événement.
Des modèles de probabilités sont créés et étudiés, accompagnés d’applications
pratiques et de calculs. On explique des problèmes axées sur des épreuves répétées
(ou des épreuves de Bernoulli) au cours desquelles chaque expérience se solde par
un succès ou un échec. En outre, des situations propres aux jeux de hasard et
aux loteries sont présentées dans le but de calculer les résultats prévus; enfin,
les concepts d’« équité » et de « chances » sont analysés.
Émission 1 : Une certitude incertaine 596101
Résumé de l’émission
L’émission débute en faisant allusion à la vision fataliste que Isaac Newton se faisait
de l’univers et par une description des principes de la mécanique quantique fondée
sur l’hypothèse que le monde est régi par des fluctuations aléatoires. C’est ainsi que
le hasard de la vie quotidienne influe sur tous les événements à venir.
Afin d’étudier l’effet du hasard, des concepts liés à des expériences de probabilités
sont étudiés. À l’aide d’une simple expérience qui consiste à lancer une seule
pièce de monnaie, on présente plusieurs termes, notamment l’épreuve, le résultat,
l’événement et la série. La « loi des grands nombres » et le triangle de Pascal
sont expliqués pour renforcer la tendance centrale des résultats de nombreuses
expériences.
Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l’Éducation de l’Ontario
MDM4U
Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12e année
Domaine : Dénombrement et probabilité
Attente
Résoudre des problèmes portant sur la probabilité d’un événement ou sur une combinaison d’événements
à l’aide de l’espace des échantillons.
Contenus d’apprentissage
• Décrire des exemples, incluant des problèmes tirés de diverses applications, qui démontrent la variation
des résultats d’une expérience d’événements aléatoires (par exemple, aiguille d’une roulette,
sac des billes de différentes couleurs, dés) et expliquer comment les probabilités servent à mesurer
la vraisemblance d’un résultat dans certaines circonstances.
• Déterminer par exploration l’effet du nombre d’essais de l’expérience sur l’approximation
de la probabilité du résultat, et reconnaître que cet effet est celui de la loi des grands nombres.
5
Les probabilités
É m i s s i o n 1 : U ne c er t it ude inc er t aine
Révision et activités avant le visionnement
1. Animer une discussion avec les élèves sur les facettes de la vie quotidienne
où le hasard joue un rôle important comme, par exemple, dans le cadre
des loteries, des jeux de cartes, des paris sur le hockey, des jeux de table avec
lancers de dés, des paris sur les courses de chevaux et d’autres événements sportifs.
2. L’importance du hasard dans d’autres aspects de la vie est également analysée.
Discuter aussi des chances d’être frappé par la foudre, d’être la victime
d’un accident de voiture ou d’avion, de réussir à un examen de mathématiques
et d’avoir des enfants du sexe masculin ou féminin.
3. S’assurer que les élèves savent jouer avec un ou deux dés, et connaissent les noms
et les couleurs des cartes d’un jeu ordinaire de 52 cartes.
Activités après le visionnement
1. Demander aux élèves d’effectuer diverses expériences simples et de calculer
les probabilités expérimentales des événements qui leur sont liés.
a. Lancer une pièce de monnaie 10 fois. Noter le nombre de fois où le côté « pile »
apparaît et calculer les probabilités d’obtenir le côté « pile ». Ces résultats
doivent être analysés compte tenu de la probabilité attendue de 0.5.
Indiquer également l’importance d’utiliser une pièce « parfaite ».
b. Afin d’observer un grand nombre d’épreuves, les élèves peuvent lancer
une pièce pendant deux à trois minutes en notant le nombre d’épreuves et
le nombre de succès. Ils peuvent indiquer le nombre de fois où ils ont obtenu
le côté « pile » et le nombre d’épreuves, en faire le total et, du moins montrer
à la classe que, au fur et à mesure que s’accroît le nombre des épreuves,
la probabilité tend vers la valeur prévue.
2. La démarche ci-dessus peut servir à arriver à la probabilité expérimentale d’obtenir
un 4 lorsqu’un seul dé est lancé. Demander aux élèves de prédire les probabilités
avant de commencer leurs expériences, puis de comparer leurs prévisions
aux résultats obtenus par la classe prise dans son ensemble.
3. Il est intéressant d’utiliser une combinaison de dés et de pièces. Une expérience
pourrait consister à lancer deux pièces et deux dés. Le résultat que
nous recherchons vise à obtenir deux côtés « face » avec les pièces et, avec
les dés, une somme sur les dés qui soit un nombre premier. Cette fois encore,
on peut demander aux élèves de prédire les probabilités puis de répéter
l’expérience pendant deux minutes.
