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PLAN
MECANIQUE
QUANTIQUE
COURS 5 – SYSTEMES- A-DEUX- NIVEAUX
•
Rappels
•
L’inversion de la molécule d’ammoniac
•
L’oscillation des neutrinos : Prix Nobel 2015
•
La molécule d’ammoniac en présence d’un champ électrique
QUENTIN GLORIEUX
3P001 – UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE 2015-2016
Systèmes à deux niveaux
SYSTEME-A-DEUX-ETATS-ET-SUPERPOSITION
RAPPELS
On a vu que l’on peut toujours X
décomposer un état quantique sur une
base hilbertienne
| i=
Cn | n i
•
La valeur moyenne d’un opérateur pour l’état | i est donné par :
hai = h |Â| i
n
En dimension deux, on a de façon générale :
| i = cos
✓
2
|0i + ei sin
✓
2
2
•
Evolution temporelle :
Soit | (t)i l’état d’un système à l’instant t. Tant que le système n’est
soumis à aucune observation, son évolution au cours du temps est régie
par l’équation de Schrödinger :
|1i
Pour décrire cet état, on utilise une
représentation géométrique :
la sphère de Bloch :
• |
3
ni
sont les états propres de l’Hamiltonien alors :
Systèmes à deux niveaux
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SPHERE-DE-BLOCH
•
MODELISATION-DU-DOUBLE-PUITS
On s’intéresse aux niveaux d’énergie E<V0
Etat sur l’équateur :
i
1
e
| i = p |0i + p |1i
2
2
•
Evolution :
1
| (t)i = p |0ie
2
| (t)i = e
iE0 t/~
iE0 t/~
✓
ei
+ p |1ie
2
iE1 t/~
"b
1
ei(E0 E1 )t/~+
p |0i +
p
|1i
2
2
◆
Systèmes à deux niveaux
b
On cherche les solutions sous la
forme ci-contre avec des solutions
paires et des solutions impaires .
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PHÉNOMÈNE-D’INVERSION
Systèmes à deux niveaux
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RESOLUTION-EN-NOTATION-DE-DIRAC
On a trouvé les solutions symétriques et anti-symétriques (ce sont les
états propres de l’énergie). On peut les combiner linéairement :
|
Ai
|
Si
On ne s’intéresse qu’aux deux niveaux d’énergie les plus bas, ce sont
des états propres de H, donc stationnaires | A i et | S i.
Un état quelconque s’écrira dans cette base :
Cette combinaison linéaire va donc évoluer dans le temps !!!
ou sous forme matricielle :
avec | |2 + |µ|2 = 1
Que vaut le Hamiltonien dans cette base ?
avec ⌫ = (EA
ES )/h = 2A / e
K
, la fréquence de Bohr du système.
Cette valeur vaut ⌫ = 24 GHz pour l’ammoniac. Très sensible à b et V0
Systèmes à deux niveaux
C’est la restriction du Hamiltonien au sous-espace qui nous intéresse !
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Systèmes à deux niveaux
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EVOLUTION-TEMPORELLE
OBSERVABLE-POSITION
Comme d’habitude :
L’observable X est donc l’observable « position » :
Puis
avec
On obtient la valeur +1 si la particule est à droite et -1 à gauche.
Ce n’est pas l’observable position au sens des fonctions d’onde !
Nous avions définis | D i et | G i, les états correspondant aux configurations
classiques d’une particule à droite ou à gauche.
On peut calculer la valeur moyenne de la position dans l’état
Soit sous forme matricielle :
On trouve :
Ce sont les vecteurs propres de :
Si l’état initial est |
Di
cela se simplifie en :
On a donc bien une oscillation comme nous avions vu précédemment.
Systèmes à deux niveaux
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Systèmes à deux niveaux
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COUPLAGE-ET-TRANSITION
REMARQUE-SUR-LA-DIAGONALISATION
On peut inverser le problème et se demander comment s’écrit le
Hamiltonien, l’observable position et les états symétriques et antisymétriques dans la base | D i et | G i?
En dimension 2, sauf dans les cas très simples, il est souvent utile de se
ramener à une matrice de la forme :
✓
On a :
cos(2✓)
sin(2✓)
sin(2✓)
cos(2✓)
◆
En effet on peut écrire le Hamiltonien :
Dans cette base X est diagonal :
Et H s’écrit :
Il faut se souvenir des valeurs propres et vecteurs propres dans ce cas :
Les termes diagonaux sont les énergies des états en absence de
couplage (barrière haute et large).
Les termes anti-diagonaux sont des termes de couplage ! Ils
caractérisent la transition entre les deux états à la fréquence A/~
Systèmes à deux niveaux
le verifier !
