Espaces vectoriels, algèbres, sous-espaces vectoriels

Cours de Math´ ematiques
Espaces vectoriels, applications lin´ eaires
Table des mati`eres
I Espaces vectoriels, alg`ebres .............................. 2
I.1 Structure d’espace vectoriel et d’alg`ebre .................. 2
I.2 Combinaisons lin´eaires ............................ 2
I.3 Espaces vectoriels et alg`ebres classiques ................... 3
II Sous-espaces vectoriels et sous-alg`ebres ....................... 4
II.1 D´efinitions et caract´erisations ........................ 4
II.2 Exemples classiques .............................. 5
II.3 Op´erations entre sous-espaces vectoriels ................... 5
II.4 Sommes directes ............................... 6
II.5 Sous-espaces suppl´ementaires ........................ 7
III Applications lin´eaires ................................. 8
III.1 D´efinitions et notations ............................ 8
III.2 Exemples d’applications lin´eaires ...................... 8
III.3 Op´erations sur les applications lin´eaires ................... 9
III.4 Noyau et image ................................ 10
III.5 Projections et sym´etries vectorielles ..................... 10
IV Familles libres, g´en´eratrices, bases .......................... 12
IV.1 Familles libres ................................. 12
IV.2 Familles g´en´eratrices ............................. 13
IV.3 Bases ...................................... 14
V Espaces vectoriels de dimension finie ........................ 15
V.1 Notion de dimension finie .......................... 15
V.2 Sous-espaces de dimension finie ....................... 16
V.3 Exemples d’espaces vectoriels de dimension finie .............. 17
V.4 Applications lin´eaires et dimension finie ................... 18
VI Formes lin´eaires, hyperplans, dualit´e ........................ 19
VI.1 Formes lin´eaires, espace dual ......................... 19
VI.2 Hyperplans et formes lin´eaires ........................ 20
VI.3 Bases duales .................................. 20
VI.4 Exemples de bases duales .......................... 21
VI.5 Equations d’un sous-espace en dimension finie ............... 22
Dans tout le chapitre, Kd´esigne Rou C.
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Espaces vectoriels, applications lin´ eaires
Partie I : Espaces vectoriels, alg`ebres
I Espaces vectoriels, alg`ebres
I.1 Structure d’espace vectoriel et d’alg`ebre
D´efinition
On dit que l’ensemble Eest un espace vectoriel sur K, ou un K-espace vectoriel, si :
–Eest muni d’une loi interne + pour laquelle Eest un groupe commutatif.
– Il existe une application (α, u)→αu de K×Edans E, dite loi externe telle que :
∀(α, β)∈K2
∀(u, v)∈E2(α+β)u=αu +βu, α(u+v) = αu +αv
α(βu) = (αβ)u, 1u=u
Conventions
Soit Eun espace vectoriel sur K.
Les ´el´ements de Esont appel´es vecteurs et ceux de Ksont appel´es scalaires.
Le neutre −→ 0 de (E,+) est appel´e vecteur nul.
L’espace vectoriel Eest parfois not´e (E, +,·) pour rappeler les deux lois.
Proposition (R`egles de calcul dans un espace vectoriel)
Soit Eun espace vectoriel sur K. Pour tout scalaire αet tous vecteurs uet v:
–αu =−→ 0⇔α= 0 ou u=−→ 0 .
–α(−u) = (−α)u=−(αu).
–α(u−v) = αu −αv.
Remarque (D´ependance relativement au corps des scalaires)
Si Eest un espace vectoriel sur K, c’en est ´egalement un sur tout sous-corps K0de K.
Par exemple un C-espace vectoriel est aussi un R-espace vectoriel.
Si K06=K, ces deux espaces vectoriels doivent ˆetre consid´er´es comme diff´erents.
D´efinition (Structure d’alg`ebre)
On dit qu’un ensemble Eest une alg`ebre sur Ksi :
– (E, +, .) est un espace vectoriel sur K.
–Eest muni d’une loi produit ×pour laquelle (E, +,×) est un anneau.
– Pour tous u,vde Eet tout λde K:
λ(uv) = (λu)v=u(λv).