4. Demander aux élèves d’expliquer et d’estimer les probabilités des événements
suivants en faisant appel à leur intuition et à leurs connaissances générales.
a. Il y aura un tremblement de terre en Floride l’été prochain.
b. Le prochain président des États-Unis sera membre du Parti républicain.
c. Le prix des voitures neuves baissera au cours des cinq prochaines années.
d. La sonde martienne découvrira que la vie existe sur Mars.
e. Les Cubs de Chicago ne remporteront pas la Série mondiale l’année prochaine.
6
Les probabilités
É m i s s i o n 1 : U ne c er t it ude inc er t aine
5. Donner tous les résultats possibles des expériences suivantes :
a. le lancer de deux pièces;
b. le lancer d’un seul dé;
c. le lancer de deux dés;
d. le tirage au sort d’une carte à partir d’un jeu de 52 cartes;
e. le choix au hasard d’un nombre à partir d’un ensemble d’entiers qui
contient des nombres allant de 1 à 15;
f. l’achat d’un billet de loterie. (Préciser comment fonctionne la loterie
afin que l’élève puisse identifier le nombre de résultats possibles.)
6. Analyser les résultats indiqués dans la question ci-dessus. Demander aux élèves
de faire appel à leur intuition, déterminer si, dans chaque cas les résultats sont
d’égale vraisemblance.
7. Proposer aux élèves les situations suivantes et leur demander de répondre
aux questions correspondantes :
Situation 1 :
- Le ciel sera nuageux demain matin ; on prévoit 30% de chances de
précipitations.
Ceci veut-il dire qu’il va pleuvoir? Est-il probable qu’il pleuve?
Situation 2 :
- Supposons que votre équipe favorite a 80% de chances de gagner
lors d’un match donné quelconque.
Si cette équipe joue 100 parties, quel est le nombre approximatif
de parties qu’elle devrait remporter?
L’équipe perdra-t-elle l’une des cinq prochaines parties?
7
Les probabilités
É m i s s i o n 1 : U ne c er t it ude inc er t aine
Émission 2 : Un modèle de probabilité uniforme 596102
Résumé de l’émission
À l’aide d’un jeu de 52 cartes, nous révisons les concepts liés au calcul des probabilités
expérimentales. Dans le cadre d’une approche théorique, deux notions sont alors
présentées : (i) l’univers des résultats possibles en tant qu’ensemble de tous
les résultats possibles et équiprobables d’un événement, et (ii) un événement
en tant qu’ensemble de tous les résultats qui nous intéressent. L’événement est
un sous-ensemble de l’univers des résultats possibles.
La probabilité d’un événement se définit alors comme étant le nombre d’éléments
de l’événement divisé par le nombre d’éléments de l’univers des résultats possibles.
P(E) = n(E) / n(u)
On fournit des exemples mettant en jeu le lancer d’un et de deux dés.
Il est démontré que la probabilité d’un événement est toujours un nombre réel
supérieur ou égal à 0 (réalisation impossible) et inférieur ou égale à 1
(réalisation certaine).
Le concept des « chances » est présenté. Les chances en faveur d’un événement
sont définies comme étant la probabilité d’un « succès » divisée par la probabilité
d’un « échec ». la relation qui existe entre les chances et les paris est explorée, et
on explique les calculs qui montrent les sommes que l’on peut gagner lorsque les
probabilités sont connues.
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MDM4U
Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12e année
Domaine : Dénombrement et probabilité
Attente
Résoudre des problèmes portant sur la probabilité d’un événement ou sur une combinaison d’événements
à l’aide de l’espace des échantillons..
Contenu d’apprentissage
Décrire et représenter l’espace des échantillons discrets comme un ensemble de tous les résultats possibles,
et décrire et représenter un événement comme un sous-ensemble de l’espace des échantillons ou
comme un ensemble de résultats possibles.
8
Les probabilités
É m i s s i o n 2 : U n m odèle de pr obalit é unif or m e
Révision et activités avant le visionnement
1. À l’aide d’un jeu de cartes, réviser les concepts liés à la probabilité expérimentale
d’un résultat certain. Exemple : Tirer deux cartes d’un jeu soigneusement battu;
calculer la probabilité que les deux cartes appartiennent à la même couleur;
calculer la probabilité que les deux cartes portent le même nombre.
Quelle est la probabilité que l’une des deux cartes soit l’as de trèfle?
2. En vous fiant à votre intuition, quelle est la probabilité d’obtenir le côté « face »
en lançant une pièce? Si cette pièce est lancée cinq fois et que le côté « face »
soit obtenu cinq fois, quelle est la probabilité d’obtenir le côté « face »
en lançant la pièce une sixième fois?
Activités après le visionnement
1. Dresser la liste des éléments de l’univers des résultats possibles lorsque
l’on lance deux pièces de monnaie dans le cadre d’une expérience.
a. Combien d’éléments y a-t-il dans l’ensemble?
b. Pourquoi les résultats (H, T) et (T, H) doivent-ils être tous les deux inclus?
c. Ces résultats sont-ils équiprobables?
