Examen de Mécanique Quantique - Fichier

L3-PHYSIQUE
Examen de Mécanique Quantique
Première session – Mai 2016
3 heures, documents manuscrits autorisés (cours et TD), pas de smartphone
Exercice 1 : Oscillateur harmonique
On considère un oscillateur harmonique décrit par l’Hamiltonien
ˆ
H=ˆ
P2
2m+mω2 2ˆ
X2(1)
Après le changement de variables ˆq=pmω
~ˆ
Xet ˆp=1
√m~ωˆ
P, cet Hamiltonien s’écrit ˆ H=~ω
2(ˆp2+ ˆq2). On définit
les opérateurs
ˆa=ˆq+iˆp
√2,ˆ
N= ˆa+ˆa(2)
1. Rappeler les actions des opérateurs ˆ H,ˆa+et ˆasur les états propres |nide l’opérateur ˆ Nde valeur propre
n.
2. Trouver les deux fonctions propres φn(x) = hx|nide plus basses énergies, explicitement comme des variables
de x, grâce aux expressions de ˆa+et ˆadans l’espace réel.
Exercice 2 : Particule ferromagnétique
On considère une particule ferromagnétique décrite par l’Hamiltonien effectif
ˆ
H=aˆ Jz+b
~ˆ
J2
z(3)
où aet bsont deux constantes positives ou nulles ayant les dimensions d’une pulsation. Le système a trois états
stationnaires correspondant au moment cinétique j= 1 et formant une base {|+ 1i,|0i,|−1i} constituée des trois
vecteurs propres de ˆ Jztels que ˆ Jz|mi=~m|miavec m= 0,±1.
1. Donner la représentation matricielle dans la base de chaque terme du Hamiltonien. Quels sont les niveaux
d’énergie du système et pour quelle valeur du rapport a
by a-t-il dégénérescence du niveau fondamental ?
2. On considère le moment magnétique ~ Massocié au moment cinétique, et γle rapport gyromagnétique
correspondant. On applique un faible champ statique ~ Bdans la direction ~u(θ, φ)les deux angles du repère
sphérique. Exprimer en fonction des composantes de ~ Jet des angles (θ, φ)l’énergie d’interaction Wdu
moment magnétique avec ~ B. Ecrire la matrice représentant Wdans la base des trois états propres. On
donne l’expression des matrices ˆ Jxet ˆ Jy:
ˆ
Jx=~
√2
010
101
010
ˆ
Jy=~
√2
0−i0
i0−i
0i0
(4)
3. On suppose que b=aet que la direction de ~u est parallèle à Ox. Calculer les énergies et les états propres
de Wdans le sous-espace des deux états dégénérés.
Exercice 3 : Triple puits de potentiel
On considère une particule dans un triple de puits de potentiel. On désigne par |ii(i= 1,2ou 3) l’état de la
particule lorsqu’elle se trouve dans le puits numéro iet on suppose que hi|ji=δi,j .
On introduit dans le système un processus qui permet à la particule de passer d’un puits à l’autre par effet
tunnel avec une amplitude t > 0, ce qui conduit à l’Hamiltonien :
ˆ
H=t(|1ih2|+|2ih1|+|1ih3|+|3ih1|+|2ih3|+|3ih2|)(5)
1. Démontrer que l’opérateur de permutation ˆ Pdéfini par ˆ P|1i=|2i,ˆ P|2i=|3iet ˆ P|3i=|1icommute avec
l’Hamiltonien.
1

2. Que vaut ˆ P3? En déduire les valeurs propres de ˆ P.
3. Déterminer les vecteurs propres associés.
4. En déduire les valeurs propres de ˆ Het leur dégénérescence.
Exercice 4 : Evolution temporelle
On considère un système à deux niveaux dont le Hamiltonien, dans la base {|+i,|−i} s’écrit
ˆ
H=~A B
B−A(6)
On donne les valeurs propres et les vecteurs propres de ˆ H:
(E+=~√A2+B2|χ+i= cos θ
2|+i+ sin θ 2|−i
E−=−~√A2+B2|χ−i=−sin θ
2|+i+ cos θ 2|−i (7)
avec cos θ=A
√A2+B2,sin θ=B √A2+B2et tan θ=A
B.
1. Le vecteur d’état |φ(t)iau temps tpeut se décomposer sur la base {|+i,|−i},|φ(t)i=c+(t)|+i+c−(t)|−i.
Ecrire le système d’équations différentielles couplées auquel obéissent les composantes c±(t).
2. En déduire que ces composantes vérifient l’équation différentielle
d2c±
dt2+ω2 4c±= 0 (8)
avec ~ωla différence d’énergie entre les deux niveaux et ω= 2√A2+B2.
3. On décompose à présent |φ(t= 0)isur la base {|χ+i,|χ−i} comme |φ(t= 0)i=λ|χ+i+µ|χ−iavec
|λ|2+|µ|2= 1. Montrer que c+(t)s’écrit :
c+(t) = λe−iωt
2cos θ
2−µeiωt
2sin θ
2(9)
4. On suppose que c+(0) = 0. En déduire λet µà une phase près, ainsi que c+(t).
5. Montrer que la probabilité de trouver le système au temps tdans l’état |+iest
p+(t) = sin2θsin2ωt
2=B2 A2+B2sin2ωt 2.(10)
6. Montrer que si c+(0) = 1, alors
c+(t) = cos ωt
2−icos θsin ωt 2.(11)
7. En déduire p+(t)et p−(t)et vérifier la compatibilité du résultat avec celui de la question précédente.
Exercice 5 : Etat quantique d’un atome d’hydrogène
On considère un atome d’hydrogène formé d’un noyau fixe de charge eet d’un électron de masse met de charge
−e. L’opérateur Hamiltonien de cet électron en coordonnées sphériques s’écrit :
ˆ
Hr,θ,φ =−~2
2m
1
r2
∂
∂r r2∂ ∂r +
ˆ
L2
θ,φ
2mr2−e2 r
Dans cette expression, ˆ L2est l’opérateur associé au carré du moment cinétique orbital, et le coefficient 1/(4π0)
de l’énergie potentielle a été incorporé dans e2.
On place l’électron dans un état quantique décrit par la fonction d’onde :
Ψ(r, θ, φ, t) = A(t)e−ρ/2+B(t)(1 −ρ/4)e−ρ/4
Dans cette expression, A(t)et B(t)sont des nombres complexes fonctions uniquement du temps, et la distance
radiale ra été remplacée par la variable adimensionée ρ=2me2
~2r.
1. Que vaut ˆ L2Ψpour cet état quantique ? Quel est le nombre quantique orbital lde cet état ?
2. Ecrire l’opérateur ˆ Hen fonction de la variable adimensionée ρ. On fera apparaître l’énergie caractéristique
R=me4
2~2.
3. Calculer ˆ HΨpour cet état quantique. Est-ce un état stationnaire ?
4. En appliquant l’équation de Schrödinger, établir les équations différentielles temporelles sur A(t)et B(t),
puis donner leur solution.
5. Rappeler les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène. A quoi correspond l’état quantique Ψ?
6. Calculer la densité de probabilité de présence |Ψ|2. A quelle fréquence oscille-t-elle ? A quoi correspond cette
fréquence ?
2