Si de plus la loi ×est commutative, l’alg`ebre Eest dite commutative.
I.2 Combinaisons lin´eaires
D´efinition (Familles `a support fini)
Soit (A, +) un mono¨ıde additif, et (ai)i∈Iune famille d’´el´ements de A.
On dit que (ai)i∈Iest `a support fini si l’ensemble des indices itels que ai6= 0 est fini.
Pour une telle famille, on peut donc consid´erer Pi∈Iai, qu’on appelle somme `a support fini.
On note A(I)l’ensemble des familles `a support fini d’´el´ements de A.
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Espaces vectoriels, applications lin´ eaires
Partie I : Espaces vectoriels, alg`ebres
D´efinition (Combinaisons lin´eaires)
Soit Eun espace vectoriel sur K. Soit (ui)i∈Iune famille de vecteurs de E.
Soit (λi)i∈Iune famille `a support fini d’´el´ements de K.
La somme P
i∈I
λiuiest appel´ee combinaison lin´eaire des vecteurs uiavec les coefficients λi.
I.3 Espaces vectoriels et alg`ebres classiques
D´efinition (Espace vectoriel produit)
Soient E1, E2, . . . , Enune famille de nespaces vectoriels sur K.
Soit El’ensemble produit E=E1×E2× · · · × En.
Eest un espace vectoriel sur Kquand on pose :
∀u= (u1, u2, . . . , un)∈E, ∀v= (v1, v2, . . . , vn)∈E, ∀λ∈K
u+v= (u1+v1, u2+v2, . . . , un+vn)et λu = (λu1, λu2, . . . , λun)
Cas particulier
Si Eest un K-espace vectoriel, Enest donc muni d’une structure de K-espace vectoriel.
Exemples d’espaces vectoriels
–Kest un espace vectoriel sur lui-mˆeme, la loi externe ´etant ici le produit de K.
C’est mˆeme une alg`ebre commutative.
– On en d´eduit la structure d’espace vectoriel de Kn={(x1, x2, . . . , xn),les xi∈K}.
– Soient Xun ensemble non vide quelconque et Eun K-espace vectoriel.
Soit F(X, E) l’ensemble de toutes les applications fde Xdans E.
F(X, E) est un K-espace vectoriel, quand on pose :
∀f∈ F(X, E),∀g∈ F(X, E),∀λ∈K, ∀x∈E,
(f+g)(x) = f(x) + g(x) et (λf)(x) = λf(x).
Le vecteur nul est ici l’application nulle ωd´efinie par : ∀x∈E, ω(x) = −→ 0 .
Si Eest une alg`ebre, on d´efinit un produit dans F(X, E) en posant :
∀f∈ F(X, E),∀g∈ F(X, E),∀x∈X, (fg)(x) = f(x)g(x).
F(X, E) est alors muni d’une structure d’alg`ebre sur K.
– L’ensemble K[X] des polynˆomes `a coefficients dans Kest une K-alg`ebre commutative.
– L’ensemble Mn,p(K) des matrices `a nlignes, pcolonnes, et `a coefficients dans Kest un espace
vectoriel sur K. Si n=p, c’est une alg`ebre sur K, non commutative d`es que n≥2.
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Espaces vectoriels, applications lin´ eaires
Partie II : Sous-espaces vectoriels et sous-alg`ebres
II Sous-espaces vectoriels et sous-alg`ebres
II.1 D´efinitions et caract´erisations
D´efinition (Sous-espace vectoriel)
Soit Eun espace vectoriel sur K. Soit Fune partie de E.
On dit que Fest un sous-espace vectoriel de Esi :
–Fest stable pour les deux lois : ∀(u, v)∈F2,∀λ∈K
u+v∈Fet λu ∈F
– Muni des lois induites,Fest un espace vectoriel.
Remarques
– On dit souvent sous-espace plutˆot que sous-espace vectoriel.
–{−→ 0}et Esont deux sous-espaces vectoriels de E, appel´es sous-espaces triviaux.