2. Dresser la liste des éléments entrant dans l’univers des résultats possibles
lorsque deux dés sont jetés. S’assurer que tous les éléments sont équiprobables.
a. Combien d’éléments se trouvent dans l’ensemble?
b. Comment pouvez-vous déterminer n(u) sans dresser de liste et sans compter?
3. On lance deux pièces. Nous voulons connaître la probabilité d’obtenir
deux côtés « pile ».
a. Quel(s) élément(s) y a-t-il dans l’Événement E?
b. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux côtés « pile »?
c. Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux côtés « pile »?
4. Supposons que nous lançons une pièce de monnaie trois fois.
a. Combien d’éléments y a-t-il dans u?
b. Combien d’éléments y a-t-il dans l’événement qui comprend
deux côtés « face » et un côté « pile »?
c. Calculer la probabilité de cet événement.
5. On tire deux cartes d’un jeu de 52 cartes soigneusement battu.
a. Quelle est la valeur de n(u)?
b. Quelle est la probabilité d’obtenir deux cartes de trèfle?
6. Combien d’éléments y a-t-il dans l’univers des résultats possibles de l’expérience
qui consiste à jeter trois dés?
a. Quelle est la probabilité d’obtenir la somme de 3 pour les nombres indiqués
sur les trois dés?
b. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme de 4?
c. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme inférieure à 20?
9
Les probabilités
É m i s s i o n 2 : U n m odèle de pr obalit é unif or m e
7. Une boîte contient cinq balles numérotées de 1 à 5. On choisit deux balles
au hasard.
a. Combien d’éléments y a-t-il dans l’univers des résultats possibles
de cette expérience?
b. Quelle est la probabilité que ce choix comprenne la balle 3?
c. Quelle est la probabilité que le nombre le plus grand soit 3?
d. Quelle est la probabilité que la somme des nombres tirés soit au plus 4?
8. Procéder de même que pour la question 7, mais en choisissant une balle à la fois,
et en remplaçant dans la boîte la première balle que vous avez prise avant
d’en choisir une nouvelle.
9. Tracer un arbre montrant la composition possible des familles ayant trois enfants.
L’aîné peut être soit un garçon, soit une fille ; le deuxième peut aussi être soit
un garçon, soit une fille ; et ainsi de suite.
a. Combien y a-t-il de différentes familles possibles?
b. Quelle est la probabilité pour une famille comprenant trois enfants d’avoir
deux filles et un garçon?
c. Ce problème est-il différent de celui qui met en jeu le lancer de trois pièces
de monnaie?
10
Les probabilités
É m i s s i o n 2 : U n m odèle de pr obalit é unif or m e
Émission 3 : Des événements simples 596103
Résumé de l’émission
Les diagrammes de Venn sont présentés pour illustrer les propriétés fondamentales
des probabilités. Au moyen d’exemples pratiques, on décrit le concept
des événements incompatibles et, à l’aide d’une expérience qui consiste à lancer
un seul dé, on établit la « formule » P(A ou B ) = P(A) + P(B) qui s’applique à
des événements sans éléments communs.
Si des événements ont des éléments en commun, c’est-à-dire si l’intersection de deux
événements n’est pas l’ensemble nul, alors P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A et B).
Des exemples faisant appel aux connaissances acquises dans le cadre de la série
L’analyse combinatoire servent de problèmes où l’on prend en compte
le complément d’un événement. On démontre l’utilisation de la relation
« la probabilité qu’un événement se produise plus la probabilité qu’un événement
ne se produise pas est égale à un ».
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MDM4U
Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12e année
Domaine : Dénombrement et probabilité
Attentes
• Résoudre des problèmes portant sur la probabilité d’un événement ou sur une combinaison
d’événements à l’aide de l’espace des échantillons.
• Résoudre à l’aide de l’analyse combinatoire des problèmes portant sur la probabilité d’un événement
Contenus d’apprentissage
• Décrire et représenter l’espace des échantillons discrets comme un ensemble de tous les résultats possibles,
et décrire et représenter un événement comme un sous-ensemble de l’espace des échantillons ou
comme un ensemble de résultats possibles.
• décrire et comparer des événements indépendants, dépendants, incompatibles et conditionnels à
un autre événement. Résoudre des problèmes de probabilités connexes [par exemple, P(A), P(~A),
P(A et B), P(A ou B), P(B|A)] en utilisant une variété de stratégies (par exemple, diagramme de Venn,
tableau, liste, arbre de dénombrement, formule).
• Résoudre, à l’aide des principes de dénombrement, des problèmes de probabilité concernant
des événements équiprobables.