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Systèmes à deux niveaux
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PRIX-NOBEL-2015-:-OSCILLATIONS-DES-NEUTRINOS
LES-NEUTRINOS-ATMOSPHERIQUES
•
•
On vit dans un monde de neutrinos :
65 milliards de Neutrinos / seconde /cm2 sur Terre
•
Comment les détecter :
Takaaki Kajita and Arthur B. McDonald
•
•
•
Pauli&:&“I&have&done&a&terrible&thing,&I&have&postulated&a&particle&that&cannot&be&detected”.
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Grand reservoir d’eau très pure
Collision avec un noyau ou un électron pour créer des muons ou
des électrons (selon la saveur du neutrino en question)
La particule chargée se propage dans l’eau : effet Cerenkov
Systèmes à deux niveaux
SUPER-KAMIOKANDE-A JAPON
LES-NEUTRINOS-SOLAIRES
Neutrinos atmospheriques :
Le soleil produit des neutrinos électroniques
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Expérience SNO pour mesurer :
1. les neutrinos electroniques
2. tous les neutrinos
Manque-t-il des
neutrinos ??
2/3 sont perdus dans
le trajet depuis le soleil
(environ 8 minutes à c)
Systèmes à deux niveaux
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Systèmes à deux niveaux
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OU-SONT-LES-NEUTRINOS-MANQUANTS-?
LES-NEUTRINOS-ONT-UNE-MASSE-!
•
Ils sont là : mais ils ont changés de saveur !
L’oscillation des neutrinos implique qu’ils aient une masse.
•
Espace de Hilbert de dimension 3 :
Les experiences SNO et SuperKamiokande ont permis de mettre des
bornes sur ces masses.
•
•
Base saveur :
Base énergie (masse) :
On a :
qui dépend de la différence
(pour simplifier les calculs on se restreint à une base 2x2)
A l’instant d’émission les neutrinos solaires sont tous électroniques :
Pour des particules relativistes on a :
La vitesse des neutrinos est proche de c : p = mv
| (t = 0)i = |⌫e i = cos✓|µ1 i + sin✓|µ2 i
Après propagation : | (t)i = e
iE1 t/~
cos ✓|µ1 i + e
iE2 t/~
=q
1
Donc
sin ✓|µ2 i
On en déduit :
1
v2
c2
On peut alors calculer la probabilité de mesurer un neutrino électronique:
Puis :
Systèmes à deux niveaux
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: : mesurable à l’aide des oscillations !
Systèmes à deux niveaux
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DIPOLE-DANS-UN-CHAMP-ÉLECTRIQUE
OPERATEUR-DIPOLE
Restriction à deux niveaux :
Passons maintenant au formalisme quantique pour un dipole dans un
champ électrique (non quantifié) E .
Si on note D̂ le dipole le long de l’axe x et Ŵ l’opérateur énergie
électrostatique on a : Ŵ = D̂E
En bonne approximation D̂ est diagonale dans la base |
Dans la base
Les valeurs propres sont d0 ,
le Hamiltonien s’écrit :
d0
soit :
La molécule d’ammonica est un dipole électrique :
Quelle est l’action de de D̂ dans la base
Lorsqu’on la place dans un champ électrique
Systèmes à deux niveaux
D i, | G i
l’énergie va s’écrire :
s’inverse en
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Systèmes à deux niveaux
?
donc :
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HAMILTONIEN-TOTAL
DIAGONALISATION-DU-HAMILTONIEN-TOTAL
On cherche l’Hamiltonien totale de la molécule d’ammoniac en présence
d’un champ électrique dans la base
:
Le Hamiltonien se diagonalise donc simplement dans la base |
i, |
+i
avec les valeurs propres ±~⌦/2
On sépare les termes diagonaux (énergies propres) des termes antidiagonaux (couplage avec le champ électrique).
On peut tracer le diagramme d’énergie :
Le Hamiltonien total n’est plus diagonal en présence d’un champ
électrique, il faut trouver les nouveaux états propres.
On met le Hamiltonien sous une forme simple :
Ĥtot
Systèmes à deux niveaux
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PREPARATION-DANS-UN-ETAT-QUANTIQUE
On peut préparer les atomes d’ammoniac tous dans le même état |
avec le dispositif suivant :
Etat + : attiré vers les champs faibles
Etat - : attiré vers les champs forts
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CHAMP-OSCILLANT
i, |
+i
Que se passe t’il lorsqu’on applique un champ électrique oscillant et non un
champ statique ?
Le Hamiltonien devient explicitement dépendant du temps !
Pour un système à deux niveaux on peut resoudre l’équation de Schrodinger
On prend comme état initial
avec a(0)=0 et b(0)=1
Systèmes à deux niveaux
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Systèmes à deux niveaux
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APPROXIMATION-DU-CHAMP-TOURNANT
On trouve les solutions en faisant une approximation supplémentaire :
Systèmes à deux niveaux
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