Proposition (Caract´erisation)
Soient Eun espace vectoriel sur K, et Fune partie de E.
Fest un sous-espace vectoriel de E
⇔
F6=∅.
∀(u, v)∈F2, u +v∈F.
∀λ∈K,∀u∈F, λu ∈F.
⇔
F6=∅.
∀(u, v)∈F2,∀(λ, µ)∈K2,
λu +µv ∈F.
Remarques
– Dans les caract´erisations pr´ec´edentes, on n’oubliera pas la condition F6=∅.
En g´en´eral, on se contente de v´erifier que le vecteur nul −→ 0 de Eappartient `a F.
En effet, tous les sous-espaces vectoriels de Econtiennent au moins −→ 0 .
– Soit Fun sous-espace vectoriel de E.
Pour toute famille (ui)i∈Ide vecteurs de F, et pour toute famille (λi)i∈Ide K`a support fini,
la combinaison lin´eaire Pi∈Iλiuiest encore un ´el´ement de F.
On exprime cette propri´et´e en disant que Fest stable par combinaisons lin´eaires.
– Si Fest un sous-espace vectoriel de Eet si Gest un sous-espace vectoriel de F, alors Gest
un sous-espace vectoriel de E.
– Si Eet Fsont deux K-espaces vectoriels pour les mˆemes lois, et si F⊂E, alors Fest un
sous-espace vectoriel de E.
D´efinition (Sous-alg`ebre)
Soit Eune alg`ebre sur K. Soit Fune partie de E.
On dit que Fest une sous-alg`ebre de Esi :
– (F, +, .) est un sous-espace vectoriel de (E, +, .).
– (F, +,×) est un sous-anneau de (E, +,×).
Muni des lois induites, Fest donc effectivement une alg`ebre sur K.
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Espaces vectoriels, applications lin´ eaires
Partie II : Sous-espaces vectoriels et sous-alg`ebres
Proposition (Caract´erisation)
Soient Eune alg`ebre sur K, de neutre multiplicatif 1E, et Fune partie de E.
Fest une sous-alg`ebre de E⇔:
1E∈F(donc F6=∅.)
∀(u, v)∈F2,∀(λ, µ)∈K2, λu +µv ∈F.
∀(u, v)∈F2, uv ∈F.
II.2 Exemples classiques
– Soit nun entier naturel. L’ensemble Kn[X] des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a nest
un sous-espace vectoriel de K[X], mais pas une sous-alg`ebre si n≥1.
– Soit Iun intervalle de R, non r´eduit `a un point.
Soit F(I, K) l’espace vectoriel de toutes les applications de Idans K.
Les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de F(I, K) :
L’ensemble C(I, K) des fonctions continues de Idans K.
L’ensemble Ck(I, K) des fonctions de classe Ckde Idans K.
Proposition (Sous-espace engendr´e)
Soit Xune partie non vide d’un K−espace vectoriel E.
On note Vect (X) l’ensemble des combinaisons lin´eaires d’´el´ements de X.
Vect (X) est un sous-espace vectoriel de Eappel´e sous-espace engendr´e par X.
Si par exemple X={xi,1≤i≤n}, alors Vect X=(n
X
i=1
λixi, λi∈K).
II.3 Op´erations entre sous-espaces vectoriels
Proposition (Intersections de sous-espaces vectoriels)
Soit (Fi)i∈Iune famille quelconque de sous-espaces vectoriels de E.
Alors F=\i∈IFiest un sous-espace vectoriel de E.
Remarque
Soit Xune partie non vide d’un K−espace vectoriel E.
Le sous-espace Vect (X) est le plus petit (au sens de l’inclusion) des sous-espaces vectoriels
de Equi contiennent X.
C’est l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de Equi contiennent X.
Proposition (Sommes de sous-espaces vectoriels)
Soit (Fi)i∈Iune famille quelconque de sous-espaces vectoriels de E.
Soit Fl’ensemble des sommes `a support fini Pi∈Iui, o`u pour tout ide I,ui∈Fi.
Fest un sous-espace vectoriel de E, appel´e somme des Fi, et not´e F=X
i∈I
Fi.
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