11
Les probabilités
É m i s s i o n 3 : D es événem ent s s im ples
Révision et activités avant le visionnement
1. Trouver le nombre de permutations de 8 éléments.
2. Trouver le nombre d’arrangements de 10 éléments, en les prenant 4 à la fois.
3. Parmi un groupe de 12 élèves appartenant à un club scolaire, on doit choisir
un président, un vice-président et un trésorier. Trouver le nombre des diverses
façons de procéder.
4. Soit un club comprenant 12 membres ; trouver le nombre de comités de
3 personnes qu’il est possible de former.
5. Trouver le nombre de sous-ensembles de 5 éléments d’un ensemble de 9 éléments.
Quel est le nombre total de sous-ensembles de cet ensemble?
6. Lorsque l’on lance deux dés, quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale
à 5?
7. Lorsque l’on lance deux dés, quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale
à 6 ou une somme égale à 11?
8. On lance quatre pièces de monnaie simultanément. Quelle est la probabilité
d’obtenir un côté « face » ou un côté « pile »?
Activités après le visionnement
1. À l’aide du concept des événements incompatibles, trouver la probabilité de voir
un 3 ou un 5 apparaître en lançant un dé.
2. On lance deux dés. Trouver les probabilités d’obtenir:
a. une somme égale à 7 ;
b. une somme égale à 5 ;
c. une somme égale à 7 ou une somme égale à 5 ;
d. une somme égale à 7 et une somme égale à 5 ;
e. une somme égale à 6 et un 4 sur l’un des dés.
3. Un jeu consiste à lancer une pièce de monnaie et deux dés. Quelle est la probabilité
d’obtenir le côté « face » de la pièce ou une somme égale à 9 sur les dés?
4. Les lettres A, B, C, D, E et F sont arrangées au hasard. Calculer la probabilité
d’obtenir ce qui suit :
a. A est en première position
b. D est en quatrième position
c. C et D sont adjacents
d. Les quatre premières lettres sont des consommes.
5. En lançant sept fois une pièce, on obtient sept côtés « face ».
Quelle est la probabilité d’obtenir le côté « face » lors d’un huitième lancer?
Quelle est la probabilité d’obtenir le côté « face » huit fois de suite?
12
Les probabilités
É m i s s i o n 3 : D es événem ent s s im ples
6. Un club contient 6 filles et 9 garçons. Un comité de 4 personnes est formé
pour nettoyer après une fête. Quelle est la probabilité d’avoir exactement
un garçon parmi les membres du comité?
7. Un sac contient 12 balles rouges et 15 balles vertes.
Une personne tire au sort 7 balles du sac.
a. Quelle est la probabilité qu’elle tire exactement 3 balles rouges?
b. Quelle est la probabilité que son choix comprenne au moins
une balle verte?
c. Quelle est la probabilité que son choix comprenne 4 balles rouges
ou 4 balles vertes?
d. Quelle est la probabilité qu’elle ne tire aucune balle verte?
8. Pour gagner le gros lot d’une loterie, une personne doit choisir correctement
6 numéros dans un ensemble allant de 1 à 49 (peu importe l’ordre).
Quel est le nombre total de billets différents qui peuvent être vendus?
Quelle est la probabilité de décrocher le gros lot en achetant un seul billet?
Si une personne achète 10 billets, quelle est la probabilité qu’elle gagne le gros lot?
9. Quelles sont les chances d’obtenir trois ou quatre côtés « face » en lançant
six fois une pièce de monnaie?
10. On lance trois dés. quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 6
ou des nombres pairs sur les trois dés.
11. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme au moins égale à 5 en lançant
trois dés?
13
Les probabilités
É m i s s i o n 3 : D es événem ent s s im ples
Émission 4 : Des événements moins simples 596104
Résumé de l’émission
Après l’étude d’événements simples et incompatibles, la présente émission
aborde les cas où les résultats qui nous intéressent sont plus complexes.
On analyse des situations où plusieurs événements sans lien entre eux
se produisent simultanément. Les événements indépendants sont définis
et la « règle » P(A et B) = P(A) + P(B) est étudiée à l’aide d’exemples.
Le concept des probabilités conditionnelles est expliqué au moyen d’exemples
mettant en jeu des pièces de monnaie et des sous-ensembles.
La « règle » P(A étant donné B) = P(A et B)/P(B) est expliquée et appliquée.
Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l’Éducation de l’Ontario
MDM4U
Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12e année
Domaine : Dénombrement et probabilité
Attentes
• Résoudre des problèmes portant sur la probabilité d’un événement ou sur une combinaison
d’événements à l’aide de l’espace des échantillons.
• Résoudre à l’aide de l’analyse combinatoire des problèmes portant sur la probabilité d’un événement
Contenus d’apprentissage
• Décrire et représenter l’espace des échantillons discrets comme un ensemble de tous les résultats possibles,
et décrire et représenter un événement comme un sous-ensemble de l’espace des échantillons ou
comme un ensemble de résultats possibles.
• décrire et comparer des événements indépendants, dépendants, incompatibles et conditionnels à
un autre événement. Résoudre des problèmes de probabilités connexes [par exemple, P(A), P(~A),
P(A et B), P(A ou B), P(B|A)] en utilisant une variété de stratégies (par exemple, diagramme de Venn,
tableau, liste, arbre de dénombrement, formule).
• Résoudre, à l’aide des principes de dénombrement, des problèmes de probabilité concernant
des événements équiprobables.
14
Les probabilités
É m i s s i o n 4 : D es événem ent s m oins s im ples
Révision et activités avant le visionnement
1. On lance deux dés. Nous nous intéressons aux événements
« somme égale à 8 apparaît » et « 3 apparaît sur l’un des dés ».
Ces événements sont-ils incompatibles?
2. Au moyen d’ensembles, trouver la probabilité de la réalisation du premier
événement de la question 1 ou du deuxième événement.
3. Trouver la probabilité de voir apparaître une somme égale à 5 et un 2
sur l’un des dés en lançant deux dés.
4. Si on lance quatre dés et que l’on prenne en compte la somme qui apparaît
sur ces quatre dés, combien y a-t-il d’éléments dans l’univers des résultats possibles?
5. Deux équipes s’affrontent dans le cadre d’une série éliminatoire
« deux de trois ». Ceci veut dire que la première équipe qui remportera deux
parties sera la championne. Tracer un arbre pour montrer tous les résultats
possibles.
a. Combien d’éléments y a-t-il dans l’univers des résultats possibles?
b. Ces éléments sont-ils tous équiprobables?
Activités après le visionnement
1. On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Nous recherchons
l’événement « face apparaît ».
a. Ces événements sont-ils indépendants?
b. Le résultat d’un lancer a-t-il une influence sur le résultat
du prochain lancer?
c. Quelle est la probabilité d’obtenir le côté « face » trois fois de suite?
2. On joue à un jeu qui consiste à lancer une pièce de monnaie et à jeter un dé.
Le joueur gagne s’il obtient le côté « face » de la pièce et 5 sur le dé.
Quelle est la probabilité qu’il gagne?
3. Tracer un arbre montrant les diverses compositions possibles d’une famille
qui a trois enfants. Par exemple, l’aîné peut être un garçon ou une fille,
le deuxième un garçon ou une fille et ainsi de suite.
a. Si la probabilité d’avoir un garçon est 0,5 et la probabilité d’avoir une fille
est également 0,5, quelle est la probabilité que cette famille ait
exactement trois filles?
b. Quelle est la probabilité qu’elle ait deux garçons et une fille?
4. Deux équipes participent à une série éliminatoire « deux de trois ».
La probabilité que l’équipe A remporte une partie donnée est 0,65.
a. Quelle est la probabilité que l’équipe A gagne la série?
b. Quelle est la probabilité que la série se termine après deux parties
(envisager que l’équipe A peut remporter les deux parties mais
qu’elle peut aussi les perdre)?
15
Les probabilités
É m i s s i o n 4 : D es événem ent s m oins s im ples
5. On lance un dé deux fois (les lancers sont des événements indépendants).
Trouver la probabilité que :
a. les deux lancers fassent apparaître un 4;
b. la somme des deux lancers soit au moins égale à 10 ;
c. un lancer fasse apparaître un 4 et que l’autre nombre ne soit pas pair.
6. Quatre archers visent une cible. La probabilité que chacun d’eux tire
dans le mille est 0,75. Trouver la probabilité qu’exactement trois archers tirent
dans le mille.
7. On lance un dé. Si le résultat est un nombre pair, trouver la probabilité
que le résultat soit égal à 2.
8. Soit une expérience consistant à lancer trois dés, les événements suivants
nous intéressent :
a. exactement l’une des faces qui apparaît porte un trois;
b. deux des faces qui apparaissent sont identiques;
c. les trois faces qui apparaissent sont différentes les unes des autres.
• Trouver P(A), P(B), P(C), P(A et C)
• Trouver P(A étant donné C), et P(B étant donné A)
9. Un club comprend 12 filles et 20 garçons. Parmi ces 32 membres on choisit
au hasard un comité de 4 personnes.
a. Trouver la probabilité que Jean et Lucie ainsi que 2 filles fassent partie
du comité.
b. Trouver la probabilité que le comité soit composé de Lucie et
de 3 autres filles.
c. Si Joseph et Jean sont déjà choisis comme membres de ce comité,
trouver la probabilité que le comité comprenne exclusivement des garçons.
d. Si une fille et un garçon sont déjà choisis, quelle est la probabilité que
les deux autres membres soient aussi une fille et un garçon?
9. Supposons que, lors d’une naissance, la probabilité que ce soit un garçon
est de 0,5 et que les naissances successives soient des événements indépendants.
Quelle est la probabilité que dans une famille de trois enfants le plus jeune
soit une fille si l’aînée est aussi une fille? Ces suppositions sont-elles valables
dans la « vie réelle »?
16
Les probabilités
É m i s s i o n 4 : D es événem ent s m oins s im ples
Émission 5 : Les distributions de probabilités 596105
Résumé de l’émission
Les premières images de cette émission illustrent les concepts d’équité et de justice
dans un contexte historique. Puis, à l’aide d’une expérience familière qui consiste à
lancer deux dés, on explique le concept des distributions de probabilités.
Nous obtenons une distribution de probabilités lorsqu’une valeur numérique est
donnée à tous les résultats possibles d’une expérience. Dans le présent exemple,
cette valeur est donnée naturellement en observant, ou en prenant en compte,
les sommes qui apparaissent sur les dés. Le nombre donné porte le nom de variable
aléatoire X, et la probabilité assortie à chaque résultat est représentée par P(X).
L’étude du cas d’un comité formé par un nombre donné de membres d’un club
permet de définir le concept d’espérance (comparable à une moyenne pondérée).
On illustre ce concept et on dégage la notion de jeu équitable en revenant à l’exemple
du lancer de deux dés et en se penchant sur un problème centré sur une tombola.
17
Les probabilités
É m i s s i o n 5 : Les dis t r ibut ions de pr obabilit és
Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l’Éducation de l’Ontario
MDM4U
Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12e année
Domaine : Dénombrement et probabilité
Attente
Résoudre des problèmes portant sur la probabilité d’un événement ou sur une combinaison
d’événements à l’aide de l’espace des échantillons.
Contenu d’apprentissage
Déterminer la probabilité théorique, c’est-à-dire une valeur entre 0 et 1, pour chaque résultat de l’espace
des échantillons discrets, P(A), où A est un événement possible (par exemple, tous les résultats possibles
lorsqu’on lance un dé ont la même probabilité) et reconnaître que la somme de toutes les probabilités
est égale à 1.
MDM4U
Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12e année
Domaine : Distribution des probabilités
Attente
Démontrer une compréhension de la distribution de probabilités discrètes et de ses représentations numérique,
graphique et algébrique, et résoudre ainsi des problèmes provenant de diverses applications.
Contenus d’apprentissage
• Reconnaître et identifier une variable aléatoire discrète, c’est-à-dire une variable aléatoire qui
produit une valeur unique pour chaque élément de l’espace des échantillons, générer une distribution
de probabilité − c’est-à-dire une fonction qui, à chaque valeur de la variable aléatoire x, associe
une probabilité P(x) − en calculant les probabilités associées à chaque valeur de la variable aléatoire,
à l’aide ou non d’outils technologiques, et représenter numériquement la distribution des probabilités
avec une table de valeurs.
• Calculer l’espérance mathématique d’une distribution des probabilités, c’est-à-dire E(X)= xP(x),
interpréter cette espérance pour des applications diverses et établir des liens entre cette espérance
et la moyenne pondérée des valeurs d’une variable aléatoire discrète.
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Les probabilités
É m i s s i o n 5 : Les dis t r ibut ions de pr obabilit és
Révision et activités avant le visionnement
1. Établir un tableau montrant les probabilités d’obtenir les nombres 2, 3, 4…12
en lançant deux dés.
2.
a. Trouver le nombre de mains de poker de 5 cartes provenant
d’un jeu de 52 cartes qui contient exactement un as.
Quelle est la probabilité qu’une main contienne exactement un as?
b. Trouver la probabilité d’obtenir, une main de poker de 5 cartes
qui contienne exactement un couple de rois.
c. Trouver la probabilité d’obtenir 3 cartes de même valeur dans une main
de poker de 5 cartes.
3. Quelles sont les chances de ne pas obtenir un flush (5 cartes de la même couleur)
dans une main de poker de 5 cartes?
4. Combien de mains de bridge de 13 cartes contiennent exactement 6 trèfles?
a. Combien y a-t-il de différentes mains de bridge de 13 cartes?
b. Quelle est la probabilité d’obtenir une main de bridge qui comporte
5 trèfles, 6 piques et 2 carreaux?
c. Quelle est la probabilité d’obtenir une main de bridge de 13 cartes
qui contienne au moins un trèfle?
5. Lors d’un lancer de deux pièces de monnaie, quelles sont les probabilités
d’obtenir 0,1 ou 2 côtés « face »?
6. On lance trois pièces. Établir un tableau montrant les probabilités
d’obtenir 0, 1, 2 ou 3 côtés « pile ».
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Les probabilités
É m i s s i o n 5 : Les dis t r ibut ions de pr obabilit és
Activités après le visionnement
1. Tracer la distribution des probabilités visant une expérience consistant
à « lancer quatre pièces », la variable aléatoire X représentant le nombre
de côtés « face » obtenus.
2. Trouver le nombre prévu de côtés « face » dans la question 1.
3. Joseph et Lucie jouent trois fois à un jeu. Les chances que Lucie gagne une partie
donnée sont de 0,65. Chaque partie est indépendante.
a. Tracer une distribution de probabilités, la variable aléatoire X
représentant le nombre de parties gagnées par Lucie.
b. Quel est le nombre prévu de victoires pour Lucie?
c. Quel est le nombre prévu de victoires pour Joseph?
4. Soit un jeu dans le cadre duquel on utilise deux pièces, l’une ordinaire
avec un côté « face » et un côté « pile », et l’autre dont les deux côtés sont « face ».
On choisit l’une des pièces au hasard et on la lance.
a. Quelle est la probabilité que la pièce choisie soit celle avec
deux côtés « face »?
b. Trouver la probabilité d’obtenir le côté « face » de la pièce lancée.
c. Trouver la probabilité que, si le lancer a pour résultat le côté « face »,
le revers de la pièce soit également « face ».
5. Proposer la situation suivante aux élèves.
Soit un jeu qui consiste à lancer un dé et à jeter une pièce. Vous gagnerez 5$
si un nombre impair apparait sur le dé et si vous obtenez le côté « face »
de la pièce. Vous gagnerez 10$ si le nombre 2 ou 4 apparaît sur le dé, et
si vous obtenez le côté « face ». Vous gagnerez 15$ si le côté « face » et
le nombre 6 sur le dé apparaissent. Vous perdrez 4$ dans tous les autres cas.
Leur demander de répondre aux questions et de faire les activités suivantes :
a. Tracer une distribution des probabilités pour ce jeu.
b. Trouver l’espérance de ce jeu, c’est-à-dire la somme que vous espérez
gagner ou perdre en jouant une partie. Si vous jouez 100 parties,
combien de parties espérez-vous gagner ou perdre?
c. Devriez-vous jouer à ce jeu?
d. Que devriez-vous payer ou recevoir pour rendre ce jeu « équitable »?
6. Lorsque l’on lance deux dés, quel est le résultat prévu?
7. Supposons que l’on vous invite à jouer à un jeu dans le cadre duquel on lance
une pièce et on tire une carte d’un jeu de 52. Vous gagnerez 1$ si le côté « face »
apparaÎt et votre carte est un trèfle, 4$ si le côté est « pile » et la carte est
un carreau, et 8$ si le côté est « face » et la carte est un pique.
Dans tous les autres cas vous perdrez. Combien devrIez-vous perdre, lorsque
le résultat vous est défavorable, si le jeu est « équitable »?
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Les probabilités
É m i s s i o n 5 : Les dis t r ibut ions de pr obabilit és
Émission 6 : Les épreuves de Bernoulli 596106
Résumé de l’émission
On analyse les épreuves de Bernoulli ou épreuves répétées au cours desquelles
un événement est reproduit plusieurs fois. Toutes les épreuves doivent être identiques
les unes aux autres. Deux résultats sont possibles : un succès et un échec.
Partant d’un problème mettant en jeu la probabilité d’avoir exactement
trois filles dans une famille de quatre enfants, on étudie la relation avec
la distribution binominale et on établit la « formule »
x
« p » étant la probabilité d’un succès et « q » la probabilité d’un échec.
D’autres exemples, y compris des questions sur les cycles de production et les examens
à choix multiples, sont présentés et résolus.
Liens au programme-cadre de Mathématiques du ministère de l’Éducation de l’Ontario
MDM4U
Titre : Mathématiques de la gestion des données, 12e année
Domaine : Dénombrement et probabilité
Attente
Démontrer une compréhension de la distribution de probabilités discrètes et de ses représentations numérique,
graphique et algébrique, et résoudre ainsi des problèmes provenant de diverses applications.
Contenus d’apprentissage
• Calculer l’espérance mathématique d’une distribution des probabilités, c’est-à-dire E(X)= xP(x), interpréter
cette espérance pour des applications diverses et établir des liens entre cette espérance et la moyenne
pondérée des valeurs d’une variable aléatoire discrète.
• Reconnaître, pour une variable aléatoire, les conditions donnant lieu à une distribution
binomiale (par exemple, des essais répétitifs et indépendants), calculer la probabilité associée à
chaque valeur de la variable aléatoire, représenter les valeurs numériquement par une table et
graphiquement par un histogramme des probabilités, et faire des liens avec sa représentation algébrique,
c’est-à-dire P(x) = C(n,x)px (1--p)n-x
• Résoudre des problèmes, y compris ceux tirés d’applications, faisant appel aux distributions de
probabilités (par exemple, uniforme, hypergéométrique, binomiale).
Remarque : La résolution de problèmes porte sur la distribution binomiale dans cette émission.
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Les probabilités
É m i s s i o n 6 : Les épr euves de Ber noulli
Révision et activités avant le visionnement
1. On lance une pièce cinq fois. Trouver la probabilité d’obtenir :
a. le côté « face » cinq fois;
b. le côté « pile » une fois;
c. le côté « face » trois fois.
2. Soit des dés dont les cinq faces sont numérotées de 1 à 5. Lorsque l’un de ces dés
s’arrête de rouler après être lancé, il est d’égale vraisemblance pour chacune
de ses faces d’être celle qui sera cachée.
a. Tracer une distribution de probabilités pour la somme des faces cachées
lorsque deux de ces dés sont lancés.
b. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme égale à 7 avec deux dés?
c. Quelle est la valeur prévue de cette somme?
3. Soit un jeu dans le cadre duquel on jette un dé ordinaire, on lance une pièce
de monnaie et on tire une carte d’un jeu de 52 cartes. Vous devez payer 5$
pour participer à ce jeu. Vous gagnerez 3$ si un nombre pair apparaît sur le dé,
si vous obtenez le côté « face » de la pièce et si vous tirez une carte noire.
Vous gagnerez 20$ si le nombre apparaît sur le dé, si vous obtenez le côté
« face » de la pièce et si vous tirez une carte noire. Vous gagnerez 4 $ si le nombre
3 ou 5 apparaît sur le dé, si vous obtenez le côté « face » de la pièce et si vous tirez
une carte noire. Dans tous les autres cas, vous récupérez vos 5$.
a. Quel est le montant prévu que vous pouvez gagner (ou perdre)
en participant à ce jeu?
b. Combien gagnerez-vous ou perdrez-vous en y jouant 50 fois?
c. Quels devraient être les frais de participation pour que ce jeu
soit « équitable »?
4. Supposons que la probabilité d’avoir un enfant du sexe masculin soit de 0,51.
a. Tracer un arbre représentant les diverses compositions possibles
pour une famille de trois enfants.
b. Quelle est la probabilité d’avoir une famille composée de deux garçons
et d’une fille?
c. Quelle est la probabilité d’avoir trois filles?
d. Quelle est la probabilité d’avoir trois garçons?
5. Un sac contient 6 balles, 4 sont rouges et 2 sont vertes. Une personne tire au sort
2 balles de ce sac.
a. Tracer une distribution de probabilités pour le nombre de balles rouges
tirées.
b. Quel est le nombre prévu de balles rouges tirées.
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Les probabilités
É m i s s i o n 6 : Les épr euves de Ber noulli
Activités après le visionnement
1. On lance une pièce de monnaie six fois. Trouver la probabilité d’obtenir exactement
quatre côtés « face ».
2. On lance deux dés 10 fois. Trouver la probabilité d’obtenir exactement deux fois
la somme de 7.
3. On lance deux dés. Supposons que P(x) représente la probabilité d’obtenir
une somme de x sur le dé. Montrer que la somme de tous les P(x) est égale à un.
4. Dans une famille de sept enfants, trouver la probabilité qu’elle soit composée :
a. de cinq filles;
b. de quatre garçons;
c. d’au moins deux filles;
d. de trois garçons, si la probabilité d’avoir un enfant du sexe masculin
est de 0,508.
5. Une boite contient 10 ampoules dont 2 qui sont défectueuses et ne s’allument pas.
Si on choisit 2 ampoules au hasard, trouver la probabilité que l’une d’elle au moins
soit défectueuse.
6. La probabilité qu’une ampoule soit défectueuse est de 0,13. Pour un échantillon
qui comprend 120 ampoules, trouver la probabilité qu’exactement 14 d’entre elles
soient défectueuses.
7. Pour décrocher le gros lot d’une loterie hebdomadaire, vous devez choisir
correctement 6 numéros dans un ensemble allant de 1 à 49.
a. Quelle est la probabilité que vous remportiez le gros lot en achetant un billet?
Si vous achetez un billet toutes les semaines, quelle est la probabilité que
vous gagniez le gros lot exactement une fois? Quelle est la probabilité que
vous gagniez le gros lot au moins une fois?
8. On lance une pièce 400 fois.
a. Quelle est la probabilité d’obtenir le côté « face » exactement 200 fois?
b. Quelle est la probabilité d’obtenir le côté « face » au moins 195 fois?
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Les probabilités
É m i s s i o n 6 : Les épr euves de Ber noulli